Обозначение Бра-кета

Обозначение Бра-кета , также называемое обозначением Дирака , представляет собой обозначение линейной алгебры и линейных операторов в комплексных векторных пространствах вместе с их двойственным пространством как в конечномерном, так и в бесконечномерном случае. Он специально разработан для облегчения вычислений, которые часто встречаются в квантовой механике . Его использование в квантовой механике довольно широко распространено.

Обозначение Бракета было введено Полем Дираком в его публикации 1939 года «Новая нотация для квантовой механики» . Эти обозначения были введены как более простой способ записи квантово-механических выражений. ^[1] Название происходит от английского слова «Bracket».

Квантовая механика

В квантовой механике для обозначения квантовых состояний повсеместно используется обозначение Бра-кет . В обозначениях используются угловые скобки и , а также вертикальная черта для обозначения «бюстгальтеров» и «кетов». $\langle$ $\rangle$ $|$

Кет имеет форму . Математически он обозначает вектор в абстрактном (комплексном) векторном пространстве , а физически представляет состояние некоторой квантовой системы. $|v\rangle$ ${\boldsymbol {v}}$ $V$

Бюстгальтер имеет форму . Математически это обозначает линейную форму , т.е. линейное отображение , которое отображает каждый вектор в число на комплексной плоскости . Разрешение линейному функционалу действовать на вектор записывается как . $\langle f|$ $f:V\to \mathbb {C}$ $V$ $\mathbb {C}$ $\langle f|$ $|v\rangle$ $\langle f|v\rangle \in \mathbb {C}$

Предположим, что существует внутренний продукт с антилинейным первым аргументом, который образует пространство внутреннего продукта . Затем с помощью этого внутреннего продукта каждый вектор можно идентифицировать с соответствующей линейной формой, поместив вектор в антилинейный первый слот внутреннего продукта: . Тогда соответствие между этими обозначениями будет . Линейная форма является ковектором к , а множество всех ковекторов образует подпространство двойственного векторного пространства к исходному векторному пространству . Цель этой линейной формы теперь можно понять с точки зрения проекции на состояние, чтобы определить, насколько линейно зависимы два состояния и т. д. $V$ $(\cdot ,\cdot )$ $V$ ${\boldsymbol {\phi }}\equiv |\phi \rangle$ $({\boldsymbol {\phi }},\cdot )\equiv \langle \phi |$ $({\boldsymbol {\phi }},{\boldsymbol {\psi }})\equiv \langle \phi |\psi \rangle$ $\langle \phi |$ $|\phi \rangle$ $V^{\vee }$ $V$ $\langle \phi |$ ${\boldsymbol {\phi }},$

Для векторного пространства кеты можно отождествить с векторами-столбцами, а бюстгальтеры — с векторами-строками. Комбинации бра, кетов и линейных операторов интерпретируются с помощью матричного умножения . Если имеет стандартный эрмитовский внутренний продукт , то при этой идентификации идентификация кет и бюстгальтеров и наоборот, обеспечиваемая внутренним продуктом, принимает эрмитово сопряженное (обозначенное ). $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=v^{\dagger }w$ $\dagger$

Обычно векторную или линейную форму исключают из обозначения бюстгальтера и используют только метку внутри типографики для бюстгальтера или кет. Например, оператор спина в двумерном пространстве спиноров имеет собственные значения с собственными спинорами . В обозначениях бра-кет это обычно обозначается как , и . Как и выше, кетоны и бюстгальтеры с одинаковой этикеткой интерпретируются как кетоны и бюстгальтеры, соответствующие друг другу с использованием внутреннего продукта. В частности, при идентификации с векторами-строками и столбцами кеты и бюстгальтеры с одной и той же меткой идентифицируются с эрмитовыми сопряженными векторами-столбцами и строками. ${\hat {\sigma }}_{z}$ $\Delta$ ${\textstyle \pm {\frac {1}{2}}}$ ${\boldsymbol {\psi }}_{+},{\boldsymbol {\psi }}_{-}\in \Delta$ ${\boldsymbol {\psi }}_{+}=|+\rangle$ ${\boldsymbol {\psi }}_{-}=|-\rangle$

Обозначение Бракета было фактически введено в 1939 году Полем Дираком ; ^[2]^[3] таким образом, оно также известно как нотация Дирака, несмотря на то, что эта нотация имела предшественника в использовании Германом Грассманом для внутренних продуктов почти 100 лет назад. ^[4]^[5] $[\phi {\mid }\psi ]$

Векторные пространства

Векторы против кетов

В математике термин «вектор» используется для обозначения элемента любого векторного пространства. Однако в физике термин «вектор» имеет тенденцию относиться почти исключительно к таким величинам, как смещение или скорость , компоненты которых напрямую связаны с тремя измерениями пространства или, релятивистски, с четырьмя измерениями пространства-времени . Такие векторы обычно обозначаются стрелками ( ), жирным шрифтом ( ) или индексами ( ). ${\vec {r}}$ $\mathbf {p}$ $v^{\mu }$

В квантовой механике квантовое состояние обычно представляется как элемент комплексного гильбертова пространства, например, бесконечномерного векторного пространства всех возможных волновых функций (квадратно интегрируемые функции, отображающие каждую точку трехмерного пространства в комплексное число) или некоторых других. абстрактное гильбертово пространство, построенное более алгебраически. Чтобы отличить этот тип вектора от описанных выше, в физике принято и полезно обозначать элемент абстрактного комплексного векторного пространства как кет , называть его «кетом», а не вектором, и произносить это «кет- » или «кет-А» для $|$ $А$ $⟩$ . $\phi$ $|\phi \rangle$ $\phi$

Символы, буквы, цифры или даже слова — все, что служит удобной меткой — можно использовать в качестве метки внутри кета, при этом ясно давая понять, что метка указывает вектор в векторном пространстве. Другими словами, символ « $|$ $A$ $⟩$ » имеет узнаваемое математическое значение относительно типа представляемой переменной, в то время как сам по себе символ « $A$ » этого не делает. Например, $|1⟩$ $+$ $|2⟩$ не обязательно равно $|3⟩$ . Тем не менее, для удобства, за метками внутри кетов обычно стоит некоторая логическая схема, например, обычная практика маркировки собственных энергетических кетов в квантовой механике посредством перечисления их квантовых чисел . В самом простом случае метка внутри кета — это собственное значение физического оператора, такого как , , и т. д. $|\ \rangle$ ${\hat {x}}$ ${\hat {p}}$ ${\hat {L}}_{z}$

Обозначения

Поскольку кеты — это просто векторы в эрмитовом векторном пространстве, ими можно манипулировать, используя обычные правила линейной алгебры. Например:

{\begin{aligned}|A\rangle &=|B\rangle +|C\rangle \\|C\rangle &=(-1+2i)|D\rangle \\|D\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}|x\rangle \,\mathrm {d} x\,.\end{aligned}}

Обратите внимание, что последняя строка выше включает в себя бесконечное множество различных кетов, по одному на каждое действительное число $x$ .

Поскольку кет является элементом векторного пространства, бюстгальтер является элементом его двойственного пространства , т.е. бюстгальтер является линейным функционалом, который является линейным отображением векторного пространства в комплексные числа. Таким образом, полезно думать о кетах и бюстгальтерах как об элементах разных векторных пространств (однако см. ниже), причем оба являются разными полезными понятиями. $\langle A|$

Бюстгальтер и кет (т.е. функционал и вектор) можно объединить с оператором первого ранга с внешним произведением $\langle \phi |$ $|\psi \rangle$ $|\psi \rangle \langle \phi |$

|\psi \rangle \langle \phi |\colon |\xi \rangle \mapsto |\psi \rangle \langle \phi |\xi \rangle ~.

Идентификация внутреннего произведения и скобки в гильбертовом пространстве

Обозначение бра-кета особенно полезно в гильбертовых пространствах, которые имеют скалярное произведение ^[6] , позволяющее эрмитово сопряжение и отождествление вектора с непрерывным линейным функционалом, т. е. кета с бра, и наоборот (см. теорему о представлении Рисса ). Внутренний продукт в гильбертовом пространстве (с первым аргументом, антилинейным, как предпочитают физики) полностью эквивалентен (антилинейному) отождествлению между пространством кетов и пространством бюстгальтеров в обозначениях брекетов: для векторного кет определите функциональный (т.е. бюстгальтер) по $(\ ,\ )$ $\phi =|\phi \rangle$ $f_{\phi }=\langle \phi |$

(\phi ,\psi )=(|\phi \rangle ,|\psi \rangle )=:f_{\phi }(\psi )=\langle \phi |\,{\bigl (}|\psi \rangle {\bigr )}=:\langle \phi {\mid }\psi \rangle

Бюстгальтеры и кетты как векторы-строки и столбцы

В простом случае, когда мы рассматриваем векторное пространство , кет можно отождествить с вектором-столбцом , а бюстгальтер — с вектором-строкой . Если, кроме того, мы используем стандартное эрмитово скалярное произведение на , бюстгальтер, соответствующий кету, в частности бюстгальтер $⟨$ $m$ $|$ и кет $|$ $m$ $⟩$ с той же меткой сопряжены транспонированием . Более того, соглашения устроены таким образом, что написание бра, кетов и линейных операторов рядом друг с другом просто подразумевает умножение матриц . ^[7] В частности, внешнее произведение столбца и вектора-строки ket и бюстгальтера можно идентифицировать с помощью матричного умножения (вектор-столбец, умноженный на вектор-строку, равен матрице). $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $|\psi \rangle \langle \phi |$

Для конечномерного векторного пространства с использованием фиксированного ортонормированного базиса внутренний продукт можно записать как матричное умножение вектора-строки на вектор-столбец:

\langle A|B\rangle \doteq A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+\cdots +A_{N}^{*}B_{N}={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}

{\begin{aligned}\langle A|&\doteq {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\\|B\rangle &\doteq {\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

Сопряженная транспозиция (также называемая эрмитовым сопряжением ) бюстгальтера представляет собой соответствующий кет, и наоборот:

\langle A|^{\dagger }=|A\rangle ,\quad |A\rangle ^{\dagger }=\langle A|

{\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\,,

комплексное сопряжение транспонирование матрицы

{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}

Запись элементов конечномерного (или mutatis mutandis , счетно-бесконечного) векторного пространства в виде вектор-столбца чисел требует выбора основы . Выбор базиса не всегда полезен, поскольку расчеты квантовой механики предполагают частое переключение между различными базисами (например, базисом положения, базисом импульса, собственным базисом энергии), и можно написать что-то вроде « $| m ⟩$ », не привязываясь к какому-либо конкретному базису. В ситуациях, связанных с двумя разными важными базисными векторами, базисные векторы могут быть взяты в обозначениях явно и здесь будут называться просто « $| - ⟩$ » и « $| + ⟩$ ».

Ненормализуемые состояния и негильбертовы пространства

Обозначение Бракета можно использовать, даже если векторное пространство не является гильбертовым .

В квантовой механике принято записывать кеты, имеющие бесконечную норму , то есть ненормируемые волновые функции . Примеры включают состояния, волновыми функциями которых являются дельта-функции Дирака или бесконечные плоские волны . Технически они не принадлежат самому гильбертову пространству . Однако определение «гильбертова пространства» можно расширить, чтобы включить в него эти состояния (см. конструкцию Гельфанда – Наймарка – Сигала или оснащенные гильбертовы пространства ). Обозначение брекета продолжает работать аналогичным образом в этом более широком контексте.

Банаховы пространства представляют собой другое обобщение гильбертовых пространств. В банаховом пространстве $B$ векторы могут быть обозначены кетами, а непрерывные линейные функционалы - бра. В любом векторном пространстве без топологии мы также можем обозначить векторы кетами, а линейные функционалы - бюстгальтерами. В этих более общих контекстах скобка не имеет значения скалярного произведения, поскольку теорема о представлении Рисса не применяется.

Использование в квантовой механике

Математическая структура квантовой механики во многом основана на линейной алгебре :

Волновые функции и другие квантовые состояния можно представить в виде векторов в комплексном гильбертовом пространстве. (Точная структура этого гильбертова пространства зависит от ситуации.) Например, в обозначениях брекета электрон может находиться в «состоянии» $| ψ ⟩$ . (Технически квантовые состояния представляют собой лучи векторов в гильбертовом пространстве, поскольку $c | ψ ⟩$ соответствует одному и тому же состоянию для любого ненулевого комплексного числа $c$ .)
Квантовые суперпозиции можно описать как векторные суммы составляющих состояний. Например, электрон в состоянии $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/√2|1⟩ +я/√2|2⟩$ находится в квантовой суперпозиции состояний $|1⟩$ и $|2⟩$ .
Измерения связаны с линейными операторами (называемыми наблюдаемыми ) в гильбертовом пространстве квантовых состояний.
Динамика также описывается линейными операторами в гильбертовом пространстве. Например, в картине Шрёдингера существует оператор линейной эволюции во времени $U$ , обладающий свойством, что если электрон находится в состоянии $| ψ ⟩$ прямо сейчас, позже будет в состоянии $U | ψ ⟩$ , один и тот же $U$ для всех возможных $| ψ ⟩$ .
Нормализация волновой функции — это масштабирование волновой функции так, чтобы ее норма была равна 1.

Поскольку практически каждое вычисление в квантовой механике включает в себя векторы и линейные операторы, оно может включать и часто включает в себя нотацию бра-кет. Далее следует несколько примеров:

Бесспиновая позиция – волновая функция пространства

Компоненты комплексных векторов отображаются в зависимости от порядкового номера; дискретный

k

и непрерывный

x

. Выделены две конкретные компоненты из бесконечного множества.

Гильбертово пространство точечной частицы со спином -0 натянуто на « базис положения » ${| r ⟩}$ , где метка $r$ распространяется на множество всех точек в пространстве позиций . Эта метка является собственным значением оператора положения, действующего на такое базисное состояние . Так как в базисе несчетно бесконечное число векторных компонент, то это несчетно бесконечномерное гильбертово пространство. Размеры гильбертова пространства (обычно бесконечного) и позиционного пространства (обычно 1, 2 или 3) не следует объединять. ${\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle$

Начиная с любого кет $|Ψ⟩$ в этом гильбертовом пространстве, можно определить комплексную скалярную функцию от $r$ , известную как волновая функция , ^[8]

\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,.

В левой части $Ψ(r)$ — функция, отображающая любую точку пространства в комплексное число; с правой стороны,

\left|\Psi \right\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} )\left|\mathbf {r} \right\rangle

Тогда принято определять линейные операторы, действующие на волновые функции, в терминах линейных операторов, действующих на кеты, следующим образом:

{\hat {A}}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {A}}|\Psi \rangle \,.

Например, оператор импульса имеет следующее координатное представление ^[9] ${\hat {\mathbf {p} }}$

{\hat {\mathbf {p} }}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}|\Psi \rangle =-i\hbar \nabla \Psi (\mathbf {r} )\,.

Иногда даже встречается такое выражение, как , хотя это своего рода злоупотребление обозначениями . Дифференциальный оператор следует понимать как абстрактный оператор, действующий на кеты, который имеет эффект дифференцирования волновых функций после того, как выражение проецируется на базис позиции, даже несмотря на то, что в базисе импульса этот оператор представляет собой простой оператор умножения ( по $iħ$ $p$ ). То есть, скажем так, $\nabla |\Psi \rangle$ $\nabla \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,,$

\langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \langle \mathbf {r} |~,

{\hat {\mathbf {p} }}=\int d^{3}\mathbf {r} ~|\mathbf {r} \rangle (-i\hbar \nabla )\langle \mathbf {r} |~.

Перекрытие государств

В квантовой механике выражение $⟨ φ | ψ ⟩$ обычно интерпретируется как амплитуда вероятности коллапса состояния $ψ$ в состояние $φ$ . Математически это означает коэффициент проекции $ψ$ на $φ$ . Его также называют проекцией состояния $ψ$ на состояние $φ$ .

Изменение основы для частицы со спином 1/2

Стационарная частица со спином 1/2 имеет двумерное гильбертово пространство. Один ортонормированный базис :

|{\uparrow }_{z}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{z}\rangle

|↑ z ⟩

спина

S z,

1 ⁄ 2

|↓

z

⟩

спина S z,1 ⁄ 2

Поскольку они являются основой, любое квантовое состояние частицы может быть выражено как линейная комбинация (т. е. квантовая суперпозиция ) этих двух состояний:

|\psi \rangle =a_{\psi }|{\uparrow }_{z}\rangle +b_{\psi }|{\downarrow }_{z}\rangle

a ψ

b ψ

Другой базис того же гильбертова пространства :

|{\uparrow }_{x}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{x}\rangle

S x

S z

Опять же, любое состояние частицы можно выразить как линейную комбинацию этих двух:

|\psi \rangle =c_{\psi }|{\uparrow }_{x}\rangle +d_{\psi }|{\downarrow }_{x}\rangle

В векторной форме вы можете написать

|\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}a_{\psi }\\b_{\psi }\end{pmatrix}}\quad {\text{or}}\quad |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}c_{\psi }\\d_{\psi }\end{pmatrix}}

Существует математическая связь между , , и ; см. изменение основы . $a_{\psi }$ $b_{\psi }$ $c_{\psi }$ $d_{\psi }$

Подводные камни и неоднозначное использование

Существуют некоторые соглашения и способы использования обозначений, которые могут сбить с толку или двусмысленности для непосвященных или начинающих учеников.

Разделение внутреннего продукта и векторов

Причиной путаницы является то, что эта запись не отделяет операцию внутреннего произведения от обозначения вектора (бюстгальтера). Если (двойное пространство) бра-вектор создается как линейная комбинация других бра-векторов (например, при его выражении в каком-то базисе), обозначение создает некоторую двусмысленность и скрывает математические детали. Мы можем сравнить обозначение Бракета с использованием жирного шрифта для векторов, таких как , и для внутреннего продукта. Рассмотрим следующий дуальный пространственный бра-вектор в базисе : ${\boldsymbol {\psi }}$ $(\cdot ,\cdot )$ $\{|e_{n}\rangle \}$

\langle \psi |=\sum _{n}\langle e_{n}|\psi _{n}

Необходимо определить по соглашению, находятся ли комплексные числа внутри или вне внутреннего продукта, и каждое соглашение дает разные результаты. $\{\psi _{n}\}$

\langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}

\langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n}\psi _{n},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}^{*}

Повторное использование символов

Обычно для меток и констант используется один и тот же символ . Например, где символ используется одновременно как имя оператора , его собственного вектора и связанного с ним собственного значения . Иногда операторы также снимают шляпу , и можно увидеть такие обозначения, как . ^[10] ${\hat {\alpha }}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle$ $\alpha$ ${\hat {\alpha }}$ $|\alpha \rangle$ $\alpha$ $A|a\rangle =a|a\rangle$

Эрмитово сопряжение кетов

Обычно можно увидеть использование , где кинжал ( ) соответствует эрмитовому сопряжению. Однако это неверно в техническом смысле, поскольку кет представляет вектор в комплексном гильбертовом пространстве , а бюстгальтер - линейный функционал на векторах в . Другими словами, это просто вектор, а это комбинация вектора и внутреннего продукта. $|\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |$ $\dagger$ $|\psi \rangle$ ${\mathcal {H}}$ $\langle \psi |$ ${\mathcal {H}}$ $|\psi \rangle$ $\langle \psi |$

Операции внутри бюстгальтеров и комплектов

Это сделано для быстрой записи векторов масштабирования. Например, если вектор масштабируется как , его можно обозначить . Это может быть неоднозначно, поскольку это просто метка состояния, а не математический объект, над которым можно выполнять операции. Такое использование более распространено при обозначении векторов как тензорных произведений, когда часть меток перемещается за пределы спроектированного слота, например . $|\alpha \rangle$ $1/{\sqrt {2}}$ $|\alpha /{\sqrt {2}}\rangle$ $\alpha$ $|\alpha \rangle =|\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{1}\otimes |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{2}$

Линейные операторы

Линейные операторы, действующие на кетах

Линейный оператор — это карта, которая вводит кет и выводит кет. (Чтобы называться «линейным», необходимо обладать определенными свойствами .) Другими словами, если — линейный оператор и — кет-вектор, то это другой кет-вектор. ${\hat {A}}$ $|\psi \rangle$ ${\hat {A}}|\psi \rangle$

В -мерном гильбертовом пространстве мы можем наложить базис на пространство и представить его через координаты как вектор-столбец . Используя тот же базис для , он представляется комплексной матрицей. Кет-вектор теперь можно вычислить путем умножения матриц. $N$ $|\psi \rangle$ $N\times 1$ ${\hat {A}}$ $N\times N$ ${\hat {A}}|\psi \rangle$

Линейные операторы широко распространены в теории квантовой механики. Например, наблюдаемые физические величины представлены самосопряженными операторами , такими как энергия или импульс , тогда как преобразующие процессы представлены унитарными линейными операторами, такими как вращение или прогрессия времени.

Линейные операторы, действующие на бюстгальтеры

Операторов также можно рассматривать как действующих на бюстгальтеры с правой стороны . В частности, если $A$ — линейный оператор и $⟨ φ |$ это бюстгальтер, то $⟨ φ | А$ — еще один бюстгальтер, определенный правилом

{\bigl (}\langle \phi |{\boldsymbol {A}}{\bigr )}|\psi \rangle =\langle \phi |{\bigl (}{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle {\bigr )}\,,

композиция функций внутренний продукт энергии

\langle \phi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,.

В $N$ -мерном гильбертовом пространстве $⟨ φ |$ можно записать в виде вектора-строки размером $1 \times N$ , а $A$ (как и в предыдущем разделе) — это матрица размера $N$ $\times$ $N.$ Тогда бюстгальтер $⟨$ $φ$ $|$ $A$ можно вычислить обычным матричным умножением.

Если один и тот же вектор состояния появляется как на стороне бюстгальтера, так и на стороне кет,

\langle \psi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,,

математическое ожидание

A

| ψ ⟩

Внешняя продукция

Удобный способ определения линейных операторов в гильбертовом пространстве $H$ — это внешнее произведение : если $⟨ φ |$ это бюстгальтер и $| ψ ⟩$ — кет, внешний продукт

|\phi \rangle \,\langle \psi |

оператор первого ранга

{\bigl (}|\phi \rangle \langle \psi |{\bigr )}(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle .

Для конечномерного векторного пространства внешний продукт можно понимать как простое умножение матриц:

|\phi \rangle \,\langle \psi |\doteq {\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}

N \times N

Одно из применений внешнего произведения — построение операторов проекции . Учитывая кет $| ψ ⟩$ нормы 1, ортогональная проекция на подпространство , натянутое на $| ψ ⟩$ есть

|\psi \rangle \,\langle \psi |\,.

идемпотент

Эрмитовский сопряженный оператор

Точно так же, как кетчупы и бюстгальтеры можно преобразовать друг в друга (превратив $| ψ ⟩$ в $⟨ ψ |$ ), элемент из двойственного пространства, соответствующий $A | ψ ⟩$ это $⟨ ψ | A †$ , где $A †$ обозначает эрмитово сопряженное (или сопряженное) оператору $A$ . Другими словами,

|\phi \rangle =A|\psi \rangle \quad {\text{if and only if}}\quad \langle \phi |=\langle \psi |A^{\dagger }\,.

Если $A$ выражается как матрица размера $N \times N$ , то $A †$ — ее сопряженное транспонирование.

Самосопряженные операторы, где $A = A †$ , играют важную роль в квантовой механике; например, наблюдаемая всегда описывается самосопряженным оператором. Если $A$ — самосопряженный оператор, то $⟨ ψ | А | ψ ⟩$ всегда действительное число (не комплексное). Это означает, что ожидаемые значения наблюдаемых реальны.

Характеристики

Обозначение Бракета было разработано для облегчения формального манипулирования линейно-алгебраическими выражениями. Некоторые свойства, позволяющие выполнять эту манипуляцию, перечислены здесь. В дальнейшем $c1 и$ $c2$ обозначают произвольные комплексные числа , $c$ $*$ обозначает комплексно-сопряженное число c , $A$ и $B$ обозначают $произвольные$ линейные операторы, и эти свойства должны выполняться при любом выборе бюстгальтеров и кет $.$

Линейность

Поскольку бюстгальтеры являются линейными функционалами, $\langle \phi |{\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle \,.$
По определению сложения и скалярного умножения линейных функционалов в двойственном пространстве ^[11] ${\bigl (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigr )}|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle \,.$

Ассоциативность

Для любого выражения, включающего комплексные числа, бра, кеты, внутренние произведения, внешние произведения и/или линейные операторы (но не сложение), написанного в нотации бра-кет, группировки в скобках не имеют значения (т. е. сохраняется ассоциативное свойство ) . Например:

{\begin{aligned}\langle \psi |{\bigl (}A|\phi \rangle {\bigr )}={\bigl (}\langle \psi |A{\bigr )}|\phi \rangle \,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle \\{\bigl (}A|\psi \rangle {\bigr )}\langle \phi |=A{\bigl (}|\psi \rangle \langle \phi |{\bigr )}\,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |\end{aligned}}

и так далее. Выражения справа (без каких-либо скобок) разрешено записывать однозначно из-за равенств слева. Обратите внимание, что свойство ассоциативности не сохраняется для выражений, включающих нелинейные операторы, такие как оператор антилинейного обращения времени в физике.

Эрмитово сопряжение

Обозначение Бра-кета позволяет особенно легко вычислить эрмитово сопряженное (также называемое кинжалом и обозначаемое $†$ ) выражений. Формальные правила таковы:

Эрмитовым сопряжением бюстгальтера является соответствующий кет, и наоборот.
Эрмитово сопряженное комплексное число является его комплексно-сопряженным.
Эрмитово сопряжение эрмитова сопряжения чего-либо (линейных операторов, бюстгальтеров, кетов, чисел) само есть, т. е. $\left(x^{\dagger }\right)^{\dagger }=x\,.$
Учитывая любую комбинацию комплексных чисел, бюстгальтеров, кетов, внутренних произведений, внешних произведений и/или линейных операторов, записанных в нотации бра-кет, ее эрмитово сопряжение можно вычислить, изменив порядок компонентов и взяв эрмитово сопряжение каждый.

Этих правил достаточно, чтобы формально записать эрмитово сопряженное любое такое выражение; Вот некоторые примеры:

Кеты: ${\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}^{\dagger }=c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|\,.$
Внутренние продукты: $\langle \phi |\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |\phi \rangle \,.$ Обратите внимание, что $⟨ φ | ψ ⟩$ — скаляр, поэтому эрмитово сопряжение — это просто комплексное сопряжение, т. е. ${\bigl (}\langle \phi |\psi \rangle {\bigr )}^{\dagger }=\langle \phi |\psi \rangle ^{*}$
Элементы матрицы: ${\begin{aligned}\langle \phi |A|\psi \rangle ^{\dagger }&=\left\langle \psi \left|A^{\dagger }\right|\phi \right\rangle \\\left\langle \phi \left|A^{\dagger }B^{\dagger }\right|\psi \right\rangle ^{\dagger }&=\langle \psi |BA|\phi \rangle \,.\end{aligned}}$
Внешние продукты: ${\Big (}{\bigl (}c_{1}|\phi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}|\phi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|{\bigr )}{\Big )}^{\dagger }={\bigl (}c_{1}^{*}|\psi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}^{*}|\psi _{2}\rangle \langle \phi _{2}|{\bigr )}\,.$

Композитные бюстгальтеры и комплекты

Два гильбертовых пространства $V$ и $W$ могут образовывать третье пространство $V \otimes W$ посредством тензорного произведения . В квантовой механике это используется для описания сложных систем. Если система состоит из двух подсистем, описанных в $V$ и $W$ соответственно, то гильбертово пространство всей системы является тензорным произведением двух пространств. (Исключением являются случаи, когда подсистемы на самом деле являются идентичными частицами . В этом случае ситуация немного сложнее.)

Если $| ψ ⟩$ — кет в $V$ и $| φ ⟩$ — кет в $W$ , тензорное произведение двух кетов — это кет в $V \otimes W.$ Это записывается в различных обозначениях:

|\psi \rangle |\phi \rangle \,,\quad |\psi \rangle \otimes |\phi \rangle \,,\quad |\psi \phi \rangle \,,\quad |\psi ,\phi \rangle \,.

См. квантовую запутанность и парадокс ЭПР , чтобы узнать о применении этого продукта.

Оператор агрегата

Рассмотрим полную ортонормированную систему ( базис ),

\{e_{i}\ |\ i\in \mathbb {N} \}\,,

H

⟨\cdot, \cdot⟩

Из базового функционального анализа известно, что любой кет также можно записать как $|\psi \rangle$

|\psi \rangle =\sum _{i\in \mathbb {N} }\langle e_{i}|\psi \rangle |e_{i}\rangle ,

⟨\cdot|\cdot⟩ в гильбертовом пространстве.

Из коммутативности кетов с (комплексными) скалярами следует, что

\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|=\mathbb {I}

оператором идентификации

Таким образом, это можно вставить в любое выражение, не затрагивая его значения; например

{\begin{aligned}\langle v|w\rangle &=\langle v|\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)\left(\sum _{j\in \mathbb {N} }|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|e_{i}\rangle \langle e_{i}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|w\rangle \,,\end{aligned}}

соглашение Эйнштейна о суммировании , чтобы избежать беспорядка.

В квантовой механике часто случается, что о скалярном произведении мало или вообще нет информации $⟨ ψ | φ ⟩$ двух произвольных кетов (состояний) присутствует, а о коэффициентах разложения $⟨ ψ | е я ⟩ знак равно ⟨ е я | ψ ⟩ *$ и $⟨ е я | φ ⟩$ этих векторов относительно определенного (ортонормированного) базиса. В этом случае особенно полезно вставить оператор единицы в скобку один или несколько раз.

Для получения дополнительной информации см. Разрешение идентичности , ^[12].

{\mathbb {I} }=\int \!dx~|x\rangle \langle x|=\int \!dp~|p\rangle \langle p|,

|p\rangle =\int dx{\frac {e^{ixp/\hbar }|x\rangle }{\sqrt {2\pi \hbar }}}.

Поскольку $⟨ Икс' | Икс ⟩ знак равно δ (Икс - Икс')$ , следуют плоские волны,

\langle x|p\rangle ={\frac {e^{ixp/\hbar }}{\sqrt {2\pi \hbar }}}.

В своей книге (1958) Ч. III.20, Дирак определяет стандартный кет , который с точностью до нормализации является трансляционно-инвариантным собственным состоянием импульса в представлении импульса, т.е. Следовательно, соответствующая волновая функция является постоянной, и ${\textstyle |\varpi \rangle =\lim _{p\to 0}|p\rangle }$ ${\hat {p}}|\varpi \rangle =0$ $\langle x|\varpi \rangle {\sqrt {2\pi \hbar }}=1$

|x\rangle =\delta ({\hat {x}}-x)|\varpi \rangle {\sqrt {2\pi \hbar }},

|p\rangle =\exp(ip{\hat {x}}/\hbar )|\varpi \rangle .

Обычно, когда все матричные элементы оператора, например

\langle x|A|y\rangle

\int dx\,dy\,|x\rangle \langle x|A|y\rangle \langle y|=A\,.

Обозначения, используемые математиками

Объектом, который физики рассматривают при использовании обозначений Брекета, является гильбертово пространство ( полное пространство внутреннего произведения).

Пусть — гильбертово пространство, а $h$ $\in$ $H$ — вектор из $H.$ Что физики обозначали бы $|$ $h$ $⟩$ — сам вектор. То есть, $({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$

|h\rangle \in {\mathcal {H}}.

Пусть $H *$ — пространство , двойственное к $H.$ Это пространство линейных функционалов на $H$ . Вложение определяется формулой , где для каждого $h$ $\in$ $H$ линейный функционал удовлетворяет для каждого g $\in$ $H$ функциональному уравнению $.$ Путаница в обозначениях возникает при отождествлении $φ$ $h$ и $g$ с $⟨$ $h$ $|$ и $|$ $г$ $⟩$ соответственно. Это происходит из-за буквальных символических замен. Пусть и пусть $g$ $= G =$ $|$ $г$ $⟩$ . Это дает $\Phi :{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {H}}^{*}$ $\Phi (h)=\varphi _{h}$ $\varphi _{h}:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ $\varphi _{h}(g)=\langle h,g\rangle =\langle h\mid g\rangle$ $\varphi _{h}=H=\langle h\mid$

\varphi _{h}(g)=H(g)=H(G)=\langle h|(G)=\langle h|{\bigl (}|g\rangle {\bigr )}\,.

Круглые скобки игнорируются, а двойные черты удаляются.

Более того, математики обычно пишут двойственную сущность не на первом месте, как это делают физики, а на втором, и для обозначения они обычно используют не звездочку , а подчеркивание (которое физики оставляют для средних значений и спинорного сопряжения Дирака ). комплексно-сопряженные числа; т. е. для скалярных произведений математики обычно пишут

\langle \phi ,\psi \rangle =\int \phi (x)\cdot {\overline {\psi (x)}}\,\mathrm {d} x\,,

\langle \psi |\phi \rangle =\int dx\,\psi ^{*}(x)\phi (x)~.

Смотрите также

Примечания

^ ПАМ Дирак (1939). Новые обозначения квантовой механики. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 35, стр. 416–418 doi:10.1017/S0305004100021162.
^ Дирак 1939 г.
^ Шанкар 1994, Глава 1
^ Грассманн 1862 г.
^ Лекция 2 | Квантовые запутанности, часть 1 (Стэнфорд), Леонард Сасскинд о комплексных числах, комплексно-сопряженных числах, бюстгальтере, кет. 02.10.2006.
^ Лекция 2 | Квантовые запутанности, часть 1 (Стэнфорд), Леонард Сасскинд о внутреннем продукте, 2 октября 2006 г.
^ «Гидни, Крейг (2017). Нотация Бра-Кета упрощает умножение матриц» .
^ Сакурай и Наполитано 2021, разделы 1.2, 1.3
^ Сакурай и Наполитано, 2021, раздел 1.3.
^ Сакурай и Наполитано 2021, разделы 1.2, 1.3
↑ Конспекты лекций Роберта Литтлджона. Архивировано 17 июня 2012 г. в Wayback Machine , уравнения 12 и 13.
^ Сакурай и Наполитано 2021, разделы 1.2, 1.3

Внешние ссылки

Ричард Фицпатрик, «Квантовая механика: курс для аспирантов», Техасский университет в Остине. Включает в себя:
- 1. Кетское пространство
- 2. Пространство для бюстгальтера
- 3. Операторы
- 4. Внешний продукт
- 5. Собственные значения и собственные векторы.
Роберт Литтлджон, конспекты лекций на тему «Математический формализм квантовой механики», включая обозначения скобок. Калифорнийский университет, Беркли.
Жирес, Ф. (2000). «Математические сюрпризы и формализм Дирака в квантовой механике». Реп. прог. Физ . 63 (12): 1893–1931. arXiv : Quant-ph/9907069 . Бибкод : 2000RPPH...63.1893G. дои : 10.1088/0034-4885/63/12/201. S2CID 10854218.