Нулевой набор

Измеримое множество, мера которого равна нулю

Треугольник Серпинского является примером нулевого набора точек в . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

В математическом анализе нулевой набор — это измеримый по Лебегу набор действительных чисел, имеющий нулевую меру . Его можно охарактеризовать как множество, которое можно покрыть счетным объединением интервалов сколь угодно малой общей длины.

Понятие нулевого множества не следует путать с понятием пустого множества , как оно определено в теории множеств . Хотя пустое множество имеет нулевую меру Лебега , существуют также непустые множества, которые являются нулевыми. Например, любое непустое счетное множество действительных чисел имеет нулевую меру Лебега и, следовательно, является нулевым.

В более общем смысле, в данном пространстве меры нулевое множество — это такое множество, что ${\displaystyle M=(X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle S\in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu (S)=0.}$

Примеры

Каждое конечное или счетно бесконечное подмножество действительных чисел является нулевым множеством. Например, набор натуральных чисел и набор рациональных чисел счетно бесконечны и, следовательно, являются нулевыми множествами, если рассматривать их как подмножества действительных чисел.

Множество Кантора является примером несчетного нулевого множества. ^{[ нужны дальнейшие объяснения ]}

Определение

Предположим , что это такое подмножество реальной линии , что для каждого существует последовательность открытых интервалов (где интервал имеет длину ) такая, что ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ ${\displaystyle U_{n}=(a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {length} (U_{n})=b_{n}-a_{n}}$

$${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n}\ ~{\textrm {and}}~\ \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {length} (U_{n})<\varepsilon \,,}$$

^[1] ${\displaystyle A}$

В терминологии математического анализа это определение требует, чтобы существовала последовательность открытых покрытий , для которой предел длин покрытий равен нулю. ${\displaystyle A}$

Характеристики

Пусть - мера пространства . У нас есть: ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$

• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$(по определению ) . ${\displaystyle \mu }$
• Любое счетное объединение нулевых множеств само по себе является нулевым множеством (в силу счетной субаддитивности ) . ${\displaystyle \mu }$
• Любое (измеримое) подмножество нулевого множества само по себе является нулевым множеством (в силу монотонности ) . ${\displaystyle \mu }$

В совокупности эти факты показывают, что нулевые множества образуют 𝜎 -идеал 𝜎 -алгебры . Соответственно, нулевые множества можно интерпретировать как пренебрежимо малые множества , что дает теоретико-мерное понятие « почти везде ». ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Мера Лебега

Мера Лебега — это стандартный способ присвоения длины , площади или объема подмножествам евклидова пространства .

Подмножество имеет нулевую меру Лебега и считается нулевым множеством тогда и только тогда, когда: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Для любого положительного числа существует последовательность интервалов , содержащаяся в объединении и общая длина объединения меньше ${\displaystyle \varepsilon ,}$ ${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \varepsilon .}$

Это условие можно обобщить, используя кубы вместо интервалов . Фактически, эту идею можно придать смысл на любом многообразии , даже если там нет меры Лебега. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle n}$

Например:

• По отношению к всем одноэлементным множествам имеется значение NULL, и, следовательно, все счетные множества имеют значение NULL. В частности, множество рациональных чисел является нулевым, несмотря на то, что оно плотно по ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Стандартная конструкция множества Кантора является примером нулевого несчетного множества , однако возможны и другие конструкции, которые присваивают множеству Кантора какую-либо меру. ${\displaystyle \mathbb {R} ;}$
• Все подмножества, размерность которых меньше, чем имеют нулевую меру Лебега в. Например, прямые линии или круги являются нулевыми множествами в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• Лемма Сарда : множество критических значений гладкой функции имеет нулевую меру.

Если - мера Лебега для и π - мера Лебега для , то мера произведения . В терминах нулевых множеств следующая эквивалентность была названа теоремой Фубини : ^[2] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \lambda \times \lambda =\pi .}$

• Для и ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},}$
  $${\displaystyle \pi (A)=0\iff \lambda \left(\left\{x:\lambda \left(A_{x}\right)>0\right\}\right)=0.}$$

Использование

Нулевые множества играют ключевую роль в определении интеграла Лебега : если функции и равны, за исключением нулевого множества, то оно интегрируемо тогда и только тогда, когда есть, и их интегралы равны. Это мотивирует формальное определение пространств как множеств классов эквивалентности функций, которые различаются только на нулевых множествах. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Мера, в которой все подмножества нулевых множеств измеримы, является полной . Любую неполную меру можно дополнить, чтобы сформировать полную меру, утверждая, что подмножества нулевых множеств имеют нулевую меру. Мера Лебега является примером полной меры; в некоторых конструкциях оно определяется как пополнение неполной борелевской меры .

Подмножество множества Кантора, не измеримое по Борелю.

Мера Бореля не является полной. Одна простая конструкция - начать со стандартного канторова множества , которое замкнуто, следовательно, измеримо по Борелю и имеет нулевую меру, и найти подмножество , которое не измеримо по Борелю. (Поскольку мера Лебега полная, она , конечно, измерима по Лебегу.) ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$

Во-первых, мы должны знать, что каждое множество положительной меры содержит неизмеримое подмножество. Пусть функция Кантора , непрерывная функция, локально постоянная и монотонно возрастающая при и Очевидно , счетна, так как она содержит одну точку на компонент Следовательно, имеет нулевую меру, поэтому имеет меру единица. Нам нужна строго монотонная функция , поэтому рассмотрим, поскольку она строго монотонна и непрерывна, то это гомеоморфизм . Кроме того, имеет меру один. Пусть неизмеримо, и пусть Поскольку оно инъективно, мы имеем то, что и поэтому является нулевым множеством. Однако если бы оно было измеримо по Борелю, то было бы и измеримо по Борелю (здесь мы используем тот факт, что прообраз борелевского множества непрерывной функцией измерим; является прообразом через непрерывную функцию ). Следовательно, есть ноль, но неборелевское измеримое множество. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K^{c},}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(1)=1.}$ ${\displaystyle f(K^{c})}$ ${\displaystyle K^{c}.}$ ${\displaystyle f(K^{c})}$ ${\displaystyle f(K)}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)+x.}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(K)}$ ${\displaystyle E\subseteq g(K)}$ ${\displaystyle F=g^{-1}(E).}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F\subseteq K,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(F)}$ ${\displaystyle g(F)=(g^{-1})^{-1}(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle h=g^{-1}.}$ ${\displaystyle F}$

Хаар ноль

В сепарабельном банаховом пространстве групповая операция перемещает любое подмножество в сдвиг для любого . Когда существует вероятностная мера µ на ​​σ-алгебре борелевских подмножеств такая , что для всех then является нулевым множеством Хаара . ^[3] ${\displaystyle (X,+),}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A+x}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \mu (A+x)=0,}$ ${\displaystyle A}$

Этот термин относится к нулевой инвариантности мер трансляций, связывая ее с полной инвариантностью, обнаруженной с помощью меры Хаара .

Некоторые алгебраические свойства топологических групп связаны с размером подмножеств и нулевыми множествами Хаара. ^[4] Нулевые множества Хаара использовались в польских группах , чтобы показать, что, когда A не является скудным множеством , тогда оно содержит открытую окрестность единичного элемента . ^[5] Это свойство названо в честь Хьюго Штейнгауза , поскольку оно является выводом теоремы Штейнгауза . ${\displaystyle A^{-1}A}$

Смотрите также

• Функция Кантора  - непрерывная функция, которая не является абсолютно непрерывной.
• Пустое множество  – математическое множество, не содержащее элементов.
• Мера (математика)  - Обобщение массы, длины, площади и объема.
• Ничего  – Полное отсутствие чего-либо; противоположность всему

Рекомендации

1. Фрэнкс, Джон (2009). (Краткое) Введение в интеграцию Лебега . Студенческая математическая библиотека. Том. 48. Американское математическое общество . п. 28. дои : 10.1090/stml/048. ISBN 978-0-8218-4862-3.
2. ван Даувен, Эрик К. (1989). «Теорема Фубини для нулевых множеств». Американский математический ежемесячник . 96 (8): 718–21. дои : 10.1080/00029890.1989.11972270. JSTOR  2324722. MR  1019152.
3. Матоускова, Ева (1997). «Выпуклость и нулевые множества Хаара» (PDF) . Труды Американского математического общества . 125 (6): 1793–1799. дои : 10.1090/S0002-9939-97-03776-3 . JSTOR  2162223.
4. Солецкий, С. (2005). «Размеры подмножеств групп и нулевых множеств Хаара». Геометрический и функциональный анализ . 15 : 246–73. CiteSeerX 10.1.1.133.7074 . doi : 10.1007/s00039-005-0505-z. MR  2140632. S2CID  11511821. 
5. Додос, Панделис (2009). «Свойство Штейнхауса и множества Хаара». Бюллетень Лондонского математического общества . 41 (2): 377–44. arXiv : 1006.2675 . Бибкод : 2010arXiv1006.2675D. дои : 10.1112/blms/bdp014. MR  4296513. S2CID  119174196.

дальнейшее чтение

• Капински, Марек; Копп, Эккехард (2005). Мера, интеграл и вероятность . Спрингер. п. 16. ISBN 978-1-85233-781-0.
• Джонс, Фрэнк (1993). Интегрирование Лебега в евклидовых пространствах . Джонс и Бартлетт. п. 107. ИСБН 978-0-86720-203-8.
• Окстоби, Джон К. (1971). Мера и категория . Спрингер-Верлаг. п. 3. ISBN 978-0-387-05349-3.