Обильное количество

В теории чисел обильное число или избыточное число — это целое положительное число, у которого сумма собственных делителей больше этого числа. Целое число 12 — первое обильное число. Его собственные делители — 1, 2, 3, 4 и 6, всего 16. Количество, на которое сумма превышает число, — это изобилие . Например, число 12 имеет изобилие 4.

Определение

Обильное число — это натуральное число $n$ , для которого сумма делителей $σ (n)$ удовлетворяет $σ (n) > 2 n$ , или, что то же самое, сумма собственных делителей (или аликвотная сумма ) $s (n)$ удовлетворяет $s (n) > н$ .

Обилием натурального числа является целое число $σ (n) - 2n$ (эквивалентно $s (n) - n$ ).

Примеры

Первые 28 обильных чисел:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, ... (последовательность A005101 в OEIS ).

Например, правильные делители числа 24 — это 1, 2, 3, 4, 6, 8 и 12, сумма которых равна 36. Поскольку 36 больше 24, число 24 является избыточным. Его численность составляет 36 − 24 = 12.

Характеристики

Наименьшее нечетное обильное число — 945.
Наименьшее распространенное число, не делящееся на 2 или на 3, — это 5391411025, чьи отдельные простые делители — 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29 (последовательность A047802 в OEIS ). Алгоритм, предложенный Яннуччи в 2005 году, показывает, как найти наименьшее обильное число, не делящееся на первые k простых чисел . ^[1] Если представляет собой наименьшее обильное число, не делящееся на первые k простых чисел, то для всех мы имеем ${\ displaystyle A (k)}$ $\epsilon >0$

(1-\epsilon)(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon)(k\ln k)^{2+\epsilon }

для достаточно большого k .

Любое кратное совершенному числу (за исключением самого совершенного числа) является избыточным. ^[2] Например, каждое число, кратное 6 и превышающее 6, является избыточным, потому что $1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1.$
Каждое число, кратное избыточному числу, является избыточным. ^[2] Например, каждое число, кратное 20 (включая само число 20), является избыточным, потому что ${\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}.$
Следовательно, существует бесконечно много четных и нечетных обильных чисел.

Более того, множество обильных чисел имеет ненулевую естественную плотность . ^[3] Марк Делеглиз показал в 1998 году, что естественная плотность множества обильных и совершенных чисел находится между 0,2474 и 0,2480. ^[4]
Обильное число, которое не кратно обильному числу или совершенному числу (т. е. все его собственные делители недостаточны), называется примитивным обильным числом.
Обильное число, численность которого больше, чем любое меньшее число, называется очень обильным числом, а число, относительное обилие которого (т. е. s(n)/n ) больше, чем любое меньшее число, называется сверхизобильным числом.
Каждое целое число больше 20161 можно записать как сумму двух множественных чисел. Самое большое четное число, не являющееся суммой двух обильных чисел, — 46. ^[5]
Обильное число, не являющееся полусовершенным, называется странным числом . ^[6] Обильное число с обилием 1 называется квазисовершенным числом , хотя ни одно из них еще не обнаружено.
Каждое обильное число кратно либо совершенному числу, либо примитивному обильному числу.

Связанные понятия

Числа, сумма правильных множителей которых равна самому числу (например, 6 и 28), называются совершенными числами , а числа, сумма правильных множителей которых меньше самого числа, называются неполноценными числами . Первая известная классификация чисел на недостающие, совершенные и обильные была сделана Никомахом в его «Введении в арифметику» (около 100 г. н.э.), в котором многочисленные числа описывались как деформированные животные со слишком большим количеством конечностей.

Индекс изобилия n — это отношение σ ( n )/ n . ^[7] Различные числа n ₁ , n ₂ , ... (неважно, многочисленны они или нет) с одинаковым индексом изобилия называются дружественными числами .

Последовательность ( a _k ) наименьших чисел n таких, что σ ( n ) > kn , в которой a ₂ = 12 соответствует первому обильному числу, растет очень быстро (последовательность A134716 в OEIS ).

Наименьшее нечетное целое число с индексом изобилия, превышающим 3, равно 1018976683725 = 3 ³ × 5 ² × 7 ² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29. ^[8]

Если p = ( p ₁ , ..., p _n ) — список простых чисел, то p называется обильным, если некоторое целое число, состоящее только из простых чисел из p, является обильным. Необходимым и достаточным условием для этого является то, чтобы произведение p _i /( p _i − 1) было > 2. ^[9]

Внешние ссылки