Обратная решетка

Преобразование Фурье решетки реального пространства, важное в физике твердого тела

Сгенерированная компьютером обратная решетка вымышленного моноклинного трехмерного кристалла.

Двумерный кристалл и его обратная решетка.

В физике обратная решетка возникает в результате преобразования Фурье другой решетки . Прямая решетка или действительная решетка — это периодическая функция в физическом пространстве , такая как кристаллическая система (обычно решетка Браве ). Обратная решетка существует в математическом пространстве пространственных частот , известном как обратное пространство или k-пространство , где относится к волновому вектору . ${\displaystyle \mathbf {k} }$

В квантовой физике обратное пространство тесно связано с импульсным пространством согласно пропорциональности , где – вектор импульса, – приведенная постоянная Планка . Обратная решетка обратной решетки эквивалентна исходной прямой решетке, поскольку определяющие уравнения симметричны относительно векторов в вещественном и обратном пространстве. Математически векторы прямой и обратной решетки представляют собой ковариантные и контравариантные векторы соответственно. ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \hbar }$

Обратная решетка — совокупность всех векторов , являющихся волновыми векторами плоских волн в ряду Фурье пространственной функции, периодичность которой такая же, как у прямой решетки . Каждая плоская волна в этом ряду Фурье имеет одинаковую фазу или фазы, которые отличаются кратно в каждой прямой точке решетки (поэтому по существу одна и та же фаза во всех прямых точках решетки). ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Обратная решетка играет фундаментальную роль в большинстве аналитических исследований периодических структур, особенно в теории дифракции . В дифракции нейтронов , гелия и рентгеновских лучей из-за условий Лауэ разность импульсов между входящим и дифрагированным рентгеновскими лучами кристалла представляет собой вектор обратной решетки. По дифракционной картине кристалла можно определить обратные векторы решетки. Используя этот процесс, можно сделать вывод об атомном расположении кристалла.

Зона Бриллюэна представляет собой ячейку Вигнера–Зейтца обратной решетки.

Волновое описание

Адсорбированные частицы на поверхности со сверхструктурой 1×2 приводят к появлению дополнительных пятен при дифракции медленных электронов (ДМЭ).

Взаимное пространство

Обратное пространство (также называемое k -пространством) позволяет визуализировать результаты преобразования Фурье пространственной функции. По своей роли он аналогичен частотной области , возникающей в результате преобразования Фурье функции, зависящей от времени; обратное пространство — это пространство, в котором преобразование Фурье пространственной функции представляется на пространственных частотах или волновых векторах плоских волн преобразования Фурье. Область самой пространственной функции часто называют реальным пространством. В физических приложениях, таких как кристаллография, как реальное, так и обратное пространство часто бывают двух- или трехмерными. Хотя количество пространственных измерений этих двух связанных пространств будет одинаковым, пространства будут различаться по своей количественной размерности, так что, когда реальное пространство имеет длину измерения ( L ), его обратное пространство будет иметь обратную длину, поэтому L ^{— 1} (обратная длина).

Обратное пространство вступает в игру в отношении волн, как классических, так и квантово-механических. Поскольку синусоидальная плоская волна с единичной амплитудой может быть записана как колебательный член с начальной фазой , угловым волновым числом и угловой частотой , ее можно рассматривать как функцию обоих и (а изменяющуюся во времени часть как функцию обоих и ) . Эта дополнительная роль приводит к их визуализации в дополнительных пространствах (реальном пространстве и взаимном пространстве). Пространственная периодичность этой волны определяется ее длиной волны , где ; следовательно, соответствующее волновое число в обратном пространстве будет равно . ${\displaystyle \cos(kx-\omega t+\varphi _{0})}$ ${\displaystyle \varphi _{0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k\lambda =2\pi }$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

В трех измерениях соответствующий член плоской волны становится , что упрощается до в фиксированное время , где – вектор положения точки в реальном пространстве, а теперь – волновой вектор в трехмерном обратном пространстве. (Амплитуда волнового вектора называется волновым числом.) Константа — это фаза волнового фронта (плоскость постоянной фазы), проходящая через начало координат в момент времени , и единичный вектор, перпендикулярный этому волновому фронту. Волновые фронты с фазами , где представляет собой любое целое число , представляют собой набор параллельных плоскостей, равноотстоящих друг от друга на длину волны . ${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{0})}$ ${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\varphi )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} =2\pi \mathbf {e} /\lambda }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {r} =0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle \varphi +(2\pi )n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$

Обратная решетка

В общем, геометрическая решетка — это бесконечный регулярный массив вершин (точек) в пространстве, который можно векторно смоделировать как решетку Браве . Некоторые решетки могут быть перекошенными, а это значит, что их основные линии не обязательно будут находиться под прямым углом. В обратном пространстве обратная решетка определяется как набор волновых векторов плоских волн в ряду Фурье любой функции , периодичность которой совместима с периодичностью исходной прямой решетки в реальном пространстве. Эквивалентно, волновой вектор является вершиной обратной решетки, если он соответствует плоской волне в реальном пространстве, фаза которой в любой момент времени одинакова (фактически отличается на целое число ) в каждой прямой вершине решетки. ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle (2\pi )n}$ ${\displaystyle n}$

Один эвристический подход к построению обратной решетки в трех измерениях состоит в том, чтобы записать вектор положения вершины прямой решетки как , где – целые числа, определяющие вершину, а – линейно независимые примитивные векторы перемещения (или коротко называемые примитивными векторами), которые Характеристика решетки. Тогда существует единственная плоская волна (вплоть до отрицательного раза), чей волновой фронт через начало координат содержит прямые точки решетки в и , а соседний с ним волновой фронт (чья фаза отличается на величину или от прежнего волнового фронта, проходящего через начало координат) проходит через . Его угловой волновой вектор принимает форму , где единичный вектор перпендикулярен этим двум соседним волновым фронтам, а длина волны должна удовлетворять , что означает, что она равна расстоянию между двумя волновыми фронтами. Следовательно, по построению и . ${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle -2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=2\pi \mathbf {e} _{1}/\lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {b} _{1}=\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {b} _{1}=0}$

Поочередно перебирая индексы, тот же метод дает три волновых вектора с , где дельта Кронекера равна единице, когда и равна нулю в противном случае. Они представляют собой набор из трех примитивных волновых векторов или трех примитивных векторов сдвига обратной решетки, каждая из вершин которых имеет вид , где – целые числа. Обратная решетка также является решеткой Браве , поскольку она образована целочисленными комбинациями примитивных векторов, то есть , и в данном случае. Простая алгебра затем показывает, что для любой плоской волны с волновым вектором на обратной решетке общий фазовый сдвиг между началом координат и любой точкой прямой решетки кратен (возможно, может быть равен нулю, если множитель равен нулю), поэтому фаза плоской волны с по существу будет одинакова для каждой прямой вершины решетки в соответствии с приведенным выше определением обратной решетки. (Хотя любой волновой вектор на обратной решетке всегда принимает эту форму, этот вывод является скорее мотивационным, чем строгим, поскольку в нем не указано доказательство того, что других возможностей не существует.) ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle m_{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

Зона Бриллюэна — примитивная ячейка (точнее ячейка Вигнера-Зейтца ) обратной решетки, которая играет важную роль в физике твердого тела благодаря теореме Блоха . В чистой математике двойственное пространство линейных форм и двойственная решетка обеспечивают более абстрактные обобщения обратного пространства и обратной решетки.

Математическое описание

Демонстрация связи между вещественной и обратной решеткой. Реальная пространственная 2D-решетка (красные точки) с примитивными векторами показана синими и зелеными стрелками соответственно. Сверху нанесены плоские волны формы . Отсюда мы видим, что когда есть любая целочисленная комбинация базиса вектора обратной решетки и (т. е. любого вектора обратной решетки), результирующие плоские волны имеют ту же периодичность решетки – то есть любой перенос из точки (показана оранжевым цветом) в точку ( показано красным), значение плоской волны такое же. Эти плоские волны можно сложить вместе, и приведенное выше соотношение все равно будет применяться. ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle e^{iG\cdot r}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R+r}$ ${\displaystyle R}$

Предполагая трехмерную решетку Браве и маркируя каждый вектор решетки (вектор, указывающий точку решетки) индексом как тройку целых чисел, ${\displaystyle n=(n_{1},n_{2},n_{3})}$

${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$где ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}\in \mathbb {Z} }$

где — набор целых чисел, а — примитивный вектор перевода или, коротко, примитивный вектор. Взяв функцию где - вектор положения от начала координат до любого положения, если следовать периодичности этой решетки, например функцию, описывающую электронную плотность в атомном кристалле, полезно записать в виде многомерного ряда Фурье ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=0}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }=f\left(\mathbf {r} \right)}$

где теперь индекс , значит это тройная сумма. ${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$

Отсюда следует периодичность решетки, переводя на любой вектор решетки, мы получаем одно и то же значение, следовательно ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$

${\displaystyle f(\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})=f(\mathbf {r} ).}$

Выражая вышесказанное через ряд Фурье, мы имеем

$${\displaystyle \sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }=\sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot (\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})}=\sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}\,e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }.}$$

Поскольку равенство двух рядов Фурье влечет за собой равенство их коэффициентов, , что имеет место только при ${\displaystyle e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1}$

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}=2\pi N}$где ${\displaystyle N\in \mathbb {Z} .}$

Математически обратная решетка представляет собой набор всех векторов , которые являются волновыми векторами плоских волн в ряду Фурье пространственной функции, периодичность которой такая же, как у прямой решетки, как набор всех прямых векторов положения точек решетки , и удовлетворяют это равенство для всех . Каждая плоская волна в ряду Фурье имеет одинаковую фазу (фактически может отличаться в несколько раз ) во всех точках решетки . ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$

Как показано в разделе многомерный ряд Фурье , можно выбрать в виде где . В этой форме обратная решетка как набор всех волновых векторов для ряда Фурье пространственной функции, за которой следует периодичность , сама является решеткой Браве, поскольку она образована целочисленными комбинациями ее собственных примитивных векторов сдвига и обратной величины обратной решетки. решеткой является исходная решетка, которая раскрывает двойственность Понтрягина соответствующих векторных пространств . (Может быть и другая форма . Любая допустимая форма результатов в той же обратной решетке.) ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$

Два измерения

Для бесконечной двумерной решетки, определяемой ее примитивными векторами , ее обратная решетка может быть определена путем создания двух ее обратных примитивных векторов с помощью следующих формул: ${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}}$

где целое число и ${\displaystyle m_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=2\pi {\frac {-\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{-\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}\\[8pt]\mathbf {b} _{2}&=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}{\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}}\end{aligned}}}$

Здесь представлена ​​матрица поворота на 90 градусов , т.е. на четверть оборота. Вращение против часовой стрелки и вращение по часовой стрелке можно использовать для определения обратной решетки: If — вращение против часовой стрелки, а — вращение по часовой стрелке, для всех векторов . Таким образом, используя перестановку ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q'} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} \,\mathbf {v} =-\mathbf {Q'} \,\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}}$

мы получаем

${\displaystyle \mathbf {b} _{n}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}.}$

Примечательно, что в трехмерном пространстве эта двумерная обратная решетка представляет собой бесконечно расширенный набор стержней Брэгга, описанный Сунгом и др. ^[1]

Три измерения

Для бесконечной трехмерной решетки , определяемой ее примитивными векторами и индексом целых чисел , ее обратная решетка с целочисленным индексом может быть определена путем генерации трех обратных примитивных векторов. ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$ ${\displaystyle n=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\\[8pt]\mathbf {b} _{2}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\\[8pt]\mathbf {b} _{3}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle V=\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)=\mathbf {a} _{2}\cdot \left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)=\mathbf {a} _{3}\cdot \left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)}$$

скалярное тройное произведениепримитивных векторов сдвигамногомерного ряда Фурьеобращения матрицы ${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$ ${\displaystyle e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1}$

${\displaystyle \left[\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\mathbf {b} _{3}\right]^{\mathsf {T}}=2\pi \left[\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{3}\right]^{-1}.}$

Этот метод апеллирует к определению и допускает обобщение на произвольные размеры. Формула перекрестного произведения доминирует во вводных материалах по кристаллографии.

Приведенное выше определение называется «физическим» определением, поскольку фактор естественно возникает в результате изучения периодических структур. По существу эквивалентное определение, определение «кристалграфа», исходит из определения обратной решетки . который изменяет обратные примитивные векторы на ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {K} _{m}=\mathbf {G} _{m}/2\pi }$

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)}}}$

и так далее для других примитивных векторов. Преимущество определения кристаллографа состоит в том, что определение представляет собой величину, обратную величине в направлении , с понижением коэффициента . Это может упростить некоторые математические манипуляции и выразить обратные размеры решетки в единицах пространственной частоты . Какое определение решетки использовать — дело вкуса, при условии, что они не смешаны. ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$обычно записывается как или , называемые индексами Миллера ; заменяется на , заменяется на и заменяется на . Каждая точка решетки в обратной решетке соответствует набору плоскостей решетки в решетке реального пространства . (Плоскость решетки — это плоскость, пересекающая точки решетки.) Направление вектора обратной решетки соответствует нормали к плоскостям реального пространства. Величина вектора обратной решетки выражается в обратной длине и равна обратной величине межплоскостного расстояния плоскостей реального пространства. ${\displaystyle (h,k,\ell )}$ ${\displaystyle (hk\ell )}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m_{3}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (hk\ell )}$ ${\displaystyle (hk\ell )}$ ${\displaystyle \mathbf {K} _{m}}$

Высшие измерения

Формула для размерностей может быть получена в предположении, что существует действительное векторное пространство размерности с базисом и скалярным произведением . Векторы обратной решетки однозначно определяются по формуле . Использование перестановки ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}$ ${\displaystyle g\colon V\times V\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle g(\mathbf {a} _{i},\mathbf {b} _{j})=2\pi \delta _{ij}}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\2&3&\cdots &1\end{pmatrix}},}$

их можно определить по следующей формуле:

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}=2\pi {\frac {\varepsilon _{\sigma ^{1}i\ldots \sigma ^{n}i}}{\omega (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}}g^{-1}(\mathbf {a} _{\sigma ^{n-1}i}\,\lrcorner \ldots \mathbf {a} _{\sigma ^{1}i}\,\lrcorner \,\omega )\in V}$

Здесь – форма объема , – инверсия изоморфизма векторного пространства , определяемого и обозначает внутреннее умножение . ${\displaystyle \omega \colon V^{n}\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle g^{-1}}$ ${\displaystyle {\hat {g}}\colon V\to V^{*}}$ ${\displaystyle {\hat {g}}(v)(w)=g(v,w)}$ ${\displaystyle \lrcorner }$

В эквивалентности этой формулы известным формулам для двух- и трехмерного случая можно убедиться, воспользовавшись следующими фактами: В трех измерениях и в двух измерениях , где – поворот на 90 градусов (так же, как форма объема угол, присвоенный повороту, зависит от выбора ориентации ^[2] ). ${\displaystyle \omega (u,v,w)=g(u\times v,w)}$ ${\displaystyle \omega (v,w)=g(Rv,w)}$ ${\displaystyle R\in {\text{SO}}(2)\subset L(V,V)}$

Обратные решетки различных кристаллов

Обратные решетки для кубической кристаллической системы следующие.

Простая кубическая решетка

Простая кубическая решетка Браве с кубической примитивной ячейкой стороны имеет обратную сторону простую кубическую решетку с кубической примитивной ячейкой стороны (или в определении кристаллографа). Поэтому кубическую решетку называют самодуальной, имеющей ту же симметрию в обратном пространстве, что и в реальном пространстве. ${\displaystyle a}$ ${\textstyle {\frac {2\pi }{a}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{a}}}$

Гранецентрированная кубическая (ГЦК) решетка

Обратная решетка решетке FCC представляет собой объемноцентрированную кубическую (BCC) решетку со стороной куба . ${\textstyle {\frac {4\pi }{a}}}$

Рассмотрим составную элементарную ячейку FCC. Найдите примитивную элементарную ячейку FCC; т. е. элементарная ячейка с одной точкой решетки. Теперь возьмем одну из вершин примитивной элементарной ячейки за начало координат. Укажите базисные векторы реальной решетки. Тогда по известным формулам можно вычислить базисные векторы обратной решетки. Эти векторы обратной решетки FCC представляют собой базисные векторы реальной решетки BCC. Базисные векторы реальной ОЦК-решетки и обратной решетки ГЦК похожи друг на друга по направлению, но не по величине.

Объемноцентрированная кубическая (BCC) решетка

Решетка, обратная решетке BCC , представляет собой решетку FCC со стороной куба . ${\textstyle 4\pi /a}$

Можно доказать, что только решетки Браве, между которыми имеется угол 90 градусов (кубическая, тетрагональная, орторомбическая), имеют примитивные векторы сдвига для обратной решетки, параллельные их векторам в реальном пространстве. ${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$

Простая шестиугольная решетка

Обратная простая гексагональная решетка Браве с постоянными решетки и представляет собой еще одну простую гексагональную решетку с постоянными решетки , повернутую на 90 ° вокруг оси c относительно прямой решетки. Поэтому простую шестиугольную решетку называют самодвойственной, имеющей ту же симметрию в обратном пространстве, что и в реальном пространстве. Примитивные векторы трансляции для этих простых векторов гексагональной решетки Браве: ${\textstyle a}$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle 2\pi /c}$ ${\textstyle 4\pi /(a{\sqrt {3}})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}a{\hat {x}}+{\frac {1}{2}}a{\hat {y}},\\[8pt]a_{2}&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}a{\hat {x}}+{\frac {1}{2}}a{\hat {y}},\\[8pt]a_{3}&=c{\hat {z}}.\end{aligned}}}$$

^[3]

Произвольный набор атомов

Тень интенсивной обратной решетки граненого углеродного пентакона из 118 атомов светится красным светом при дифракции при пересечении сферы Эвальда.

Один путь к обратной решетке произвольного набора атомов исходит из идеи рассеянных волн в пределе Фраунгофера (дальнего расстояния или задней фокальной плоскости линзы) как суммы амплитуд в стиле Гюйгенса от всех точек рассеяния (в в этом случае от каждого отдельного атома). ^[4] Эта сумма обозначается комплексной амплитудой в приведенном ниже уравнении, поскольку она также является преобразованием Фурье (как функция пространственной частоты или обратного расстояния) эффективного потенциала рассеяния в прямом пространстве: ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\!\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{j}}.}$

Здесь g = q /(2 π ) — вектор рассеяния q в кристаллографических единицах, N — число атомов, f _j [ g ] — атомный фактор рассеяния для атома j и вектора рассеяния g , а r _j — положение вектора атома j . Фаза Фурье зависит от выбора начала координат.

Для частного случая бесконечного периодического кристалла амплитуда рассеяния F = M F _h,k,ℓ от M элементарных ячеек (как и в случаях выше) оказывается отличной от нуля только для целых значений , где ${\displaystyle (h,k,\ell )}$

${\displaystyle F_{h,k,\ell }=\sum _{j=1}^{m}f_{j}\left[g_{h,k,\ell }\right]e^{2\pi i\left(hu_{j}+kv_{j}+\ell w_{j}\right)}}$

когда внутри элементарной ячейки находится j  = 1, m атомов, чьи дробные индексы решетки равны соответственно { u _j , v _j , w _j }. Конечно, чтобы учитывать эффекты, связанные с конечным размером кристалла, вместо этого необходимо использовать свертку формы для каждой точки или приведенное выше уравнение для конечной решетки.

Независимо от того, конечен ли массив атомов или бесконечен, можно также представить «решетку обратной интенсивности» I[ g ], которая связана с амплитудной решеткой F обычным соотношением I = F ^* F , где F ^* - комплексно-сопряженное число F Поскольку преобразование Фурье, конечно, обратимо, этот акт преобразования в интенсивность отбрасывает «всю информацию, кроме второго момента» (т.е. фазы). Таким образом, для случая произвольного набора атомов обратная решетка интенсивности равна:

${\displaystyle I[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}\left[{\vec {g}}\right]f_{k}\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{\!\!\;jk}}.}$

Здесь r _jk — векторное расстояние между атомом j и атомом k . Это также можно использовать для прогнозирования влияния формы нанокристаллитов и тонких изменений ориентации луча на обнаруженные дифракционные пики, даже если в некоторых направлениях толщина кластера составляет всего один атом. С другой стороны, расчеты рассеяния с использованием обратной решетки в основном рассматривают падающую плоскую волну. Таким образом, после первого взгляда на эффекты обратной решетки (кинематическое рассеяние), эффекты расширения луча и многократного рассеяния (т.е. динамического ) также могут быть важными для рассмотрения.

Обобщение двойственной решетки

На самом деле в математике существуют две версии абстрактной концепции двойственной решетки для данной решетки L в реальном векторном пространстве V конечной размерности .

Первый, который непосредственно обобщает конструкцию обратной решетки, использует анализ Фурье . Это можно сформулировать просто в терминах двойственности Понтрягина . Двойственная группа V ^ к V снова является вещественным векторным пространством, а ее замкнутая подгруппа L ^, двойственная к L , оказывается решеткой в ​​V ^. Следовательно, L ^ является естественным кандидатом на двойственную решетку в другом векторном пространстве (той же размерности).

Другой аспект проявляется в наличии квадратичной формы Q на V ; если оно невырождено, оно позволяет отождествить пространство V ^* , двойственное к V , с V . Отношение V ^* к V не является внутренним; это зависит от выбора меры Хаара (элемента объема) на V . Но при отождествлении этих двух элементов, которое в любом случае четко определено с точностью до скаляра , наличие Q позволяет обращаться к решетке, двойственной к L , оставаясь при этом внутри V.

В математике двойственная решетка к данной решетке L в абелевой локально компактной топологической группе G — это подгруппа L ^∗ двойственной группы к G , состоящая из всех непрерывных характеров, равных единице в каждой точке L .

В дискретной математике решёткой называется локально дискретный набор точек, описываемый всеми целыми линейными комбинациями dim = n линейно независимых векторов ^в Rn . Двойная решетка затем определяется всеми точками линейного промежутка исходной решетки (обычно всеми R ⁿ ) со свойством, что целое число получается из скалярного произведения со всеми элементами исходной решетки. Отсюда следует, что двойственная двойственная решетка является исходной решеткой.

Более того, если мы позволим матрице B иметь столбцы в качестве линейно независимых векторов, описывающих решетку, тогда в матрице будут столбцы векторов, описывающих двойственную решетку. ${\displaystyle A=B\left(B^{\mathsf {T}}B\right)^{-1}}$

Смотрите также

• Зона Бриллюэна
• Кристаллография
• Двойной базис
• Сфера Эвальда
• Линия Кикучи
• Индекс Миллера
• Порошковая дифракция
• Ось зоны

Рекомендации

1. Сунг, SH; Шнитцер, Н.; Браун, Л.; Парк, Дж.; Ховден, Р. (25 июня 2019 г.). «Укладка, деформация и скручивание в 2D-материалах, количественно оцененные с помощью 3D-электронной дифракции». Материалы физического обзора . 3 (6): 064003. arXiv : 1905.11354 . Бибкод : 2019PhRvM...3f4003S. doi : 10.1103/PhysRevMaterials.3.064003. S2CID  166228311.
2. Оден, Мишель (2003). Геометрия . Спрингер. п. 69.
3. Киттель, Чарльз (2005). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. с. 44. ИСБН 0-471-41526-Х.
4. Б. Е. Уоррен (1969/1990) Дифракция рентгеновских лучей (Аддисон-Уэсли, Ридинг, Массачусетс / Дувр, Минеола, штат Нью-Йорк).

Внешние ссылки

• http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html – симулятор дифракции электронов на основе Jmol позволяет исследовать пересечение обратной решетки и сферы Эвальда во время наклона.
• Пакет преподавания и обучения DoITPoMS по взаимному пространству и обратной решетке
• Легко изучите кристаллографию и то, как обратная решетка объясняет явление дифракции, как показано в главах 4 и 5.