Ковариантная формулировка классического электромагнетизма

Способы записи некоторых законов физики

Ковариантная формулировка классического электромагнетизма относится к способам записи законов классического электромагнетизма (в частности, уравнений Максвелла и силы Лоренца ) в форме, явно инвариантной относительно преобразований Лоренца , в формализме специальной теории относительности с использованием прямолинейных инерциальных систем координат . Эти выражения упрощают доказательство того, что законы классического электромагнетизма принимают одну и ту же форму в любой инерциальной системе координат, а также позволяют переводить поля и силы из одной системы координат в другую. Однако это не так общее, как уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени или непрямолинейных системах координат. ^[а]

Ковариантные объекты

Предварительные четырехвекторы

В этой статье для описания тел или частиц могут использоваться тензоры Лоренца следующих видов:

• четырехсменный :
  $${\displaystyle x^{\alpha }=(ct,\mathbf {x} )=(ct,x,y,z)\,.}$$
• Четырехскоростной :
  $${\displaystyle u^{\alpha }=\gamma (c,\mathbf {u} ),}$$
  где γ ( u ) — фактор Лоренца на 3-скорости u .
• Четырехимпульсный :
  $${\displaystyle p^{\alpha }=(E/c,\mathbf {p} )=m_{0}u^{\alpha }}$$
  где – 3-импульс, – полная энергия и – масса покоя . ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m_{0}}$
• Четырехградиентный :
  $${\displaystyle \partial ^{\nu }={\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-\mathbf {\nabla } \right)\,,}$$
• Оператор Даламбера обозначается , ${\displaystyle {\partial }^{2}}$
  $${\displaystyle \partial ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}.}$$

Знаки в следующем тензорном анализе зависят от соглашения , используемого для метрического тензора . Здесь используется соглашение (+ − − −) , соответствующее метрическому тензору Минковского :

$${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$$

Электромагнитный тензор

Электромагнитный тензор представляет собой комбинацию электрического и магнитного полей в ковариантный антисимметричный тензор , элементами которого являются величины B -поля. ^[1]

$${\displaystyle F_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle F^{\mu \nu }\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \eta ^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,\eta ^{\beta \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}\,.}$$

Eэлектрическое полеB —полеc —света

Четырехточечный

Четырехток - это контравариантный четырехвектор, который сочетает в себе плотность электрического заряда ρ и плотность электрического тока j :

$${\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {j} )\,.}$$

Четырехпотенциальный

Электромагнитный четырехпотенциал — это ковариантный четырехвектор, содержащий электрический потенциал (также называемый скалярным потенциалом ) φ и магнитный векторный потенциал (или векторный потенциал ) A следующим образом:

$${\displaystyle A^{\alpha }=\left(\phi /c,\mathbf {A} \right)\,.}$$

Дифференциал электромагнитного потенциала равен

$${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,.}$$

На языке дифференциальных форм , который обеспечивает обобщение на искривленное пространство-время, это компоненты 1-формы и 2-формы соответственно. Здесь – внешняя производная и клиновое произведение . ${\displaystyle A=A_{\alpha }dx^{\alpha }}$ ${\textstyle F=dA={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }dx^{\alpha }\wedge dx^{\beta }}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \wedge }$

Тензор электромагнитного напряжения-энергии

Тензор электромагнитного напряжения-энергии можно интерпретировать как плотность потока четырехвектора импульса, и он представляет собой контравариантный симметричный тензор, который представляет собой вклад электромагнитных полей в общий тензор энергии-напряжения :

$${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}\varepsilon _{0}E^{2}/2+B^{2}/2\mu _{0}&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{pmatrix}}\,,}$$

где – электрическая проницаемость вакуума , µ ₀ – магнитная проницаемость вакуума , вектор Пойнтинга равен ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

$${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$$

а тензор напряжений Максвелла имеет вид

$${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-\left({\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}\,.}$$

Тензор электромагнитного поля F строит тензор электромагнитного напряжения-энергии T по уравнению: ^[2]

$${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\eta ^{\alpha \nu }F_{\nu \gamma }F^{\gamma \beta }+{\frac {1}{4}}\eta ^{\alpha \beta }F_{\gamma \nu }F^{\gamma \nu }\right)}$$

ηметрический тензор Минковского(+ − − −)

$${\displaystyle \varepsilon _{0}\mu _{0}c^{2}=1\,,}$$

Уравнения Максвелла в вакууме

В вакууме (или для микроскопических уравнений, не включая описания макроскопических материалов) уравнения Максвелла можно записать в виде двух тензорных уравнений.

Два неоднородных уравнения Максвелла, закон Гаусса и закон Ампера (с поправкой Максвелла) объединяются в (с метрикой (+ - - -) ): ^[3]

Гаусс – закон Ампера

${\displaystyle \nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }}$

где обозначает ковариантную производную. Обратите внимание, что уравнение с частной производной не является ковариантным, поскольку частная производная тензора не является тензором и справедлива только в плоском пространстве в декартовых координатах, поскольку в этом случае ковариантная производная сводится к частной производной. Например, даже в плоском пространстве правильная форма уравнения Максвелла в сферических координатах требует ковариантной производной. Однородные уравнения – закон индукции Фарадея и закон магнетизма Гаусса – объединяются, чтобы сформировать , которую можно записать с использованием двойственности Леви-Чивита как: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \partial ^{\sigma }F^{\mu \nu }+\partial ^{\mu }F^{\nu \sigma }+\partial ^{\nu }F^{\sigma \mu }=0}$

Гаусс – закон Фарадея

${\displaystyle \partial _{\alpha }\left(\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta }\right)=0}$

где F ^αβ — электромагнитный тензор , J ^α — четырёхток , ε ^αβγδ — символ Леви-Чивита , а индексы ведут себя в соответствии с соглашением Эйнштейна о суммировании .

Каждое из этих тензорных уравнений соответствует четырем скалярным уравнениям, по одному для каждого значения β .

Используя обозначение антисимметричного тензора и обозначение запятой для частной производной (см. исчисление Риччи ), второе уравнение также можно записать более компактно как:

$${\displaystyle F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}=0.}$$

В отсутствие источников уравнения Максвелла сводятся к:

$${\displaystyle \partial ^{\nu }\partial _{\nu }F^{\alpha \beta }\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \partial ^{2}F^{\alpha \beta }\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {1 \over c^{2}}{\partial ^{2}F^{\alpha \beta } \over {\partial t}^{2}}-\nabla ^{2}F^{\alpha \beta }=0\,,}$$

уравнение электромагнитной волны

Уравнения Максвелла в калибровке Лоренца

Калибровочное условие Лоренца является лоренц-инвариантным калибровочным условием. (Это можно противопоставить другим калибровочным условиям, таким как кулоновская калибровка , которая, если она выполняется в одной инерциальной системе отсчета , обычно не будет выполняться ни в одной другой.) Это выражается в терминах четырехпотенциала следующим образом:

$${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=\partial ^{\alpha }A_{\alpha }=0\,.}$$

В калибровке Лоренца микроскопические уравнения Максвелла можно записать как:

$${\displaystyle {\partial }^{2}A^{\sigma }=\mu _{0}\,J^{\sigma }\,.}$$

сила Лоренца

Заряженная частица

Сила Лоренца f, действующая на заряженную частицу (с зарядом q ), движущуюся (мгновенная скорость v ). Поле E и поле B изменяются в пространстве и времени .

Электромагнитные (ЭМ) поля влияют на движение электрически заряженной материи: за счет силы Лоренца . Таким способом можно обнаружить электромагнитные поля (с применением в физике элементарных частиц и природных явлениях, таких как полярные сияния ). В релятивистской форме сила Лоренца использует тензор напряженности поля следующим образом. ^[4]

Выраженный через координатное время t , он равен:

$${\displaystyle {dp_{\alpha } \over {dt}}=q\,F_{\alpha \beta }\,{\frac {dx^{\beta }}{dt}},}$$

где pα — _{четырехимпульс} , q — заряд , а xβ ^— положение.

Выраженный в независимой от системы координат форме, мы имеем четыре силы

$${\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}\,=q\,F_{\alpha \beta }\,u^{\beta },}$$

где u ^β — четырехскоростная скорость, а τ — собственное время частицы , которое связано с координатным временем соотношением dt = γdτ .

Континуум заряда

Сила Лоренца на пространственный объем f при непрерывном распределении заряда ( плотность заряда ρ) в движении.

Плотность силы электромагнетизма, пространственная часть которой представляет собой силу Лоренца, определяется выражением

$${\displaystyle f_{\alpha }=F_{\alpha \beta }J^{\beta }.}$$

и связана с тензором электромагнитного напряжения-энергии соотношением

$${\displaystyle f^{\alpha }=-{T^{\alpha \beta }}_{,\beta }\equiv -{\frac {\partial T^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}.}$$

Законы сохранения

Электрический заряд

Уравнение непрерывности :

$${\displaystyle {J^{\beta }}_{,\beta }\mathrel {\overset {\text{def}}{\mathop {=} }} \partial _{\beta }J^{\beta }=\partial _{\beta }\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }/\mu _{0}=0.}$$

сохранение заряда

Электромагнитная энергия-импульс

Используя уравнения Максвелла, можно увидеть, что электромагнитный тензор энергии-напряжения (определенный выше) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению, связывающему его с электромагнитным тензором и четырехвекторным током

$${\displaystyle {T^{\alpha \beta }}_{,\beta }+F^{\alpha \beta }J_{\beta }=0}$$

$${\displaystyle \eta _{\alpha \nu }{T^{\nu \beta }}_{,\beta }+F_{\alpha \beta }J^{\beta }=0,}$$

Ковариантные объекты в материи

Свободные и связанные четыре тока

Чтобы решить приведенные здесь уравнения электромагнетизма, необходимо добавить информацию о том, как рассчитать электрический ток J ^ν. Часто удобно разделить ток на две части: свободный ток и связанный ток, которые моделируется различными уравнениями;

$${\displaystyle J^{\nu }={J^{\nu }}_{\text{free}}+{J^{\nu }}_{\text{bound}}\,,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{J^{\nu }}_{\text{free}}={\begin{pmatrix}c\rho _{\text{free}},&\mathbf {J} _{\text{free}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}c\nabla \cdot \mathbf {D} ,&-{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {H} \end{pmatrix}}\,,\\{J^{\nu }}_{\text{bound}}={\begin{pmatrix}c\rho _{\text{bound}},&\mathbf {J} _{\text{bound}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-c\nabla \cdot \mathbf {P} ,&{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {M} \end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$$

Помимо определений электрического смещения D и напряженности магнитного поля H использовались макроскопические уравнения Максвелла :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} &=\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} ,\\\mathbf {H} &={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M} \,.\end{aligned}}}$$

MнамагниченностьP —поляризация

Тензор намагниченности-поляризации

Связанный ток получается из полей P и M , которые образуют антисимметричный контравариантный тензор намагниченности-поляризации ^{[1] [5] [6] [7]}

$${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c\\-P_{x}c&0&-M_{z}&M_{y}\\-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}\\-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0\end{pmatrix}},}$$

который определяет связанный ток

$${\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{bound}}=\partial _{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,.}$$

Тензор электрического смещения

Если это объединить с F ^µν, мы получим антисимметричный контравариантный тензор электромагнитного смещения, который объединяет поля D и H следующим образом:

$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{y}c&-D_{z}c\\D_{x}c&0&-H_{z}&H_{y}\\D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}\\D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}}.}$$

Три тензора поля связаны соотношением:

$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }}$$

что эквивалентно определениям полей D и H , данным выше.

Уравнения Максвелла в веществе

В результате действует закон Ампера .

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\text{free}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}},}$$

закон Гаусса

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{free}},}$$

объединить в одно уравнение:

Гаусс – Закон Ампера (материя)

${\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{free}}=\partial _{\mu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$

Связанный ток и свободный ток, как определено выше, сохраняются автоматически и отдельно.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{\nu }{J^{\nu }}_{\text{bound}}&=0\,\\\partial _{\nu }{J^{\nu }}_{\text{free}}&=0\,.\end{aligned}}}$$

Определяющие уравнения

Вакуум

В вакууме определяющими соотношениями между тензором поля и тензором смещения являются:

$${\displaystyle \mu _{0}{\mathcal {D}}^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \alpha }F_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }\,.}$$

Антисимметрия сводит эти 16 уравнений всего к шести независимым уравнениям. Поскольку обычно F ^µν определяют как

$${\displaystyle F^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \alpha }F_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu },}$$

вакууме

$${\displaystyle \partial _{\beta }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\alpha }.}$$

Тензор электромагнитного напряжения-энергии через перемещение имеет вид:

$${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\pi }=F_{\alpha \beta }{\mathcal {D}}^{\pi \beta }-{\frac {1}{4}}\delta _{\alpha }^{\pi }F_{\mu \nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu },}$$

δαπ ^—Кронекера_​η

Линейная, недисперсионная материя

Таким образом, мы свели проблему моделирования тока J ^ν к двум (надеюсь) более простым задачам — моделированию свободного тока J ^ν _free и моделированию намагниченности и поляризации . Например, в простейших материалах на низких частотах наблюдается ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} _{\text{free}}&=\sigma \mathbf {E} \,\\\mathbf {P} &=\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} \,\\\mathbf {M} &=\chi _{m}\mathbf {H} \,\end{aligned}}}$$

σэлектропроводностьχ _eэлектрическая восприимчивостьχ _mмагнитная восприимчивость

Определяющие соотношения между тензорами и F , предложенные Минковским для линейных материалов (т.е. E пропорциональны D , а B пропорциональны H ), таковы: ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\mu \nu }u_{\nu }&=c^{2}\varepsilon F^{\mu \nu }u_{\nu }\\{\star {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}u_{\nu }&={\frac {1}{\mu }}{\star F^{\mu \nu }}u_{\nu }\end{aligned}}}$$

где u — четырехкратная скорость материала, ε и μ — соответственно собственная диэлектрическая проницаемость и проницаемость материала (т. е. в системе покоя материала), и обозначает оператор звезды Ходжа . ${\displaystyle \star }$

Лагранжиан классической электродинамики

Вакуум

Плотность Лагранжа для классической электродинамики состоит из двух компонентов: полевой компоненты и исходной компоненты:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\mathcal {L}}_{\text{field}}+{\mathcal {L}}_{\text{int}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-A_{\alpha }J^{\alpha }\,.}$$

В термине взаимодействия четырехток следует понимать как сокращение многих терминов, выражающих электрические токи других заряженных полей через их переменные; четырехток сам по себе не является фундаментальным полем.

Уравнения Лагранжа для электромагнитной плотности лагранжа можно сформулировать следующим образом: ${\displaystyle {\mathcal {L}}{\mathord {\left(A_{\alpha },\partial _{\beta }A_{\alpha }\right)}}}$

$${\displaystyle \partial _{\beta }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=0\,.}$$

Отмечая

$${\displaystyle {\begin{aligned}F^{\lambda \sigma }&=F_{\mu \nu }\eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma },\\F_{\mu \nu }&=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\,\\{\partial \left(\partial _{\mu }A_{\nu }\right) \over \partial \left(\partial _{\rho }A_{\sigma }\right)}&=\delta _{\mu }^{\rho }\delta _{\nu }^{\sigma }\end{aligned}}}$$

выражение внутри квадратных скобок равно

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}&=-\ {\frac {1}{4\mu _{0}}}\ {\frac {\partial \left(F_{\mu \nu }\eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }F_{\lambda \sigma }\right)}{\partial \left(\partial _{\beta }A_{\alpha }\right)}}\\&=-\ {\frac {1}{4\mu _{0}}}\ \eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }\left(F_{\lambda \sigma }\left(\delta _{\mu }^{\beta }\delta _{\nu }^{\alpha }-\delta _{\nu }^{\beta }\delta _{\mu }^{\alpha }\right)+F_{\mu \nu }\left(\delta _{\lambda }^{\beta }\delta _{\sigma }^{\alpha }-\delta _{\sigma }^{\beta }\delta _{\lambda }^{\alpha }\right)\right)\\&=-\ {\frac {F^{\beta \alpha }}{\mu _{0}}}\,.\end{aligned}}}$$

Второй термин

$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=-J^{\alpha }\,.}$$

Следовательно, уравнения движения электромагнитного поля имеют вид

$${\displaystyle {\frac {\partial F^{\beta \alpha }}{\partial x^{\beta }}}=\mu _{0}J^{\alpha }\,.}$$

Иметь значение

Отделяя свободные токи от связанных, можно записать лагранжеву плотность следующим образом:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-A_{\alpha }J_{\text{free}}^{\alpha }+{\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }\,.}$$

Используя уравнение Лагранжа, можно вывести уравнения движения . ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$

Эквивалентное выражение в векторной записи:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}E^{2}-{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\phi \,\rho _{\text{free}}+\mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\text{free}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {P} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {M} \,.}$$

Смотрите также

• Ковариантная классическая теория поля
• Электромагнитный тензор
• Уравнение электромагнитной волны
• Потенциал Льенара – Вихерта для заряда, находящегося в произвольном движении.
• Проблема с движущимся магнитом и проводником
• Неоднородное уравнение электромагнитной волны
• Прока действие
• Квантовая электродинамика
• Релятивистский электромагнетизм
• Действие Штюкельберга
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана

Примечания

1. В этой статье используется классическая трактовка тензоров и соглашение Эйнштейна о суммировании , а метрика Минковского имеет формуdiag (+1, −1, −1, −1) . Если уравнения указаны как удерживающиеся в вакууме, вместо этого их можно рассматривать как формулировку уравнений Максвелла в терминах полного заряда и тока.

Рекомендации

1. Вандерлинде, Джек (2004), классическая электромагнитная теория, Springer, стр. 313–328, ISBN 9781402026997
2. Классическая электродинамика, Джексон, 3-е издание, стр. 609.
3. Классическая электродинамика Джексона, 3-е издание, глава 11 Специальная теория относительности
4. Делается предположение, что отсутствуют какие-либо силы, кроме тех, которые возникают в E и B , то есть нет гравитационных , слабых или сильных сил.
5. Однако предположение о том , что , и даже являются релятивистскими тензорами в поляризуемой среде, необоснованно. Количество ${\displaystyle M^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle D^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$
   $${\displaystyle A^{\alpha }=\left(\phi /c,\mathbf {A} \right)\,}$$
   не является четырехвектором в поляризуемой среде, поэтому
   $${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,}$$
   не создает тензора.
6. Франклин, Джеррольд, Могут ли электромагнитные поля образовывать тензоры в поляризуемой среде?
7. Гонано, Карло, Определение поляризации P и намагниченности M, полностью соответствующее уравнениям Максвелла.

дальнейшее чтение

• Фейнмановские лекции по физике Vol. II гл. 25: Электродинамика в релятивистских обозначениях
• Эйнштейн, А. (1961). Теория относительности: специальная и общая теория . Нью-Йорк: Корона. ISBN 0-517-02961-8.
• Миснер, Чарльз; Торн, Кип С.; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (1975). Классическая теория полей (Четвертое исправленное английское изд.). Оксфорд: Пергамон. ISBN 0-08-018176-7.
• Р.П. Фейнман; ФБ Моринго; РГ Вагнер (1995). Фейнмановские лекции по гравитации . Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-62734-5.