Парадоксы Зенона — это ряд философских аргументов, представленных древнегреческим философом Зеноном Элейским (ок. 490–430 до н. э.), [1] [2] в первую очередь известных по трудам Платона , Аристотеля и более поздних комментаторов, таких как Симпликий Киликийский . [2] Зенон придумал эти парадоксы, чтобы поддержать философию монизма своего учителя Парменида , которая утверждает, что, несмотря на наш чувственный опыт, реальность едина и неизменна. Известно, что парадоксы бросают вызов понятиям множественности ( существования многих вещей), движения, пространства и времени, предполагая, что они приводят к логическим противоречиям .
Работа Зенона, известная в основном по переписке , поскольку его оригинальные тексты утеряны, включает в себя сорок «парадоксов множественности», которые выступают против связности веры во множественное существование, и несколько аргументов против движения и изменения. [2] Из них только несколько окончательно известны сегодня, включая знаменитый «парадокс Ахилла», который иллюстрирует проблематичную концепцию бесконечной делимости в пространстве и времени . [1] [2] В этом парадоксе Зенон утверждает, что быстрый бегун, такой как Ахилл, не может догнать медленно движущуюся черепаху с форой, потому что расстояние между ними можно делить бесконечно, подразумевая, что Ахиллесу потребуется бесконечное количество шагов, чтобы догнать черепаху. [1] [2]
Эти парадоксы вызывали обширные философские и математические дискуссии на протяжении всей истории , [1] [2] особенно относительно природы бесконечности и непрерывности пространства и времени. Первоначально интерпретация Аристотеля , предполагающая потенциальную, а не действительную бесконечность, была широко принята. [1] Однако современные решения, использующие математическую основу исчисления, предоставили иную перспективу, подчеркивая важное раннее понимание Зеноном сложностей бесконечности и непрерывного движения. [1] Парадоксы Зенона остаются ключевой точкой отсчета в философском и математическом исследовании реальности, движения и бесконечности, влияя как на древнюю мысль, так и на современное научное понимание. [1] [2]
Происхождение парадоксов несколько неясно, но обычно считается, что они были разработаны для поддержки учения Парменида о монизме , что вся реальность едина, и что все изменения невозможны , то есть, что ничто никогда не меняется в местоположении или в любом другом отношении. [1] [2] Диоген Лаэртский , цитируя Фаворина , говорит, что учитель Зенона Парменид был первым, кто ввел парадокс Ахилла и черепахи. Но в более позднем отрывке Лаэртский приписывает происхождение парадокса Зенону, объясняя, что Фаворин не согласен. [3] Современные ученые приписывают парадокс Зенону. [1] [2]
Многие из этих парадоксов утверждают, что вопреки свидетельствам наших чувств, движение есть не что иное, как иллюзия . [1] [2] В «Пармениде» Платона (128a–d) Зенон характеризуется как берущийся за проект создания этих парадоксов , потому что другие философы утверждали, что парадоксы возникают при рассмотрении взглядов Парменида. Аргументы Зенона могут быть ранними примерами метода доказательства, называемого reductio ad absurdum , также известного как доказательство от противного . Таким образом, Платон заставляет Зенона сказать, что цель парадоксов «показать, что их гипотеза о том, что существований много, если ее правильно развить, приводит к еще более абсурдным результатам, чем гипотеза о том, что они едины». [4] Платон заставляет Сократа утверждать, что Зенон и Парменид по сути спорили об одном и том же. [5] Они также считаются источником диалектического метода, используемого Сократом. [6]
Некоторые из девяти сохранившихся парадоксов Зенона (сохранившихся в «Физике» Аристотеля [7] [8] и комментарии к ней Симплиция ) по сути эквивалентны друг другу. Аристотель предложил ответ на некоторые из них. [7] Популярная литература часто искажает аргументы Зенона. Например, часто говорят, что Зенон утверждал, что сумма бесконечного числа членов сама по себе должна быть бесконечной — в результате чего не только время, но и пройденное расстояние становятся бесконечными. [9] Однако ни в одном из оригинальных античных источников Зенон не обсуждает сумму какой-либо бесконечной серии. У Симплиция Зенон говорит: «невозможно пройти бесконечное число вещей за конечное время». Это представляет проблему Зенона не с нахождением суммы , а скорее с завершением задачи с бесконечным числом шагов: как можно когда-либо добраться из А в В, если можно определить бесконечное число (немгновенных) событий, которые должны предшествовать прибытию в В, и невозможно достичь даже начала «последнего события»? [10] [11] [12] [13]
Три из самых сильных и известных аргументов — аргумент Ахилла и черепахи, аргумент Дихотомии и аргумент летящей стрелы — подробно представлены ниже.
То, что находится в движении, должно достичь середины пути, прежде чем оно достигнет цели.
— как изложено Аристотелем , Физика VI:9, 239b10
Предположим, Аталанта хочет дойти до конца пути. Прежде чем она сможет добраться туда, она должна пройти половину пути. Прежде чем она сможет добраться до половины пути, она должна пройти четверть пути. Прежде чем пройти четверть, она должна пройти одну восьмую; перед восьмой — одну шестнадцатую; и так далее.
Полученную последовательность можно представить в виде:
Это описание требует выполнения бесконечного числа задач, что, по мнению Зенона, невозможно. [14]
Эта последовательность также представляет вторую проблему, поскольку она не содержит первой дистанции для пробега, поскольку любая возможная (конечная) первая дистанция может быть разделена пополам, и, следовательно, не будет первой в конце концов. Следовательно, путешествие не может даже начаться. Парадоксальным выводом тогда будет то, что путешествие на любое конечное расстояние не может быть ни завершено, ни начато, и поэтому все движение должно быть иллюзией . [ 15]
Этот аргумент называется « Дихотомия », поскольку он включает в себя многократное разделение расстояния на две части. Пример с первоначальным смыслом можно найти в асимптоте . Он также известен как парадокс Race Course .
В гонке самый быстрый бегун никогда не сможет обогнать самого медленного, поскольку преследователь должен сначала достичь точки, откуда начал свое движение преследуемый, так что более медленный всегда должен удерживать лидерство.
— как изложено Аристотелем , Физика VI:9, 239b15
В парадоксе Ахилла и черепахи Ахилл соревнуется с черепахой . Например, Ахилл дает черепахе фору в 100 метров. Предположим, что каждый из гонщиков начинает бег с некоторой постоянной скоростью, один быстрее другого. Через некоторое конечное время Ахилл пробежит 100 метров, что приведет его к стартовой точке черепахи. За это время черепаха пробежит гораздо меньшее расстояние, скажем, 2 метра. Затем Ахиллу потребуется еще некоторое время, чтобы пробежать это расстояние, за это время черепаха продвинется дальше; а затем еще больше времени, чтобы достичь этой третьей точки, в то время как черепаха движется вперед. Таким образом, всякий раз, когда Ахилл прибывает туда, где уже была черепаха, ему все еще нужно пройти некоторое расстояние, прежде чем он сможет даже добежать до черепахи. Как заметил Аристотель, этот аргумент похож на Дихотомию. [16] Однако в нем отсутствует очевидный вывод о неподвижности.
Если все, занимая одинаковое пространство, находится в покое в этот момент времени, и если то, что движется, всегда занимает такое пространство в любой момент, то летящая стрела, следовательно, неподвижна в этот момент времени и в следующий момент времени, но если оба момента времени рассматривать как один и тот же момент или непрерывный момент времени, то она находится в движении. [17]
— как изложено Аристотелем , Физика VI:9, 239b5
В парадоксе стрелы Зенон утверждает, что для того, чтобы произошло движение, объект должен изменить положение, которое он занимает. Он приводит пример стрелы в полете. Он утверждает, что в любой момент времени (без длительности) стрела не движется ни туда, где она находится, ни туда, где ее нет. [18] Она не может двигаться туда, где ее нет, потому что для ее движения туда не проходит времени; она не может двигаться туда, где она находится, потому что она уже там. Другими словами, в каждый момент времени не происходит никакого движения. Если все неподвижно в каждый момент, а время полностью состоит из мгновений, то движение невозможно.
В то время как первые два парадокса делят пространство, этот парадокс начинается с деления времени — и не на сегменты, а на точки. [19]
Аристотель приводит еще три парадокса.
Из Аристотеля:
Если все существующее имеет место, то и место будет иметь место, и так до бесконечности . [20]
Описание парадокса из философского словаря Routledge :
Аргумент состоит в том, что одно зерно проса не издает звука при падении, но тысяча зерен издает звук. Следовательно, тысяча ничто становится чем-то, абсурдный вывод. [21]
Ответ Аристотеля:
Рассуждение Зенона ложно, когда он утверждает, что нет ни одной части проса, которая не издавала бы звука: ибо нет причины, по которой любая такая часть не могла бы в течение какого-либо времени не перестать двигать воздух, который весь бушель двигает при падении. Фактически, она сама по себе не двигает даже такое количество воздуха, какое двигала бы, если бы эта часть была сама по себе: ибо ни одна часть не существует иначе, как потенциально. [22]
Описание от Ника Хаггетта:
Это аргумент Парменида о том, что нельзя доверять своему слуху. Ответ Аристотеля, похоже, заключается в том, что даже неслышимые звуки могут добавляться к слышимому звуку. [23]
Из Аристотеля:
... относительно двух рядов тел, каждый из которых состоит из равного числа тел одинакового размера, проезжающих друг мимо друга на трассе с одинаковой скоростью в противоположных направлениях, причем один ряд изначально занимает пространство между целью и средней точкой трассы, а другой — между средней точкой и стартовой стойкой. Это... подразумевает вывод о том, что половина данного времени равна удвоенному этому времени. [24]
Расширенное изложение аргументов Зенона, представленное Аристотелем, дано в комментарии Симплиция « К физике Аристотеля» . [25] [2] [1]
По словам Энджи Хоббс из Шеффилдского университета, этот парадокс следует рассматривать вместе с парадоксом Ахилла и Черепахи, проблематизирующим концепцию дискретного пространства и времени, тогда как другой проблематизирует концепцию бесконечно делимого пространства и времени. [26]
Согласно Симплицию , Диоген Киник ничего не сказал, выслушав аргументы Зенона, но встал и пошел, чтобы продемонстрировать ложность выводов Зенона. [25] [2] Однако, чтобы полностью разрешить любой из парадоксов, нужно показать, что не так с аргументом, а не только с выводами. На протяжении всей истории было предложено несколько решений, среди самых ранних из зафиксированных были решения Аристотеля и Архимеда.
Аристотель (384 г. до н. э.–322 г. до н. э.) заметил, что по мере уменьшения расстояния время, необходимое для его преодоления, также уменьшается, так что необходимое время также становится все меньше. [27] [ неудачная проверка ] [28] Аристотель также различал «вещи, бесконечные в отношении делимости» (например, единицу пространства, которую можно мысленно разделить на все меньшие единицы, оставаясь при этом пространственно одинаковой) от вещей (или расстояний), которые бесконечны в протяженности («в отношении своих конечностей»). [29] Возражение Аристотеля против парадокса стрелы состояло в том, что «Время не состоит из неделимых настоящих моментов, как и любая другая величина не состоит из неделимых». [30] Фома Аквинский , комментируя возражение Аристотеля, писал: «Мгновения не являются частями времени, поскольку время не состоит из мгновений, как и величина не состоит из точек, как мы уже доказали. Отсюда не следует, что вещь не находится в движении в данное время, только потому, что она не находится в движении в любой момент этого времени». [31] [32] [33]
Некоторые математики и историки, такие как Карл Бойер , считают, что парадоксы Зенона — это просто математические проблемы, для которых современное исчисление обеспечивает математическое решение. [34] Бесконечные процессы оставались теоретически проблемными в математике до конца 19 века. С помощью определения предела через эпсилон-дельта Вейерштрасс и Коши разработали строгую формулировку логики и исчисления. Эти работы разрешили математику, включающую бесконечные процессы. [35] [36]
Некоторые философы , однако, говорят, что парадоксы Зенона и их вариации (см. лампу Томсона ) остаются актуальными метафизическими проблемами. [10] [11] [12] В то время как математика может вычислить, где и когда движущийся Ахиллес догонит Черепаху парадокса Зенона, такие философы, как Кевин Браун [10] и Фрэнсис Муркрофт [11] считают, что математика не затрагивает центральный момент в аргументации Зенона, и что решение математических проблем не решает всех проблем, которые поднимают парадоксы. Браун заключает: «Учитывая историю «окончательных решений», начиная с Аристотеля, вероятно, безрассудно думать, что мы достигли конца. Возможно, аргументы Зенона о движении из-за их простоты и универсальности всегда будут служить своего рода « образом Роршаха », на который люди могут проецировать свои самые фундаментальные феноменологические проблемы (если они у них есть)». [10]
Альтернативный вывод, предложенный Анри Бергсоном в его книге 1896 года «Материя и память» , заключается в том, что, хотя путь делим, движение — нет. [37] [38]
В 2003 году Питер Линдс утверждал, что все парадоксы движения Зенона разрешаются выводом о том, что мгновения во времени и мгновенные величины физически не существуют. [39] [40] [41] Линдс утверждает, что объект в относительном движении не может иметь мгновенное или определенное относительное положение (поскольку если бы оно было, он не мог бы находиться в движении), и поэтому его движение не может быть дробно рассечено, как если бы оно имело место, как предполагается парадоксами. Ник Хаггетт утверждает, что Зенон предполагает вывод, когда говорит, что объекты, которые занимают то же пространство, что и в состоянии покоя, должны находиться в состоянии покоя. [19]
Основываясь на работе Георга Кантора , [42] Бертран Рассел предложил решение парадоксов, известное как «теория движения at-at». Она соглашается с тем, что не может быть движения «во время» мгновения без длительности, и утверждает, что все, что требуется для движения, — это чтобы стрелка находилась в одной точке в одно время, в другой точке в другое время и в соответствующих точках между этими двумя точками в промежуточные моменты времени. С этой точки зрения движение — это просто изменение положения с течением времени. [43] [44]
Другое предлагаемое решение заключается в том, чтобы поставить под сомнение одно из предположений, которое Зенон использовал в своих парадоксах (в частности, Дихотомии), а именно, что между любыми двумя различными точками в пространстве (или времени) всегда есть другая точка. Без этого предположения существует только конечное число расстояний между двумя точками, следовательно, нет бесконечной последовательности движений, и парадокс разрешается. Согласно Герману Вейлю , предположение о том, что пространство состоит из конечных и дискретных единиц, подвержено дальнейшей проблеме, заданной « аргументом плитки » или «проблемой функции расстояния». [45] [46] Согласно этому, длина гипотенузы прямоугольного треугольника в дискретизированном пространстве всегда равна длине одной из двух сторон, что противоречит геометрии. Жан Поль Ван Бендегем утверждал, что аргумент плитки может быть разрешен, и что дискретизация может, следовательно, устранить парадокс. [34] [47]
В 1977 году [48] физики EC George Sudarshan и B. Misra обнаружили, что динамическая эволюция ( движение ) квантовой системы может быть затруднена (или даже подавлена) посредством наблюдения за системой . [49] Этот эффект обычно называют « квантовым эффектом Зенона », поскольку он сильно напоминает парадокс стрелы Зенона. Этот эффект был впервые теоретически описан в 1958 году. [50]
В области проверки и проектирования синхронизированных и гибридных систем поведение системы называется Zeno , если оно включает бесконечное число дискретных шагов за конечный промежуток времени. [51] Некоторые формальные методы проверки исключают эти поведения из анализа, если они не эквивалентны не-Zeno поведению. [52] [53] В проектировании систем эти поведения также часто исключаются из моделей системы, поскольку их невозможно реализовать с помощью цифрового контроллера. [54]
Примерно в то же время, в период Воюющих царств (475–221 гг. до н. э.), древнекитайские философы из Школы имен , школы мысли, также занимающейся логикой и диалектикой, разработали парадоксы, похожие на парадоксы Зенона. Труды Школы имен в значительной степени утеряны, за исключением частей Гунсунь Лунцзы . Второй из Десяти тезисов Хуэй Ши предполагает знание бесконечно малых величин: То, что не имеет толщины, не может быть сложено; однако оно имеет размер в тысячу ли. Среди множества его головоломок, записанных в Чжуанцзы, есть одна, очень похожая на Дихотомию Зенона:
«Если от палки длиной в фут каждый день отнимать половину, то и через бесчисленное множество веков она не истощится».
- Чжуанцзы , глава 33 (перевод Легге) [55]
Канон моистов, по-видимому, предлагает решение этого парадокса, утверждая, что при движении по измеренной длине расстояние покрывается не последовательными долями длины, а за один этап. Из-за отсутствия сохранившихся работ Школы имен большинство других перечисленных парадоксов трудно интерпретировать. [56]
"Что сказала черепаха Ахиллесу", [57], написанное в 1895 году Льюисом Кэрроллом , описывает парадоксальный аргумент бесконечного регресса в области чистой логики. Он использует Ахилла и черепаху в качестве персонажей в явной отсылке к парадоксу Ахилла Зенона. [58]
Однако рассуждения Зенона ошибочны, когда он говорит, что если все, когда оно занимает одинаковое пространство, находится в покое, и если то, что находится в движении, всегда занимает такое пространство в любой момент, то летящая стрела, следовательно, неподвижна. Это ложно, поскольку время не состоит из неделимых моментов, как и любая другая величина не состоит из неделимых.
{{cite book}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )Если парадоксы таким образом сформулировать в точной математической терминологии непрерывных переменных (...), кажущиеся противоречия разрешаются сами собой.
