В геометрии параллелоэдр — это многогранник , который можно без вращения переместить в трехмерное евклидово пространство , чтобы заполнить пространство сотами , в которых все копии многогранника встречаются лицом к лицу. Существует пять типов параллелоэдра, впервые выделенных Евграфом Федоровым в 1885 году в его исследованиях кристаллографических систем: куб , шестиугольная призма , ромбдодекаэдр , удлиненный додекаэдр и усеченный октаэдр . [1]
Каждый параллелоэдр представляет собой зоноэдр — центрально-симметричный многогранник с центрально-симметричными гранями. Как и любой зоноэдр, его можно построить как сумму Минковского отрезков прямых, по одному отрезку на каждый параллельный класс ребер многогранника. Для параллелоэдров существует от трех до шести таких параллельных классов. Длину сегментов можно регулировать произвольно; при этом соответствующие ребра параллелоэдра расширяются или сжимаются, не меняя его комбинаторного типа или свойства замощения пространства. В предельном случае для параллелоэдра с более чем тремя параллельными классами ребер длину любого из этих классов можно довести до нуля, в результате чего будет создан другой параллелоэдр более простой формы с одним классом параллельных ребер меньше. [2] Как и все зоноэдры, эти формы автоматически имеют 2 C i центральную инверсионную симметрию, [1] но дополнительные симметрии возможны при соответствующем выборе образующих сегментов. [3]
Пять типов параллелоэдра: [1]
Любой зоноэдр, грани которого имеют ту же комбинаторную структуру, что и одна из этих пяти фигур, является параллелоэдром, независимо от его конкретных углов или длин ребер. Например, любое аффинное преобразование параллелоэдра приведет к созданию другого параллелоэдра того же типа. [1]
При дальнейшем подразделении по группам симметрии существует 22 формы параллелоэдров. Для каждой формы центры ее копий в ее сотах образуют точки одной из 14 решеток Браве . Поскольку решеток Браве меньше, чем симметричных форм параллелоэдров, определенные пары параллелоэдров сопоставляются с одной и той же решеткой Браве. [3]
Поместив одну конечную точку каждого сегмента образующей параллелоэдра в начало трехмерного пространства, образующие можно представить в виде трехмерных векторов , положений их противоположных конечных точек. При таком размещении сегментов одна вершина параллелоэдра сама будет находиться в начале координат, а остальные будут в позициях, заданных суммами определенных подмножеств этих векторов. Таким образом, параллелоэдр с векторами можно параметризовать координатами, по три для каждого вектора, но действительны только некоторые из этих комбинаций (из-за требования, чтобы определенные тройки отрезков лежали в параллельных плоскостях или, что то же самое, чтобы определенные тройки векторов были компланарными). ) и различные комбинации могут привести к параллелоэдрам, которые отличаются только вращением, масштабным преобразованием или, в более общем плане, аффинным преобразованием . При исключении аффинных преобразований число свободных параметров, описывающих форму параллелоэдра, равно нулю для параллелепипеда (все параллелепипеды эквивалентны друг другу при аффинных преобразованиях), двум для шестиугольной призмы, трем для ромбического додекаэдра, четырем для вытянутого додекаэдра и пять для усеченного октаэдра. [4]
Классификация параллелоэдров на пять типов была впервые сделана русским кристаллографом Евграфом Федоровым в главе 13 русскоязычной книги, впервые опубликованной в 1885 году, название которой было переведено на английский язык как « Введение в теорию фигур» . [5] Некоторые математические расчеты в этой книге ошибочны; например, он включает неверное доказательство леммы, утверждающей, что каждое моноэдральное замощение плоскости в конечном итоге является периодическим, [6] которое оказалось ложным в 2023 году как часть решения проблемы Эйнштейна . [7] В случае параллелоэдров Федоров без доказательства предположил, что каждый параллелоэдр центрально симметричен, и использовал это предположение для доказательства своей классификации. Классификация параллелоэдров была позже поставлена на более прочную основу Германом Минковским , который использовал свою теорему единственности для многогранников с заданными нормалями и площадями граней , чтобы доказать, что параллелоэдры центрально симметричны. [1]
В двух измерениях фигурой, аналогичной параллелоэдру, является параллелогон , многоугольник, который может замостить плоскость от края до края путем перемещения. Это параллелограммы и шестиугольники , у которых противоположные стороны параллельны и имеют одинаковую длину. [8]
В более высоких измерениях параллелоэдр называется параллелоэдром . Существует 52 различных четырехмерных параллелоэдра, впервые перечисленных Борисом Делоне (с одним отсутствующим параллелоэдром, позднее обнаруженным Михаилом Штогриным) [9] и более 100 000 типов в пяти измерениях. [10] [11] В отличие от трехмерных объектов, не все из них являются зонотопами . 17 из четырёхмерных параллелотопов являются зонотопами, один — регулярным 24-клеточным , а остальные 34 из этих форм — суммами Минковского зонотопов с 24-клеточным. [12] -мерный параллелоэдр может иметь не более граней, причем пермутоэдр достигает этого максимума. [2]
Плезиоэдр — это более широкий класс трехмерных многогранников, заполняющих пространство, образованных из диаграмм Вороного периодических наборов точек. [8] Как доказал Борис Делоне в 1929 году, [13] каждый параллелоэдр можно превратить в плезиоэдр путем аффинного преобразования, [1] но это остается открытым в более высоких измерениях, [2] и в трех измерениях существуют также другие плезиоэдры, которые не являются параллелоэдрами. Мозаика пространства плезиоэдрами обладает симметрией, переводящей любую ячейку в любую другую ячейку, но, в отличие от параллелоэдров, эта симметрия может включать вращения, а не только перемещения. [8]
