Периметр

Путь, окружающий область

Периметр — это расстояние вокруг двумерной фигуры, измерение расстояния вокруг чего-либо; длина границы.

Периметр — это замкнутый путь , который охватывает, окружает или очерчивает двумерную форму или одномерную длину . Периметр круга или эллипса называется его окружностью .

Вычисление периметра имеет несколько практических применений. Расчетный периметр — это длина забора, необходимая для ограждения двора или сада. Периметр колеса/круга (его окружность) описывает, насколько далеко оно катится за один оборот . Точно так же количество нити, намотанной на катушку, зависит от периметра катушки; если бы длина веревки была точной, она была бы равна периметру.

Формулы

кардоида (рисование с помощью ) ${\displaystyle \gamma :[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}}$
${\displaystyle a=1}$
${\displaystyle x(t)=2a\cos(t)(1+\cos(t))}$
${\displaystyle y(t)=2a\sin(t)(1+\cos(t))}$
${\displaystyle L=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t=16a}$

Периметр — это расстояние вокруг фигуры. Периметры более общих фигур можно рассчитать, как любой путь , с , где – длина пути, а – бесконечно малый линейный элемент. Оба из них должны быть заменены алгебраическими формами, чтобы их можно было практически вычислить. Если периметр задан как замкнутая кусочно-гладкая плоская кривая с ${\textstyle \int _{0}^{L}\mathrm {d} s}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}}$

то его длину можно вычислить следующим образом: ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t}$

Обобщенное понятие периметра, включающее гиперповерхности, ограничивающие объемы в -мерных евклидовых пространствах , описывается теорией множеств Каччиопполи . ${\displaystyle n}$

Полигоны

Периметр прямоугольника.

Многоугольники имеют основополагающее значение для определения периметров не только потому, что они представляют собой простейшие формы, но и потому, что периметры многих фигур вычисляются путем их аппроксимации последовательностями многоугольников, стремящихся к этим формам. Первым математиком, который, как известно, использовал такого рода рассуждения, был Архимед , который аппроксимировал периметр круга, окружив его правильными многоугольниками .

Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон (ребер) . В частности, периметр прямоугольника шириной и длиной равен ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle 2w+2\ell .}$

Равносторонний многоугольник — это многоугольник, все стороны которого имеют одинаковую длину (например, ромб — это четырехсторонний равносторонний многоугольник). Чтобы вычислить периметр равностороннего многоугольника, нужно общую длину сторон умножить на количество сторон.

Правильный многоугольник можно охарактеризовать числом его сторон и радиусом описанной окружности , то есть постоянным расстоянием между его центром и каждой из его вершин . Длину его сторон можно вычислить с помощью тригонометрии . Если R — радиус правильного многоугольника, а n — количество его сторон, то его периметр равен

${\displaystyle 2nR\sin \left({\frac {180^{\circ }}{n}}\right).}$

Разветвитель треугольника — это чевиан (отрезок от вершины к противоположной стороне), который делит периметр на две равные длины, причем эта общая длина называется полупериметром треугольника . Все три разветвителя треугольника пересекаются друг с другом в точке Нагеля треугольника.

Скалыватель треугольника — это отрезок от середины стороны треугольника до противоположной стороны, такой, что периметр разделен на две равные длины. Все три скалывателя треугольника пересекаются друг с другом в центре Шпикера треугольника .

Окружность круга

Если диаметр круга равен 1, его длина равна π .

Периметр круга , часто называемый окружностью, пропорционален его диаметру и радиусу . Другими словами, существует постоянное число pi , π ( по-гречески p означает периметр), такое, что если P — периметр круга, а D — его диаметр, то

${\displaystyle P=\pi \cdot {D}.\!}$

С точки зрения радиуса r круга эта формула принимает вид:

${\displaystyle P=2\pi \cdot r.}$

Чтобы вычислить периметр круга, достаточно знания его радиуса или диаметра и числа π . Проблема в том, что π не является рациональным (оно не может быть выражено как частное двух целых чисел ) и не является алгебраическим (оно не является корнем полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами). Таким образом, получение точного приближения π важно при расчете. Вычисление цифр числа π актуально для многих областей, таких как математический анализ , алгоритмика и информатика .

Восприятие периметра

Чем больше разрезаешь эту фигуру, тем меньше площадь и больше периметр. Выпуклая оболочка осталась прежней.

Периметр укреплений Нойф -Бризах сложен. Самый короткий путь вокруг него лежит вдоль его выпуклой оболочки .

Периметр и площадь — две основные меры геометрических фигур. Смешивать их — распространенная ошибка, равно как и полагать, что чем больше одно из них, тем значительнее должно быть другое. Действительно, обычным наблюдением является то, что увеличение (или уменьшение) формы приводит к увеличению (или уменьшению) ее площади, а также ее периметра. Например, если поле нарисовано на карте масштаба 1/10 000, фактический периметр поля можно рассчитать, умножив периметр рисунка на 10 000. Реальная площадь равна 10 000 — ^{в 2} раза больше площади фигуры на карте. Тем не менее, между площадью и периметром обычной формы нет никакой связи. Например, периметр прямоугольника шириной 0,001 и длиной 1000 немного больше 2000, а периметр прямоугольника шириной 0,5 и длиной 2 равен 5. Обе площади равны 1.

Прокл (V век) сообщал, что греческие крестьяне «справедливо» делили поля, опираясь на их периметры. ^[1] Однако урожайность поля пропорциональна его площади, а не периметру, поэтому многие наивные крестьяне могли получить поля с длинным периметром, но небольшими площадями (следовательно, с небольшим урожаем).

Если удалить часть фигуры, ее площадь уменьшится, а периметр - нет. В случае очень неправильной формы может возникнуть путаница между периметром и выпуклой оболочкой . Выпуклую оболочку фигуры можно представить как форму, образованную натянутой вокруг нее резиновой лентой. На анимированной картинке слева все фигуры имеют одинаковую выпуклую оболочку; большой первый шестиугольник .

Изопериметрия

Изопериметрическая задача заключается в определении фигуры наибольшей площади среди фигур, имеющих заданный периметр. Решение интуитивно понятно; это круг . В частности, это можно использовать для объяснения того, почему капли жира на поверхности бульона имеют круглую форму.

Эта проблема может показаться простой, но ее математическое доказательство требует некоторых сложных теорем. Изопериметрическую задачу иногда упрощают, ограничивая тип используемых фигур. В частности, найти четырехугольник , или треугольник, или другую конкретную фигуру с наибольшей площадью среди фигур такой же формы, имеющих заданный периметр. Решением четырёхсторонней изопериметрической задачи является квадрат , а решением задачи треугольника — равносторонний треугольник . В общем, многоугольник с n сторонами, имеющий наибольшую площадь и заданный периметр, является правильным многоугольником , который ближе к кругу, чем любой неправильный многоугольник с таким же количеством сторон.

Этимология

Слово происходит от греческого περίμετρος периметрос , от περί пери «вокруг» и μέτρον метрон «мера».

Смотрите также

• Длина дуги
• Область
• Парадокс береговой линии
• Обхват (геометрия)
• теорема Пифагора
• Площадь поверхности
• Объем
• Смачиваемый периметр

Рекомендации

1. Хит, Т. (1981). История греческой математики . Том. 2. Дуврские публикации . п. 206. ИСБН 0-486-24074-6.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Периметр». Математический мир .