Двумерное пространство — это математическое пространство с двумя измерениями , то есть точки имеют две степени свободы : их местоположения могут быть локально описаны двумя координатами или они могут двигаться в двух независимых направлениях. Обычные двумерные пространства часто называют плоскостями или, в более общем смысле, поверхностями . К ним относятся аналоги физических пространств, такие как плоские плоскости, и криволинейные поверхности, такие как сферы, цилиндры и конусы, которые могут быть бесконечными или конечными. Некоторые двумерные математические пространства не используются для представления физических положений, такие как аффинная плоскость или комплексная плоскость .
Самый простой пример — плоская евклидова плоскость , идеализация плоской поверхности в физическом пространстве , например, листа бумаги или классной доски. На евклидовой плоскости любые две точки можно соединить единственной прямой линией, вдоль которой можно измерить расстояние . Пространство является плоским, потому что любые две линии, пересекаемые третьей линией, перпендикулярной им обеим, параллельны , то есть они никогда не пересекаются и остаются на одинаковом расстоянии друг от друга.
Двумерные пространства также могут быть искривлены , например, сфера и гиперболическая плоскость , достаточно малые части которых выглядят как плоская плоскость, но на которых прямые линии, которые локально параллельны, не остаются равноудаленными друг от друга, а в конечном итоге сходятся или расходятся соответственно. Двумерные пространства с локально евклидовой концепцией расстояния, но которые могут иметь неравномерную кривизну, называются римановыми поверхностями . (Не путать с римановыми поверхностями .) Некоторые поверхности встроены в трехмерное евклидово пространство или некоторое другое окружающее пространство и наследуют свою структуру от него; например, линейчатые поверхности, такие как цилиндр и конус , содержат прямую линию, проходящую через каждую точку, а минимальные поверхности локально минимизируют свою площадь, как это физически делается мыльными пленками .
Лоренцевы поверхности локально выглядят как двумерный срез релятивистского пространства-времени с одним пространственным и одним временным измерением; примерами постоянной кривизны являются плоская лоренцева плоскость (двумерное подпространство пространства Минковского ) и искривленные плоскости де Ситтера и антиде Ситтера .
Другие типы математических плоскостей и поверхностей изменяют или устраняют структуры, определяющие евклидову плоскость. Например, аффинная плоскость имеет понятие параллельных линий, но не имеет понятия расстояния; однако, знаковые области можно осмысленно сравнивать, как это возможно в более общей симплектической поверхности. Проективная плоскость устраняет как расстояние, так и параллельность. Двумерное метрическое пространство имеет некоторое понятие расстояния, но оно не обязательно должно соответствовать евклидовой версии. Топологическая поверхность может быть растянута, скручена или изогнута без изменения ее основных свойств. Алгебраическая поверхность представляет собой двумерный набор решений системы полиномиальных уравнений .
Некоторые математические пространства имеют дополнительную арифметическую структуру, связанную с их точками. Векторная плоскость — это аффинная плоскость, точки которой, называемые векторами , включают специально обозначенное начало координат или нулевой вектор. Векторы могут быть сложены вместе или масштабированы числом и, по желанию, иметь евклидову, лоренцеву или галилеевскую концепцию расстояния. Комплексная плоскость , гиперболическая числовая плоскость и дуальная числовая плоскость имеют точки, которые сами по себе считаются числами и могут быть сложены и умножены. Риманова поверхность или поверхность Лоренца локально выглядят как комплексная плоскость или гиперболическая числовая плоскость соответственно.
Математические пространства часто определяются или представляются с использованием чисел, а не геометрических аксиом . Одним из самых фундаментальных двумерных пространств является реальное координатное пространство , обозначаемое как состоящее из пар действительных числовых координат. Иногда пространство представляет собой произвольные величины, а не геометрические позиции, как в пространстве параметров математической модели или конфигурационном пространстве физической системы.
В более общем смысле, в качестве координат могут использоваться другие типы чисел. Комплексная плоскость является двумерной, если ее считать образованной из действительных числовых координат, но одномерной в терминах комплексных числовых координат. Двумерное комплексное пространство — такое как двумерное комплексное координатное пространство , комплексная проективная плоскость или комплексная поверхность — имеет два комплексных измерения, которые поочередно могут быть представлены с использованием четырех действительных измерений. Двумерная решетка — это бесконечная сетка точек, которая может быть представлена с использованием целочисленных координат. Некоторые двумерные пространства, такие как конечные плоскости , имеют только конечный набор элементов.
