Двойное число

В алгебре , дуальные числа являются гиперкомплексной числовой системой, впервые введенной в 19 веке. Они являются выражениями вида $a + bε$ , где $a$ и $b$ являются действительными числами , а $ε$ является символом , взятым для удовлетворения с . $\varepsilon^{2}=0$ $\varepsilon \neq 0$

Двойственные числа можно складывать покомпонентно и умножать по формуле

(a+b\varepsilon)(c+d\varepsilon)=ac+(ad+bc)\varepsilon,

что следует из свойства $ε 2 = 0$ и того факта, что умножение является билинейной операцией .

Двойственные числа образуют коммутативную алгебру размерности два над действительными числами, а также артиново локальное кольцо . Они являются одним из простейших примеров кольца, имеющего ненулевые нильпотентные элементы .

История

Дуальные числа были введены в 1873 году Уильямом Клиффордом и использовались в начале двадцатого века немецким математиком Эдуардом Штудием , который использовал их для представления дуального угла, который измеряет относительное положение двух скрещивающихся прямых в пространстве. Штудием определял дуальный угол как $θ + dε$ , где $θ$ — угол между направлениями двух прямых в трехмерном пространстве, а $d$ — расстояние между ними. $N$ -мерное обобщение, число Грассмана , было введено Германом Грассманом в конце 19 века.

Современное определение

В современной алгебре алгебра дуальных чисел часто определяется как частное кольца многочленов над действительными числами по главному идеалу, порожденному квадратом неопределенности , то есть $(\mathbb {R} )$

\mathbb {R} [X]/\left\langle X^{2}\right\rangle .

Его также можно определить как внешнюю алгебру одномерного векторного пространства, в качестве базисного элемента которого выступает . $\varepsilon$

Разделение

Деление двойных чисел определяется, когда действительная часть знаменателя не равна нулю. Процесс деления аналогичен комплексному делению , в котором знаменатель умножается на сопряженное ему число, чтобы сократить недействительные части.

Поэтому, чтобы оценить выражение вида

{\frac {a+b\varepsilon}{c+d\varepsilon}}

умножаем числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число:

{\begin{align}{\frac {a+b\varepsilon}{c+d\varepsilon}}&={\frac {(a+b\varepsilon)(cd\varepsilon)}{(c+d\varepsilon)(cd\varepsilon)}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -0}{c^{2}-0}}\\[5pt]&={\frac {ac+\varepsilon (bc-ad)}{c^{2}}}\\[5pt]&={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon \end{align}}

который определяется, когда $c$ не равно нулю .

Если, с другой стороны, $c$ равно нулю, а $d$ нет, то уравнение

{a+b\varepsilon =(x+y\varepsilon)d\varepsilon}={xd\varepsilon +0}

не имеет решения, если $a$ не равно нулю
в противном случае решается любым двойственным числом вида $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠б/г⁠ + yε$ .

Это означает, что недействительная часть "частного" является произвольной, и поэтому деление не определено для чисто недействительных дуальных чисел. Действительно, они являются (тривиально) делителями нуля и, очевидно, образуют идеал ассоциативной алгебры (и, следовательно, кольца ) дуальных чисел.

Матричное представление

Двойственное число можно представить квадратной матрицей . В этом представлении матрица возводится в квадрат нулевой матрицы, соответствующей двойственному числу . $a+b\эпсилон$ ${\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ $\varepsilon$

Существуют и другие способы представления дуальных чисел в виде квадратных матриц. Они состоят из представления дуального числа единичной матрицей и любой матрицей, квадрат которой является нулевой матрицей; то есть, в случае матриц $2\times2$ , любая ненулевая матрица вида $1$ $\epsilon$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}

с ^[1] $a^{2}+bc=0.$

Дифференциация

Одним из применений двойных чисел является автоматическое дифференцирование . Любой многочлен

P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots +p_{n}x^{n}

с действительными коэффициентами может быть расширена до функции аргумента с двойным числовым значением,

{\begin{aligned}P(a+b\varepsilon )&=p_{0}+p_{1}(a+b\varepsilon )+\cdots +p_{n}(a+b\varepsilon )^{n}\\[2mu]&=p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+\cdots +p_{n}a^{n}+p_{1}b\varepsilon +2p_{2}ab\varepsilon +\cdots +np_{n}a^{n-1}b\varepsilon \\[5mu]&=P(a)+bP'(a)\varepsilon ,\end{aligned}}

где производная $P'$ $P.$

В более общем смысле, любую (аналитическую) действительную функцию можно расширить до двойственных чисел с помощью ее ряда Тейлора :

f(a+b\varepsilon )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)b^{n}\varepsilon ^{n}}{n!}}=f(a)+bf'(a)\varepsilon ,

поскольку все члены, включающие $ε 2$ или большие степени, тривиально равны $0$ по определению $ε$ .

Вычисляя композиции этих функций по дуальным числам и исследуя коэффициент при $ε$ в результате, мы обнаруживаем, что автоматически вычислили производную композиции.

Похожий метод работает для полиномов $n$ переменных, используя внешнюю алгебру $n$ -мерного векторного пространства.

Геометрия

«Единичный круг» дуальных чисел состоит из тех, у которых $a = \pm1$ , поскольку они удовлетворяют $zz * = 1$ , где $z * = a - bε$ . Однако следует отметить, что

e^{b\varepsilon }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(b\varepsilon \right)^{n}}{n!}}=1+b\varepsilon ,

поэтому экспоненциальная карта , примененная к оси $ε$ , охватывает только половину «окружности».

Пусть $z = a + bε$ . Если $a \neq 0$ и $m = ⁠ б / а ⁠$ , то $z = a (1 + mε)$ — полярное разложение дуального числа $z$ , а наклон $m$ — его угловая часть. Понятие поворота в плоскости дуального числа эквивалентно отображению вертикального сдвига , поскольку $(1 + pε)(1 + qε) = 1 + (p + q) ε$ .

В абсолютном пространстве и времени преобразование Галилея

\left(t',x'\right)=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,,

то есть

t'=t,\quad x'=vt+x,

связывает покоящуюся систему координат с движущейся системой отсчета со скоростью $v$ . С двойными числами $t + xε,$ представляющими события вдоль одного пространственного измерения и времени, то же самое преобразование осуществляется с помощью умножения на $1 + vε$ .

Циклы

При наличии двух дуальных чисел $p$ и $q$ они определяют множество $z$ таким образом, что разность наклонов («угол Галилея») между прямыми от $z$ до $p$ и $q$ является постоянной величиной. Это множество является циклом в плоскости дуальных чисел; поскольку уравнение, устанавливающее разность наклонов прямых в константу, является квадратным уравнением относительно действительной части $z$ , цикл является параболой . «Циклическое вращение» плоскости дуальных чисел происходит как движение ее проективной прямой. Согласно Исааку Яглому , ^[2]^{: 92–93} цикл $Z = {z : y = αx 2}$ инвариантен относительно композиции сдвига

x_{1}=x,\quad y_{1}=vx+y

с переводом

x'=x_{1}={\frac {v}{2a}},\quad y'=y_{1}+{\frac {v^{2}}{4a}}.

Применение в механике

Дуальные числа находят применение в механике , в частности, для кинематического синтеза. Например, дуальные числа позволяют преобразовать уравнения ввода/вывода четырехзвенной сферической связи, которая включает только ротоидные сочленения, в четырехзвенный пространственный механизм (ротоид, ротоид, ротоид, цилиндрический). Дуализированные углы состоят из примитивной части, углов, и дуальной части, которая имеет единицы длины. ^[3] Подробнее см . в теории винтов .

Алгебраическая геометрия

В современной алгебраической геометрии двойственные числа над полем (под которым мы подразумеваем кольцо ) могут использоваться для определения касательных векторов к точкам - схемы . ^[4] Поскольку поле может быть выбрано внутренне, можно говорить просто о касательных векторах к схеме. Это позволяет импортировать понятия из дифференциальной геометрии в алгебраическую геометрию. $k$ $k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})$ $k$ $k$

Подробно: Кольцо дуальных чисел можно рассматривать как кольцо функций на «первопорядковой окрестности точки», а именно, на - схеме . ^[4] Тогда, если задана -схема , -точки схемы находятся в 1-1 соответствии с картами , в то время как касательные векторы находятся в 1-1 соответствии с картами . $k$ $\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))$ $k$ $X$ $k$ $\operatorname {Spec} k\to X$ $\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))\to X$

Поле выше может быть выбрано внутренне как поле вычетов . А именно: для заданной точки на схеме рассмотрим стебель . Заметим, что является локальным кольцом с единственным максимальным идеалом , который обозначается . Тогда просто пусть . $k$ $x$ $S$ $S_{x}$ $S_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ $k=S_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}$

Обобщения

Эту конструкцию можно осуществить более общо: для коммутативного кольца $R$ можно определить двойственные числа над $R$ как частное кольца многочленов R $[X] по$ идеалу ( $X 2) :$ тогда образ $X$ имеет квадрат, равный нулю, и соответствует элементу $ε$ сверху.

Произвольный модуль элементов нулевого квадрата

Существует более общая конструкция дуальных чисел. При наличии коммутативного кольца и модуля существует кольцо, называемое кольцом дуальных чисел, которое имеет следующие структуры: $R$ $M$ $R[M]$

Это -модуль с умножением, определяемым для и $R$ $R\oplus M$ $(r,i)\cdot \left(r',i'\right)=\left(rr',ri'+r'i\right)$ $r,r'\in R$ $i,i'\in I.$

Алгебра дуальных чисел — это частный случай, когда и $M=R$ $\varepsilon =(0,1).$

Суперпространство

Двойственные числа находят применение в физике , где они представляют собой один из простейших нетривиальных примеров суперпространства . Эквивалентно, они являются суперчислами с одним генератором; суперчисла обобщают концепцию до $n$ различных генераторов $ε$ , каждый из которых антикоммутативен, возможно, переводя $n$ в бесконечность. Суперпространство немного обобщает суперчисла, допуская множественные коммутирующие измерения.

Мотивация введения дуальных чисел в физику вытекает из принципа запрета Паули для фермионов. Направление вдоль $ε$ называется «фермионным» направлением, а действительная составляющая называется «бозонным» направлением. Фермионное направление получило это название из-за того, что фермионы подчиняются принципу запрета Паули: при обмене координатами квантово-механическая волновая функция меняет знак и, таким образом, исчезает, если две координаты сводятся вместе; эта физическая идея отражена в алгебраическом соотношении $ε 2 = 0$ .

Проективная линия

Идея проективной прямой над дуальными числами была выдвинута Грюнвальдом ^[5] и Коррадо Сегре . ^[6]

Так же, как сфере Римана нужна точка северного полюса на бесконечности , чтобы замкнуть комплексную проективную прямую , так и бесконечная прямая успешно замыкает плоскость двойственных чисел в цилиндр . ^[2]^{: 149–153}

Предположим, что $D$ — кольцо дуальных чисел $x + yε$ , а $U$ — подмножество с $x \neq 0.$ $Тогда U — группа единиц D.$ Пусть $B$ = { ( a $,$ $b$ $)$ $\in$ $D$ $\times$ $D$ $:$ $a$ $\in$ $U$ $или$ $b$ $\in U}$ . Отношение на B определяется следующим образом: $($ $a$ $,$ $b$ $) ~ ($ $c$ $,$ $d$ $)$ , когда в $U$ существует $u$ , такое что $ua$ $=$ $c$ и $ub$ $=$ $d$ . Это отношение на самом деле является отношением эквивалентности . Точки проективной прямой над $D$ являются классами эквивалентности в $B$ при этом отношении: $P$ $($ $D$ $) =$ $B$ $/~$ . Они представлены проективными координатами $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ .

Рассмотрим вложение $D \to P (D)$ с помощью $z \to [z, 1]$ . Тогда точки $[1, n]$ для $n 2 = 0$ лежат в $P (D)$ , но не являются образом какой-либо точки при вложении. P ( D ) отображается на цилиндр проекцией $: Возьмем цилиндр,$ касательный к плоскости двойных чисел по прямой ${$ $yε$ $:$ $y$ $\in$ $R$ $}$ , $ε$ $2$ $= 0$ . Теперь возьмем противоположную прямую на цилиндре за ось пучка плоскостей . Плоскости, пересекающие плоскость двойных чисел и цилиндр, обеспечивают соответствие точек между этими поверхностями. Плоскость, параллельная плоскости двойных чисел, соответствует точкам $[1,$ $n$ $]$ , $n$ $2$ $= 0$ на проективной прямой над двойными числами.

Смотрите также

Ссылки

^ Абстрактная алгебра/действительные матрицы 2x2 в Wikibooks
^ ab Yaglom, IM (1979). Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа . Springer. ISBN 0-387-90332-1. МР 0520230.
^ Анхелес, Хорхе (1998), Анхелес, Хорхе; Захариев, Эвтим (ред.), «Применение дуальной алгебры к кинематическому анализу», Вычислительные методы в механических системах: анализ механизмов, синтез и оптимизация , NATO ASI Series, т. 161, Springer Berlin Heidelberg, стр. 3–32, doi :10.1007/978-3-662-03729-4_1, ISBN 9783662037294
^ ab Шафаревич, Игорь Р. (2013), «Схемы», Basic Algebraic Geometry 2 , Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 35–38, doi :10.1007/978-3-642-38010-5_1, ISBN 978-3-642-38009-9, получено 2023-12-27
^ Грюнвальд, Йозеф (1906). «Über Duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie». Монашефте по математике . 17 : 81–136. дои : 10.1007/BF01697639. S2CID 119840611.
^ Сегре, Коррадо (1912). «XL. Le geometrie proiettive nei Campi di numeri Duali». Опер .Также в Atti della Reale Accademia della Scienze di Torino 47 .

Дальнейшее чтение

Бенчивенга, Ульдерико (1946). «Sulla rappresentazioneometrica delle algebre doppie dotate di modulo» [О геометрическом представлении двойных алгебр с модулем]. Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli . 3 (на итальянском языке). 2 (7). МР 0021123.
Клиффорд, Уильям Кингдон (1873). «Предварительный набросок бикватернионов». Труды Лондонского математического общества . 4 : 381–395.
Harkin, Anthony A.; Harkin, Joseph B. (апрель 2004 г.). "Геометрия обобщенных комплексных чисел" (PDF) . Mathematics Magazine . 77 (2): 118–129. doi :10.1080/0025570X.2004.11953236. S2CID 7837108. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09.
Миллер, Уильям; Бёнинг, Рошель (1968). «Гауссовы, параболические и гиперболические числа». Учитель математики . 61 (4): 377–382. doi :10.5951/MT.61.4.0377.
Этюд, Эдуард (1903). Геометрия Динамена. Б. Г. Тойбнер. п. 196.Из исторических математических монографий Корнеллского университета .
Яглом, И. М. (1968). Комплексные числа в геометрии . Перевод с русского Эрика Дж. Ф. Примроуза. Нью-Йорк и Лондон: Academic Press . С. 12–18.
Бранд, Луис (1947). Векторный и тензорный анализ . Нью-Йорк: John Wiley & Sons.
Фишер, Ян С. (1999). Методы двойных чисел в кинематике, статике и динамике . Бока-Ратон: CRC Press.
Бертрам, В. (2008). Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства над общими базовыми полями и кольцами . Мемуары AMS. Т. 192. Провиденс, Род-Айленд: Amer. Math. Soc.
""Высшее" касательное пространство". math.stackexchange.com .