Преобразование Галилея

Концепция в физике и математике

В физике преобразование Галилея используется для преобразования между координатами двух систем отсчета , которые отличаются только постоянным относительным движением в рамках конструкций ньютоновской физики . Эти преобразования вместе с пространственными вращениями и переносами в пространстве и времени образуют неоднородную группу Галилея (предполагается далее). Без переносов в пространстве и времени группа является однородной группой Галилея . Группа Галилея является группой движений относительности Галилея, действующих на четыре измерения пространства и времени, образуя геометрию Галилея . Это точка зрения пассивного преобразования . В специальной теории относительности однородные и неоднородные преобразования Галилея соответственно заменяются преобразованиями Лоренца и преобразованиями Пуанкаре ; наоборот, сокращение группы в классическом пределе c → ∞ преобразований Пуанкаре дает преобразования Галилея.

Приведенные ниже уравнения физически справедливы только в рамках ньютоновской теории и не применимы к системам координат, движущимся относительно друг друга со скоростями, приближающимися к скорости света .

Галилей сформулировал эти концепции в своем описании равномерного движения . ^[1] Тема была мотивирована его описанием движения шара, катящегося по наклонной плоскости , с помощью которого он измерил численное значение ускорения силы тяжести вблизи поверхности Земли .

Перевод

Стандартная конфигурация систем координат для преобразований Галилея.

Хотя преобразования названы в честь Галилея, именно абсолютное время и пространство , как их понимал Исаак Ньютон, обеспечивают область их определения. По сути, преобразования Галилея воплощают интуитивное понятие сложения и вычитания скоростей как векторов .

Приведенные ниже обозначения описывают взаимосвязь при преобразовании Галилея между координатами ( x , y , z , t ) и ( x ′, y ′, z ′, t ′) одного произвольного события, измеренного в двух системах координат S и S′ , находящихся в равномерном относительном движении ( скорость v ) в их общих направлениях x и x ′ , при этом их пространственные начала совпадают в момент времени t = t ′ = 0 : ^{[2] [3] [4] [5]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

${\displaystyle t'=t.}$

Обратите внимание, что последнее уравнение справедливо для всех преобразований Галилея с точностью до добавления константы и выражает предположение об универсальном времени, независимом от относительного движения различных наблюдателей.

На языке линейной алгебры это преобразование считается сдвиговым отображением и описывается матрицей, действующей на вектор. При движении параллельно оси x преобразование действует только на две компоненты:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}}$

Хотя матричные представления не являются строго необходимыми для преобразования Галилея, они предоставляют средства для прямого сравнения с методами преобразования в специальной теории относительности.

Галилеевы преобразования

Симметрии Галилея можно однозначно записать как композицию вращения , трансляции и равномерного движения пространства-времени. ^[6] Пусть x представляет точку в трехмерном пространстве, а t — точку в одномерном времени. Общая точка в пространстве-времени задается упорядоченной парой ( x , t ) .

Равномерное движение со скоростью v определяется выражением

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v} ,t),}$

где v ∈ R ^3. Перевод задается формулой

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a} ,t+s),}$

где a ∈ R ³ и s ∈ R. Вращение задается формулой

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (R\mathbf {x} ,t),}$

где R  : R ³ → R ³ — ортогональное преобразование . ^[6]

Как группа Ли , группа преобразований Галилея имеет размерность 10. ^[6]

Галилеевская группа

Два преобразования Галилея G ( R , v , a , s ) и G ( R' , v ′, a ′, s ′) образуют третье преобразование Галилея,

G ( R ′, v ′, a ′, s ′) ⋅ G ( R , v , a , s ) = G ( R′ R , R ′ v + v ′, R ′ a + a ′ + v ′ s , s ′ + s ) .

Множество всех преобразований Галилея Gal(3) образует группу с композицией в качестве групповой операции.

Группа иногда представляется как матричная группа с пространственно-временными событиями ( x , t , 1) как векторами, где t является действительным числом, а x ∈ R ³ является положением в пространстве. Действие задается как ^[7]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}R&v&a\\0&1&s\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Rx+vt+a\\t+s\\1\end{pmatrix}},}$

где s — вещественное число, а v , x , a ∈ R ³ и R — матрица вращения . Композиция преобразований затем выполняется посредством умножения матриц . При обсуждении следует проявлять осторожность, ограничиваясь только группой связных компонентов ортогональных преобразований.

Gal(3) имеет именованные подгруппы. Компонент идентичности обозначается SGal(3) .

Пусть m представляет матрицу преобразования с параметрами v , R , s , a :

• ${\displaystyle \{m:R=I_{3}\},}$анизотропные преобразования.
• ${\displaystyle \{m:s=0\},}$изохронные преобразования.
• ${\displaystyle \{m:s=0,v=0\},}$пространственные евклидовы преобразования.
• ${\displaystyle G_{1}=\{m:s=0,a=0\},}$равномерно специальные преобразования / однородные преобразования, изоморфные евклидовым преобразованиям.
• ${\displaystyle G_{2}=\{m:v=0,R=I_{3}\}\cong \left(\mathbf {R} ^{4},+\right),}$сдвиги начала координат/трансляции в ньютоновском пространстве-времени.
• ${\displaystyle G_{3}=\{m:s=0,a=0,v=0\}\cong \mathrm {SO} (3),}$вращения (системы отсчёта) (см. SO(3) ), компактная группа.
• ${\displaystyle G_{4}=\{m:s=0,a=0,R=I_{3}\}\cong \left(\mathbf {R} ^{3},+\right),}$равномерные движения/усиления рамы.

Параметры s , v , R , a охватывают десять измерений. Поскольку преобразования непрерывно зависят от s , v , R , a , Gal(3) является непрерывной группой , также называемой топологической группой.

Структуру Gal(3) можно понять путем реконструкции из подгрупп. Требуется полупрямая комбинация произведений ( ) групп. ${\displaystyle A\rtimes B}$

1. ${\displaystyle G_{2}\triangleleft \mathrm {SGal} (3)}$( G ₂ — нормальная подгруппа )
2. ${\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong G_{2}\rtimes G_{1}}$
3. ${\displaystyle G_{4}\trianglelefteq G_{1}}$
4. ${\displaystyle G_{1}\cong G_{4}\rtimes G_{3}}$
5. ${\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong \mathbf {R} ^{4}\rtimes (\mathbf {R} ^{3}\rtimes \mathrm {SO} (3)).}$

Происхождение в групповом сокращении

Алгебра Ли группы Галилея образована H , P _i , C _i и L _ij ( антисимметричным тензором ), подчиняющимися коммутационным соотношениям , где

${\displaystyle [H,P_{i}]=0}$

${\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},H]=0}$

${\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i[\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]}$

${\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}$

${\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}$

${\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}\,\!}$

${\displaystyle [C_{i},P_{j}]=0~.}$

H — генератор временных сдвигов ( гамильтониан ), P _i — генератор сдвигов ( оператор импульса ), C _​​i — генератор безвращательных галилеевых преобразований (галилеевские бусты) ^[8] , а L _ij — генератор вращений ( оператор углового момента ).

Эта алгебра Ли рассматривается как специальный классический предел алгебры группы Пуанкаре в пределе c → ∞ . Технически, группа Галилея является знаменитой групповой контракцией группы Пуанкаре (которая, в свою очередь, является групповой контракцией группы де Ситтера SO(1,4) ). ^[9] Формально, переименовывая генераторы импульса и усиления последнего, как в

П ₀ ↦ Н / с

К _i ↦ c ⋅ C _i ,

где c — скорость света (или любая ее неограниченная функция), коммутационные соотношения (структурные константы) в пределе c → ∞ принимают соотношения первых. Идентифицируются генераторы временных трансляций и вращений. Также отметим групповые инварианты L _mn L ^mn и P _i P ⁱ .

В матричной форме для d = 3 можно рассмотреть регулярное представление (встроенное в GL(5; R ) , из которого оно может быть получено с помощью единственного группового сокращения, минуя группу Пуанкаре),

${\displaystyle iH=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$ ${\displaystyle i{\vec {a}}\cdot {\vec {P}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&a_{1}\\0&0&0&0&a_{2}\\0&0&0&0&a_{3}\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$ ${\displaystyle i{\vec {v}}\cdot {\vec {C}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&v_{1}&0\\0&0&0&v_{2}&0\\0&0&0&v_{3}&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$ ${\displaystyle i\theta _{i}\epsilon ^{ijk}L_{jk}=\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&0&0\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&0&0\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)~.}$

Тогда элемент бесконечно малой группы равен

${\displaystyle G(R,{\vec {v}},{\vec {a}},s)=1\!\!1_{5}+\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&v_{1}&a_{1}\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&v_{2}&a_{2}\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&v_{3}&a_{3}\\0&0&0&0&s\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)+\ ...~.}$

Центральное расширение Галилеевой группы

Можно рассмотреть ^[10] центральное расширение алгебры Ли группы Галилея, натянутое на H ′, P ′ _i , C ′ _i , L ′ _ij и оператор M : Так называемая алгебра Баргмана получается путем наложения , так что M лежит в центре , т.е. коммутирует со всеми другими операторами. ${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}}$

Полностью эта алгебра задается как

${\displaystyle [H',P'_{i}]=0\,\!}$

${\displaystyle [P'_{i},P'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},H']=0\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},C'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},L'_{kl}]=i[\delta _{ik}L'_{jl}-\delta _{il}L'_{jk}-\delta _{jk}L'_{il}+\delta _{jl}L'_{ik}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta _{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},C'_{k}]=i[\delta _{ik}C'_{j}-\delta _{jk}C'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},H']=iP'_{i}\,\!}$

и наконец

${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}~.}$

где появляется новый параметр . Это расширение и проективные представления , которые оно допускает, определяются его групповыми когомологиями . ${\displaystyle M}$

Смотрите также

• Галилеевская инвариантность
• Теория представления группы Галилея
• Галилеевско-ковариантная тензорная формулировка
• Группа Пуанкаре
• группа Лоренца
• Лагранжевы и эйлеровы координаты

Примечания

1. Галилей 1638i, 191–196 (на итальянском)
   Галилей 1638e, (на английском)
   Коперник и др. 2002, стр. 515–520
2. Mould 2002, Глава 2 §2.6, стр. 42
3. Лернер 1996, Глава 38 §38.2, стр. 1046,1047
4. Serway & Jewett 2006, Глава 9 §9.1, стр. 261
5. Хоффманн 1983, Глава 5, стр. 83
6. Арнольд 1989, стр. 6
7. [1] Наджафика и Фороф, 2009 г.
8. Унгар, А.А. (2006). За пределами закона сложения Эйнштейна и его гироскопической прецессии Томаса: теория гироскопических групп и пространств гировекторов (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. стр. 336. ISBN 978-0-306-47134-6.Выдержка из страницы 336
9. Гилмор 2006
10. Баргманн 1954

Ссылки

• Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Springer-Verlag. стр. 6. ISBN 0-387-96890-3.
• Баргманн, В. (1954). «О унитарном лучевом представлении непрерывных групп». Annals of Mathematics . 2. 59 (1): 1–46. doi :10.2307/1969831. JSTOR  1969831.
• Коперник, Николай ; Кеплер, Иоганн ; Галилей, Галилео ; Ньютон, Исаак ; Эйнштейн, Альберт (2002). Хокинг, Стивен (ред.). На плечах гигантов: Великие труды физики и астрономии . Филадельфия, Лондон: Running Press . С. 515–520. ISBN 0-7624-1348-4.
• Галилей, Галилей (1638i). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno á Due Nuoue Science (на итальянском языке). Лейден: Эльзевир . стр. 191–196.
• Галилей, Галилей (1638e). Беседы и математические демонстрации, относящиеся к двум новым наукам [ Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze ]. Переведено на английский в 1914 году Генри Крю и Альфонсо де Сальвио.
• Гилмор, Роберт (2006). Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения . Dover Books on Mathematics. Dover Publications . ISBN 0486445291.
• Хоффманн, Банеш (1983), Относительность и ее корни, Scientific American Books, ISBN 0-486-40676-8, Глава 5, стр. 83
• Лернер, Лоуренс С. (1996), Физика для ученых и инженеров, т. 2, Jones and Bertlett Publishers, Inc, ISBN 0-7637-0460-1, Глава 38 §38.2, стр. 1046,1047
• Молд, Ричард А. (2002), Основы теории относительности, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95210-1, Глава 2 §2.6, стр. 42
• Наджафиках, Мехди; Форуг, Ахмад-Реза (2009). «Галилеева геометрия движений» (PDF) . Прикладные науки . 11 : 91–105.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2006), Principles of Physics: A Calculus-based Text (4-е изд.), Brooks/Cole - Thomson Learning, Bibcode : 2006ppcb.book.....J, ISBN 0-534-49143-X, Глава 9 §9.1, стр. 261