Гиперкомплексное число

Элемент унитальной алгебры над полем действительных чисел

В математике гиперкомплексное число — традиционный термин для элемента конечномерной унитальной алгебры над полем действительных чисел . Изучение гиперкомплексных чисел в конце 19 века легло в основу современной теории представления групп .

История

В девятнадцатом веке числовые системы, называемые кватернионами , тессаринами , кокватернионами , бикватернионами и октонионами , стали устоявшимися концепциями в математической литературе, добавленными к действительным и комплексным числам . Концепция гиперкомплексного числа охватывала их все и требовала дисциплины для их объяснения и классификации.

Проект каталогизации начался в 1872 году, когда Бенджамин Пирс впервые опубликовал свою «Линейную ассоциативную алгебру» , и был продолжен его сыном Чарльзом Сандерсом Пирсом . ^[1] Наиболее важным было то, что они определили нильпотентные и идемпотентные элементы как полезные гиперкомплексные числа для классификаций. Конструкция Кэли–Диксона использовала инволюции для генерации комплексных чисел, кватернионов и октонионов из действительной системы чисел. Гурвиц и Фробениус доказали теоремы, которые накладывают ограничения на гиперсложность: теорема Гурвица гласит, что конечномерные действительные композиционные алгебры — это действительные числа , комплексы , кватернионы и октонионы , а теорема Фробениуса гласит, что единственными действительными ассоциативными алгебрами с делением являются , и . В 1958 году Дж. Фрэнк Адамс опубликовал дальнейшее обобщение в терминах инвариантов Хопфа на H -пространствах, которое по-прежнему ограничивает размерность до 1, 2, 4 или 8. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Именно матричная алгебра использовала гиперкомплексные системы. Например, было обнаружено, что действительные матрицы 2 x 2 изоморфны кокватернионам . Вскоре матричная парадигма начала объяснять несколько других, поскольку они были представлены матрицами и их операциями. В 1907 году Джозеф Веддерберн показал, что ассоциативные гиперкомплексные системы могут быть представлены квадратными матрицами или прямыми произведениями алгебр квадратных матриц. ^{[3] [4]} С этой даты предпочтительным термином для гиперкомплексной системы стала ассоциативная алгебра , как видно из названия диссертации Веддерберна в Эдинбургском университете . Однако следует отметить, что неассоциативные системы, такие как октонионы и гиперболические кватернионы, представляют собой другой тип гиперкомплексных чисел.

Как объясняет Томас Хокинс ^[5] , гиперкомплексные числа являются ступеньками к изучению групп Ли и теории представления групп . Например, в 1929 году Эмми Нётер написала о «гиперкомплексных величинах и теории представления». ^[6] В 1973 году Кантор и Солодовников опубликовали учебник по гиперкомплексным числам, который был переведен в 1989 году. ^{[7] [8]}

Карен Паршалл написала подробное изложение расцвета гиперкомплексных чисел, ^[9] включая роль математиков, включая Теодора Мольена ^[10] и Эдуарда Штуди . ^[11] Для перехода к современной алгебре Бартель ван дер Варден посвящает тридцать страниц гиперкомплексным числам в своей Истории алгебры . ^[12]

Определение

Определение гиперкомплексного числа дано Кантором и Солодовниковым (1989) как элемента унитальной , но не обязательно ассоциативной или коммутативной , конечномерной алгебры над действительными числами. Элементы генерируются с действительными числовыми коэффициентами для базиса . Где это возможно, принято выбирать базис так, чтобы . Технический подход к гиперкомплексным числам направляет внимание в первую очередь на числа размерности два. ${\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}}$ ${\displaystyle i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}}$

Двумерные действительные алгебры

Теорема: ^{[7] : 14, 15  [13] [14]} С точностью до изоморфизма существует ровно три двумерные унитальные алгебры над вещественными числами: обычные комплексные числа , расщепляемые комплексные числа и дуальные числа . В частности, каждая двумерная унитальная алгебра над вещественными числами ассоциативна и коммутативна.

Доказательство: Поскольку алгебра двумерна, мы можем выбрать базис {1, u } . Поскольку алгебра замкнута относительно возведения в квадрат, нереальный базисный элемент u возводится в квадрат до линейной комбинации 1 и u :

${\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u}$

для некоторых действительных чисел a ₀ и a ₁ .

Используя обычный метод завершения квадрата путем вычитания a ₁ u и прибавления квадратного дополнения a²
₁ / 4 в обе стороны дает

${\displaystyle u^{2}-a_{1}u+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$

Таким образом , три случая зависят от этого реального значения: ${\textstyle \left(u-{\frac {1}{2}}a_{1}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}$ ${\textstyle {\tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$

• Если 4 a ₀ = − a ₁ ² , то приведенная выше формула дает ũ ² = 0 . Следовательно, ũ можно напрямую отождествить с нильпотентным элементом базиса двойственных чисел. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \{1,~\varepsilon \}}$
• Если 4 a ₀ > − a ₁ ² , то приведенная выше формула дает ũ ² > 0 . Это приводит к расщепленным комплексным числам, которые имеют нормализованный базис с . Чтобы получить j из ũ , последнее необходимо разделить на положительное действительное число , которое имеет тот же квадрат, что и ũ . ${\displaystyle \{1,~j\}}$ ${\displaystyle j^{2}=+1}$ ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}}}}$
• Если 4 a ₀ < − a ₁ ² , то приведенная выше формула дает ũ ² < 0 . Это приводит к комплексным числам, которые имеют нормализованный базис с . Чтобы получить i из ũ , последнее нужно разделить на положительное действительное число , квадрат которого равен отрицательному значению ũ ² . ${\displaystyle \{1,~i\}}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}-a_{0}}}}$

Комплексные числа — единственная 2-мерная гиперкомплексная алгебра, которая является полем . Расщепленные алгебры, такие как расщеплённые комплексные числа, которые включают недействительные корни из 1, также содержат идемпотенты и делители нуля , поэтому такие алгебры не могут быть алгебрами с делением . Однако эти свойства могут оказаться весьма значимыми, например, при представлении светового конуса с нулевым конусом . ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1\pm j)}$ ${\displaystyle (1+j)(1-j)=0}$

В выпуске журнала Mathematics Magazine за 2004 год двумерные действительные алгебры были названы «обобщенными комплексными числами». ^[15] Идею перекрестного отношения четырех комплексных чисел можно распространить на двумерные действительные алгебры. ^[16]

Примеры более высоких измерений (более одной недействительной оси)

Алгебры Клиффорда

Алгебра Клиффорда — это унитальная ассоциативная алгебра, сгенерированная над базовым векторным пространством, снабженным квадратичной формой . Над действительными числами это эквивалентно возможности определить симметричное скалярное произведение, u ⋅ v = ⁠1/2⁠ ( uv + vu ), которые можно использовать для ортогонализации квадратичной формы, чтобы получить базис { e ₁ , ..., e _k } такой, что: $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}\right)={\begin{cases}-1,0,+1&i=j,\\0&i\not =j.\end{cases}}}$$

Наложение замыкания при умножении генерирует многовекторное пространство, охватываемое базисом из 2 ^k элементов, {1, e ₁ , e ₂ , e ₃ , ..., e ₁ e ₂ , ..., e ₁ e ₂ e ₃ , ...}. Их можно интерпретировать как базис гиперкомплексной системы счисления. В отличие от базиса { e ₁ , ..., e _k }, оставшиеся базисные элементы не должны быть антикоммутирующими , в зависимости от того, сколько простых обменов необходимо выполнить, чтобы поменять местами два множителя. Так что e ₁ e ₂ = − e ₂ e ₁ , но e ₁ ( e ₂ e ₃ ) = +( e ₂ e ₃ ) e ₁ .

Оставляя в стороне базисы, содержащие элемент e _i такой, что e _i ² = 0 (т.е. направления в исходном пространстве, по которым квадратичная форма была вырождена ), оставшиеся алгебры Клиффорда можно идентифицировать по метке Cl _{p , q} ( ), указывающей, что алгебра построена из p простых базисных элементов с e _i ² = +1 , q с e _i ² = −1 , и где указывает, что это должна быть алгебра Клиффорда над действительными числами, т.е. коэффициенты элементов алгебры должны быть действительными числами. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Эти алгебры, называемые геометрическими алгебрами , образуют систематический набор, который оказывается очень полезным в физических задачах, связанных с вращениями , фазами или спинами , особенно в классической и квантовой механике , электромагнитной теории и теории относительности .

Примеры включают в себя: комплексные числа Cl _0,1 ( ), расщепленные комплексные числа Cl _1,0 ( ), кватернионы Cl _0,2 ( ), расщепленные бикватернионы Cl _0,3 ( ), расщепленные кватернионы Cl _1,1 ( ) ≈ Cl _2,0 ( ) (естественная алгебра двумерного пространства); Cl _3,0 ( ) (естественная алгебра трехмерного пространства и алгебра матриц Паули ); и алгебра пространства-времени Cl _1,3 ( ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Элементы алгебры Cl _{p , q} ( ) образуют четную подалгебру Cl ${\displaystyle \mathbb {R} }$^[0]
_{д +1, п}( ) алгебры Cl _{q +1, p} ( ), которая может быть использована для параметризации вращений в большей алгебре. Таким образом, существует тесная связь между комплексными числами и вращениями в двумерном пространстве; между кватернионами и вращениями в трехмерном пространстве; между расщепленными комплексными числами и (гиперболическими) вращениями ( преобразованиями Лоренца ) в 1+1-мерном пространстве и т. д. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

В то время как конструкции Кэли–Диксона и расщепленно-комплексные конструкции с восемью или более измерениями не являются ассоциативными относительно умножения, алгебры Клиффорда сохраняют ассоциативность при любом числе измерений.

В 1995 году Ян Р. Портеус написал о "Распознавании подалгебр" в своей книге об алгебрах Клиффорда. Его Предложение 11.4 суммирует гиперкомплексные случаи: ^[17]

Пусть A — действительная ассоциативная алгебра с единичным элементом 1. Тогда

• 1 порождает ( алгебра действительных чисел ), ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• любая двумерная подалгебра, порождённая элементом e ₀ из A таким, что e ₀ ² = −1, изоморфна ( алгебре комплексных чисел ), ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• любая двумерная подалгебра, порождённая элементом e ₀ из A таким, что e ₀ ² = 1, изоморфна ² (парам действительных чисел с покомпонентным произведением, изоморфным алгебре расщепляемых комплексных чисел ), ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• любая четырехмерная подалгебра, порожденная набором { e ₀ , e ₁ } взаимно антикоммутирующих элементов A , такая, что изоморфна ( алгебре кватернионов ), ${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$
• любая четырехмерная подалгебра, порожденная набором { e ₀ , e ₁ } взаимно антикоммутирующих элементов A, такая, что изоморфна M ₂ ( ) (2 × 2 действительные матрицы , кокватернионы ), ${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• любая восьмимерная подалгебра, порожденная набором { e ₀ , e ₁ , e ₂ } взаимно антикоммутирующих элементов A , такая, что она изоморфна ² ( расщепленные бикватернионы ), ${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$
• любая восьмимерная подалгебра, порождённая набором { e ₀ , e ₁ , e ₂ } взаимно антикоммутирующих элементов алгебры A, такая, что изоморфна M ₂ ( ) ( комплексные матрицы 2 × 2 , бикватернионы , алгебра Паули ). ${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Строительство Кейли–Диксона

График Cayley Q8 умножения кватернионов, показывающий циклы умножения i (красный), j (зеленый) и k (синий). В файле SVG наведите курсор или щелкните путь, чтобы выделить его.

Все алгебры Клиффорда Cl _{p , q} ( ) помимо действительных чисел, комплексных чисел и кватернионов содержат недействительные элементы, квадрат которых равен +1; и поэтому не могут быть алгебрами с делением. Другой подход к расширению комплексных чисел используется в конструкции Кэли–Диксона . Это порождает числовые системы размерности 2 ⁿ , n = 2, 3, 4, ..., с базисами , где все недействительные базисные элементы антикоммутируют и удовлетворяют . В 8 или более измерениях ( n ≥ 3 ) эти алгебры неассоциативны. В 16 или более измерениях ( n ≥ 4 ) эти алгебры также имеют делители нуля . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}}$ ${\displaystyle i_{m}^{2}=-1}$

Первые алгебры в этой последовательности включают 4-мерные кватернионы , 8-мерные октонионы и 16-мерные седенионы . Алгебраическая симметрия теряется с каждым увеличением размерности: умножение кватернионов не коммутативно , умножение октонионов неассоциативно , а норма седенионов не мультипликативна. После седенионов идут 32-мерные тригинтадуонионы ( или 32-нионы), 64-мерные сексагинтакватронионы (или 64-нионы), 128-мерные центумдуодетригинтанионы (или 128-нионы), 256-мерные дуцентиквинквагинтасексионы (или 256-нионы) и так далее до бесконечности , как показано в таблице ниже. ^[18]

Конструкция Кэли–Диксона может быть модифицирована путем вставки дополнительного знака на некоторых этапах. Затем она генерирует «расщепленные алгебры» в наборе композиционных алгебр вместо алгебр деления:

расщепленные комплексные числа с базисом , удовлетворяющим , ${\displaystyle \{1,\,i_{1}\}}$ ${\displaystyle \ i_{1}^{2}=+1}$

расщепленные кватернионы с базисом, удовлетворяющим , и ${\displaystyle \{1,\,i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\}}$ ${\displaystyle \ i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}$

сплит-октонионы с базисом, удовлетворяющим , ${\displaystyle \{1,\,i_{1},\,\dots ,\,i_{7}\}}$ ${\displaystyle \ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1}$ ${\displaystyle \ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1.}$

В отличие от комплексных чисел, сплит-комплексные числа не являются алгебраически замкнутыми и, кроме того, содержат нетривиальные делители нуля и нетривиальные идемпотенты . Как и кватернионы, сплит-кватернионы не являются коммутативными, но, кроме того, содержат нильпотенты ; они изоморфны квадратным матрицам размерности два. Сплит-октонионы неассоциативны и содержат нильпотенты.

Тензорные продукты

Тензорное произведение любых двух алгебр — это еще одна алгебра, которую можно использовать для получения множества других примеров гиперкомплексных числовых систем.

В частности, взятие тензорных произведений с комплексными числами (рассматриваемыми как алгебры над действительными числами) приводит к четырехмерным бикомплексным числам (изоморфным тессаринам ), восьмимерным бикватернионам и 16-мерным комплексным октонионам . ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} }$

Дополнительные примеры

• бикомплексные числа : 4-мерное векторное пространство над действительными числами, 2-мерное над комплексными числами, изоморфное тессаринам.
• мультикомплексные числа : 2 ⁿ -мерные векторные пространства над действительными числами, 2 ^{n −1} -мерные над комплексными числами
• композиционная алгебра : алгебра с квадратичной формой , которая компонуется с произведением

Смотрите также

• Томас Киркман
• Георг Шефферс
• Ричард Брауэр
• Гиперкомплексный анализ

Ссылки

1. Пирс, Бенджамин (1881), «Линейная ассоциативная алгебра», Американский журнал математики , 4 (1): 221–6, doi :10.2307/2369153, JSTOR  2369153
2. Адамс, Дж. Ф. (июль 1960 г.), «О несуществовании элементов инварианта Хопфа один» (PDF) , Annals of Mathematics , 72 (1): 20–104, CiteSeerX 10.1.1.299.4490 , doi :10.2307/1970147, JSTOR  1970147 
3. Дж. Х. М. Веддерберн (1908), «О гиперкомплексных числах», Труды Лондонского математического общества , 6 : 77–118, doi :10.1112/plms/s2-6.1.77
4. Эмиль Артин позже обобщил результат Веддерберна, и теперь он известен как теорема Артина–Веддерберна.
5. Хокинс, Томас (1972), «Гиперкомплексные числа, группы Ли и создание теории представления групп», Архив истории точных наук , 8 (4): 243–287, doi :10.1007/BF00328434, S2CID  120562272
6. Нётер, Эмми (1929), «Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie» [Гиперкомплексные величины и теория представлений], Mathematische Annalen (на немецком языке), 30 : 641–92, doi : 10.1007/BF01187794, S2CID  120464373, заархивировано из оригинала 29 марта 2016 г. , получено 14 января 2016 г.
7. Kantor, IL, Solodownikow (1978), Hyperkomplexe Zahlen , BSB BG Teubner Verlagsgesellschaft, Лейпциг
8. Кантор, ИЛ; Солодовников, А.С. (1989), Гиперкомплексные числа , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96980-0, МР  0996029
9. Паршалл, Карен (1985), «Джозеф Х. М. Веддерберн и структурная теория алгебр», Архив истории точных наук , 32 (3–4): 223–349, doi :10.1007/BF00348450, S2CID  119888377
10. Молиен, Теодор (1893), "Ueber Systeme höherer complexer Zahlen", Mathematische Annalen , 41 (1): 83–156, doi : 10.1007/BF01443450, S2CID  122333076
11. Исследование, Эдуард (1898), «Теория der gemeinen und höhern komplexen Grössen», Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften , vol. ИА, стр. 147–183.
12. Ван дер Варден, Б. Л. (1985), "10. Открытие алгебр, 11. Структура алгебр", История алгебры , Springer, ISBN 3-540-13610X
13. Яглом, Исаак (1968), Комплексные числа в геометрии , стр. 10–14.
14. Юинг, Джон Х., ред. (1991), Numbers , Springer, стр. 237, ISBN 3-540-97497-0
15. Харкин, Энтони А.; Харкин, Джозеф Б. (2004), «Геометрия обобщенных комплексных чисел» (PDF) , Mathematics Magazine , 77 (2): 118–129, doi :10.1080/0025570X.2004.11953236, S2CID  7837108
16. Брюэр, Скай (2013), «Проективное кросс-отношение гиперкомплексных чисел», Advances in Applied Clifford Algebras , 23 (1): 1–14, arXiv : 1203.2554 , doi : 10.1007/s00006-012-0335-7, S2CID  119623082
17. Портеус, Ян Р. (1995), Алгебры Клиффорда и классические группы , Cambridge University Press , стр. 88–89, ISBN 0-521-55177-3
18. Царёв, Александр (2015). «Единый подход к разработке рационализированных алгоритмов умножения гиперкомплексных чисел». Пшеглэнд Электротехнический . 1 (2). Видавниктво СИГМА-НЕ: 38–41. дои : 10.15199/48.2015.02.09. ISSN  0033-2097.

Дальнейшее чтение

• Альфсманн, Даниэль (2006), «О семействах 2^N-мерных гиперкомплексных алгебр, подходящих для цифровой обработки сигналов» (PDF) , 14-я Европейская конференция по обработке сигналов, Флоренция, Италия, стр. 1–4
• Артин, Эмиль (1965) [1928], «Zur Theorie der Hyperkomplexen Zahlen; Zur Arithmetik Hyperkomplexer Zahlen», в Ланге , Серж ; Тейт, Джон Т. (ред.), Сборник статей Эмиля Артина , Аддисон-Уэсли , стр. 301–345.
• Баез, Джон (2002), «Октонионы», Бюллетень Американского математического общества , 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X, ISSN  0002-9904, S2CID  586512
• Картан, Эли (1908), «Les systèmes de nombres complex et les groupes de Transformes», Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées , vol. я 1. и Ouvres Completes T.2 ч. 1, стр. 107–246.
• Герцбергер, Макс (1923), «Гиперкомплексер Ueber Systeme Grössen», докторская диссертация , Университет Фридриха Вильгельма , заархивировано из оригинала 30 января 2021 г. , получено 20 сентября 2015 г.
• La Duke, Jeanne (1983), «Изучение линейных ассоциативных алгебр в Соединенных Штатах, 1870–1927», в Srinivasan, B.; Sally, J. (ред.), Emmy Noether in Bryn Mawr: Proceedings of a Symposium Sponsored by the Association for Women in Mathematics in Honor of Emmy Noether's 100th Birthday, Springer, стр. 147–159, ISBN 978-0-387-90838-0
• Olariu, Silviu (2002), Complex Numbers in N Dimensions , North-Holland Mathematics Studies, т. 190, Elsevier , ISBN 0-444-51123-7
• Сабадини, Ирен ; Шапиро, Майкл; Соммен, Франк, ред. (2009), Гиперкомплексный анализ и приложения , Биркхаузер, ISBN 978-3-7643-9892-7
• Табер, Генри (1904), «О гиперкомплексных числовых системах», Труды Американского математического общества , 5 (4): 509–548, doi :10.2307/1986280, JSTOR  1986280
• МакЛаган Веддерберн, Дж. Х. (1908), «О гиперкомплексных числах», Труды Лондонского математического общества , s2-6 (1): 77–118, doi :10.1112/plms/s2-6.1.77

Внешние ссылки

• «Гиперкомплексное число», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Гиперкомплексное число". MathWorld .
• Стади, Э., О системах комплексных чисел и их применении к теории групп преобразований (PDF)(перевод на английский)
• Фробениус, Г., Теория гиперкомплексных величин (PDF)(перевод на английский)