Число Грассмана

Антикоммутационное число

В математической физике число Грассмана , названное в честь Германа Грассмана (также называемое антикоммутирующим числом или суперчислом ), является элементом внешней алгебры комплексного векторного пространства. ^[1] Частный случай одномерной алгебры известен как дуальное число . Числа Грассмана рано нашли применение в физике для выражения представления интеграла по траектории для фермионных полей , хотя в настоящее время они широко используются в качестве основы для суперпространства , на котором строится суперсимметрия .

Неформальное обсуждение

Числа Грассмана генерируются антикоммутирующими элементами или объектами. Идея антикоммутирующих объектов возникает во многих областях математики: они обычно встречаются в дифференциальной геометрии , где дифференциальные формы являются антикоммутирующими. Дифференциальные формы обычно определяются в терминах производных на многообразии; однако можно рассмотреть ситуацию, когда кто-то «забывает» или «игнорирует» существование любого базового многообразия и «забывает» или «игнорирует», что формы были определены как производные, и вместо этого просто рассмотреть ситуацию, когда у кого-то есть объекты, которые антикоммутируют и не имеют других предопределенных или предполагаемых свойств. Такие объекты образуют алгебру , а именно алгебру Грассмана или внешнюю алгебру.

Числа Грассмана являются элементами этой алгебры. Название «число» оправдано тем фактом, что они ведут себя не так, как «обычные» числа: их можно складывать, умножать и делить: они ведут себя почти как поле . Можно сделать больше: можно рассмотреть многочлены чисел Грассмана, что приводит к идее голоморфных функций . Можно взять производные таких функций, а затем рассмотреть также и первообразные. Каждая из этих идей может быть тщательно определена и достаточно хорошо соответствовать эквивалентным концепциям из обычной математики. Аналогия на этом не заканчивается: есть целая ветвь суперматематики , где аналогом евклидова пространства является суперпространство , аналогом многообразия является супермногообразие , аналогом алгебры Ли является супералгебра Ли и так далее. Числа Грассмана являются базовой конструкцией, которая делает все это возможным.

Конечно, можно было бы следовать аналогичной программе для любого другого поля или даже кольца , и это действительно широко и обычно делается в математике. Однако суперматематика приобретает особое значение в физике, поскольку антикоммутативное поведение можно строго отождествить с квантово-механическим поведением фермионов: антикоммутативность — это то, что есть в принципе исключения Паули . Таким образом, изучение чисел Грассмана и суперматематики в целом в значительной степени обусловлено их полезностью в физике.

В частности, в квантовой теории поля , или, более узко, во вторичном квантовании , работают с лестничными операторами , которые создают многочастичные квантовые состояния. Лестничные операторы для фермионов создают кванты поля, которые обязательно должны иметь антисимметричные волновые функции , поскольку это обусловлено принципом исключения Паули. В этой ситуации число Грассмана немедленно и напрямую соответствует волновой функции, которая содержит некоторое (обычно неопределенное) число фермионов.

Когда число фермионов фиксировано и конечно, явная связь между антикоммутационными соотношениями и спинорами задается посредством спиновой группы . Эта группа может быть определена как подмножество векторов единичной длины в алгебре Клиффорда и естественным образом факторизуется в антикоммутирующие спиноры Вейля . Как антикоммутация, так и выражение в виде спиноров возникают естественным образом для спиновой группы. По сути, числа Грассмана можно рассматривать как отбрасывающие соотношения, возникающие из спина, и сохраняющие только соотношения, обусловленные антикоммутацией.

Общее описание и свойства

Числа Грассмана — это отдельные элементы или точки внешней алгебры , порожденные набором из n переменных Грассмана или направлений Грассмана или суперзарядов , причем n может быть бесконечным. Использование термина «переменные Грассмана» является историческим; они не являются переменными как таковыми ; их лучше понимать как базисные элементы унитальной алгебры . Терминология исходит из того факта, что основное использование — определение интегралов, и что переменная интегрирования имеет грассманово значение, и, таким образом, из-за злоупотребления языком, называется переменной Грассмана. Аналогично, понятие направления происходит от понятия суперпространства , где обычное евклидово пространство расширяется дополнительными «направлениями» со значениями Грассмана. Название заряда происходит от понятия зарядов в физике , которые соответствуют генераторам физических симметрий (через теорему Нётер ). Воспринимаемая симметрия заключается в том, что умножение на одну переменную Грассмана меняет местами градуировку между фермионами и бозонами; это обсуждается более подробно ниже. ${\displaystyle \{\theta _{i}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Переменные Грассмана являются базисными векторами векторного пространства (размерности n ). Они образуют алгебру над полем , причем поле обычно рассматривается как комплексные числа , хотя можно рассмотреть и другие поля, такие как действительные числа. Алгебра является унитальной алгеброй , а генераторы являются антикоммутирующими:

${\displaystyle \theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}}$

Поскольку являются элементами векторного пространства над комплексными числами, они, по определению, коммутируют с комплексными числами. То есть, для комплексного x имеем ${\displaystyle \theta _{i}}$

${\displaystyle \theta _{i}x=x\theta _{i}.}$

Квадраты генераторов исчезают:

${\displaystyle (\theta _{i})^{2}=0,}$с ${\displaystyle \theta _{i}\theta _{i}=-\theta _{i}\theta _{i}.}$

Другими словами, переменная Грассмана — это ненулевой квадратный корень из нуля.

Формальное определение

Формально, пусть V будет n -мерным комплексным векторным пространством с базисом . Грассманова алгебра, чьи грассмановы переменные являются, определяется как внешняя алгебра V , а именно ${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle \Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus V\oplus \left(V\wedge V\right)\oplus \left(V\wedge V\wedge V\right)\oplus \cdots \oplus \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{n}\equiv \mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V=\bigoplus _{k=0}^{n}\Lambda ^{k}V,}$

где — внешнее произведение , а — прямая сумма . Отдельные элементы этой алгебры называются числами Грассмана . Обычно при записи числа Грассмана символ клина опускается после того, как определение установлено. Общее число Грассмана можно записать как ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \wedge }$

${\displaystyle z=c_{0}+\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

где — строго возрастающие k -кортежи с , а — комплексные, полностью антисимметричные тензоры ранга k . Опять же , и (при условии ), и большие конечные произведения, можно здесь рассматривать как играющие роль базисных векторов подпространств . ${\displaystyle (i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})}$ ${\displaystyle 1\leq i_{j}\leq n,1\leq j\leq k}$ ${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \theta _{i}\wedge \theta _{j}=\theta _{i}\theta _{j}}$ ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle \Lambda }$

Алгебра Грассмана, порожденная n линейно независимыми переменными Грассмана, имеет размерность 2 ⁿ ; это следует из биномиальной теоремы, примененной к приведенной выше сумме, и того факта, что ( n + 1) -кратное произведение переменных должно исчезнуть, согласно антикоммутационным соотношениям, приведенным выше. Размерность задается как n select k , биномиальный коэффициент . Особый случай n = 1 называется дуальным числом и был введен Уильямом Клиффордом в 1873 году. ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$

В случае, если V бесконечномерно, указанный выше ряд не заканчивается и можно определить

${\displaystyle \Lambda _{\infty }(V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots .}$

Общий элемент теперь

${\displaystyle z=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}\equiv z_{B}+z_{S}=z_{B}+\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

где иногда называют телом и душой сверхчисла .​ ${\displaystyle z_{B}}$ ${\displaystyle z_{S}}$ ${\displaystyle z}$

Характеристики

В конечномерном случае (используя ту же терминологию) душа нильпотентна , т.е.

${\displaystyle z_{S}^{n+1}=0,}$

Но это не обязательно так в случае бесконечной размерности. ^[2]

Если V конечномерно, то

${\displaystyle \theta _{i}z=0,\quad 1\leq i\leq n\Rightarrow z=c\theta _{1}\theta _{2}\cdots \theta _{n},\quad c\in \mathbb {C} ,}$

и если V бесконечномерно ^[3]

${\displaystyle \theta _{a}z=0\quad \forall a\Rightarrow z=0.}$

Конечные и счетные множества генераторов

В литературе обычно встречаются два различных типа суперчисел: с конечным числом генераторов, обычно n = 1, 2, 3 или 4, и со счетно-бесконечным числом генераторов. Эти две ситуации не так уж не связаны, как может показаться на первый взгляд. Во-первых, в определении супермногообразия один вариант использует счетно-бесконечное число генераторов, но затем применяет топологию, которая эффективно уменьшает размерность до небольшого конечного числа. ^{[4] [5]}

В другом случае можно начать с конечного числа генераторов, но в ходе вторичного квантования возникает необходимость в бесконечном числе генераторов: по одному на каждый возможный импульс, который может переносить фермион.

Инволюция, выбор поля

Комплексные числа обычно выбираются в качестве поля для определения чисел Грассмана, в отличие от действительных чисел, поскольку это позволяет избежать некоторых странных поведений при введении сопряжения или инволюции . Обычно вводят оператор * для чисел Грассмана таким образом, что:

${\displaystyle \theta =\theta ^{*}}$

когда является генератором, и таким, что ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle (\theta _{i}\theta _{j}\cdots \theta _{k})^{*}=\theta _{k}\cdots \theta _{j}\theta _{i}}$

Затем можно рассмотреть числа Грассмана z, для которых , и назвать их (супер) действительными , в то время как те, которые подчиняются, называются (супер) мнимыми . Эти определения прекрасно переносятся, даже если числа Грассмана используют действительные числа в качестве базового поля; однако в таком случае многие коэффициенты вынуждены исчезать, если число генераторов меньше 4. Таким образом, по соглашению, числа Грассмана обычно определяются над комплексными числами. ${\displaystyle z=z^{*}}$ ${\displaystyle z^{*}=-z}$

Возможны и другие соглашения; вышеприведенное иногда называют соглашением ДеВитта; Роджерс использует его для инволюции. В этом соглашении действительные суперчисла всегда имеют действительные коэффициенты; тогда как в соглашении ДеВитта действительные суперчисла могут иметь как действительные, так и мнимые коэффициенты. Несмотря на это, обычно проще всего работать с соглашением ДеВитта. ${\displaystyle \theta ^{*}=i\theta }$

Анализ

Произведения нечетного числа грассмановых переменных антикоммутируют друг с другом; такое произведение часто называют a-числом . Произведения четного числа грассмановых переменных коммутируют (со всеми грассмановыми числами); их часто называют c-числами s. Злоупотребляя терминологией, a-число иногда называют антикоммутирующим c-числом . Это разложение на четные и нечетные подпространства дает градуировку алгебры ; таким образом, алгебры Грассмана являются прототипическими примерами суперкоммутативных алгебр . Обратите внимание, что c-числа образуют подалгебру , а a-числа — нет (они являются подпространством, а не подалгеброй). ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

Определение чисел Грассмана позволяет проводить математический анализ по аналогии с анализом комплексных чисел. То есть можно определять суперголоморфные функции, определять производные, а также определять интегралы. Некоторые из основных понятий более подробно изложены в статье о дуальных числах .

Как правило, обычно проще определить суперсимметричные аналоги обычных математических сущностей, работая с числами Грассмана с бесконечным числом генераторов: большинство определений становятся простыми и могут быть взяты из соответствующих бозонных определений. Например, одно число Грассмана можно рассматривать как порождающее одномерное пространство. Тогда векторное пространство, m -мерное суперпространство , появляется как m -кратное декартово произведение этих одномерных ^{[ требуется пояснение ]} Можно показать, что это по сути эквивалентно алгебре с m генераторами, но это требует работы. ^{[6] [ требуется пояснение ]} ${\displaystyle \Lambda .}$

Спинорное пространство

Спинорное пространство определяется как грассманова или внешняя алгебра пространства спиноров Вейля (и антиспиноров ), такая, что волновые функции n фермионов принадлежат . ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\overline {W}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }^{n}W}$

Интеграция

Интегралы по числам Грассмана известны как интегралы Березина (иногда называемые интегралами Грассмана). Чтобы воспроизвести интеграл по траектории для поля Ферми, определение интегрирования Грассмана должно обладать следующими свойствами:

• линейность $${\displaystyle \int \,[af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int \,f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta }$$
• формула частичной интеграции $${\displaystyle \int \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]\,d\theta =0.}$$

Более того, разложение Тейлора любой функции заканчивается после двух членов, поскольку , а квантовая теория поля дополнительно требует инвариантности относительно сдвига переменных интегрирования, так что ${\displaystyle f(\theta )=A+B\theta }$ ${\displaystyle \theta ^{2}=0}$ ${\displaystyle \theta \to \theta +\eta }$

${\displaystyle \int d\theta f(\theta )=\int d\theta (A+B\theta )\equiv \int d\theta ((A+B\eta )+B\theta ).}$

Единственная линейная функция, удовлетворяющая этому условию, — это константа (условно 1), умноженная на B , поэтому Березин определил ^[7]

${\displaystyle \int d\theta (A+B\theta )\equiv B.}$

Это приводит к следующим правилам интегрирования грассмановой величины:

• ${\displaystyle \int \,1\,d\theta =0}$
• ${\displaystyle \int \,\theta \,d\theta =1.}$

Таким образом, мы приходим к выводу, что операции интегрирования и дифференцирования числа Грассмана идентичны.

В формулировке интеграла по траекториям квантовой теории поля для фермионных антикоммутирующих полей необходим следующий гауссовский интеграл грассмановых величин, где A представляет собой матрицу N  ×  N :

${\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{\rm {T}}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A}$.

Условности и сложная интеграция

Неоднозначность возникает при интегрировании по нескольким числам Грассмана. Соглашение, которое сначала выполняет самый внутренний интеграл, дает

${\displaystyle \int d\theta \int d\eta \;\eta \theta =+1.}$

Некоторые авторы также определяют комплексное сопряжение аналогично эрмитову сопряжению операторов, ^[8]

${\displaystyle (\theta \eta )^{*}\equiv \eta ^{*}\theta ^{*}=-\theta ^{*}\eta ^{*}.}$

С дополнительной конвенцией

${\displaystyle \theta ={\frac {\theta _{1}+i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},\quad \theta ^{*}={\frac {\theta _{1}-i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},}$

мы можем рассматривать θ и θ* как независимые числа Грассмана и принять

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,(\theta \theta ^{*})=1.}$

Таким образом, гауссовский интеграл оценивается как

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,e^{-\theta ^{*}b\theta }=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1-\theta ^{*}b\theta )=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1+\theta \theta ^{*}b)=b}$

и дополнительный множитель θθ* фактически вводит множитель (1/b) , как и обычный гауссиан,

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,\theta \theta ^{*}\,e^{-\theta ^{*}b\theta }=1.}$

После доказательства унитарности мы можем вычислить общий гауссов интеграл, включающий эрмитову матрицу B с собственными значениями b _i , ^{[8] [9]}

${\displaystyle \left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}\,d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}B_{ij}\theta _{j}}=\left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}\,d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}b_{i}\theta _{i}}=\prod _{i}b_{i}=\det B.}$

Матричные представления

Числа Грассмана могут быть представлены матрицами . Рассмотрим, например, алгебру Грассмана, порожденную двумя числами Грассмана и . Эти числа Грассмана могут быть представлены матрицами 4×4: ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

${\displaystyle \theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

В общем случае алгебра Грассмана на n генераторах может быть представлена ​​квадратными матрицами 2 ⁿ × 2 ⁿ . Физически эти матрицы можно рассматривать как операторы повышения, действующие на гильбертовом пространстве из n идентичных фермионов в базисе числа занятости. Поскольку число занятости для каждого фермиона равно 0 или 1, существует 2 ⁿ возможных базисных состояний. Математически эти матрицы можно интерпретировать как линейные операторы, соответствующие левому внешнему умножению на самой алгебре Грассмана.

Обобщения

Существуют некоторые обобщения чисел Грассмана. Они требуют правил в терминах N переменных, таких, что:

${\displaystyle \theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{N}}+\theta _{i_{N}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots +\cdots =0}$

где индексы суммируются по всем перестановкам, так что в результате:

${\displaystyle (\theta _{i})^{N}=0\,}$

для некоторого N  > 2. Они полезны для вычисления гипердетерминантов N -тензоров , где N  > 2, а также для вычисления дискриминантов полиномов для степеней больше 2. Существует также предельный случай, когда N стремится к бесконечности, в этом случае можно определить аналитические функции на числах. Например, в случае с N  = 3 одно число Грассмана может быть представлено матрицей:

${\displaystyle \theta ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad }$

так что . Для двух чисел Грассмана матрица будет иметь размер 10×10. ${\displaystyle \theta ^{3}=0}$

Например, правила для N  = 3 с двумя переменными Грассмана подразумевают:

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}+\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}+(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=0}$

так что можно показать, что

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=(\theta _{2})^{2}\theta _{1}}$

и так

${\displaystyle (\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}=(\theta _{2})^{2}(\theta _{1})^{2}=\theta _{1}(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=\theta _{2}(\theta _{1})^{2}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1},}$

что дает определение гипердетерминанта тензора 2×2×2 как

${\displaystyle (A^{abc}\theta _{a}\eta _{b}\psi _{c})^{4}=\det(A)(\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}(\eta _{1})^{2}(\eta _{2})^{2}(\psi _{1})^{2}(\psi _{2})^{2}.}$

Смотрите также

• Грассманиан
• Герман Грассман (лингвист и математик)
• Суперпространство
• Внешняя алгебра

Примечания

1. ДеВитт 1984, Глава 1, страница 1.
2. ДеВитт 1984, стр. 1–2.
3. ДеВитт 1984, стр. 2.
4. Роджерс 2007a, Глава 1 (доступно онлайн)
5. Роджерс 2007, Глава 1 и Глава 8.
6. Роджерс 2007
7. Березин, ФА (1966). Метод вторичного квантования. Чистая и прикладная физика. Т. 24. Нью-Йорк. ISSN  0079-8193.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
8. Пескин, Майкл Э.; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля (5. (исправленное) издание). Рединг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 9780201503975.
9. В источнике присутствует опечатка индексов.

Ссылки

• ДеВитт, Б. (1984). Супермногообразия . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42377-5.
• Пескин, Майкл Э.; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля (5-е (исправленное) издание). Рединг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 9780201503975.
• Роджерс, Элис (2007a). Супермногообразия: теория и приложения (PDF) . World Scientific. Глава 1. doi :10.1142/1878. ISBN 978-981-3203-21-1.
• Роджерс, Элис (2007). Супермногообразия: теория и приложения . World Scientific. ISBN 978-981-3203-21-1.