Коэффициент пластичности

Число, приблизительно 1,3247

В математике пластическое отношение — это геометрическая пропорция, близкая к 53/40 . Его истинное значение — это действительное решение уравнения x ³ = x + 1.

Прилагательное «пластический» относится не к искусственному материалу , а к формообразующим и скульптурным качествам этого соотношения, как в пластических искусствах .

Квадраты со сторонами в отношении ρ образуют замкнутую спираль

Определение

Три величины a > b > c > 0 находятся в пластическом соотношении, если

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {b+c}{a}}={\frac {b}{c}}}$.

Отношение обычно обозначается ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ ${\displaystyle \rho .}$

Пусть ⁠ ⁠ ${\displaystyle a=\rho \,}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \,b=1}$ , тогда

${\displaystyle \rho ^{2}=1+c\,\land \,\rho =1/c}$

${\displaystyle \implies \rho ^{2}-1=\rho ^{-1}}$.

Отсюда следует, что коэффициент пластичности находится как единственное действительное решение кубического уравнения. Десятичное разложение корня начинается как (последовательность A060006 в OEIS ). ${\displaystyle \rho ^{3}-\rho -1=0.}$ ${\displaystyle 1.324\,717\,957\,244\,746...}$

Решая уравнение по формуле Кардано ,

${\displaystyle w_{1,2}={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}\right)}$

${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}}$

или, используя гиперболический косинус , ^[2]

${\displaystyle \rho ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cosh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right).}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle \rho }$ — сверхстабильная неподвижная точка итерации . ${\displaystyle x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}-1)}$

Результатом итерации является непрерывный обратный квадратный корень ${\displaystyle x\gets {\sqrt {1+{\tfrac {1}{x}}}}}$

${\displaystyle \rho ={\sqrt {1+{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}$

Разделив определяющий трехчлен на ⁠ ⁠, получаем , а сопряженные элементы ⁠ ⁠ равны ${\displaystyle x^{3}-x-1}$ ${\displaystyle x-\rho }$ ${\displaystyle x^{2}+\rho x+1/\rho }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {1}{2}}\left(-\rho \pm i{\sqrt {3\rho ^{2}-4}}\right),}$

с и ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-\rho \;}$ ${\displaystyle \;x_{1}x_{2}=1/\rho .}$

Характеристики

Прямоугольники с соотношениями сторон ρ , ρ ² , ρ ³ (верхний) и ρ ² , ρ , ρ ³ (нижний ряд) замостили квадрат.

Пластическое отношение ⁠ ⁠ ${\displaystyle \rho }$ и золотое сечение ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$ являются единственными морфическими числами: действительными числами x > 1 , для которых существуют натуральные числа m и n такие, что

${\displaystyle x+1=x^{m}}$и . ^[3] ${\displaystyle x-1=x^{-n}}$

Морфические числа могут служить основой для системы мер.

Свойства ⁠ ⁠ ${\displaystyle \rho }$ (m=3 и n=4) связаны со свойствами ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$ (m=2 и n=1). Например, пластическое отношение удовлетворяет продолженному радикальному

${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}}$,

в то время как золотое сечение удовлетворяет аналогичному

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}$

Пластическое отношение может быть выражено через само себя как бесконечная геометрическая прогрессия

${\displaystyle \rho =\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-5n}}$и ${\displaystyle \,\rho ^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-3n},}$

по сравнению с золотым сечением тождества

${\displaystyle \varphi =\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-2n}}$и наоборот .

Кроме того, в то время как ${\displaystyle 1+\varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}=2}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{13}\rho ^{-n}=4.}$

Для каждого целого числа имеется ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{n}&=\rho ^{n-2}+\rho ^{n-3}\\&=\rho ^{n-1}+\rho ^{n-5}\\&=\rho ^{n-3}+\rho ^{n-4}+\rho ^{n-5}.\end{aligned}}}$

Алгебраическое решение приведенного уравнения пятой степени можно записать в терминах квадратных корней, кубических корней и радикала Бринга . Если , то . Так как ${\displaystyle y=x^{5}+x}$ ${\displaystyle x=BR(y)}$ ${\displaystyle \rho ^{-5}+\rho ^{-1}=1,\quad \rho =1/BR(1).}$

Простая цепная дробь с несколькими низкими степенями

${\displaystyle \rho ^{-1}=[0;1,3,12,1,1,3,2,3,2,...]\approx 0.7549}$( 25/33 )

${\displaystyle \ \rho ^{0}=[1]}$

${\displaystyle \ \rho ^{1}=[1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,...]\approx 1.3247}$( 45/34 )

${\displaystyle \ \rho ^{2}=[1;1,3,12,1,1,3,2,3,2,...]\approx 1.7549}$( 58/33 )

${\displaystyle \ \rho ^{3}=[2;3,12,1,1,3,2,3,2,4,...]\approx 2.3247}$( 79/34 )

${\displaystyle \ \rho ^{4}=[3;12,1,1,3,2,3,2,4,2,...]\approx 3.0796}$( 40/13 )

${\displaystyle \ \rho ^{5}=[4;12,1,1,3,2,3,2,4,2,...]\approx 4.0796}$( 53/13 ) ...

${\displaystyle \ \rho ^{7}=[7;6,3,1,1,4,1,1,2,1,1,...]\approx 7.1592}$( 93/13 ) ...

${\displaystyle \ \rho ^{9}=[12;1,1,3,2,3,2,4,2,141,...]\approx 12.5635}$( 88/7 )

Пластическое отношение — это наименьшее число Пизо . ^[4] Поскольку абсолютное значение алгебраических сопряженных чисел меньше 1, степени ⁠ ⁠ генерируют почти целые числа . Например: После 29 шагов вращения фазы вовнутрь спирально закручивающейся сопряженной пары — изначально близкие к ⁠ ⁠ — почти совпадают с мнимой осью. ${\displaystyle 1/{\sqrt {\rho }}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho ^{29}=3480.0002874...\approx 3480+1/3479.}$ ${\displaystyle \pm 45\pi /58}$

Минимальный многочлен пластического отношения имеет дискриминант . Поле классов Гильберта мнимого квадратичного поля может быть образовано присоединением ⁠ ⁠ . С аргументом генератор для кольца целых чисел ⁠ ⁠ , имеем специальное значение Дедекинда эта- частного ${\displaystyle m(x)=x^{3}-x-1}$ ${\displaystyle \Delta =-23}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \rho ={\frac {e^{\pi i/24}\,\eta (\tau )}{{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}}}$. ^[5]

Выражено в терминах инварианта класса Вебера-Рамануджана G _n

${\displaystyle \rho ={\frac {{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})}{\sqrt {2}}}={\frac {G_{23}}{\sqrt[{4}]{2}}}}$. ^[6]

Свойства соответствующего инварианта Клейна j ⁠ ⁠ ${\displaystyle j(\tau )}$ приводят к почти идентичности . Разница составляет < 1/12659 . ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}\approx \left({\sqrt {2}}\,\rho \right)^{24}-24}$

Эллиптическое интегральное сингулярное значение ^[7] для ⁠ ⁠ имеет замкнутую форму выражения ${\displaystyle k_{r}=\lambda ^{*}(r)}$ ${\displaystyle r=23}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(23)=\sin(\arcsin \left(({\sqrt[{4}]{2}}\,\rho )^{-12}\right)/2)}$

(что составляет менее 1/3 эксцентриситета орбиты Венеры).

Последовательность Ван дер Лаана

Веер из пластиковых плиток Рози с площадями в соотношении Ⴔ. Граница фрактала имеет размерность подсчета ящиков 1,11

В своем стремлении к ощутимой ясности голландский монах-бенедиктинец и архитектор Дом Ханс ван дер Лаан (1904-1991) спросил о минимальной разнице между двумя размерами, чтобы мы ясно воспринимали их как отдельные. Кроме того, каково максимальное соотношение двух размеров, чтобы мы все еще могли соотносить их и воспринимать близость. Согласно его наблюдениям, ответы — 1/4 и 7/1 , охватывающие один порядок размера . ^[8] Требуя пропорциональной непрерывности, он построил геометрический ряд из восьми мер ( типов размера ) с общим отношением 2 / (3/4 + 1/7 ^1/7 ) ≈ ρ . Представленная в рациональной форме, эта архитектоническая система меры построена из подмножества чисел, которые носят его имя.

Числа Ван дер Лана тесно связаны с последовательностями Перрена и Падована . В комбинаторике количество композиций n на части 2 и 3 подсчитывается n-м числом Ван дер Лана.

Последовательность Ван дер Лаана определяется рекуррентным соотношением третьего порядка

${\displaystyle V_{n}=V_{n-2}+V_{n-3}}$для n > 2 ,

с начальными значениями

${\displaystyle V_{1}=0,V_{0}=V_{2}=1}$.

Первые несколько членов — 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86,... (последовательность A182097 в OEIS ). Предельное отношение между последовательными членами — это пластическое отношение.

Огранка Кордонье 1924 г. При S ₁ = 3, S ₂ = 4, S ₃ = 5 гармоническое среднее ⁠С ₂/С ₁ ⁠ , ⁠С ₁ + С ₂/С ₃ ⁠ и ⁠С ₃/С ₂ ⁠ равно 3 / ( ⁠3/4⁠ + ⁠5/7⁠ + ⁠4/5⁠ ) ​​≈ ρ + 1/4922.

Первые 14 индексов n, для которых ⁠ ⁠ ${\displaystyle V_{n}}$ является простым числом, это n = 5, 6, 7, 9, 10, 16, 21, 32, 39, 86, 130, 471, 668, 1264 (последовательность A112882 в OEIS ). ^[9] Последнее число имеет 154 десятичных цифры.

Последовательность может быть расширена до отрицательных индексов с помощью

${\displaystyle V_{n}=V_{n+3}-V_{n+1}}$.

Производящая функция последовательности Ван дер Лаана определяется выражением

${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }V_{n}x^{n}}$для ^[10] ${\displaystyle x<1/\rho \;.}$

Последовательность связана с суммами биномиальных коэффициентов соотношением

${\displaystyle V_{n}=\sum _{k=\lfloor (n+2)/3\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }{k \choose n-2k}}$. ^[11]

Характеристическое уравнение рекуррентности имеет вид . Если три решения представляют собой действительный корень ⁠ ⁠ и сопряженную пару ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ , числа Ван дер Лаана можно вычислить с помощью формулы Бине ^[11] ${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle V_{n-1}=a\alpha ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}}$, с действительными ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ и сопряженными ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ корнями . ${\displaystyle 23x^{3}+x-1=0}$

Так как и , то число ⁠ ⁠ является ближайшим целым числом к ​​, при этом n > 1 и 0,31062 88296 40467 07776 19027... ${\displaystyle \left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <1/{\sqrt {\alpha ^{n}}}}$ ${\displaystyle \alpha =\rho }$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle a\,\rho ^{n+1}}$ ${\displaystyle a=\rho /(3\rho ^{2}-1)=}$

Коэффициенты приводят к формуле Бине для соответствующей последовательности . ${\displaystyle a=b=c=1}$ ${\displaystyle P_{n}=2V_{n}+V_{n-3}}$

Первые несколько членов — 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, 51, 68, 90, 119,... (последовательность A001608 в OEIS ).

Эта последовательность Перрена обладает свойством Ферма : если p — простое число, . Обратное утверждение неверно, но небольшое количество псевдопростых чисел делает последовательность особенной. ^[12] Единственные 7 составных чисел ниже 10 ⁸ , прошедших тест, — это n = 271441, 904631, 16532714, 24658561, 27422714, 27664033, 46672291. ^[13] ${\displaystyle P_{p}\equiv P_{1}{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle \,n\mid P_{n}}$

Пластиковый фрактал Рози: объединенная поверхность и три отдельные плитки имеют площади в соотношении ρ ⁵  : ρ ²  : ρ  : 1.

Числа Ван дер Лаана получаются как целые степени n > 2 матрицы с действительным собственным значением ⁠ ⁠ ^[10] ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle Q^{n}={\begin{pmatrix}V_{n}&V_{n+1}&V_{n-1}\\V_{n-1}&V_{n}&V_{n-2}\\V_{n-2}&V_{n-1}&V_{n-3}\end{pmatrix}}}$

След ⁠ ⁠ дает ${\displaystyle Q^{n}}$ числа Перрена .

В качестве альтернативы, ⁠ ⁠ ${\displaystyle Q}$ можно интерпретировать как матрицу инцидентности для системы Линденмайера D0L на алфавите ⁠ ⁠ с соответствующим правилом подстановки ${\displaystyle \{a,b,c\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}a\;\mapsto \;b\\b\;\mapsto \;ac\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}}$

и инициатор ⁠ ⁠ ${\displaystyle w_{0}=c}$ . Ряд слов ⁠ ⁠, ${\displaystyle w_{n}}$ полученный путем итерации подстановки, обладает тем свойством, что количество c, b и a равно последовательным числам Ван дер Лаана. Их длины равны ${\displaystyle l(w_{n})=V_{n+2}.}$

С этим процессом переписывания строк связан набор, состоящий из трех перекрывающихся самоподобных плиток, называемый фракталом Рози , который визуализирует комбинаторную информацию, содержащуюся в последовательности букв с несколькими поколениями. ^[14]

Геометрия

Три разбиения квадрата на подобные прямоугольники, 1 = 3· ⁠1/3⁠ = ⁠2/3⁠ + 2· ⁠1/6⁠ = ⁠1/ρ ² ⁠ + ⁠1/ρ ⁴ ⁠ + ⁠1/ρ ⁸ ⁠ .

Существует ровно три способа разбить квадрат на три подобных прямоугольника: ^{[15] [16]}

1. Тривиальное решение, представленное тремя равными прямоугольниками с соотношением сторон 3:1.
2. Решение, в котором два из трех прямоугольников равны, а третий имеет длину стороны в два раза больше, чем два других, причем прямоугольники имеют соотношение сторон 3:2.
3. Решение, в котором все три прямоугольника имеют разные размеры и имеют соотношение сторон ρ ² . Соотношения линейных размеров трех прямоугольников равны: ρ (большой:средний); ρ ² (средний:маленький); и ρ ³ (большой:маленький). Внутреннее длинное ребро самого большого прямоугольника (линия разлома квадрата) делит два из четырех ребер квадрата на два сегмента, каждый из которых находится в соотношении ρ. Внутреннее совпадающее короткое ребро среднего прямоугольника и длинное ребро маленького прямоугольника делят одно из двух других ребер квадрата на два сегмента, которые находятся в соотношении ρ ⁴ .

Тот факт, что прямоугольник с соотношением сторон ρ ² может быть использован для разбиения квадрата на подобные прямоугольники, эквивалентен алгебраическому свойству числа ρ ^{2 ,} связанному с теоремой Рауса–Гурвица : все его сопряженные числа имеют положительную действительную часть. ^{[17] [18]}

Радиус описанной окружности плосконосого икосододекододекаэдра для единичной длины ребра равен

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\rho -1}{\rho -1}}}}$. ^[19]

Прямоугольник Ро-квадрат

Вложенные ро-квадратные прямоугольники с длинами сторон, выраженными степенями ρ .

Дан прямоугольник высотой 1 , длиной ⁠ ⁠ ${\displaystyle \rho ^{2}}$ и длиной диагонали (согласно ). Треугольники на диагонали имеют высоты, каждая перпендикулярная ножка делит диагональ в отношении ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\sqrt {\rho ^{5}}}}$ ${\displaystyle 1+\rho ^{4}=\rho ^{5}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\rho }}\,;}$ ${\displaystyle \rho ^{4}}$

С левой стороны отрежьте квадрат со стороной 1 и отметьте пересечение с падающей диагональю. Оставшийся прямоугольник теперь имеет соотношение сторон ⁠ ⁠ ${\displaystyle \rho :1}$ (согласно ). Разделите исходный прямоугольник на четыре части вторым, горизонтальным разрезом, проходящим через точку пересечения. ^[20] ${\displaystyle \rho ^{2}-1=\rho ^{-1}}$

Исходный ро-квадратный прямоугольник и две масштабированные копии вдоль диагонали имеют линейные размеры в соотношениях Площади прямоугольников, противоположных диагонали, оба равны ⁠ ⁠ , с соотношениями сторон ⁠ ⁠ (внизу) и ⁠ ⁠ (вверху). ${\displaystyle \rho ^{3}:\rho :1.}$ ${\displaystyle 1/\rho ^{3}}$ ${\displaystyle \rho ^{3}}$ ${\displaystyle \rho }$

Если диаграмму далее разделить перпендикулярными линиями, проходящими через основания высот, то длины диагонали и ее (на данный момент) семи отдельных подсекторов находятся в соотношениях , где ⁠ ⁠ соответствует расстоянию между обоими основаниями. ${\displaystyle \rho ^{6}:\rho ^{5}:\rho ^{4}:\rho ^{2}+1:}$ ${\displaystyle \,\rho ^{3}:\rho ^{2}:\rho :1,}$ ${\displaystyle \rho ^{2}+1}$

Вложенные ро-квадратные прямоугольники с диагоналями в отношениях ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1/\rho ^{2}}$ сходятся на расстоянии от точки пересечения. Это равно единственному положительному узлу, который оптимизирует кубическую интерполяцию Лагранжа на интервале [−1,1] . При оптимальном наборе узлов T = {−1,−t, t, 1 } функция Лебега ⁠ ⁠ оценивается как минимальная кубическая константа Лебега ⁠ ⁠ в критической точке ^[21] Поскольку , это также расстояние от точки сходимости до верхней левой вершины. ${\displaystyle t={\sqrt {\rho }}/(\rho ^{2}+1)=0.41779130...}$ ${\displaystyle \lambda _{3}(x)}$ ${\displaystyle \Lambda _{3}(T)}$ ${\displaystyle x_{c}=\rho ^{2}t.}$ ${\displaystyle t+\rho ^{2}t={\sqrt {\rho }}}$

История и имена

Церковь аббатства Св. Бенедиктусберга 1967 года, спроектированная Хансом ван дер Лааном.

⁠ ⁠ ${\displaystyle \rho }$ впервые был изучен Акселем Туэ в 1912 году и Г. Х. Харди в 1919 году. ^[4] Французский старшеклассник Жерар Кордонье открыл это соотношение для себя в 1924 году. В своей переписке с Гансом ван дер Лааном несколько лет спустя он назвал его радиантным числом ( фр . le nombre radiant ). Ван дер Лаан изначально называл его фундаментальным соотношением ( голланд . de grondverhouding ), используя пластическое число ( голланд . het plastische getal ) с 1950-х годов. ^[22] В 1944 году Карл Зигель показал, что ρ является наименьшим возможным числом Пизо–Виджаярагхавана , и предложил назвать его в честь Туэ.

В отличие от названий золотых и серебряных сечений , слово «пластик» ван дер Лаан не подразумевал для обозначения конкретного вещества, а скорее в его прилагательном смысле, означающем что-то, чему можно придать трехмерную форму. ^[23] Это, по мнению Ричарда Падована , происходит потому, что характерные соотношения числа, ⁠3/4⁠ и ⁠1/7⁠ , относятся к пределам человеческого восприятия в отношении одного физического размера к другому. Ван дер Лаан спроектировал церковь аббатства Св. Бенедиктусберга 1967 года с учетом этих пластических числовых пропорций. ^[24]

Пластиковое число также иногда называют серебряным числом, название ему дал Мидхат Дж. Газале ^[25] и впоследствии использовал Мартин Гарднер ^[26] , но это название чаще используется для серебряного отношения 1 + √ 2 , одного из отношений из семейства металлических средних, впервые описанного Верой В. де Спинадель . Гарднер предложил называть ρ ² «высоким фи», а Дональд Кнут создал специальный типографский знак для этого названия, вариант греческой буквы фи («φ») с приподнятым центральным кругом, напоминающим грузинскую букву пари («Ⴔ»).

Смотрите также

• Решения уравнений, подобных : ${\displaystyle x^{3}=x+1}$
  • Золотое сечение – единственное положительное решение уравнения ${\displaystyle x^{2}=x+1}$
  • Суперзолотое сечение – единственное реальное решение уравнения ${\displaystyle x^{3}=x^{2}+1}$

Ссылки

1. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A072117". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
2. Табризян, Пейам (2022). «Каково соотношение пластика?». YouTube . Получено 26 ноября 2023 г.
3. Аартс, Ян; Фоккинк, Робберт; Крейцер, Годфрид (2001). «Морфические числа» (PDF) . Новый архив для Вискунде . 5. 2 (1): 56–58 . Проверено 26 ноября 2023 г.
4. Panju, Maysum (2011). "Систематическая конструкция почти целых чисел" (PDF) . The Waterloo Mathematics Review . 1 (2): 35–43 . Получено 29 ноября 2023 г. .
5. Вайсштейн, Эрик В. «Пластическая постоянная». MathWorld .
6. Рамануджан G-функция (на немецком)
7. Вайсштейн, Эрик В. "Эллиптическое интегральное сингулярное значение". MathWorld .
8. Воэт, Кэролайн [на голландском языке] (2019). «1:7 и серия 8». Цифровой кабинет Дома Ханса ван дер Лаана . Фонд Ван дер Лаана . Проверено 28 ноября 2023 г.
9. V _n = Pa _n+3
10. (последовательность A182097 в OEIS )
11. (последовательность A000931 в OEIS )
12. Адамс, Уильям; Шэнкс, Дэниел (1982). «Сильные тесты на простоту, которые недостаточны». Math. Comp . 39 (159). AMS: 255–300. doi : 10.2307/2007637 . JSTOR  2007637.
13. (последовательность A013998 в OEIS )
14. Сигел, Энн; Таким образомвальднер, Йорг М. (2009). «Топологические свойства фракталов Рози». Мемуары математического общества Франции . 2. 118 : 1–140. дои : 10.24033/msmf.430.
15. Стюарт, Ян (1996). «Рассказы о забытом числе». Scientific American . 274 (6): 102–103. Bibcode : 1996SciAm.274f.102S. doi : 10.1038/scientificamerican0696-102. Архивировано из оригинала 20.03.2012.Отзыв в: Стюарт, Ян (1996). «Руководство по компьютерным знакомствам». Scientific American . 275 (5): 118. Bibcode : 1996SciAm.275e.116S. doi : 10.1038/scientificamerican1196-116.
16. Spinadel, Vera W. de ; Redondo Buitrago, Antonia (2009), «К пластическому числу ван дер Лаана на плоскости» (PDF) , Journal for Geometry and Graphics , 13 (2): 163–175
17. Фрейлинг, К.; Ринне, Д. (1994), «Замощение квадрата подобными прямоугольниками», Mathematical Research Letters , 1 (5): 547–558, doi : 10.4310/MRL.1994.v1.n5.a3 , MR  1295549
18. Лацкович, М.; Шекереш, Г. (1995), «Замощение квадрата подобными прямоугольниками», Дискретная и вычислительная геометрия , 13 (3–4): 569–572, doi : 10.1007/BF02574063 , MR  1318796
19. Вайсштейн, Эрик В. "Плосконосый икосододекадодекаэдр". MathWorld .
20. Аналог конструкции в: Crilly, Tony (1994). «Сверхзолотой прямоугольник». The Mathematical Gazette . 78 (483): 320–325. doi :10.2307/3620208. JSTOR  3620208.
21. Rack, Heinz-Joachim (2013). "Повторный пример оптимальных узлов для интерполяции". В Anastassiou, George A.; Duman, Oktay (ред.). Advances in applied Mathematics and Approximation Theory 2012 . Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. Vol. 41. pp. 117–120. doi :10.1007/978-1-4614-6393-1. ISBN 978-1-4614-6393-1.
22. Voet 2016, примечание 12.
23. Шеннон, AG; Андерсон, PG; Хорадам, AF (2006). «Свойства чисел Кордонье, Перрена и Ван дер Лаана». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 37 (7): 825–831. doi :10.1080/00207390600712554. S2CID  119808971.
24. Падован, Ричард (2002), «Дом Ханс ван дер Лаан и пластиковое число», Nexus IV: Архитектура и математика , Фучеккио (Флоренция): Книги Кима Уильямса: 181–193.
25. Газале, Мидхат Дж. (1999). «Глава VII: Серебряное число». Гномон: от фараонов до фракталов . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. С. 135–150.
26. Гарднер, Мартин (2001). «Шесть сложных задач по препарированию» (PDF) . Тренировка Гарднера . Натик, Массачусетс: AK Peters. стр. 121–128.(Ссылка на статью в журнале Quantum 1994 года без постскриптума Гарднера.)

Дальнейшее чтение

• Лаан, ван дер, Ганс (1960), Le nombre plastique, Quinze leçons sur l'ordonnance Architecturetonique , Лейден: Брилл.
• Падован, Ричард ; Эк, Кэролайн ван ; Шипмейкер, HJ (1994), Дом Ханс ван дер Лаан: Современный примитив , Амстердам: Архитектура и природа.
• Voet, Caroline [на голландском] (2016), «Между взглядом и созданием: разгадка пластикового числа Дома Ханса ван дер Лаана», Architectural Histories , 4 (1), Лондон: Европейская сеть истории архитектуры.

Внешние ссылки

• Пластиковый прямоугольник и последовательность Падована в Тартапелаго, Джорджо Пьетрокола.
• Цифровой кабинет Дома Ханса ван дер Лаана в Архиве Ван дер Лаана.
• Харрис, Эдмунд (15 марта 2019 г.), «The Plastic Ratio» (видео) , youtube , Брэди Харан , заархивировано из оригинала 21.12.2021 г. , извлечено 15 марта 2019 г..