Правильный икосаэдр

В геометрии правильный икосаэдр (или просто икосаэдр ) — выпуклый многогранник , который можно построить из пятиугольной антипризмы , прикрепив две пятиугольные пирамиды с правильными гранями к каждой из ее пятиугольных граней или поместив точки на куб. Полученный многогранник имеет 20 равносторонних треугольников в качестве граней, 30 ребер и 12 вершин. Это пример Платонового тела и дельтаэдра . Граф икосаэдра представляет собой скелет правильного икосаэдра.

Многие многогранники построены из правильного икосаэдра. Например, большинство многогранников Кеплера–Пуансо построены путем огранки . Некоторые тела Джонсона могут быть построены путем удаления пятиугольных пирамид. Правильный икосаэдр имеет много связей с другими платоновыми телами, одним из которых является правильный додекаэдр как его двойственный многогранник , и имеет историческую подоплеку в сравнительном измерении. Он также имеет много связей с другими многогранниками .

Внешний вид правильного икосаэдра можно найти в природе, например, в вирусе с оболочками в форме икосаэдра и радиоляриях . Другие применения правильного икосаэдра — это использование его развёртки в картографии, двадцатигранных игральных костях, которые, возможно, были найдены в древние времена, и ролевых играх .

Строительство

Правильный икосаэдр может быть построен подобно другим гироудлиненным бипирамидам , начиная с пятиугольной антипризмы , прикрепляя две пятиугольные пирамиды с правильными гранями к каждой из ее граней. Эти пирамиды покрывают пятиугольные грани, заменяя их пятью равносторонними треугольниками , так что полученный многогранник имеет 20 равносторонних треугольников в качестве своих граней. ^[1] Этот процесс построения известен как гироудлинение . ^[2]

Три взаимно перпендикулярных прямоугольника золотого сечения , ребра которых соединяют их углы, образуют правильный икосаэдр.

Другой способ построить его — поместить две точки на каждую поверхность куба. В каждой грани проведите отрезок линии между серединами двух противоположных ребер и найдите две точки на расстоянии золотого сечения от каждой средней точки. Эти двенадцать вершин описывают три взаимно перпендикулярные плоскости, с ребрами, проведенными между каждой из них. ^[3] Из-за приведенных выше построений правильный икосаэдр является Платоновым телом , семейством многогранников с правильными гранями . Многогранник, у которого в качестве граней только равносторонние треугольники, называется дельтаэдром . Существует всего восемь различных выпуклых дельтаэдров, одним из которых является правильный икосаэдр. ^[4]

Правильный икосаэдр также может быть построен, начиная с правильного октаэдра . Все треугольные грани правильного октаэдра ломаются, скручиваются под определенным углом и заполняются другими равносторонними треугольниками. Этот процесс известен как уплощенный , а правильный икосаэдр также известен как уплощенный октаэдр . ^[5]

Одна из возможных систем декартовых координат для вершин правильного икосаэдра, дающая длину ребра 2, выглядит так: где обозначает золотое сечение . ^[6] $\left(0,\pm 1,\pm \varphi \right),\left(\pm 1,\pm \varphi ,0\right),\left(\pm \varphi ,0,\pm 1\right),$ $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$

Характеристики

Измерение

Вписанная сфера выпуклого многогранника — это сфера внутри многогранника, касающаяся каждой грани. Описанная сфера выпуклого многогранника — это сфера, которая содержит многогранник и касается каждой вершины. Средняя сфера выпуклого многогранника — это сфера, касающаяся каждого ребра. Поэтому, учитывая, что длина ребра правильного икосаэдра, радиус вписанной сферы (inradius) , радиус описанной сферы (circumradius) и радиус средней сферы (midradius) равны соответственно: ^[7] $а$ $r_{I}$ $r_{C}$ $r_{M}$ $r_{I}={\frac {\varphi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}\approx 0.756a,\qquad r_{C}={\frac {\sqrt {\varphi ^{2}+1}}{2}}a\approx 0.951a,\qquad r_{M}={\frac {\varphi }{2}}a\approx 0.809a.$

Площадь поверхности многогранников равна сумме всех его граней. Следовательно, площадь поверхности правильных икосаэдров равна площади 20 равносторонних треугольников. Объем правильного икосаэдра получается путем вычисления объема всех пирамид с основанием из треугольных граней и высоты с расстоянием от центроида треугольной грани до центра внутри правильного икосаэдра, описанного радиуса правильного икосаэдра; в качестве альтернативы, его можно установить, разрезав его на две правильные пятиугольные пирамиды и пятиугольную антипризму и сложив их объем. Выражения обоих таковы: ^[8] Задача, восходящая к древним грекам, заключается в определении того, какая из двух фигур имеет больший объем, икосаэдр, вписанный в сферу, или додекаэдр, вписанный в ту же сферу. Задача была решена Героном , Паппом и Фибоначчи , среди прочих. ^[9]Аполлоний Пергский обнаружил любопытный результат: соотношение объемов этих двух фигур такое же, как соотношение их площадей поверхности. ^[10] Оба объема имеют формулы, включающие золотое сечение , но взятое в разных степенях. ^[11] Как оказалось, икосаэдр занимает меньший объем сферы (60,54%), чем додекаэдр (66,49%). ^[12] $A$ $V$ $A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.660a^{2},\qquad V={\frac {5\varphi ^{2}}{6}}a^{3}\approx 2.182a^{3}.$

Двугранный угол правильного икосаэдра можно вычислить, сложив угол пятиугольных пирамид с правильными гранями и пятиугольной антипризмы. Двугранный угол пятиугольной антипризмы и пятиугольной пирамиды между двумя соседними треугольными гранями составляет приблизительно 38,2°. Двугранный угол пятиугольной антипризмы между пятиугольником и треугольником составляет 100,8°, а двугранный угол пятиугольной пирамиды между теми же гранями составляет 37,4°. Следовательно, для правильного икосаэдра двугранный угол между двумя соседними треугольниками на ребре, где прикреплены пятиугольная пирамида и пятиугольная антипризма, составляет 37,4° + 100,8° = 138,2°. ^[13]

Симметрия

Группа вращательной симметрии правильного икосаэдра изоморфна знакопеременной группе на пяти буквах. Эта неабелева простая группа является единственной нетривиальной нормальной подгруппой симметрической группы на пяти буквах. Поскольку группа Галуа общего уравнения пятой степени изоморфна симметрической группе на пяти буквах, а эта нормальная подгруппа является простой и неабелевой, общее уравнение пятой степени не имеет решения в радикалах. Доказательство теоремы Абеля–Руффини использует этот простой факт, и Феликс Клейн написал книгу, в которой использовал теорию икосаэдрических симметрий для вывода аналитического решения общего уравнения пятой степени. ^[14]

Полная группа симметрии икосаэдра (включая отражения) известна как полная группа икосаэдра . Она изоморфна произведению группы вращательной симметрии и группы размера два, которая генерируется отражением через центр икосаэдра. $C_{2}$

Икосаэдрический граф

Каждый платонов граф , включая икосаэдрический граф , является полиэдральным графом . Это означает, что они являются планарными графами , графами, которые можно нарисовать на плоскости, не пересекая ее ребра; и они связаны по 3 вершинам , что означает, что удаление любых двух его вершин оставляет связный подграф. Согласно теореме Штейница , икосаэдрический граф, наделенный этими до сих пор свойствами, представляет собой скелет правильного икосаэдра. ^[15]

Граф икосаэдра является гамильтоновым , что означает, что он содержит гамильтонов цикл, или цикл, который посещает каждую вершину ровно один раз. ^[16]

Связанные многогранники

В других Платоновых телах

Помимо сравнения измерений между правильным икосаэдром и правильным додекаэдром, они являются дуальными друг другу. Икосаэдр может быть вписан в додекаэдр, если поместить его вершины в центры граней додекаэдра, и наоборот. ^[17]

Икосаэдр можно вписать в октаэдр , поместив его 12 вершин на 12 ребрах октаэдра так, чтобы они делили каждое ребро на два его золотых сечения . Поскольку золотые сечения неравны, есть пять различных способов сделать это последовательно, поэтому пять непересекающихся икосаэдров можно вписать в каждый октаэдр. ^[18]

Икосаэдр с длиной ребра, равной единице, можно вписать в куб с единичной длиной ребра, поместив шесть его ребер (3 ортогональные противоположные пары) на квадратных гранях куба, центрированных на центрах граней и параллельных или перпендикулярных ребрам квадрата. ^[19] Поскольку ребер икосаэдра в пять раз больше, чем граней куба, существует пять способов сделать это последовательно, поэтому в каждый куб можно вписать пять непересекающихся икосаэдров. Длины ребер куба и вписанного икосаэдра находятся в золотом сечении . ^[20] ${\textstyle {\frac {1}{\varphi }}\approx 0.618}$

Звездчатость

Икосаэдр имеет большое количество звёздчатых форм . Коксетер и др. (1938) заявили, что для правильного икосаэдра было идентифицировано 59 звёздчатых форм. Первая форма — это сам икосаэдр. Одна из них — правильный многогранник Кеплера–Пуансо . Три — правильные составные многогранники . ^[21]

Огранки

Большой додекаэдр , малый звёздчатый додекаэдр и большой икосаэдр .

Малый звёздчатый додекаэдр , большой додекаэдр и большой икосаэдр — три грани правильного икосаэдра. Они имеют одинаковое расположение вершин . Все они имеют 30 рёбер. Правильный икосаэдр и большой додекаэдр имеют одинаковое расположение рёбер , но различаются гранями (треугольники против пятиугольников), как и малый звёздчатый додекаэдр и большой икосаэдр (пентаграммы против треугольников).

Уменьшение

Тела Джонсона — это многогранники, все грани которых правильные, но не однородные. Это означает, что они не включают архимедовы тела , каталонские тела , призмы и антипризмы . Некоторые из них построены с использованием удаления части правильного икосаэдра, процесс, известный как уменьшение . Это гироудлиненная пятиугольная пирамида , метабиуменьшенный икосаэдр и триуменьшенный икосаэдр , которые удаляют одну, две и три пятиугольные пирамиды из икосаэдра соответственно. ^[2] Подобный рассеченный правильный икосаэдр имеет 2 уменьшенных смежных вершины, в результате чего остаются две трапециевидные грани, а бифастигиум имеет 2 удаленных противоположных набора вершин и 4 трапециевидные грани.

Отношения к 600-ячейковому и другим 4-ячейковым многогранникам

Икосаэдр — это размерный аналог 600-ячейки , правильного 4-мерного многогранника . 600-ячейка имеет икосаэдрические сечения двух размеров, и каждая из его 120 вершин — икосаэдрическая пирамида ; икосаэдр — вершинная фигура 600-ячейки.

Ячейка с единичным радиусом 600 имеет тетраэдрические ячейки с длиной ребра , 20 из которых встречаются в каждой вершине, образуя икосаэдрическую пирамиду ( 4-пирамиду с икосаэдром в качестве основания). Таким образом, ячейка с 600 содержит 120 икосаэдров с длиной ребра . Ячейка с 600 также содержит кубы с длиной ребра единица и октаэдры с длиной ребра единица в качестве внутренних элементов, образованных ее хордами с единичной длиной . В ячейке с единичным радиусом 120 (еще один правильный 4-политоп, который является как двойственным к ячейке с 600, так и соединением из 5 ячеек с 600) мы находим все три вида вписанных икосаэдров (в додекаэдре, в октаэдре и в кубе). ${\textstyle {\frac {1}{\varphi }}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\varphi }}}$

Полуправильный 4-мерный многогранник, плосконосый 24-ячейник , имеет икосаэдрические ячейки.

Отношения к другим однородным многогранникам

Как упоминалось выше, правильный икосаэдр является уникальным среди Платоновых тел, поскольку его двугранный угол приблизительно равен . Таким образом, так же, как шестиугольники имеют углы не менее 120° и не могут использоваться в качестве граней выпуклого правильного многогранника, поскольку такая конструкция не будет соответствовать требованию, чтобы по крайней мере три грани сходились в вершине и оставляли положительный дефект для складывания в трех измерениях, икосаэдры не могут использоваться в качестве ячеек выпуклого правильного многогранника , поскольку, аналогично, по крайней мере три ячейки должны сходиться на ребре и оставлять положительный дефект для складывания в четырех измерениях (в общем случае для выпуклого многогранника в n измерениях по крайней мере три грани должны сходиться в вершине и оставлять положительный дефект для складывания в n -пространстве). Однако, в сочетании с подходящими ячейками, имеющими меньшие двугранные углы, икосаэдры могут использоваться в качестве ячеек в полуправильных полихорах (например, плосконосый 24-ячейник ), так же как шестиугольники могут использоваться в качестве граней в полуправильных полиэдрах (например, усеченный икосаэдр ). Наконец, невыпуклые многогранники не несут тех же строгих требований, что и выпуклые многогранники, и икосаэдры действительно являются ячейками икосаэдрического 120-ячейника , одного из десяти невыпуклых правильных полихоров . $138.19^{\circ }$

Существуют искажения икосаэдра, которые, хотя и не являются больше правильными, тем не менее являются вершинно-однородными . Они инвариантны относительно тех же вращений , что и тетраэдр, и в некоторой степени аналогичны плосконосому кубу и плосконосому додекаэдру , включая некоторые формы, которые являются хиральными , а некоторые с -симметрией , т. е. имеют другие плоскости симметрии, чем тетраэдр. $T_{h}$

Появления

Игральные кости являются обычными объектами с различными многогранниками, одним из них является правильный икосаэдр. Двадцатигранные игральные кости были найдены во многие древние времена. Одним из примеров является игральная кость из Птолемея из Египта, которая позже была греческими буквами, начертанными на гранях в период Греции и Рима. ^[22] Другой пример был найден в сокровищнице Типу Султана , которая была сделана из золота и с числами, написанными на каждой грани. ^[23] В нескольких ролевых играх , таких как Dungeons & Dragons , двадцатигранная кость (обозначенная как d20 ) обычно используется для определения успеха или неудачи действия. Она может быть пронумерована от «0» до «9» дважды, в этом виде она обычно служит десятигранной костью ( d10 ); большинство современных версий маркированы от «1» до «20». ^[24] Scattergories — еще одна настольная игра, в которой игрок называет категории на карте с заданным временем. Первоначально названия таких категорий присваиваются буквами, содержащимися в каждой двадцатигранной кости. ^[25]

Правильный икосаэдр может также встречаться во многих областях науки следующим образом:

В вирусологии вирус герпеса имеет икосаэдрические оболочки . Внешняя белковая оболочка ВИЧ заключена в правильный икосаэдр, как и голова типичного миовируса . ^[26] Несколько видов радиолярий, открытых Эрнстом Геккелем , описали свои оболочки как похожие по форме различные правильные многогранники; одним из них является икосаэдр Circogonia , скелет которого имеет форму правильного икосаэдра. ^[27]
В химии клозо - карбораны представляют собой соединения , имеющие форму, напоминающую правильный икосаэдр. ^[28] Кристаллическое двойникование с икосаэдрическими формами также происходит в кристаллах, особенно наночастицах . ^[29] Многие бориды и аллотропы бора, такие как α- и β-ромбоэдрические, содержат икосаэдр бора B12 _в качестве базовой структурной единицы. ^[30]
В картографии Р. Бакминстер Фуллер использовал развертку правильного икосаэдра для создания карты, известной как карта Димаксиона , путем деления развертки на треугольники, последующего расчета сетки на поверхности Земли и переноса результатов со сферы на многогранник. Эта проекция была создана в то время, когда Фуллер понял, что Гренландия меньше Южной Америки . ^[31]
В задаче Томсона , касающейся конфигурации заряженных частиц на сфере с минимальной энергией , и для задачи Таммеса о построении сферического кода, максимизирующего наименьшее расстояние между точками, минимальное решение, известное для размещает точки в вершинах правильного икосаэдра, вписанного в сферу . Эта конфигурация доказана оптимальной для задачи Таммеса, но строгое решение для этого примера задачи Томсона неизвестно. ^[32] $n$ $n=12$

Как упоминалось выше, правильный икосаэдр является одним из пяти Платоновых тел . Правильные многогранники известны с античности, но названы в честь Платона , который в своем диалоге «Тимей» отождествил их с пятью элементами , чьим элементарным единицам были приписаны следующие формы: огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), вода (икосаэдр), земля (куб) и форма вселенной в целом (додекаэдр). « Начала » Евклида определили Платоновы тела и решили задачу нахождения отношения диаметра описанной сферы к длине ребра. ^[33] После их отождествления с элементами Платоном, Иоганн Кеплер в своих «Гармониях мира» набросал каждый из них, в частности, правильный икосаэдр. ^[34] В своем Mysterium Cosmographicum он также предложил модель Солнечной системы , основанную на размещении Платоновых тел в концентрической последовательности увеличивающегося радиуса вписанных и описанных сфер, радиусы которых давали расстояние шести известных планет от общего центра. Порядок тел, от самых внутренних к самым внешним, состоял из: правильный октаэдр , правильный икосаэдр, правильный додекаэдр , правильный тетраэдр и куб . ^[35]

Примечания

↑ Сильвестр 2001, стр. 140–141; Канди 1952.
^ Берман 1971.
↑ Кромвель 1997, стр. 70.
^ Шавинина 2013, стр. 333; Канди 1952.
^ Каппрафф 1991, стр. 475.
^ Стиб, Харди и Тански 2012, стр. 211.
^ MacLean 2007, стр. 43–44; Coxeter 1973, Таблица I(i), стр. 292–293. См. столбец " ", где обозначение Коксетера для среднего радиуса, также отмечая, что Коксетер использует в качестве длины ребра (см. стр. 2). ${}_{1}\!\mathrm {R} /\ell$ ${}_{1}\!\mathrm {R}$ $2\ell$
^
- Маклин 2007, стр. 43–44
- Берман 1971
^ Герц-Фишлер 2013, с. 138–140.
^ Симмонс 2007, стр. 50.
^ Саттон 2002, стр. 55.
^ Численные значения объемов вписанных Платоновых тел можно найти в работе Buker & Eggleton 1969.
^ Джонсон 1966, см. таблицу II, строка 4.; Маклин 2007, стр. 43–44.
↑ Клейн 1884. См. икосаэдрическую симметрию: связанные геометрии для дальнейшей истории, а также связанные симметрии на семи и одиннадцати буквах.
^ Бикл 2020, стр. 147.
^ Хопкинс 2004.
^ Херрманн и Салли 2013, стр. 257.
^ Коксетер и др. 1938, стр. 4.
^ Боровик 2006, стр. 8–9, § 5. Как нарисовать икосаэдр на доске.
^ Обратно, длина ребра куба, вписанного в додекаэдр, находится в золотом отношении к длине ребра додекаэдра. Ребра куба лежат в пятиугольных гранях додекаэдра как диагонали правильного пятиугольника , которые всегда находятся в золотом отношении к ребру правильного пятиугольника. Когда куб вписан в додекаэдр, а икосаэдр вписан в куб, додекаэдр и икосаэдр, не имеющие общих вершин, имеют одинаковую длину ребра.
^ Коксетер и др. 1938, с. 8–26.
^ Смит 1958, стр. 295; Минас-Нерпель 2007.
↑ Кромвель 1997, стр. 4.
^ "Dungeons & Dragons Dice". gmdice.com . Получено 20 августа 2019 г. .
^ Фланаган и Грегори 2015, стр. 85.
^ Штраус и Штраус 2008, с. 35–62.
^ Геккель 1904; Кромвель 1997, стр. 6.
^ Спокойный 2013.
^ Хофмайстер 2004.
^ Дронсковски, Киккава и Штейн 2017, стр. 435–436.
↑ Кромвель 1997, стр. 7.
↑ Уайт 1952.
↑ Хит 1908, стр. 262, 478, 480.
↑ Кромвель 1997, стр. 55.
^ Ливио 2003, стр. 147.

Ссылки

Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR 0290245.
Бикл, Аллан (2020). Основы теории графов. Американское математическое общество . ISBN 9781470455491.
Боровик, Александр (2006). «Теория Коксетера: когнитивные аспекты». В Дэвисе, Чандлере; Эллерсе, Эрихе (ред.). Наследие Коксетера. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 17–43. ISBN 978-0821837221.
Buker, WE; Eggleton, RB (1969). «Платоновы тела (решение задачи E2053)». American Mathematical Monthly . 76 (2): 192. doi :10.2307/2317282. JSTOR 2317282.
Coxeter, HSM (1973). "2.1 Правильные многогранники; 2.2 Взаимное движение". Правильные многогранники (3-е изд.). Dover Publications. стр. 16–17. ISBN 0-486-61480-8. МР 0370327.
Коксетер, Х. С. М.; Дю Валь, Патрик ; Флатер, Х. Т.; Петри, Дж. Ф. (1938). Пятьдесят девять икосаэдров . Том 6. Исследования Университета Торонто (Математическая серия).
Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-55432-9.
Канди, Х. Мартин (1952). «Дельтаэдры». The Mathematical Gazette . 36 (318): 263–266. doi :10.2307/3608204. JSTOR 3608204. S2CID 250435684.
Дронсковски, Ричард; Киккава, Шиничи; Стайн, Андреас (2017). Справочник по химии твердого тела, 6 томов. John Sons & Wiley. ISBN 978-3-527-69103-6.
Фланаган, Киран; Грегори, Дэн (2015). Эгоистичный, напуганный и глупый: прекратите бороться с человеческой природой и увеличьте свою производительность, вовлеченность и влияние. John Wiley & Sons . ISBN 9780730312796.
Геккель, Э. (1904). Kunstformen der Natur (на немецком языке).Онлайн-книгу можно найти здесь.
Herrmann, Diane L.; Sally, Paul J. (2013). Число, форма и симметрия: введение в теорию чисел, геометрию и теорию групп. CRC Press. ISBN 978-1-4665-5464-1.
Хит, Томас Л. (1908). Тринадцать книг «Начал» Евклида (3-е изд.). Cambridge University Press .
Герц-Фишлер, Роджер (2013). Математическая история золотого числа. Courier Dover Publications. ISBN 9780486152325.
Хофмейстер, Х. (2004). «Пятикратно сдвоенные наночастицы». Энциклопедия нанонауки и нанотехнологии . 3 : 431–452.
Хопкинс, Брайан (2004). «Гамильтоновы пути на платоновых графах». Международный журнал математики и математических наук . 2004 (30): 1613–1616. doi : 10.1155/S0161171204307118 .
Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский журнал математики . 18 : 169–200. doi :10.4153/cjm-1966-021-8. MR 0185507. Zbl 0132.14603.
Джонс, Дэниел (2003) [1917]. Роуч, Питер; Хартманн, Джеймс; Сеттер, Джейн (ред.). English Pronounceing Dictionary . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 3-12-539683-2.
Каппрафф, Джей (1991). Связи: геометрический мост между искусством и наукой (2-е изд.). World Scientific . ISBN 978-981-281-139-4.</ссылка>
Клейн, Феликс (1888). Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-49528-6, издание Дувра{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link), перевод с Кляйна, Феликса (1884). Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. Тойбнер.
Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: История Фи, самого удивительного числа в мире (1-е торговое издание в мягкой обложке). Нью-Йорк: Broadway Books . ISBN 978-0-7679-0816-0.
Маклин, Кеннет Дж. М. (2007). Геометрический анализ Платоновых тел и других полуправильных многогранников . Loving Healing Press. ISBN 978-1-932690-99-6.
Минас-Нерпель, Мартина (2007). «Демотический икосаэдр с надписями из оазиса Дахле». Журнал египетской археологии . 93 (1): 137–148. doi :10.1177/030751330709300107. JSTOR 40345834.
Шавинина, Лариса В. (2013). Международный справочник Routledge по инновационному образованию . Routledge. ISBN 978-0-203-38714-6.
Сильвестр, Джон Р. (2001). Геометрия: древняя и современная . Издательство Оксфордского университета.
Симмонс, Джордж Ф. (2007). Драгоценные камни исчисления: краткие жизни и памятные математические произведения . Математическая ассоциация Америки. ISBN 9780883855614.
Смит, Дэвид Э. (1958). История математики. Том 2. Dover Publications. ISBN 0-486-20430-8.
Spokoyny, AM (2013). "Новые лигандные платформы с кластерами, богатыми бором, в качестве органомиметических Sbstitutets". Pure and Applied Chemistry . 85 (5): 903–919. doi :10.1351/PAC-CON-13-01-13. PMC 3845684 . PMID 24311823.
Steinmitz, Nicole F.; Manchester, Marianne (2011). Вирусные наночастицы: инструменты для материаловедения и биомедицины . Pan Stanford Publisher. ISBN 978-981-4267-94-6.
Штраус, Джеймс Х.; Штраус, Эллен Г. (2008). "Структура вирусов". Вирусы и болезни человека . Elsevier. doi :10.1016/b978-0-12-373741-0.50005-2. ISBN 9780123737410. S2CID 80803624.
Sutton, Daud (2002). Платоновы и архимедовы тела. Деревянные книги. Bloomsbury Publishing USA. ISBN 9780802713865.
Steeb, Willi-Hans; Hardy, Yorick; Tanski, Igor (2012). Проблемы и решения для групп, групп Ли, алгебр Ли с приложениями. World Scientific Publishing Company. ISBN 9789813104112.
Уайт, Л. Л. (1952). «Уникальные расположения точек на сфере». The American Mathematical Monthly . 59 (9): 606–611. doi :10.1080/00029890.1952.11988207. JSTOR 2306764. MR 0050303.

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы по теме икосаэдра .

В Wikisource есть текст статьи « Икосаэдр » из Британской энциклопедии 1911 года .

Найдите значение слова «икосаэдр» в Викисловаре, бесплатном словаре.

Клитцинг, Ричард. «Трехмерные выпуклые однородные многогранники x3o5o – ike».
Хартли, Майкл. «Математические игры для детей доктора Майка».
К. Дж. М. Маклин, Геометрический анализ пяти Платоновых тел и других полуправильных многогранников
Виртуальная реальность Многогранники Энциклопедия многогранников
Tulane.edu Обсуждение вирусной структуры и икосаэдра
Многогранники оригами – Модели, созданные с помощью модульного оригами
Видео икосаэдрической зеркальной скульптуры
[1] Принцип вирусной архитектуры