Геометрическая прогрессия

Математическая последовательность чисел

Диаграмма, иллюстрирующая три основные геометрические последовательности шаблона 1( r ^{n −1} ) глубиной до 6 итераций. Первый блок — единичный блок, а пунктирная линия представляет бесконечную сумму последовательности, число, к которому она будет вечно приближаться, но никогда не коснется: 2, 3/2 и 4/3 соответственно.

Геометрическая прогрессия , также известная как геометрическая последовательность , представляет собой математическую последовательность ненулевых чисел , где каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное число, называемое знаменателем . Например, последовательность 2, 6, 18, 54, ... представляет собой геометрическую прогрессию с знаменателем 3. Аналогично 10, 5, 2,5, 1,25, ... представляет собой геометрическую последовательность с знаменателем 1/2.

Примерами геометрической последовательности являются степени r ^k фиксированного ненулевого числа r , например 2 k и 3 ^k . Общая форма геометрической последовательности:

${\displaystyle a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots }$

где r — это знаменатель, а a — начальное значение.

Сумма членов геометрической прогрессии называется геометрической прогрессией .

Характеристики

Член геометрической прогрессии с начальным значением a = a ₁ и знаменателем r определяется выражением

${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1},}$

и вообще

${\displaystyle a_{n}=a_{m}\,r^{n-m}.}$

Геометрические последовательности удовлетворяют линейному рекуррентному соотношению

${\displaystyle a_{n}=r\,a_{n-1}}$для каждого целого числа ${\displaystyle n>1.}$

Это однородная линейная рекуррентная функция первого порядка с постоянными коэффициентами .

Геометрические последовательности также удовлетворяют нелинейному рекуррентному соотношению

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}^{2}/a_{n-2}}$для каждого целого числа ${\displaystyle n>2.}$

Это нелинейная рекуррентность второго порядка с постоянными коэффициентами.

Когда общее отношение геометрической прогрессии положительно, все члены последовательности будут иметь знак первого члена. Когда общее отношение геометрической прогрессии отрицательно, члены последовательности чередуются между положительными и отрицательными; это называется чередующейся последовательностью. Например, последовательность 1, −3, 9, −27, 81, −243, ... является чередующейся геометрической последовательностью с начальным значением 1 и общим отношением −3. Когда начальный член и общее отношение являются комплексными числами, комплексные аргументы членов следуют арифметической прогрессии .

Если абсолютное значение общего отношения меньше 1, члены будут уменьшаться по величине и стремиться к нулю посредством экспоненциального спада . Если абсолютное значение общего отношения больше 1, члены будут увеличиваться по величине и стремиться к бесконечности посредством экспоненциального роста . Если абсолютное значение общего отношения равно 1, члены будут оставаться того же размера неопределенно долго, хотя их знаки или сложные аргументы могут меняться.

Геометрические прогрессии показывают экспоненциальный рост или экспоненциальное падение, в отличие от арифметических прогрессий, показывающих линейный рост или линейное падение. Это сравнение было взято Т. Р. Мальтусом в качестве математической основы его Эссе о принципе народонаселения . Два вида прогрессии связаны через экспоненциальную функцию и логарифм : возведение в степень каждого члена арифметической прогрессии дает геометрическую прогрессию, в то время как взятие логарифма каждого члена геометрической прогрессии дает арифметическую прогрессию.

Геометрический ряд

Доказательство без слов формулы для суммы геометрической прогрессии – если | r | < 1 и n → ∞, член r ⁿ исчезает, оставляя S _∞ = ⁠а/1 − р⁠

Геометрическая прогрессия 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... показана как площади фиолетовых квадратов. Каждый из фиолетовых квадратов имеет 1/4 площади следующего большего квадрата (1/2× 1/2 = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16 и т. д.). Сумма площадей фиолетовых квадратов составляет одну треть площади большого квадрата.

Другая геометрическая прогрессия (коэффициент a = 4/9 и знаменатель r = 1/9) показана как площади фиолетовых квадратов. Общая фиолетовая площадь равна S = a / (1 - r ) = (4/9) / (1 - (1/9)) = 1/2, что можно подтвердить, наблюдая, что единичный квадрат разделен на бесконечное число областей в форме буквы L, каждая из которых содержит четыре фиолетовых квадрата и четыре желтых квадрата, что составляет половину фиолетового.

В математике геометрическая прогрессия — это ряд , в котором отношение последовательных соседних членов постоянно. Другими словами, сумма последовательных членов геометрической последовательности образует геометрическую прогрессию. Таким образом, каждый член является средним геометрическим двух соседних членов, подобно тому, как члены арифметической прогрессии являются средними арифметическими двух соседних членов.

Геометрические ряды изучались в математике, по крайней мере, со времен Евклида в его работе «Начала» , в которой исследовались геометрические пропорции. ^[1] Архимед еще больше продвинул это исследование благодаря своей работе над бесконечными суммами , в частности, при вычислении площадей и объемов геометрических фигур (например, вычислении площади внутри параболы ). ^{[2] [3]} На раннем этапе развития современного исчисления они были парадигматическими примерами как сходящихся, так и расходящихся рядов и, таким образом, стали важнейшими ссылками для исследований сходимости, например, в тесте отношения и тесте корня для сходимости ^{[4] [5]} и в определениях скоростей сходимости . ^[6] Геометрические ряды также служили прототипами при изучении математических объектов, таких как ряды Тейлора , ^{[4] [5]} производящие функции , ^[7] и теории возмущений . ^[8]

Геометрические ряды применялись для моделирования самых разных природных и социальных явлений, таких как расширение Вселенной , где общее соотношение между членами определяется постоянной Хаббла , распад радиоактивных атомов углерода-14, где общее соотношение между членами определяется периодом полураспада углерода-14 , вероятности выигрыша в азартных играх , где общее соотношение может быть определено шансами на рулетке , и экономическая стоимость инвестиций , где общее соотношение может быть определено комбинацией темпов инфляции и процентных ставок.

В общем случае геометрическая прогрессия записывается как , где — начальный член, а — общее отношение между соседними членами. ^{[4] [5]} Например, ряд ${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots }$

является геометрическим, поскольку каждый последующий член может быть получен путем умножения предыдущего члена на . ${\displaystyle 1/2}$

Усеченные геометрические ряды называются «конечными геометрическими рядами» в некоторых разделах математики, особенно в исчислении XIX века , а также в теории вероятностей и статистике и их приложениях. ${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots +ar^{n}}$

Стандартное обозначение с заглавной сигмой ^{[9] [10]} для бесконечной геометрической прогрессии имеет вид

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots =\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}}$

и соответствующее выражение для конечной геометрической прогрессии имеет вид

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}.}$

Любой конечный геометрический ряд имеет сумму , а когда бесконечный ряд сходится к предельному значению . ${\displaystyle a(1-r^{n+1})/(1-r)}$ ${\displaystyle |r|<1}$ ${\displaystyle a/(1-r)}$

Хотя геометрические ряды чаще всего встречаются и применяются с действительными или комплексными числами для и , существуют также важные результаты и приложения для матричнозначных геометрических рядов, функциональнозначных геометрических рядов, геометрических рядов p-адических чисел ^[11] и, в самом общем смысле, геометрических рядов элементов абстрактных алгебраических полей , колец и полуколец . ^[12] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$

Продукт

Бесконечное произведение геометрической прогрессии есть произведение всех ее членов. Частное произведение геометрической прогрессии до члена со степенью есть ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}ar^{(k)}=a^{n+1}r^{n(n+1)/2}.}$$

Когда и являются положительными действительными числами, это эквивалентно взятию геометрического среднего первого и последнего отдельных членов частичной прогрессии и последующему возведению этого среднего в степень, заданную числом членов. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n+1.}$

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}ar^{k}=a^{n+1}r^{n(n+1)/2}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}{\text{ for }}a\geq 0,r\geq 0.}$$

Это соответствует аналогичному свойству сумм членов конечной арифметической последовательности : сумма арифметической последовательности равна числу членов, умноженному на арифметическое среднее первого и последнего отдельных членов. Это соответствие следует обычному шаблону, что любая арифметическая последовательность является последовательностью логарифмов членов геометрической последовательности, а любая геометрическая последовательность является последовательностью возведений в степень членов арифметической последовательности. Суммы логарифмов соответствуют произведениям возведенных в степень значений.

Доказательство

Пусть представим произведение в степени . Выписано полностью, ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle P_{n}=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}}$.

Выполнив умножения и приведя подобные члены,

${\displaystyle P_{n}=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}}$.

Показатель степени r — это сумма арифметической прогрессии. Подставляя формулу для этой суммы,

${\displaystyle P_{n}=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}}$,

что завершает доказательство.

Можно переписать это выражение так:

${\displaystyle P_{n}=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}.}$

Переписывая a как и r так, как будто это недопустимо для или ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {a^{2}}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {r^{2}}}}$ ${\displaystyle a<0}$ ${\displaystyle r<0,}$

${\displaystyle P_{n}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}{\text{ for }}a\geq 0,r\geq 0}$

что является формулой в терминах геометрического среднего.

История

Глиняная табличка раннего династического периода в Месопотамии (ок. 2900 – ок. 2350 до н. э.), идентифицированная как MS 3047, содержит геометрическую прогрессию с основанием 3 и множителем 1/2. Было высказано предположение, что она шумерская , из города Шуруппак . Это единственная известная запись геометрической прогрессии до времен старой вавилонской математики, начинающейся в 2000 г. до н. э. ^[13]

В VIII и IX книгах « Начал » Евклида анализируются геометрические прогрессии (например, степени двойки , подробности см. в статье) и приводятся некоторые их свойства. ^[14]

Смотрите также

• Арифметическая прогрессия  – последовательность равноотстоящих чисел.
• Арифметико-геометрическая последовательность  – Математическая последовательность, удовлетворяющая определенному шаблону.
• Линейное разностное уравнение  – Соотношение в алгебреСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Экспоненциальная функция  – математическая функция, обозначается exp(x) или e^x
• Гармоническая прогрессия  – прогрессия, образованная путем взятия обратных величин арифметической прогрессии.
• Гармонический ряд  – расходящаяся сумма всех положительных единичных дробей
• Бесконечный ряд  – Бесконечная сумма
• Предпочтительное число  – стандартные рекомендации по выбору точных размеров продукта в рамках заданного набора ограничений.
• Томас Роберт Мальтус  — британский политический экономист (1766–1834)
• Геометрическое распределение  – Распределение вероятностей

Ссылки

1. Евклид; JL Heiberg (2007). Элементы геометрии Евклида (PDF) . Перевод Ричарда Фицпатрика. Ричард Фицпатрик. стр. 4, 277. ISBN 978-0615179841. Архивировано (PDF) из оригинала 2013-08-11.
2. Свейн, Гордон; Денс, Томас (1998). «Повторный взгляд на квадратуру параболы Архимеда». Mathematics Magazine . 71 (2): 123–130. doi :10.2307/2691014. ISSN  0025-570X. JSTOR  2691014.
3. Руссо, Лючио (2004). Забытая революция . Перевод Леви, Сильвио. Германия: Springer-Verlag. С. 49–52. ISBN 978-3-540-20396-4.
4. Спивак, Майкл (2008). Calculus (4-е изд.). Хьюстон, Техас, США: Publish or Perish, Inc. стр. 473–478. ISBN 978-0-914098-91-1.
5. Apostol, Tom M. (1967). Calculus . Vol. 1 (2nd ed.). США: John Wiley & Sons. стр. 388–390, 399–401. ISBN 0-471-00005-1.
6. Нокедаль, Хорхе; Райт, Стивен Дж. (1999). Численная оптимизация (1-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. С. 28–29. ISBN 978-0-387-98793-4.
7. Уилф, Герберт С. (1990). Генерированиефункционологии . Сан-Диего, Калифорния, США: Academic Press. С. 27–28, 32, 45, 49. ISBN 978-1-48-324857-8.
8. Бендер, Карл М.; Орсзаг, Стивен А. (1999). Продвинутые математические методы для ученых и инженеров: асимптотические методы и теория возмущений . Springer Science+Business Media. С. 368–371. ISBN 978-0-387-98931-0.
9. Риддл, Дуглас Ф. Исчисление и аналитическая геометрия, второе издание , Белмонт, Калифорния, Wadsworth Publishing, стр. 566, 1970.
10. Апостол, Том М. (1967). Calculus . Т. 1 (2-е изд.). США: John Wiley & Sons. стр. 37. ISBN 0-471-00005-1.
11. Роберт, Ален М. (2000). Курс p-адического анализа . Graduate Texts in Mathematics. Том 198. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Springer-Verlag. С. 3–4, 12–17. ISBN 978-0387-98669-2.
12. Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси, США: John Wiley and Sons. стр. 238. ISBN 978-0-471-43334-7.
13. Фриберг, Йоран (2007). "MS 3047: Старый шумерский метро-математический табличный текст". В Фриберг, Йоран (ред.). Замечательная коллекция вавилонских математических текстов . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Нью-Йорк: Springer. стр. 150–153. doi :10.1007/978-0-387-48977-3. ISBN 978-0-387-34543-7. МР  2333050.
14. Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг «Начал Евклида» (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] ред.). Нью-Йорк: Dover Publications.

• Холл и Найт, Высшая алгебра , стр. 39, ISBN 81-8116-000-2 

Внешние ссылки

• «Геометрическая прогрессия», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вывод формул для суммы конечной и бесконечной геометрической прогрессии на Mathalino.com
• Калькулятор геометрической прогрессии. Архивировано 27.12.2008 на Wayback Machine.
• Хорошее доказательство суммы геометрической прогрессии на sputsoft.com
• Вайсштейн, Эрик В. "Геометрический ряд". MathWorld .