Серия (математика)

Бесконечная сумма

В математике ряд — это, грубо говоря, сложение бесконечного числа членов , одного за другим. ^[1] Изучение рядов — важная часть исчисления и его обобщения, математического анализа . Ряды используются в большинстве областей математики, даже для изучения конечных структур в комбинаторике посредством производящих функций . Математические свойства бесконечных рядов делают их широко применимыми в других количественных дисциплинах, таких как физика , информатика , статистика и финансы .

Среди древних греков идея о том, что потенциально бесконечное суммирование может дать конечный результат, считалась парадоксальной , наиболее известным примером чего являются парадоксы Зенона . ^{[2] [3]} Тем не менее, бесконечные ряды применялись на практике древнегреческими математиками, включая Архимеда , например, в квадратуре параболы . ^{[4] [5]} Математическая сторона парадоксов Зенона была решена с использованием концепции предела в 17 веке, особенно благодаря раннему исчислению Исаака Ньютона . ^[6] Решение было сделано более строгим и дополнительно улучшено в 19 веке благодаря работам Карла Фридриха Гаусса и Огюстена-Луи Коши , ^[7] среди прочих, отвечающих на вопросы о том, какие из этих сумм существуют, через полноту действительных чисел и можно ли переставить члены ряда или нет, не изменяя их суммы, используя абсолютную сходимость и условную сходимость рядов.

В современной терминологии любая упорядоченная бесконечная последовательность членов, будь то числа, функции , матрицы или что-либо еще, что можно сложить, определяет ряд, который является добавлением a i _одного за другим. Чтобы подчеркнуть, что существует бесконечное количество членов, ряды часто также называют бесконечными рядами . Ряды представляются выражением типа или , используя обозначение суммирования с заглавной сигмой , ^[8] ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$ $${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.}$$

Бесконечная последовательность сложений, выраженная рядом, не может быть явно выполнена последовательно за конечное время. Однако, если члены и их конечные суммы принадлежат множеству , имеющему пределы , может быть возможным присвоить ряду значение, называемое суммой ряда . Это значение является пределом при стремлении n к бесконечности конечных сумм n первых членов ряда, если предел существует. ^{[9] [10] [11]} Эти конечные суммы называются частичными суммами ряда. Используя обозначение суммирования, если оно существует. ^{[9] [10] [11]} Когда предел существует, ряд сходится или суммируем , а также последовательность суммируема , а в противном случае, когда предел не существует , ряд расходится . [ ^{9] [10] [11]} $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{n\to \infty }\,\sum _{i=1}^{n}a_{i},}$$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$

Выражение обозначает как ряд — неявный процесс сложения членов одного за другим до бесконечности, — так и, если ряд сходится, сумму ряда — явный предел процесса. Это обобщение похожего соглашения обозначать как сложение — процесс сложения, так и его результат — сумму a и b . ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ ${\displaystyle a+b}$

Обычно члены ряда происходят из кольца , часто поля действительных чисел или поля комплексных чисел . Если это так, то множество всех рядов также само является кольцом, в котором сложение состоит из почленного сложения членов ряда, а умножение — это произведение Коши . ^{[12] [13] [14]} ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Определение

Ряд

Ряд или, избыточно, бесконечный ряд — это бесконечная сумма. Часто его представляют как [ ^{8] [15] [16]} , где члены — это члены последовательности чисел , функций или чего-либо еще, что можно сложить . Ряд также может быть представлен с помощью заглавной сигма-обозначения : ^{[8] [16]} $${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots \quad {\text{or}}\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle a_{k}}$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\qquad {\text{or}}\qquad \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}$$

Также принято выражать ряды с помощью нескольких первых членов, многоточия, общего члена и затем конечного многоточия, причем общий член является выражением n- го члена как функции n : Например , число Эйлера можно определить с помощью ряда , где обозначает произведение первых положительных целых чисел и условно равно ^{[17] [18] [19]} $${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots \quad {\text{ or }}\quad f(0)+f(1)+f(2)+\cdots +f(n)+\cdots .}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+\cdots +{\frac {1}{n!}}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0!}$ ${\displaystyle 1.}$

Частичная сумма ряда

Для данного ряда его n- я частичная сумма равна ^{[9] [10] [11] [16]} ${\textstyle s=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ $${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}.}$$

Некоторые авторы напрямую отождествляют ряд с его последовательностью частичных сумм. ^{[9] [11]} Либо последовательность частичных сумм, либо последовательность членов полностью характеризует ряд, а последовательность членов может быть восстановлена ​​из последовательности частичных сумм путем взятия разностей между последовательными элементами, $${\displaystyle a_{n}=s_{n}-s_{n-1}.}$$

Частичное суммирование последовательности является примером линейного преобразования последовательности , и оно также известно как префиксная сумма в информатике . Обратное преобразование для восстановления последовательности из ее частичных сумм — это конечная разность , еще одно линейное преобразование последовательности.

Частичные суммы рядов иногда имеют более простые выражения в замкнутой форме, например, арифметический ряд имеет частичные суммы , а геометрический ряд имеет частичные суммы ^{[20] [21] [22]} $${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left(a+kd\right)=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots +(a+nd)=(n+1)a+{\tfrac {1}{2}}n(n+1)d,}$$ $${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.}$$

Сумма ряда

Иллюстрация 3 геометрических рядов с частичными суммами от 1 до 6 членов. Пунктирная линия представляет предел.

Строго говоря, ряд считается сходящимся , сходящимся или суммируемым, когда последовательность его частичных сумм имеет предел . Когда предел последовательности частичных сумм не существует, ряд расходится или является расходящимся . ^[23] Когда предел частичных сумм существует, он называется суммой ряда или значением ряда : ^{[9] [10] [11] [16]} Ряд, содержащий только конечное число ненулевых членов, всегда сходится. Такие ряды полезны для рассмотрения конечных сумм без учета числа членов. ^[24] Когда сумма существует, разность между суммой ряда и его -й частичной суммой известна как -я ошибка усечения бесконечного ряда. ^{[25] [26]} $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}=\lim _{n\to \infty }s_{n}.}$$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle s-s_{n}=\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k},}$ ${\displaystyle n}$

Примером сходящегося ряда является геометрический ряд $${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{k}}}+\cdots .}$$

С помощью алгебраических вычислений можно показать, что каждая частичная сумма равна Поскольку ряд сходится и сходится к 2 с ошибками усечения . ^{[20] [21] [22]} ${\displaystyle s_{n}}$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{2^{k}}}=2-{\frac {1}{2^{n}}}.}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(2-{\frac {1}{2^{n}}}\right)=2,}$$ ${\textstyle 1/2^{n}}$

Напротив, геометрическая прогрессия расходится в действительных числах . ^{[20] [21] [22]} Однако она сходится в расширенной действительной числовой прямой , причем как ее предел и как ее ошибка усечения на каждом шаге. ^[27] $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }2^{k}}$$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

Когда последовательность частичных сумм ряда нелегко вычислить и оценить на сходимость напрямую, можно использовать тесты сходимости, чтобы доказать, сходится или расходится ряд.

Группировка и перестановка терминов

Группировка

В обычных конечных суммированиях члены суммирования могут быть сгруппированы и разгруппированы свободно без изменения результата суммирования вследствие ассоциативности сложения. Аналогично, в ряду любые конечные группировки членов ряда не изменят предел частичных сумм ряда и, таким образом, не изменят сумму ряда. Однако, если в бесконечном ряду выполняется бесконечное число группировок, то частичные суммы сгруппированного ряда могут иметь другой предел, чем исходный ряд, и различные группировки могут иметь отличные друг от друга пределы; сумма может не равняться сумме ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}={}}$ ${\displaystyle a_{0}+(a_{1}+a_{2})={}}$ ${\displaystyle (a_{0}+a_{1})+a_{2}.}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle a_{0}+(a_{1}+a_{2})+{}}$ ${\displaystyle (a_{3}+a_{4})+\cdots .}$

Например, ряд Гранди ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$ имеет последовательность частичных сумм, которая чередуется между ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$ и не сходится. Группировка его элементов в пары создает ряд , который имеет частичные суммы, равные нулю для каждого члена, и, таким образом, сумма равна нулю. Группировка его элементов в пары, начиная с первого, создает ряд, который имеет частичные суммы, равные единице для каждого члена, и, таким образом, сумма равна единице, другой результат. ${\displaystyle (1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots ={}}$ ${\displaystyle 0+0+0+\cdots ,}$ ${\displaystyle 1+(-1+1)+{}}$ ${\displaystyle (-1+1)+\cdots ={}}$ ${\displaystyle 1+0+0+\cdots ,}$

В общем случае группировка членов ряда создает новый ряд с последовательностью частичных сумм, которая является подпоследовательностью частичных сумм исходного ряда. Это означает, что если исходный ряд сходится, то и новый ряд после группировки сходится: все бесконечные подпоследовательности сходящейся последовательности также сходятся к одному и тому же пределу. Однако, если исходный ряд расходится, то сгруппированные ряды не обязательно расходятся, как в этом примере ряда Гранди выше. Однако, расходимость сгруппированного ряда подразумевает, что исходный ряд должен быть расходящимся, поскольку это доказывает, что существует подпоследовательность частичных сумм исходного ряда, которая не является сходящейся, что было бы невозможно, если бы она была сходящейся. Это рассуждение было применено в доказательстве Орема расходимости гармонического ряда ^[28] , и оно является основой для общего теста конденсации Коши ^{[29] [30} ]

Перестановка

В обычных конечных суммированиях члены суммирования могут свободно переставляться без изменения результата суммирования вследствие коммутативности сложения . Аналогично, в рядах любые конечные перестановки членов ряда не изменяют предела частичных сумм ряда и, таким образом, не изменяют сумму ряда: для любой конечной перестановки будет некоторый член, после которого перестановка не повлияла ни на какие дальнейшие члены: любые эффекты перестановки могут быть изолированы для конечного суммирования до этого члена, и конечные суммы не изменяются при перестановке. ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}={}}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{2}+a_{1}={}}$ ${\displaystyle a_{2}+a_{1}+a_{0}.}$

Однако, как и в случае с группировкой, бесконечная перестановка членов ряда иногда может приводить к изменению предела частичных сумм ряда. Ряды с последовательностями частичных сумм, которые сходятся к некоторому значению, но члены которых можно переставить так, чтобы образовать ряд с частичными суммами, которые сходятся к некоторому другому значению, называются условно сходящимися рядами. Те, которые сходятся к одному и тому же значению независимо от перестановки, называются безусловно сходящимися рядами.

Для рядов действительных чисел и комплексных чисел ряд безусловно сходится тогда и только тогда, когда ряд, суммирующий абсолютные значения его членов, также сходится, свойство, называемое абсолютной сходимостью . В противном случае любой ряд действительных чисел или комплексных чисел, который сходится, но не сходится абсолютно, является условно сходящимся. Любая условно сходящаяся сумма действительных чисел может быть переставлена ​​так, чтобы получить любое другое действительное число в качестве предела или расходящейся. Эти утверждения составляют содержание теоремы Римана о рядах . ^{[31] [32] [33]} ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle |a_{0}|+|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots ,}$

Исторически важным примером условной сходимости является знакопеременный гармонический ряд ,

$${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$$который имеет сумму натурального логарифма 2 , в то время как сумма абсолютных значений членов является гармоническим рядом , который расходится согласно расходимости гармонического ряда, ^[28] поэтому знакопеременный гармонический ряд условно сходится. Например, перестановка членов знакопеременного гармонического ряда так, чтобы за каждым положительным членом исходного ряда следовали два отрицательных члена исходного ряда, а не только один, дает ^[34] что умножено на исходный ряд, поэтому он будет иметь сумму в половину натурального логарифма 2. По теореме Римана о рядах также возможны перестановки знакопеременного гармонического ряда для получения любого другого действительного числа. $${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{1 \over n}=1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad =\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Операции

Дополнение к серии

Сложение двух рядов и задается почленной суммой ^{[13] [35] [36] [37]} , или, в записи суммирования, ${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ ${\textstyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$ ${\textstyle (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+\cdots \,}$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+b_{k}.}$$

Используя символы и для частичных сумм сложенного ряда и для частичных сумм результирующего ряда, это определение подразумевает, что частичные суммы результирующего ряда следуют Тогда сумма результирующего ряда, т. е. предел последовательности частичных сумм результирующего ряда, удовлетворяет, когда пределы существуют. Поэтому, во-первых, ряд, полученный в результате сложения, суммируем, если сложенные ряды были суммируемыми, и, во-вторых, сумма результирующего ряда является сложением сумм сложенных рядов. Сложение двух расходящихся рядов может дать сходящийся ряд: например, сложение расходящегося ряда с рядом его членов, умноженных на , даст ряд из всех нулей, который сходится к нулю. Однако для любых двух рядов, где один сходится, а другой расходится, результат их сложения расходится. ^[35] ${\displaystyle s_{a,n}}$ ${\displaystyle s_{b,n}}$ ${\displaystyle s_{a+b,n}}$ ${\displaystyle s_{a+b,n}=s_{a,n}+s_{b,n}.}$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{a+b,n}=\lim _{n\rightarrow \infty }(s_{a,n}+s_{b,n})=\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n}+\lim _{n\rightarrow \infty }s_{b,n},}$$ ${\displaystyle -1}$

Для рядов действительных чисел или комплексных чисел сложение рядов ассоциативно , коммутативно и обратимо . Поэтому сложение рядов придает множествам сходящихся рядов действительных чисел или комплексных чисел структуру абелевой группы , а также придает множествам всех рядов действительных чисел или комплексных чисел (независимо от свойств сходимости) структуру абелевой группы.

Скалярное умножение

Произведение ряда с постоянным числом , называемое в данном контексте скаляром , задается почленным произведением ^[35] или, в записи суммирования, ${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle c}$ ${\textstyle ca_{0}+ca_{1}+ca_{2}+\cdots }$

$${\displaystyle c\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }ca_{k}.}$$

Используя символы для частичных сумм исходного ряда и для частичных сумм ряда после умножения на , это определение подразумевает, что для всех и, следовательно, также когда существуют пределы. Поэтому, если ряд суммируем, то любой ненулевой скалярный кратный ряда также суммируем, и наоборот: если ряд расходящийся, то любой ненулевой скалярный кратный его также расходящийся. ${\displaystyle s_{a,n}}$ ${\displaystyle s_{ca,n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle s_{ca,n}=cs_{a,n}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{ca,n}=c\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n},}$

Скалярное умножение действительных чисел и комплексных чисел ассоциативно, коммутативно, обратимо и распространяется относительно сложения рядов.

Подводя итог, сложение рядов и скалярное умножение дают множеству сходящихся рядов и множеству рядов действительных чисел структуру действительного векторного пространства . Аналогично, мы получаем комплексные векторные пространства для рядов и сходящихся рядов комплексных чисел. Все эти векторные пространства бесконечномерны.

Умножение ряда

Умножение двух рядов и для получения третьего ряда , называемого произведением Коши, ^{[12] [13] [14] [36] [38]} можно записать в записи суммирования с каждым Здесь сходимость частичных сумм ряда не так просто установить, как для сложения. Однако, если оба ряда и являются абсолютно сходящимися рядами, то ряд, полученный в результате их умножения, также абсолютно сходится с суммой, равной произведению двух сумм умноженного ряда, ^{[13] [36] [39]} ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots }$ $${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j},}$$ ${\textstyle c_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j}={}\!}$ ${\displaystyle \!a_{0}b_{k}+a_{1}b_{k-1}+\cdots +a_{k-1}b_{1}+a_{k}b_{0}.}$ ${\displaystyle c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{c,n}=\left(\,\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n}\right)\cdot \left(\,\lim _{n\rightarrow \infty }s_{b,n}\right).}$$

Умножение рядов абсолютно сходящихся рядов действительных чисел и комплексных чисел ассоциативно, коммутативно и распределяется относительно сложения рядов. Вместе с сложением рядов умножение рядов придает множествам абсолютно сходящихся рядов действительных чисел или комплексных чисел структуру коммутативного кольца , а вместе со скалярным умножением — структуру коммутативной алгебры ; эти операции также придают множествам всех рядов действительных чисел или комплексных чисел структуру ассоциативной алгебры .

Примеры числовых рядов

• Геометрический ряд ^{[20] [21]} — это ряд, в котором каждый последующий член получается путем умножения предыдущего члена на постоянное число (называемое в данном контексте общим отношением). Например: В общем случае геометрический ряд с начальным членом и общим отношением сходится тогда и только тогда, когда , в этом случае он сходится к . $${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}=2.}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }ar^{n},}$ ${\textstyle |r|<1}$ ${\textstyle {a \over 1-r}}$
• Гармонический ряд — это ряд ^[40] . Гармонический ряд расходящийся . $${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}$$
• Знакопеременный ряд — это ряд, в котором члены чередуют знаки. ^[41] Примеры: знакопеременный гармонический ряд и формула Лейбница для $${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2),}$$ $${\displaystyle -1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi }{4}},}$$ ${\displaystyle \pi .}$
• Телескопический ряд ^[42] сходится, если последовательность b _n сходится к пределу L при n, стремящемся к бесконечности. Значение ряда тогда равно b ₁ − L . ^[43] $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(b_{n}-b_{n+1}\right)}$$
• Арифметико -геометрический ряд — это ряд, члены которого являются произведением элемента арифметической прогрессии на соответствующий элемент геометрической прогрессии . Пример: $${\displaystyle 3+{5 \over 2}+{7 \over 4}+{9 \over 8}+{11 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(3+2n) \over 2^{n}}.}$$
• Ряд Дирихле сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1, что можно показать с помощью интегрального теста на сходимость, описанного ниже в тестах на сходимость. Как функция p , сумма этого ряда является дзета-функцией Римана . ^[44] $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$$
• Гипергеометрические ряды : и их обобщения (такие как базовые гипергеометрические ряды и эллиптические гипергеометрические ряды ) часто появляются в интегрируемых системах и математической физике . ^[45] $${\displaystyle _{r}F_{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\dotsb (a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\dotsb (b_{s})_{n}\;n!}}z^{n}}$$
• Существуют некоторые элементарные ряды, сходимость которых пока не известна/не доказана. Например, неизвестно, сходится ли ряд Флинт-Хиллза или нет. Сходимость зависит от того, насколько хорошо он может быть аппроксимирован рациональными числами (что пока неизвестно). Более конкретно, значения n с большими числовыми вкладами в сумму являются числителями конвергентных дробей , последовательности, начинающейся с 1, 3, 22, 333, 355, 103993, ... (последовательность A046947 в OEIS ). Это целые числа n , которые близки к для некоторого целого числа m , так что близко к , а его обратная величина велика. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}},}$$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m\pi }$ ${\displaystyle \sin n}$ ${\displaystyle \sin m\pi =0}$

Пи

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(4)}{2n-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi }$$

Натуральный логарифм числа 2

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\ln 2}$$

Основание натурального логарифмае

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}}$$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e}$$

Тестирование сходимости

Одним из простейших тестов на сходимость ряда, применимым ко всем рядам, является тест на равенство нулю или тест n -го члена : если , то ряд расходится; если , то тест неубедителен. ^{[46] [47]} ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$

Тесты абсолютной сходимости

Когда каждый член ряда является неотрицательным действительным числом, например, когда члены являются абсолютными значениями другого ряда действительных чисел или комплексных чисел, последовательность частичных сумм не убывает. Поэтому ряд с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм ограничена, и поэтому нахождение границы для ряда или для абсолютных значений его членов является эффективным способом доказательства сходимости или абсолютной сходимости ряда. ^{[48] [49] [47] [50]}

Например, ряд сходится и абсолютно сходится, потому что для всех и аргумент телескопической суммы подразумевает, что частичные суммы ряда этих неотрицательных ограничивающих членов сами ограничены сверху числом 2. ^[43] Точное значение этого ряда равно ; см. Базельскую задачу . ${\textstyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}+\cdots \,}$ ${\textstyle {\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\textstyle {\frac {1}{6}}\pi ^{2}}$

Этот тип стратегии ограничения является основой для общих тестов сравнения рядов. Во-первых, это общий прямой тест сравнения : ^{[51] [52] [47]} Для любого ряда , если является абсолютно сходящимся рядом, таким образом, что для некоторого положительного действительного числа и для достаточно большого , то также абсолютно сходится. Если расходится и для всех достаточно больших , то также абсолютно не сходится, хотя он все еще может быть условно сходящимся, например, если чередуются по знаку. Во-вторых, это общий тест сравнения пределов : ^{[53] [54]} Если является абсолютно сходящимся рядом, таким образом, что для достаточно большого , то также абсолютно сходится. Если расходится и для всех достаточно больших , то также абсолютно не сходится, хотя он все еще может быть условно сходящимся, если различаются по знаку. ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq C\left\vert b_{n}\right\vert }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum \left\vert b_{n}\right\vert }$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \geq \left\vert b_{n}\right\vert }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \leq \left\vert {\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum \left|b_{n}\right|}$ ${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \geq \left\vert {\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

Используя сравнения с геометрическими рядами конкретно, ^{[20] [21]} эти два общих сравнительных теста подразумевают два дополнительных общих и обычно полезных теста на сходимость рядов с неотрицательными членами или на абсолютную сходимость рядов с общими членами. Первый — это тест отношения : ^{[55] [56] [57]} если существует константа такая, что для всех достаточно больших  , то сходится абсолютно. Когда отношение меньше , но не меньше константы, меньшей , сходимость возможна, но этот тест ее не устанавливает. Второй — это тест корня : ^{[55] [58] [59]} если существует константа такая, что для всех достаточно больших  , то сходится абсолютно. ${\displaystyle C<1}$ ${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert <C}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle C<1}$ ${\displaystyle \textstyle \left\vert a_{n}\right\vert ^{1/n}\leq C}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$

В качестве альтернативы, используя сравнения с представлениями интегралов в виде рядов , можно получить интегральный тест : ^{[60] [61]} если — положительная монотонно убывающая функция, определенная на интервале , то для ряда с членами для всех  сходится тогда и только тогда, когда интеграл конечен. Использование сравнений с уплощенными версиями ряда приводит к тесту на конденсацию Коши : ^{[29] [30]} если последовательность членов неотрицательна и не возрастает, то два ряда и либо оба сходятся, либо оба расходятся. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [1,\infty )}$ ${\displaystyle a_{n}=f(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum 2^{k}a_{(2^{k})}}$

Тесты условной сходимости

Ряд действительных или комплексных чисел называется условно сходящимся (или полусходящимся ), если он сходится, но не абсолютно сходится. Условная сходимость проверяется иначе, чем абсолютная сходимость.

Одним из важных примеров теста на условную сходимость является тест на чередующиеся ряды или тест Лейбница : ^{[62] [63] [64]} Ряд вида со всеми называется чередующимся . Такой ряд сходится, если неотрицательная последовательность монотонно убывает и сходится к  . Обратное в общем случае неверно. Известным примером применения этого теста является чередующийся гармонический ряд , который сходится согласно тесту на чередующиеся ряды (и его сумма равна  ), хотя ряд, образованный взятием абсолютного значения каждого члена, является обычным гармоническим рядом , который расходится. ^{[65] [66]} ${\textstyle \sum (-1)^{n}a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}>0}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$$ ${\displaystyle \ln 2}$

Тест на знакопеременный ряд можно рассматривать как частный случай более общего теста Дирихле : ^{[67] [68] [69]} если — последовательность членов убывающих неотрицательных действительных чисел, которая сходится к нулю, а — последовательность членов с ограниченными частичными суммами, то ряд сходится. Взятие восстанавливает тест на знакопеременный ряд. ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (\lambda _{n})}$ ${\textstyle \sum \lambda _{n}a_{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}=(-1)^{n}}$

Тест Абеля — еще один важный метод обработки полусходящихся рядов. ^{[67] [29]} Если ряд имеет вид, где частичные суммы ряда с членами,ограничены,имеют ограниченную вариацию исуществует: еслиисходится, то рядсходится. ${\textstyle \sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle s_{b,n}=b_{0}+\cdots +b_{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle \lim \lambda _{n}b_{n}}$ ${\textstyle \sup _{n}|s_{b,n}|<\infty ,}$ ${\textstyle \sum \left|\lambda _{n+1}-\lambda _{n}\right|<\infty ,}$ ${\displaystyle \lambda _{n}s_{b,n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$

Другие специализированные тесты сходимости для определенных типов рядов включают тест Дини ^[70] для рядов Фурье .

Оценка ошибок усечения

Оценка ошибок усечения рядов важна в численном анализе (особенно в проверенных числах и компьютерном доказательстве ). Она может использоваться для доказательства сходимости и анализа скоростей сходимости .

Переменный ряд

Когда условия теста чередующегося ряда удовлетворяются , существует точная оценка ошибки. ^[71] Положим в качестве частичной суммы данного чередующегося ряда . Тогда справедливо следующее неравенство: ${\textstyle S:=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}u_{m}}$ ${\displaystyle s_{n}}$ ${\textstyle s_{n}:=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}u_{m}}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle |S-s_{n}|\leq u_{n+1}.}$$

Гипергеометрический ряд

Используя отношение , мы можем получить оценку погрешности при усечении гипергеометрического ряда . ^[72]

Матрица экспоненциальная

Для матричной экспоненты :

$${\displaystyle \exp(X):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k},\quad X\in \mathbb {C} ^{n\times n},}$$

выполняется следующая оценка ошибки (метод масштабирования и возведения в квадрат): ^{[73] [74] [75]}

$${\displaystyle T_{r,s}(X):={\biggl (}\sum _{j=0}^{r}{\frac {1}{j!}}(X/s)^{j}{\biggr )}^{s},\quad {\bigl \|}\exp(X)-T_{r,s}(X){\bigr \|}\leq {\frac {\|X\|^{r+1}}{s^{r}(r+1)!}}\exp(\|X\|).}$$

Суммы расходящихся рядов

Во многих случаях желательно назначать обобщенные суммы рядам, которые не сходятся в строгом смысле, что их последовательности частичных сумм не сходятся. Метод суммирования — это любой метод назначения сумм расходящимся рядам таким образом, который систематически расширяет классическое понятие суммы ряда. Методы суммирования включают суммирование Чезаро , обобщенное суммирование Чезаро ( C , α ) , суммирование Абеля и суммирование Бореля в порядке применимости к все более расходящимся рядам. Все эти методы основаны на преобразованиях последовательностей исходного ряда членов или его последовательности частичных сумм. Альтернативное семейство методов суммирования основано на аналитическом продолжении, а не на преобразовании последовательностей.

Известно множество общих результатов, касающихся возможных методов суммирования. Теорема Сильвермана–Теплица характеризует матричные методы суммирования , которые являются методами суммирования расходящегося ряда путем применения бесконечной матрицы к вектору коэффициентов. Наиболее общие методы суммирования расходящегося ряда являются неконструктивными и касаются пределов Банаха .

Ряд функций

Ряд действительных или комплексных функций

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$$

поточечно сходится к пределу ƒ ( x ) на множестве E, если ряд сходится для каждого x в E как ряд действительных или комплексных чисел. Эквивалентно, частичные суммы

$${\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)}$$

сходятся к ƒ ( x ) при N  → ∞ для каждого x  ∈  E .

Более сильным понятием сходимости ряда функций является равномерная сходимость . Ряд сходится равномерно в множестве , если он сходится поточечно к функции ƒ ( x ) в каждой точке и супремум этих поточечных ошибок приближения предела N- й частичной суммой, ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle \sup _{x\in E}{\bigl |}s_{N}(x)-f(x){\bigr |}}$$

сходится к нулю с ростом N , независимо от x .

Равномерная сходимость желательна для ряда, поскольку многие свойства членов ряда сохраняются пределом. Например, если ряд непрерывных функций сходится равномерно, то предельная функция также непрерывна. Аналогично, если ƒ _n интегрируемы на замкнутом и ограниченном интервале I и сходятся равномерно, то ряд также интегрируем на I и может быть проинтегрирован почленно. Тесты на равномерную сходимость включают M -тест Вейерштрасса , тест равномерной сходимости Абеля , тест Дини и критерий Коши .

Более сложные типы сходимости ряда функций также могут быть определены. В теории меры , например, ряд функций сходится почти всюду, если он сходится поточечно, за исключением множества меры нуль . Другие режимы сходимости зависят от другой структуры метрического пространства на пространстве рассматриваемых функций . Например, ряд функций сходится в среднем к предельной функции ƒ на множестве E , если

$${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\int _{E}{\bigl |}s_{N}(x)-f(x){\bigr |}^{2}\,dx=0.}$$

Ряд мощности

Степенной ряд — это ряд вида

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.}$$

Ряд Тейлора в точке c функции — это степенной ряд, который во многих случаях сходится к функции в окрестности c . Например, ряд

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$$

представляет собой ряд Тейлора в начале координат и сходится к нему для каждого x . ${\displaystyle e^{x}}$

Если только он не сходится только при x = c , такой ряд сходится на некотором открытом круге сходимости с центром в точке c на комплексной плоскости, а также может сходиться в некоторых точках границы круга. Радиус этого круга известен как радиус сходимости , и в принципе может быть определен из асимптотики коэффициентов a _n . Сходимость равномерна на замкнутых и ограниченных (то есть компактных ) подмножествах внутренней части круга сходимости: а именно, она равномерно сходится на компактных множествах .

Исторически математики, такие как Леонард Эйлер, свободно оперировали бесконечными рядами, даже если они не были сходящимися. Когда в девятнадцатом веке исчисление было поставлено на прочную и правильную основу, всегда требовались строгие доказательства сходимости рядов.

Формальный степенной ряд

Хотя многие применения степенных рядов относятся к их суммам, также возможно рассматривать степенные ряды как формальные суммы , что означает, что на самом деле не выполняются никакие операции сложения, а символ «+» является абстрактным символом конъюнкции, который не обязательно интерпретируется как соответствующий сложению. В этой обстановке интерес представляет сама последовательность коэффициентов, а не сходимость ряда. Формальные степенные ряды используются в комбинаторике для описания и изучения последовательностей , которые в противном случае трудно обработать, например, с помощью метода порождающих функций . Ряд Гильберта–Пуанкаре является формальным степенным рядом, используемым для изучения градуированных алгебр .

Даже если предел степенного ряда не рассматривается, если термины поддерживают соответствующую структуру, то можно определить такие операции, как сложение , умножение , производная , первообразная для степенных рядов «формально», рассматривая символ «+» так, как если бы он соответствовал сложению. В наиболее общей ситуации термины происходят из коммутативного кольца , так что формальный степенной ряд можно складывать почленно и умножать через произведение Коши . В этом случае алгебра формальных степенных рядов является полной алгеброй моноида натуральных чисел над базовым кольцом терминов. ^[76] Если базовое кольцо терминов является дифференциальной алгеброй , то алгебра формальных степенных рядов также является дифференциальной алгеброй, при этом дифференцирование выполняется почленно.

Серия Лорана

Ряды Лорана обобщают степенные ряды, допуская в ряд члены как с отрицательными, так и с положительными показателями. Ряд Лорана — это, таким образом, любой ряд вида

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}x^{n}.}$$

Если такой ряд сходится, то в общем случае он делает это в кольце, а не в диске, и, возможно, в некоторых граничных точках. Ряд сходится равномерно на компактных подмножествах внутри кольца сходимости.

ряд Дирихле

Ряд Дирихле — это одна из форм

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}},}$$

где s — комплексное число . Например, если все a _n равны 1, то ряд Дирихле — это дзета-функция Римана

$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$$

Как и дзета-функция, ряды Дирихле вообще играют важную роль в аналитической теории чисел . Обычно ряд Дирихле сходится, если действительная часть s больше числа, называемого абсциссой сходимости. Во многих случаях ряд Дирихле можно расширить до аналитической функции вне области сходимости с помощью аналитического продолжения . Например, ряд Дирихле для дзета-функции сходится абсолютно, когда Re( s ) > 1, но дзета-функцию можно расширить до голоморфной функции, определенной на с простым полюсом в 1. ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$

Этот ряд можно непосредственно обобщить до общего ряда Дирихле .

Тригонометрический ряд

Ряд функций, в котором члены являются тригонометрическими функциями, называется тригонометрическим рядом :

$${\displaystyle A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx\right).}$$

Наиболее важным примером тригонометрического ряда является ряд Фурье функции.

Асимптотический ряд

Асимптотические ряды , обычно называемые асимптотическими разложениями , представляют собой бесконечные ряды, члены которых являются функциями последовательности различных асимптотических порядков , а частичные суммы являются приближениями некоторой другой функции в асимптотическом пределе . В общем случае они не сходятся, но они все еще полезны как последовательности приближений, каждое из которых дает значение, близкое к желаемому ответу для конечного числа членов. Они являются важнейшими инструментами в теории возмущений и в анализе алгоритмов .

Асимптотический ряд не обязательно может быть сделан так, чтобы он давал ответ так точно, как хотелось бы, вдали от асимптотического предела, как это может сделать обычный сходящийся ряд функций. Фактически, типичный асимптотический ряд достигает своего наилучшего практического приближения вдали от асимптотического предела после конечного числа членов; если включено больше членов, ряд будет давать менее точные приближения.

История теории бесконечных рядов

Развитие бесконечных рядов

Бесконечные ряды играют важную роль в современном анализе древнегреческой философии движения , особенно в парадоксах Зенона . ^[77] Парадокс Ахилла и черепахи демонстрирует, что непрерывное движение потребовало бы фактической бесконечности временных мгновений, что, возможно, было абсурдом : Ахилл бежит за черепахой, но когда он достигает положения черепахи в начале гонки, черепаха достигает второго положения; когда он достигает этого второго положения, черепаха находится в третьем положении и так далее. Говорят, что Зенон утверждал, что, следовательно, Ахилл никогда не сможет достичь черепахи, и, таким образом, непрерывное движение должно быть иллюзией. Зенон разделил гонку на бесконечное множество подрас, каждая из которых требует конечного количества времени, так что общее время, необходимое Ахиллу, чтобы поймать черепаху, задается серией. Разрешение чисто математической и воображаемой стороны парадокса заключается в том, что, хотя ряд имеет бесконечное число членов, он имеет конечную сумму, которая дает время, необходимое Ахиллу, чтобы догнать черепаху. Однако в современной философии движения физическая сторона проблемы остается открытой, причем и философы, и физики сомневаются, как Зенон, в том, что пространственные движения бесконечно делимы: гипотетические согласования квантовой механики и общей теории относительности в теориях квантовой гравитации часто вводят квантования пространства -времени в масштабе Планка . ^{[78] [79]}

Греческий математик Архимед произвел первое известное суммирование бесконечного ряда методом, который до сих пор используется в области исчисления сегодня. Он использовал метод исчерпывания для вычисления площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда, ^[5] и дал замечательно точное приближение π . ^{[80] [81]}

Математики из школы Кералы изучали бесконечные ряды около  1350 г. н.э. [ ^82]

В 17 веке Джеймс Грегори работал в новой десятичной системе над бесконечными рядами и опубликовал несколько рядов Маклорена . В 1715 году общий метод построения рядов Тейлора для всех функций, для которых они существуют, был предоставлен Бруком Тейлором . Леонард Эйлер в 18 веке разработал теорию гипергеометрических рядов и q-рядов .

Критерии сходимости

Считается, что исследование справедливости бесконечных рядов началось с Гаусса в 19 веке. Эйлер уже рассматривал гипергеометрический ряд

$${\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots }$$

по этому поводу Гаусс опубликовал мемуар в 1812 году. В нем были установлены более простые критерии сходимости, а также вопросы остатков и области сходимости.

Коши (1821) настаивал на строгих тестах сходимости; он показал, что если два ряда сходятся, то их произведение не обязательно сходится, и с него начинается открытие эффективных критериев. Термины «сходимость» и «расходимость» были введены задолго до этого Грегори (1668). Леонард Эйлер и Гаусс дали различные критерии, а Колин Маклорен предвосхитил некоторые открытия Коши. Коши продвинул теорию степенных рядов , разложив комплексную функцию в такой форме.

Абель (1826) в своих мемуарах о биномиальном ряде

$${\displaystyle 1+{\frac {m}{1!}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots }$$

исправил некоторые выводы Коши и дал вполне научное суммирование рядов для комплексных значений и . Он показал необходимость рассмотрения вопроса о непрерывности в вопросах сходимости. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$

Методы Коши привели к частным, а не общим критериям, и то же самое можно сказать о Раабе (1832), который провел первое подробное исследование предмета, о Де Моргане (с 1842), чей логарифмический тест Дюбуа-Реймона (1873) и Прингсгейма (1889) показал, что он не работает в определенной области; о Бертране (1842), Бонне (1843), Мальмстене (1846, 1847, последний без интегрирования); Стоксе (1847), Паукере (1852), Чебышеве (1852) и Арндте (1853).

Общие критерии были начаты Куммером (1835) и изучались Эйзенштейном (1847), Вейерштрассом в его различных работах по теории функций, Дини (1867), Дюбуа-Реймоном (1873) и многими другими. Мемуары Прингсгейма (1889) представляют наиболее полную общую теорию.

Равномерная сходимость

Теория равномерной сходимости была рассмотрена Коши (1821), на его ограничения указал Абель, но первыми, кто успешно на нее напал, были Зейдель и Стокс (1847–48). Коши снова занялся этой проблемой (1853), признав критику Абеля и придя к тем же выводам, которые уже сделал Стокс. Томае использовал доктрину (1866), но была большая задержка в признании важности различия между равномерной и неравномерной сходимостью, несмотря на требования теории функций.

Полуконвергенция

Ряд называется полусходящимся (или условно сходящимся), если он сходится, но не абсолютно .

Полусходящиеся ряды изучались Пуассоном (1823), который также дал общую форму для остатка формулы Маклорена. Однако самое важное решение проблемы принадлежит Якоби (1834), который атаковал вопрос об остатке с другой точки зрения и пришел к другой формуле. Это выражение также было разработано и дано другим Мальмстеном ( 1847). Шлемильх ( Zeitschrift , Vol.I, p. 192, 1856) также улучшил остаток Якоби и показал связь между остатком и функцией Бернулли

$${\displaystyle F(x)=1^{n}+2^{n}+\cdots +(x-1)^{n}.}$$

Дженокки (1852) внес дальнейший вклад в эту теорию.

Среди ранних авторов был Вронский , чей «loi suprême» (1815) был едва ли признан, пока Кейли (1873) не вывел его на первый план.

ряд Фурье

Ряды Фурье исследовались как результат физических соображений в то же самое время, когда Гаусс, Абель и Коши разрабатывали теорию бесконечных рядов. Ряды для разложения синусов и косинусов, кратных дуг по степеням синуса и косинуса дуги рассматривались Якобом Бернулли (1702) и его братом Иоганном Бернулли (1701), а еще раньше — Виетой . Эйлер и Лагранж упростили предмет, как и Пуансо , Шретер , Глейшер и Куммер .

Фурье (1807) поставил перед собой другую задачу — разложить заданную функцию x по синусам или косинусам кратных x , — задачу, которую он воплотил в своей работе «Аналитическая теория тепла» (1822). Эйлер уже дал формулы для определения коэффициентов ряда; Фурье был первым, кто утверждал и пытался доказать общую теорему. Пуассон (1820–23) также атаковал проблему с другой точки зрения. Фурье, однако, не решил вопрос о сходимости своего ряда, вопрос, который Коши (1826) должен был попытаться решить, а Дирихле (1829) — полностью научным образом (см. сходимость рядов Фурье ). Обработка Дирихле ( Крелль , 1829) тригонометрических рядов была предметом критики и усовершенствования Риманом (1854), Гейне, Липшицем , Шлефли и дю Буа-Реймоном . Среди других выдающихся авторов теории тригонометрических рядов и рядов Фурье были Дини , Эрмит , Хальфен , Краузе, Байерли и Аппель .

Суммирование по общим наборам индексов

Определения могут быть даны для бесконечных сумм по произвольному набору индексов ^[83] Это обобщение вводит два основных отличия от обычного понятия ряда: во-первых, на наборе может не быть задан определенный порядок ; во-вторых, набор может быть несчетным. Понятия сходимости должны быть пересмотрены для них, тогда, потому что, например, концепция условной сходимости зависит от упорядочения набора индексов. ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

Если — функция из набора индексов в набор, то «ряд», связанный с — это формальная сумма элементов по элементам индекса, обозначенная как ${\displaystyle a:I\mapsto G}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a(x)\in G}$ ${\displaystyle x\in I}$

$${\displaystyle \sum _{x\in I}a(x).}$$

Когда набор индексов — это натуральные числа, функция представляет собой последовательность, обозначенную как Ряд, индексированный по натуральным числам, является упорядоченной формальной суммой, и поэтому мы переписываем как , чтобы подчеркнуть упорядоченность, вызванную натуральными числами. Таким образом, мы получаем общее обозначение для ряда, индексированного по натуральным числам ${\displaystyle I=\mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle a:\mathbb {N} \mapsto G}$ ${\displaystyle a(n)=a_{n}.}$ ${\textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots .}$$

Семейства неотрицательных чисел

При суммировании семейства неотрицательных действительных чисел по набору индексов определите ${\displaystyle \left\{a_{i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup {\biggl \{}\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite}}{\biggr \}}\in [0,+\infty ].}$$

Когда супремум конечен, то множество таких, что счетно. Действительно, для каждого мощность множества конечна, поскольку ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle a_{i}>0}$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle \left|A_{n}\right|}$ ${\displaystyle A_{n}=\left\{i\in I:a_{i}>1/n\right\}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\,\left|A_{n}\right|=\sum _{i\in A_{n}}{\frac {1}{n}}\leq \sum _{i\in A_{n}}a_{i}\leq \sum _{i\in I}a_{i}<\infty .}$$

Если счетно бесконечно и занумеровано как , то определенная выше сумма удовлетворяет условию ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=\left\{i_{0},i_{1},\ldots \right\}}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{i_{k}},}$$при условии, что значение допускается для суммы ряда. ${\displaystyle \infty }$

Любую сумму по неотрицательным действительным числам можно понимать как интеграл неотрицательной функции относительно меры подсчета , что объясняет многочисленные сходства между двумя конструкциями.

Абелевы топологические группы

Пусть будет отображением, также обозначаемым как из некоторого непустого множества в хаусдорфову абелеву топологическую группу Пусть будет совокупностью всех конечных подмножеств с рассматриваемым как направленное множество , упорядоченное относительно включения с объединением в качестве соединения . Семейство называется безусловно суммируемым, если следующий предел , который обозначается как и называется суммой , существует в ${\displaystyle a:I\to X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}a_{i}}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle X:}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}:=\lim _{A\in \operatorname {Finite} (I)}\ \sum _{i\in A}a_{i}=\lim {\biggl \{}\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite }}{\biggr \}}}$$Утверждение, что сумма является пределом конечных частичных сумм, означает, что для каждой окрестности начала координат в существует конечное подмножество такое , что ${\displaystyle \textstyle S:=\sum _{i\in I}a_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle S-\sum _{i\in A}a_{i}\in V\qquad {\text{ for every finite superset}}\;A\supseteq A_{0}.}$$

Поскольку не полностью упорядочено , это не предел последовательности частичных сумм, а скорее предел сети . ^{[84] [85]} ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$

Для каждой окрестности начала координат в существует меньшая окрестность такая, что Отсюда следует, что конечные частичные суммы безусловно суммируемого семейства образуют сеть Коши , то есть для каждой окрестности начала координат в существует конечное подмножество из такое, что ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V-V\subseteq W.}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle \sum _{i\in A_{1}}a_{i}-\sum _{i\in A_{2}}a_{i}\in W\qquad {\text{ for all finite supersets }}\;A_{1},A_{2}\supseteq A_{0},}$$что подразумевает, что для каждого (взяв и ). ${\displaystyle a_{i}\in W}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{0}}$ ${\displaystyle A_{1}:=A_{0}\cup \{i\}}$ ${\displaystyle A_{2}:=A_{0}}$

Когда является полным , семейство безусловно суммируемо в тогда и только тогда, когда конечные суммы удовлетворяют последнему условию сети Коши. Когда является полным и безусловно суммируемо в тогда для каждого подмножества соответствующее подсемейство также безусловно суммируемо в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle J\subseteq I,}$ ${\displaystyle \left(a_{j}\right)_{j\in J},}$ ${\displaystyle X.}$

Когда сумма семейства неотрицательных чисел, в расширенном смысле, определенном ранее, конечна, то она совпадает с суммой в топологической группе ${\displaystyle X=\mathbb {R} .}$

Если семейство в безусловно суммируемо, то для любой окрестности начала отсчета в существует конечное подмножество такое, что для любого индекса, не в Если — пространство с первой абелевой счетностью , то из этого следует, что множество таких, что счетно. Это не обязательно должно быть верно в общей абелевой топологической группе (см. примеры ниже). ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}\subseteq I}$ ${\displaystyle a_{i}\in W}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{0}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$

Безусловно сходящийся ряд

Предположим, что если семейство безусловно суммируемо в хаусдорфовой абелевой топологической группе, то ряд в обычном смысле сходится и имеет ту же сумму, ${\displaystyle I=\mathbb {N} .}$ ${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}.}$$

По своей природе определение безусловной суммируемости нечувствительно к порядку суммирования. Когда является безусловно суммируемой, то ряд остается сходящимся после любой перестановки набора индексов, с той же суммой, ${\displaystyle \textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$$

Наоборот, если каждая перестановка ряда сходится, то ряд безусловно сходится. Когда является полным, то безусловная сходимость также эквивалентна тому факту, что все подряды сходятся; если является банаховым пространством , это эквивалентно тому, что для каждой последовательности знаков ряд ${\displaystyle \textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}=\pm 1}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}a_{n}}$$

сходится в ${\displaystyle X.}$

Ряды в топологических векторных пространствах

Если — топологическое векторное пространство (TVS) и — (возможно, несчетное ) семейство в , то это семейство суммируемо ^[86], если предел сети существует в , где — направленное множество всех конечных подмножеств направленного по включению и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \lim _{A\in \operatorname {Finite} (I)}x_{A}}$ ${\displaystyle \left(x_{A}\right)_{A\in \operatorname {Finite} (I)}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\textstyle x_{A}:=\sum _{i\in A}x_{i}.}$

Он называется абсолютно суммируемым, если, кроме того, для всякая непрерывная полунорма на семействе суммируема. Если — нормируемое пространство и если — абсолютно суммируемое семейство в , то обязательно все , кроме счетного набора , равны нулю. Следовательно, в нормированных пространствах обычно всегда необходимо рассматривать только ряды со счетным числом членов. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(p\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Суммируемые семейства играют важную роль в теории ядерных пространств .

Ряды в банаховых и полунормированных пространствах

Понятие ряда легко можно распространить на случай полунормированного пространства . Если — последовательность элементов нормированного пространства и если то ряд сходится к в , если последовательность частичных сумм ряда сходится к в ; а именно, ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \textstyle \sum x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle {\bigl (}\!\!~\sum _{n=0}^{N}x_{n}{\bigr )}_{N=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\Biggl \|}x-\sum _{n=0}^{N}x_{n}{\Biggr \|}\to 0\quad {\text{ as }}N\to \infty .}$$

В более общем смысле сходимость рядов может быть определена в любой абелевой хаусдорфовой топологической группе . В частности, в этом случае сходится к , если последовательность частичных сумм сходится к ${\displaystyle \textstyle \sum x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Если — полунормированное пространство , то понятие абсолютной сходимости принимает вид: ряд векторов в сходится абсолютно, если ${\displaystyle (X,|\cdot |)}$ ${\textstyle \sum _{i\in I}x_{i}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}\left|x_{i}\right|<+\infty }$$

в этом случае все значения, за исключением, самое большее, счетного числа, обязательно равны нулю. ${\displaystyle \left|x_{i}\right|}$

Если счетный ряд векторов в банаховом пространстве сходится абсолютно, то он сходится безусловно, но обратное справедливо только в конечномерных банаховых пространствах (теорема Дворецкого и Роджерса (1950)).

Хорошо упорядоченные суммы

Условно сходящийся ряд можно считать, если — вполне упорядоченное множество, например, порядковое число. В этом случае определим с помощью трансфинитной рекурсии : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \alpha _{0}.}$

$${\displaystyle \sum _{\beta <\alpha +1}\!a_{\beta }=a_{\alpha }+\sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }}$$

и для предельного ординала ${\displaystyle \alpha ,}$

$${\displaystyle \sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }=\lim _{\gamma \to \alpha }\,\sum _{\beta <\gamma }a_{\beta }}$$

если этот предел существует. Если все пределы существуют до , то ряд сходится. ${\displaystyle \alpha _{0},}$

Примеры

• Дана функция в абелевой топологической группе. Определим для каждой функции, носитель которой является единственной точкой. Тогда в топологии поточечной сходимости (то есть сумма берется в бесконечной группе произведений ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle a\in X,}$ $${\displaystyle f_{a}(x)={\begin{cases}0&x\neq a,\\f(a)&x=a,\\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \{a\}.}$ $${\displaystyle f=\sum _{a\in X}f_{a}}$$ ${\displaystyle \textstyle Y^{X}}$
• В определении разбиений единицы строятся суммы функций по произвольному набору индексов Хотя формально это требует понятия сумм несчетных рядов, по построению для каждого заданного существует только конечное число ненулевых членов в сумме, поэтому вопросы, касающиеся сходимости таких сумм, не возникают. На самом деле, обычно предполагается большее: семейство функций локально конечно , то есть для каждого существует окрестность , в которой все, кроме конечного числа функций, обращаются в нуль. Любое свойство регулярности , такое как непрерывность, дифференцируемость, которое сохраняется при конечных суммах, сохранится и для суммы любого подмножества этого семейства функций. ${\displaystyle I,}$ $${\displaystyle \sum _{i\in I}\varphi _{i}(x)=1.}$$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi _{i},}$
• На первом несчетном ординале, рассматриваемом как топологическое пространство в топологии порядка , постоянная функция, заданная удовлетворяет (другими словами, копии 1 есть ), только если взять предел по всем счетным частичным суммам, а не по конечным частям. Это пространство не является сепарабельным. ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle f:\left[0,\omega _{1}\right)\to \left[0,\omega _{1}\right]}$ ${\displaystyle f(\alpha )=1}$ $${\displaystyle \sum _{\alpha \in [0,\omega _{1})}\!\!\!f(\alpha )=\omega _{1}}$$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Смотрите также

• Продолженная дробь
• Тесты на сходимость
• Сходящийся ряд
• Расходящиеся ряды
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Бесконечное выражение
• Бесконечное произведение
• Итерированная бинарная операция
• Список математических рядов
• Префиксная сумма
• Трансформация последовательности
• Расширение серии

Примечания

1. Томпсон, Сильванус ; Гарднер, Мартин (1998). Calculus Made Easy. Macmillan. ISBN 978-0-312-18548-0.
2. Хаггетт, Ник (2024), «Парадоксы Зенона», в Zalta, Эдвард Н.; Nodelman, Ури (ред.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (изд. весна 2024 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , получено 25.03.2024
3. Апостол 1967, стр. 374–375.
4. Свейн, Гордон; Денс, Томас (1998). «Повторный взгляд на квадратуру параболы Архимеда». Mathematics Magazine . 71 (2): 123–130. doi :10.2307/2691014. ISSN  0025-570X. JSTOR  2691014.
5. Russo, Lucio (2004). Забытая революция . Перевод Levy, Silvio. Германия: Springer-Verlag. стр. 49–52. ISBN 978-3-540-20396-4.
6. Апостол 1967, стр. 377
7. Апостол 1967, стр. 378
8. Апостол 1967, стр. 37
9. Спивак 2008, стр. 471–472
10. Апостол 1967, стр. 384
11. Ablowitz, Mark J.; Fokas, Athanassios S. (2003). Complex Variables: Introduction and Applications (2nd ed.). Cambridge University Press. стр. 110. ISBN 978-0-521-53429-1.
12. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley and Sons. стр. 238. ISBN 978-0-471-43334-7.
13. Спивак 2008, стр. 486–487, 493
14. Wilf, Herbert S. (1990). Generatingfunctionology . Сан-Диего: Academic Press. С. 27–28. ISBN 978-1-48-324857-8.
15. Свокоски, Эрл В. (1983). Исчисление с аналитической геометрией (альтернативный редактор). Бостон: Prindle, Weber & Schmidt. стр. 501. ISBN 978-0-87150-341-1.
16. Рудин 1976, стр. 59
17. Спивак 2008, стр. 426
18. Апостол 1967, стр. 281
19. Рудин 1976, стр. 63
20. Спивак 2008, стр. 473–478
21. Апостол 1967, стр. 388–390, 399–401
22. Рудин 1976, стр. 61
23. Спивак 2008, стр. 453
24. Кнут, Дональд Э. (1992). «Две заметки о нотации». American Mathematical Monthly . 99 (5): 403–422. doi :10.2307/2325085. JSTOR  2325085.
25. Аткинсон, Кендалл Э. (1989). Введение в численный анализ (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. стр. 20. ISBN 978-0-471-62489-9. OCLC  803318878.
26. Стоер, Йозеф; Булирш, Роланд (2002). Введение в числовой анализ (3-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Запись для слепых и дислексиков. OCLC  50556273.
27. Уилкинс, Дэвид (2007). "Раздел 6: Расширенная система действительных чисел" (PDF) . maths.tcd.ie . Получено 2019-12-03 .
28. Kifowit, Steven J.; Stamps, Terra A. (2006). «Гармонический ряд расходится снова и снова» (PDF) . Обзор Американской математической ассоциации двухгодичных колледжей . 27 (2): 31–43.
29. Спивак 2008, стр. 496
30. Rudin 1976, стр. 61
31. Спивак 2008, стр. 483–486
32. Апостол 1967, стр. 412–414.
33. Рудин 1976, стр. 76
34. Спивак 2008, стр. 482
35. Apostol 1967, стр. 385–386.
36. Сафф, ЭБ; Снайдер, Артур Д. (2003). Основы комплексного анализа (3-е изд.). Pearson Education. стр. 247–249. ISBN 0-13-907874-6.
37. Рудин 1976, стр. 72
38. Рудин 1976, стр. 73
39. Рудин 1976, стр. 74
40. Апостол 1967, стр. 384
41. Апостол 1967, стр. 403–404.
42. Апостол 1967, стр. 386
43. Apostol 1967, стр. 387
44. Апостол 1967, стр. 396
45. Гаспер, Г., Рахман, М. (2004). Основные гипергеометрические ряды. Cambridge University Press .
46. Спивак 2008, стр. 473
47. Рудин 1976, стр. 60
48. Апостол 1967, стр. 381, 394–395
49. Спивак 2008, стр. 457, 473–474
50. Рудин 1976, стр. 71–72
51. Апостол 1967, стр. 395–396.
52. Спивак 2008, стр. 474–475
53. Апостол 1967, стр. 396
54. Спивак 2008, стр. 475–476
55. Apostol 1967, стр. 399–401
56. Спивак 2008, стр. 476–478
57. Рудин 1976, стр. 66
58. Спивак 2008, стр. 493
59. Рудин 1976, стр. 65
60. Апостол 1967, стр. 397–398.
61. Спивак 2008, стр. 478–479
62. Апостол 1967, стр. 403–404.
63. Спивак 2008, стр. 481
64. Рудин 1976, стр. 71
65. Апостол 1967, стр. 413–414.
66. Спивак 2008, стр. 482–483
67. Apostol 1967, стр. 407–409
68. Спивак 2008, стр. 495
69. Рудин 1976, стр. 70
70. Спивак 2008, стр. 524
71. Положительные и отрицательные члены: чередующиеся ряды
72. Йоханссон, Ф. (2016). Строгое вычисление гипергеометрических функций. Препринт arXiv arXiv:1606.06977.
73. Хайэм, Нью-Джерси (2008). Функции матриц: теория и вычисления. Общество промышленной и прикладной математики .
74. Хайэм, Нью-Джерси (2009). Метод масштабирования и возведения в квадрат для матричной экспоненты пересмотрен. Обзор SIAM, 51(4), 747-764.
75. Как и как не следует вычислять экспоненту матрицы
76. Николя Бурбаки (1989), Алгебра , Спрингер: §III.2.11.
77. Хаггетт, Ник (2024), «Парадоксы Зенона», в Zalta, Эдвард Н.; Nodelman, Ури (ред.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (изд. весна 2024 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , получено 25.03.2024
78. Снайдер, Х. (1947), «Квантованное пространство-время», Physical Review , 67 (1): 38–41, Bibcode : 1947PhRv...71...38S, doi : 10.1103/PhysRev.71.38.
79. "Распутывание пространства-времени". Журнал Quanta . 2024-09-25 . Получено 2024-10-11 .
80. O'Connor, JJ & Robertson, EF (1996). "История исчисления". Университет Сент-Эндрюс . Получено 2007-08-07 .
81. Бидвелл, Джеймс К. (30 ноября 1993 г.). «Архимед и Пи-еще раз». Школьные науки и математика . 94 (3). doi :10.1111/j.1949-8594.1994.tb15638.x.
82. "Индейцы появились на 250 лет раньше "открытия" Ньютона". manchester.ac.uk .
83. Жан Дьедонне, Основы математического анализа , Academic Press
84. Бурбаки, Николас (1998). Общая топология: Главы 1–4 . Springer. С. 261–270. ISBN 978-3-540-64241-1.
85. Шоке, Гюстав (1966). Топология . Academic Press. С. 216–231. ISBN 978-0-12-173450-3.
86. Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 8 (2nd ed.). New York, NY: Springer. pp. 179–180. ISBN 978-1-4612-7155-0.

Ссылки

• Апостол, Том М. (1967) [1961]. Исчисление . Т. 1 (2-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00005-1.
• Рудин, Уолтер (1976) [1953]. Принципы математического анализа (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. OCLC  1502474.
• Спивак, Майкл (2008) [1967]. Calculus (4-е изд.). Хьюстон, Техас: Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-91-1.

Дальнейшее чтение

• Бромвич, Т. Дж. (1926). Введение в теорию бесконечных рядов (2-е изд.). MacMillan.
• Дворецкий, Арье; Роджерс, К. Эмброуз (1950). «Абсолютная и безусловная сходимость в нормированных линейных пространствах». Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 36 (3): 192–197. Bibcode :1950PNAS...36..192D. doi : 10.1073/pnas.36.3.192 . PMC  1063182 . PMID  16588972.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666.
• Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (Альтернативное издание), Бостон: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 978-0-87150-341-1
• Питч, Альбрехт (1972). Ядерные локально-выпуклые пространства . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC  539541.
• Робертсон, А. П. (1973). Топологические векторные пространства . Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2.
• Рудин, Уолтер (1964). Принципы математического анализа (2-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-070-54231-7.
• Райан, Рэймонд (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Лондон Нью-Йорк: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC  48092184.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• Трев, Франсуа (1967). Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Нью-Йорк: Academic Press.Перепечатано издательством Dover, 2006, ISBN 978-0-486-45352-1 . 
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158.

Внешние ссылки

• «Серия», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Учебник по бесконечным рядам
• «Series-TheBasics». Онлайн-математические заметки Пола.
• «Show-Me Collection of Series» (PDF) . Лесли Грин.