Абстрактная алгебра

Раздел математики

Перестановки кубика Рубика образуют группу — фундаментальное понятие абстрактной алгебры .

В математике , а точнее в алгебре , абстрактная алгебра или современная алгебра — это изучение алгебраических структур , которые представляют собой множества с определенными операциями, действующими на их элементах. ^[1] Алгебраические структуры включают группы , кольца , поля , модули , векторные пространства , решетки и алгебры над полем . Термин абстрактная алгебра был придуман в начале 20-го века, чтобы отличить ее от более старых частей алгебры, и, в частности, от элементарной алгебры , использования переменных для представления чисел в вычислениях и рассуждениях. Абстрактная перспектива алгебры стала настолько фундаментальной для продвинутой математики, что ее просто называют «алгеброй», в то время как термин «абстрактная алгебра» редко используется, за исключением педагогики .

Алгебраические структуры, с их связанными гомоморфизмами , образуют математические категории . Теория категорий дает единую основу для изучения свойств и конструкций, которые являются аналогичными для различных структур.

Универсальная алгебра — смежный предмет, изучающий типы алгебраических структур как отдельные объекты. Например, структура групп — это отдельный объект в универсальной алгебре, который называется многообразием групп .

История

До девятнадцатого века алгебра определялась как изучение многочленов . ^[2] Абстрактная алгебра появилась в девятнадцатом веке по мере развития более сложных проблем и методов решения. Конкретные проблемы и примеры пришли из теории чисел, геометрии, анализа и решений алгебраических уравнений . Большинство теорий, которые сейчас признаются частями абстрактной алгебры, начинались как собрания разрозненных фактов из различных разделов математики, приобрели общую тему, которая служила ядром, вокруг которого группировались различные результаты, и, наконец, стали едиными на основе общего набора понятий. Это объединение произошло в первые десятилетия двадцатого века и привело к формальным аксиоматическим определениям различных алгебраических структур, таких как группы, кольца и поля. ^[3] Это историческое развитие почти противоположно трактовке, найденной в популярных учебниках, таких как «Современная алгебра» ван дер Вардена , ^[4] которые начинают каждую главу с формального определения структуры, а затем следуют за ним конкретные примеры. ^[5]

Элементарная алгебра

Изучение полиномиальных уравнений или алгебраических уравнений имеет долгую историю. Около  1700 г. до н. э . вавилоняне смогли решить квадратные уравнения, заданные как текстовые задачи. Этот этап текстовых задач классифицируется как риторическая алгебра и был доминирующим подходом вплоть до XVI века. Аль-Хорезми создал слово «алгебра» в 830 г. н. э., но его работа была полностью риторической алгеброй. Полностью символическая алгебра не появлялась до « Новой алгебры » Франсуа Виета 1591 года , и даже в ней были некоторые записанные слова, которые были даны символами в «Геометрии» Декарта 1637 года . ^[6] Формальное изучение решения символических уравнений привело Леонарда Эйлера к принятию того, что тогда считалось «бессмысленными» корнями, такими как отрицательные числа и мнимые числа , в конце XVIII века. ^[7] Однако европейские математики в большинстве своем сопротивлялись этим концепциям вплоть до середины XIX века. ^[8]

«Трактат об алгебре» Джорджа Пикока 1830 года был первой попыткой поставить алгебру на строго символическую основу. Он выделил новую символическую алгебру , отличную от старой арифметической алгебры . В то время как в арифметической алгебре ограничено , в символической алгебре все правила операций выполняются без ограничений. Используя это, Пикок мог показать законы, такие как , допуская . Пикок использовал то, что он назвал принципом постоянства эквивалентных форм, чтобы оправдать свой аргумент, но его рассуждения страдали от проблемы индукции . ^[9] Например, справедливо для неотрицательных действительных чисел , но не для общих комплексных чисел . ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle a\geq b}$ ${\displaystyle (-a)(-b)=ab}$ ${\displaystyle a=0,c=0}$ ${\displaystyle (a-b)(c-d)=ac+bd-ad-bc}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$

Ранняя теория групп

Несколько областей математики привели к изучению групп. Изучение Лагранжем в 1770 году решений уравнения пятой степени привело к группе Галуа многочлена . Изучение Гауссом в 1801 году малой теоремы Ферма привело к кольцу целых чисел по модулю n , мультипликативной группе целых чисел по модулю n и более общим концепциям циклических групп и абелевых групп . Эрлангенская программа Клейна 1872 года изучала геометрию и привела к группам симметрии, таким как группа Евклида и группа проективных преобразований . В 1874 году Ли представил теорию групп Ли , стремясь к «теории Галуа дифференциальных уравнений». В 1876 году Пуанкаре и Клейн представили группу преобразований Мёбиуса и ее подгруппы, такие как модулярная группа и фуксова группа , основанные на работе над автоморфными функциями в анализе. ^[10]

Абстрактное понятие группы медленно появлялось в середине девятнадцатого века. Галуа в 1832 году был первым, кто использовал термин «группа», ^[11] обозначая набор перестановок, замкнутый относительно композиции. ^{[12] Статья} Артура Кэли 1854 года «О теории групп» определила группу как множество с ассоциативной операцией композиции и тождеством 1, которое сегодня называется моноидом . [ ^13] В 1870 году Кронекер определил абстрактную бинарную операцию, которая была замкнутой, коммутативной, ассоциативной и имела свойство левого сокращения , ^[14] аналогичное современным законам для конечной абелевой группы . ^[15] Определение группы Вебером 1882 года было замкнутой бинарной операцией, которая была ассоциативной и имела левое и правое сокращение. ^[16] Вальтер фон Дейк в 1882 году был первым, кто потребовал обратные элементы как часть определения группы. ^[17] ${\displaystyle b\neq c\to a\cdot b\neq a\cdot c}$

Как только эта абстрактная концепция группы появилась, результаты были переформулированы в этой абстрактной обстановке. Например, теорема Силова была повторно доказана Фробениусом в 1887 году непосредственно из законов конечной группы, хотя Фробениус заметил, что теорема следует из теоремы Коши о группах перестановок и того факта, что каждая конечная группа является подгруппой группы перестановок. ^{[18] [19]} Отто Гёльдер был особенно плодовит в этой области, определив фактор-группы в 1889 году, автоморфизмы групп в 1893 году, а также простые группы. Он также завершил теорему Жордана–Гёльдера . Дедекинд и Миллер независимо друг от друга охарактеризовали гамильтоновы группы и ввели понятие коммутатора двух элементов. Бернсайд, Фробениус и Молиен создали теорию представлений конечных групп в конце девятнадцатого века. ^[18] Монография JA de Séguier 1905 года Elements of the Theory of Abstract Groups представила многие из этих результатов в абстрактной, общей форме, отнеся «конкретные» группы к приложению, хотя она была ограничена конечными группами. Первой монографией как по конечным, так и по бесконечным абстрактным группам была монография OK Schmidt 1916 года Abstract Theory of Groups . ^[20]

Ранняя теория кольца

Некоммутативная теория колец началась с расширений комплексных чисел до гиперкомплексных чисел , в частности, с кватернионов Уильяма Роуэна Гамильтона в 1843 году. Вскоре последовало множество других числовых систем. В 1844 году Гамильтон представил бикватернионы , Кэли представил октонионы , а Грассман представил внешние алгебры . ^[21] Джеймс Кокл представил тессарины в 1848 году ^[22] и кокватернионы в 1849 году. ^[23] Уильям Кингдон Клиффорд представил расщепленные бикватернионы в 1873 году. Кроме того, Кэли представил групповые алгебры над действительными и комплексными числами в 1854 году и квадратные матрицы в двух статьях 1855 и 1858 годов. ^[24]

Когда примеров было достаточно, оставалось их классифицировать. В монографии 1870 года Бенджамин Пирс классифицировал более 150 гиперкомплексных числовых систем размерности ниже 6 и дал явное определение ассоциативной алгебры . Он определил нильпотентные и идемпотентные элементы и доказал, что любая алгебра содержит один или другой. Он также определил разложение Пирса . Фробениус в 1878 году и Чарльз Сандерс Пирс в 1881 году независимо доказали, что единственными конечномерными алгебрами с делением над являются действительные числа, комплексные числа и кватернионы. В 1880-х годах Киллинг и Картан показали, что полупростые алгебры Ли можно разложить на простые, и классифицировали все простые алгебры Ли. Вдохновленные этим, в 1890-х годах Картан, Фробениус и Молиен доказали (независимо), что конечномерная ассоциативная алгебра над или однозначно разлагается в прямые суммы нильпотентной алгебры и полупростой алгебры, которая является произведением некоторого числа простых алгебр , квадратных матриц над алгебрами с делением. Картан был первым, кто определил такие понятия, как прямая сумма и простая алгебра, и эти понятия оказались весьма влиятельными. В 1907 году Веддерберн распространил результаты Картана на произвольное поле в том, что сейчас называется главной теоремой Веддерберна и теоремой Артина–Веддерберна . ^[25] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Для коммутативных колец несколько областей вместе привели к теории коммутативных колец. ^[26] В двух статьях в 1828 и 1832 годах Гаусс сформулировал гауссовы целые числа и показал, что они образуют уникальную факторизационную область (UFD), и доказал биквадратичный закон взаимности. Якоби и Эйзенштейн примерно в то же время доказали кубический закон взаимности для целых чисел Эйзенштейна . ^[25] Изучение последней теоремы Ферма привело к алгебраическим целым числам . В 1847 году Габриэль Ламе думал, что он доказал FLT, но его доказательство было ошибочным, поскольку он предполагал, что все круговые поля были UFD, хотя, как указал Куммер, не было UFD. ^[27] В 1846 и 1847 годах Куммер ввел идеальные числа и доказал уникальную факторизацию в идеальные простые числа для круговых полей. ^[28] Дедекинд расширил это в 1871 году, чтобы показать, что каждый ненулевой идеал в области целых чисел алгебраического числового поля является уникальным произведением простых идеалов , предшественником теории дедекиндовых областей . В целом, работа Дедекинда создала предмет алгебраической теории чисел . ^[29] ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{23}))}$

В 1850-х годах Риман ввел фундаментальное понятие римановой поверхности . Методы Римана опирались на предположение, которое он назвал принципом Дирихле , ^[30] которое в 1870 году было подвергнуто сомнению Вейерштрассом. Гораздо позже, в 1900 году, Гильберт обосновал подход Римана, разработав прямой метод в вариационном исчислении . ^[31] В 1860-х и 1870-х годах Клебш, Гордан, Брилл и особенно М. Нётер изучали алгебраические функции и кривые. В частности, Нётер изучала, какие условия требуются для того, чтобы многочлен был элементом идеала, порожденного двумя алгебраическими кривыми в кольце многочленов , хотя Нётер не использовала этот современный язык. В 1882 году Дедекинд и Вебер, по аналогии с более ранней работой Дедекинда по алгебраической теории чисел, создали теорию полей алгебраических функций , которая позволила впервые строго определить риманову поверхность и строго доказать теорему Римана–Роха . Кронекер в 1880-х годах, Гильберт в 1890 году, Ласкер в 1905 году и Маколей в 1913 году продолжили исследование идеалов полиномиальных колец, неявно подразумеваемых в работе Э. Нётер . Ласкер доказал частный случай теоремы Ласкера–Нётер , а именно, что каждый идеал в полиномиальном кольце является конечным пересечением первичных идеалов . Маколей доказал единственность этого разложения. ^[32] В целом, эта работа привела к развитию алгебраической геометрии . ^[26] ${\displaystyle \mathbb {R} [x,y]}$

В 1801 году Гаусс ввел бинарные квадратичные формы над целыми числами и определил их эквивалентность . Он также определил дискриминант этих форм, который является инвариантом бинарной формы . Между 1860-ми и 1890-ми годами теория инвариантов развивалась и стала основной областью алгебры. Кэли, Сильвестр, Гордан и другие нашли якобиан и гессиан для бинарных квартичных форм и кубических форм. ^[33] В 1868 году Гордан доказал, что градуированная алгебра инвариантов бинарной формы над комплексными числами конечно порождена, т. е. имеет базис. ^[34] Гильберт написал диссертацию об инвариантах в 1885 году и в 1890 году показал, что любая форма любой степени или числа переменных имеет базис. Он расширил это далее в 1890 году до теоремы Гильберта о базисе . ^[35]

После того, как эти теории были разработаны, прошло еще несколько десятилетий, прежде чем появилась абстрактная концепция кольца. Первое аксиоматическое определение было дано Авраамом Френкелем в 1914 году. ^[35] Его определение в основном состояло из стандартных аксиом: множество с двумя операциями сложением, которое образует группу (не обязательно коммутативную), и умножением, которое является ассоциативным, распределяется по сложению и имеет единичный элемент. ^[36] Кроме того, у него было две аксиомы о «регулярных элементах», вдохновленные работой над p-адическими числами , которая исключала ныне распространенные кольца, такие как кольцо целых чисел. Это позволило Френкелю доказать, что сложение коммутативно. ^[37] Работа Френкеля была направлена ​​на перенос определения полей Штейница 1910 года на кольца, но она не была связана с существующей работой по конкретным системам. Определение Масазо Соно 1917 года было первым эквивалентом настоящего. ^[38]

В 1920 году Эмми Нётер в сотрудничестве с В. Шмейдлером опубликовала статью о теории идеалов , в которой они определили левые и правые идеалы в кольце . В следующем году она опубликовала знаменательную статью под названием Idealtheorie in Ringbereichen ( Идеальная теория в кольцах ), в которой анализировала условия возрастания цепи относительно (математических) идеалов. Публикация дала начало термину « Нётерово кольцо », и несколько других математических объектов были названы нётеровыми . ^{[39] [40]} Известный алгебраист Ирвинг Капланский назвал эту работу «революционной»; ^[39] результаты, которые казались неразрывно связанными со свойствами полиномиальных колец, как было показано, следуют из одной аксиомы. ^[41] Артин, вдохновленный работой Нётер, придумал условие убывания цепи . Эти определения ознаменовали рождение абстрактной теории колец. ^[42]

Ранняя теория поля

В 1801 году Гаусс ввел целые числа mod p , где p — простое число. В 1830 году Галуа расширил это понятие до конечных полей с элементами. ^[43] В 1871 году Ричард Дедекинд ввел для множества действительных или комплексных чисел, замкнутого относительно четырех арифметических операций, ^[44] немецкое слово Körper , что означает «тело» или «корпус» (чтобы обозначить органически замкнутую сущность). Английский термин «поле» был введен Муром в 1893 году. ^[45] В 1881 году Леопольд Кронекер определил то, что он назвал областью рациональности , которая в современных терминах является полем рациональных дробей . ^[46] Первое четкое определение абстрактного поля было дано Генрихом Мартином Вебером в 1893 году. В нем отсутствовал ассоциативный закон для умножения, но оно охватывало конечные поля и поля алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии. ^[47] В 1910 году Штейниц синтезировал знания абстрактной теории поля, накопленные к настоящему времени. Он аксиоматически определил поля с помощью современного определения, классифицировал их по их характеристикам и доказал множество теорем, которые обычно встречаются сегодня. ^[48] ${\displaystyle p^{n}}$

Другие основные направления

• Решение систем линейных уравнений , приведшее к линейной алгебре ^[49]

Современная алгебра

Конец 19-го и начало 20-го века стали свидетелями изменения методологии математики. Абстрактная алгебра возникла примерно в начале 20-го века под названием современная алгебра . Ее изучение было частью движения за большую интеллектуальную строгость в математике. Первоначально предположения в классической алгебре , на которых основана вся математика (и основные части естественных наук ), приняли форму аксиоматических систем . Не довольствуясь больше установлением свойств конкретных объектов, математики начали обращать свое внимание на общую теорию. Формальные определения некоторых алгебраических структур начали появляться в 19-м веке. Например, результаты о различных группах перестановок стали рассматриваться как примеры общих теорем, которые касаются общего понятия абстрактной группы . Вопросы структуры и классификации различных математических объектов вышли на первый план. ^{[ необходима цитата ]}

Эти процессы происходили во всей математике, но стали особенно выраженными в алгебре. Формальное определение через примитивные операции и аксиомы было предложено для многих основных алгебраических структур, таких как группы , кольца и поля . Поэтому такие вещи, как теория групп и теория колец, заняли свое место в чистой математике . Алгебраические исследования общих полей Эрнстом Штейницем и коммутативных, а затем и общих колец Давидом Гильбертом , Эмилем Артином и Эмми Нётер , основанные на работах Эрнста Куммера , Леопольда Кронекера и Рихарда Дедекинда , которые рассматривали идеалы в коммутативных кольцах, а также Георга Фробениуса и Иссая Шура , касающихся теории представлений групп, пришли к определению абстрактной алгебры. Эти разработки последней четверти XIX века и первой четверти XX века были систематически изложены в работе Бартеля ван дер Вардена « Современная алгебра» , двухтомной монографии, опубликованной в 1930–1931 годах, которая переориентировала идею алгебры с теории уравнений на теорию алгебраических структур . ^{[ требуется ссылка ]}

Основные понятия

Абстрагируясь от различных объемов деталей, математики определили различные алгебраические структуры, которые используются во многих областях математики. Например, почти все изученные системы являются множествами , к которым применяются теоремы теории множеств . Те множества, которые имеют определенную бинарную операцию, определенную для них, образуют магмы , к которым применяются понятия, касающиеся магм, а также понятия, касающиеся множеств. Мы можем добавить дополнительные ограничения на алгебраическую структуру, такие как ассоциативность (для образования полугрупп ); тождественность и обратные (для образования групп ); и другие более сложные структуры. С дополнительной структурой можно доказать больше теорем, но общность уменьшается. «Иерархия» алгебраических объектов (с точки зрения общности) создает иерархию соответствующих теорий: например, теоремы теории групп могут использоваться при изучении колец (алгебраических объектов, которые имеют две бинарные операции с определенными аксиомами), поскольку кольцо является группой над одной из своих операций. В целом существует баланс между степенью общности и богатством теории: более общие структуры обычно имеют меньше нетривиальных теорем и меньше приложений. ^{[ необходима цитата ]}

Алгебраические структуры между магмами и группами . Например, моноиды — это полугруппы с единицей.

Примерами алгебраических структур с одной бинарной операцией являются:

• Магма
• Квазигруппа
• Моноид
• Полугруппа
• Группа

Примеры, включающие несколько операций, включают:

• Кольцо
• Поле
• Модуль
• Вектор пространства
• Алгебра над полем
• Ассоциативная алгебра
• алгебра Ли
• Решетка
• Булева алгебра

Разделы абстрактной алгебры

Теория групп

Группа — это множество вместе с «групповым произведением», бинарной операцией . Группа удовлетворяет следующим определяющим аксиомам (см. Группа (математика) § Определение ): ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cdot :G\times G\rightarrow G}$

Тождество : существует элемент такой, что для каждого элемента в выполняется, что . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$

Обратное : для каждого элемента существует элемент такой, что . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}$

Ассоциативность : для каждой тройки элементов в справедливо, что . ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

Теория колец

Кольцо — это множество с двумя бинарными операциями : сложением и умножением, удовлетворяющее следующим аксиомам . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$

• ${\displaystyle R}$является коммутативной группой относительно сложения.
• ${\displaystyle R}$является моноидом относительно умножения.
• Умножение является распределительным по отношению к сложению.

Приложения

Из-за своей общности абстрактная алгебра используется во многих областях математики и науки. Например, алгебраическая топология использует алгебраические объекты для изучения топологий. Гипотеза Пуанкаре , доказанная в 2003 году, утверждает, что фундаментальная группа многообразия, которая кодирует информацию о связности, может быть использована для определения того, является ли многообразие сферой или нет. Алгебраическая теория чисел изучает различные числовые кольца , которые обобщают множество целых чисел. Используя инструменты алгебраической теории чисел, Эндрю Уайлс доказал Великую теорему Ферма . ^{[ необходима цитата ]}

В физике группы используются для представления операций симметрии, и использование теории групп может упростить дифференциальные уравнения. В калибровочной теории требование локальной симметрии может использоваться для вывода уравнений, описывающих систему. Группы, описывающие эти симметрии, являются группами Ли , а изучение групп Ли и алгебр Ли многое открывает о физической системе; например, число носителей силы в теории равно размерности алгебры Ли, и эти бозоны взаимодействуют с силой, которую они передают, если алгебра Ли неабелева. ^[50]

Смотрите также

• Математический портал

• Теория кодирования
• Теория групп
• Список публикаций по абстрактной алгебре

Ссылки

1. Финстон, Дэвид Р.; Моранди, Патрик Дж. (29 августа 2014 г.). Абстрактная алгебра: структура и применение. Springer. стр. 58. ISBN 978-3-319-04498-9. Большая часть нашего изучения абстрактной алгебры включает анализ структур и их операций.
2. Кляйнер 2007, стр. 1.
3. Кляйнер 2007, стр. xi–xii.
4. Ван дер Варден, Бартель Леендерт (1949). Современная алгебра. Том I. Перевод Блюма, Фреда. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Frederick Ungar Publishing Co. MR  0029363.
5. Кляйнер 2007, стр. 41.
6. Кляйнер 2007, стр. 1–13.
7. Эйлер, Леонард (1748). Introductio in Analysin Infinitorum [ Введение в анализ бесконечного ] (на латыни). Т. 1. Люцерн, Швейцария: Marc Michel Bosquet & Co., стр. 104.
8. Мартинес, Альберто (2014). Отрицательная математика . Princeton University Press. С. 80–109.
9. Кляйнер 2007, стр. 13–14.
10. Кляйнер 2007, стр. 17–22.
11. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Концепция абстрактной группы», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
12. Кляйнер 2007, стр. 23.
13. Кэли, А. (1854). «О теории групп, как зависящих от символического уравнения θn = 1». Philosophical Magazine . 4-я серия. 7 (42): 40–47. doi :10.1080/14786445408647421.
14. Кронекер, Леопольд (1895). «Изложение некоторых свойств числа классов идеальных комплексных чисел». В Хензеле, Курт (ред.). Работа Леопольда Кронекера: Herausgegeben auf veranlassung der Königlich preussischen akademie der wissenschaften. Лейпциг; Берлин: Б. Г. Тойбнер. п. 275.
15. Кляйнер 2007, стр. 27.
16. Кляйнер 2007, стр. 32.
17. Кляйнер 2007, стр. 33.
18. Kleiner 2007, стр. 34.
19. Фробениус, Г. (апрель 2008 г.) [1887]. «Neuer Beweis des Sylowschen Satzes» [Новое доказательство теоремы Силова] (PDF) . Журнал für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке). 1887 (100). Перевод Гутфрайнда, Саша: 179–181. дои : 10.1515/crll.1887.100.179. S2CID  117970003.
20. Кляйнер 2007, стр. 35.
21. Кляйнер 2007, стр. 42–43.
22. Кокл, Джеймс (1848). «О некоторых функциях, напоминающих кватернионы, и о новой мнимой в алгебре». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 33. Тейлор и Фрэнсис: 435–9. doi :10.1080/14786444808646139.
23. Кокл, Джеймс (1849). «О системах алгебры, включающих более одной мнимой». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 35. Тейлор и Фрэнсис: 434–7. doi :10.1080/14786444908646384.
24. Кляйнер 2007, стр. 43.
25. Kleiner 2007, стр. 43–47.
26. Kleiner 2007, стр. 42.
27. Кляйнер 2007, стр. 48.
28. Кляйнер 2007, стр. 50.
29. Кляйнер 2007, стр. 51–52.
30. Кляйнер 2007, стр. 54.
31. Monna 1975, стр. 55–56, цитирует Гильберта, Дэвида (1905), «Über das Dirichletsche Prinzip», Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке), vol. 129, стр. 63–67.
32. Кляйнер 2007, стр. 54–57.
33. Кляйнер 2007, стр. 57–58.
34. Гордан, Пол (1868), «Beweis, dass jede Covariante und Invariante einer binären Form eine ganze Funktion mit numerischen Coeffizienten einer endlichen Anzahl solcher Formen ist», Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 1868, нет. 69, стр. 323–354, doi : 10.1515/crll.1868.69.323, S2CID  120689164
35. Kleiner 2007, стр. 58.
36. Франкель, А. (1914) «Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen». Дж. Рейн Анжью. Математика. 145: 139–176
37. Корри, Лео (январь 2000 г.). «Истоки определения абстрактных колец». Modern Logic . 8 (1–2): 5–27. ISSN  1047-5982.
38. Кляйнер 2007, стр. 58–59.
39. Кимберлинг 1981, стр. 18.
40. Дик, Огюст (1981), Эмми Нётер: 1882–1935 , перевод Блохера, HI, Birkhäuser , ISBN 3-7643-3019-8, стр. 44–45.
41. Кляйнер 2007, стр. 59.
42. Кляйнер 2007, стр. 60.
43. Кляйнер 2007, стр. 70.
44. Кляйнер 2007, стр. 66.
45. «Самые ранние известные случаи использования некоторых слов математики (F)».
46. Кляйнер 2007, стр. 67.
47. Кляйнер 2007, стр. 72–73.
48. Кляйнер 2007, стр. 74–76.
49. Харт, Роджер (2011). Китайские корни линейной алгебры. Балтимор, Мэриленд: Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-9958-4. OCLC  794700410.
50. Шумм, Брюс (2004), Глубокие вещи , Балтимор: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-7971-X

Библиография

• Грей, Джереми (2018). История абстрактной алгебры: от алгебраических уравнений до современной алгебры. Springer Undergraduate Mathematics Series. Хам, Швейцария. doi : 10.1007/978-3-319-94773-0. ISBN 978-3-319-94773-0. S2CID  125927783.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Кимберлинг, Кларк (1981). «Эмми Нётер и её влияние». В Brewer, Джеймс У.; Смит, Марта К. (ред.). Эмми Нётер: дань уважения её жизни и работе . Марсель Деккер . стр. 3–61.
• Кляйнер, Израиль (2007). Кляйнер, Израиль (ред.). История абстрактной алгебры. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. doi :10.1007/978-0-8176-4685-1. ISBN 978-0-8176-4685-1.
• Монна, А.Ф. (1975), Принцип Дирихле: Математическая комедия ошибок и ее влияние на развитие анализа , Oosthoek, Scheltema & Holkema, ISBN 978-9031301751

Дальнейшее чтение

• Алленби, RBJT (1991), Кольца, поля и группы , Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-340-54440-2
• Артин, Майкл (1991), Алгебра , Прентис Холл , ISBN 978-0-89871-510-1
• Беррис, Стэнли Н.; Санкаппанавар, Х.П. (1999) [1981], Курс универсальной алгебры
• Гилберт, Джимми; Гилберт, Линда (2005), Элементы современной алгебры , Thomson Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-40264-8
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, г-н  1878556
• Сетураман, BA (1996), Кольца, поля, векторные пространства и теория групп: введение в абстрактную алгебру через геометрическую конструктивность , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94848-5
• Уайтхед, К. (2002), Руководство по абстрактной алгебре (2-е изд.), Houndmills: Palgrave, ISBN 978-0-333-79447-0
• У. Кит Николсон (2012) Введение в абстрактную алгебру , 4-е издание, John Wiley & Sons ISBN 978-1-118-13535-8 . 
• Джон Р. Дурбин (1992) Современная алгебра: введение , John Wiley & Sons

Внешние ссылки

• Чарльз К. Пинтер (1990) [1982] Книга абстрактной алгебры , второе издание, из Университета Мэриленда