Классическая теория поля

Физическая теория, описывающая классические поля

Классическая теория поля — это физическая теория , которая предсказывает, как одно или несколько полей в физике взаимодействуют с материей посредством уравнений поля , не принимая во внимание эффекты квантования ; теории, включающие квантовую механику, называются квантовыми теориями поля . В большинстве контекстов «классическая теория поля» специально предназначена для описания электромагнетизма и гравитации , двух фундаментальных сил природы.

Физическое поле можно рассматривать как назначение физической величины в каждой точке пространства и времени . Например, в прогнозе погоды скорость ветра в течение дня над страной описывается путем назначения вектора каждой точке пространства. Каждый вектор представляет направление движения воздуха в этой точке, поэтому набор всех векторов ветра в области в данный момент времени составляет векторное поле . В течение дня направления, в которых указывают векторы, меняются по мере изменения направления ветра.

Первые теории поля, ньютоновская гравитация и уравнения Максвелла электромагнитных полей были разработаны в классической физике до появления теории относительности в 1905 году и должны были быть пересмотрены, чтобы соответствовать этой теории. Следовательно, классические теории поля обычно подразделяются на нерелятивистские и релятивистские . Современные теории поля обычно выражаются с использованием математики тензорного исчисления . Более поздний альтернативный математический формализм описывает классические поля как секции математических объектов, называемых расслоениями волокон .

Нерелятивистские теории поля

Некоторые из самых простых физических полей — это векторные силовые поля. Исторически, впервые поля были восприняты всерьез с силовыми линиями Фарадея при описании электрического поля . Гравитационное поле затем было описано аналогичным образом.

Ньютоновская гравитация

Первой полевой теорией гравитации была теория тяготения Ньютона , в которой взаимодействие между двумя массами подчиняется закону обратных квадратов . Это было очень полезно для предсказания движения планет вокруг Солнца.

Любое массивное тело M имеет гравитационное поле g , которое описывает его влияние на другие массивные тела. Гравитационное поле M в точке r в пространстве находится путем определения силы F , которую M оказывает на небольшую тестовую массу m, расположенную в r , и последующего деления на m : ^[1] Условие, что m намного меньше M, гарантирует, что присутствие m оказывает пренебрежимо малое влияние на поведение M. $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.}$$

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона , F ( r ) определяется как ^[1] ​​где - единичный вектор , направленный вдоль линии от M к m , а G - гравитационная постоянная Ньютона . Таким образом, гравитационное поле M равно ^[1] $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$$

Экспериментальное наблюдение, что инертная масса и гравитационная масса равны с беспрецедентной точностью, приводит к идентификации силы гравитационного поля как идентичной ускорению, испытываемому частицей. Это отправная точка принципа эквивалентности , который приводит к общей теории относительности .

Для дискретного набора масс, M _i , расположенных в точках, r _i , гравитационное поле в точке r , создаваемое массами, равно $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\sum _{i}{\frac {M_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{i}} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}\,,}$$

Если вместо этого у нас есть непрерывное распределение масс ρ , то сумма заменяется интегралом, $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\iiint _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x} )d^{3}\mathbf {x} (\mathbf {r} -\mathbf {x} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {x} |^{3}}}\,,}$$

Обратите внимание, что направление поля указывает от положения r к положению масс r _i ; это обеспечивается знаком минус. В двух словах, это означает, что все массы притягиваются.

В интегральной форме закон Гаусса для гравитации имеет вид , а в дифференциальной форме — $${\displaystyle \iint \mathbf {g} \cdot d\mathbf {S} =-4\pi GM}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{m}}$$

Следовательно , гравитационное поле g можно записать через градиент гравитационного потенциала φ ( r ) : Это является следствием консервативности гравитационной силы F. $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \phi (\mathbf {r} ).}$$

Электромагнетизм

Электростатика

Заряженная пробная частица с зарядом q испытывает силу F, основанную исключительно на ее заряде. Мы можем аналогично описать электрическое поле E, создаваемое исходным зарядом Q , так что F = q E : $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{q}}.}$$

Используя это и закон Кулона, электрическое поле, создаваемое одной заряженной частицей, равно $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\,.}$$

Электрическое поле является консервативным и, следовательно, задается градиентом скалярного потенциала V ( r ) $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} )\,.}$$

Закон Гаусса для электричества имеет интегральную форму, а в дифференциальной — $${\displaystyle \iint \mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{e}}{\varepsilon _{0}}}\,.}$$

Магнитостатика

Постоянный ток I, текущий по пути ℓ, будет оказывать силу на близлежащие заряженные частицы, которая количественно отличается от силы электрического поля, описанной выше. Сила, оказываемая I на близлежащий заряд q со скоростью v, равна где B ( r ) — магнитное поле , которое определяется из I по закону Био-Савара : $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times d{\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}$$

Магнитное поле в общем случае не является консервативным, и поэтому его обычно нельзя записать в терминах скалярного потенциала. Однако его можно записать в терминах векторного потенциала , A ( r ): $${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$$

Закон Гаусса для магнетизма в интегральной форме имеет вид , а в дифференциальной — вид $${\displaystyle \iint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0,}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0.}$$

Физическая интерпретация состоит в том, что магнитных монополей не существует .

Электродинамика

В общем случае, при наличии как плотности заряда ρ ( r , t ), так и плотности тока J ( r , t ), будут существовать как электрическое, так и магнитное поле, и оба будут меняться во времени. Они определяются уравнениями Максвелла , набором дифференциальных уравнений, которые напрямую связывают E и B с плотностью электрического заряда (заряд на единицу объема) ρ и плотностью тока (электрический ток на единицу площади) J . ^[2]

В качестве альтернативы можно описать систему в терминах ее скалярного и векторного потенциалов V и A. Набор интегральных уравнений, известных как запаздывающие потенциалы, позволяет вычислить V и A из ρ и J , ^{[примечание 1]} , и оттуда электрические и магнитные поля определяются с помощью соотношений ^[3] $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .}$$

Механика сплошной среды

Динамика жидкости

Динамика жидкости имеет поля давления, плотности и скорости потока, которые связаны законами сохранения энергии и импульса. Уравнение неразрывности массы является уравнением неразрывности, представляющим сохранение массы, а уравнения Навье–Стокса представляют сохранение импульса в жидкости, найденное из законов Ньютона, примененных к жидкости, если заданы плотность ρ , давление p , девиаторный тензор напряжений τ жидкости, а также внешние силы тела b . Поле скорости u является векторным полем для решения. $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {b} }$$

Другие примеры

В 1839 году Джеймс МакКуллах представил уравнения поля для описания отражения и преломления в «Очерке о динамической теории кристаллического отражения и преломления» ^{[4] .}

Теория потенциала

Термин « потенциальная теория » возник из того факта, что в физике 19 века считалось, что фундаментальные силы природы выводятся из скалярных потенциалов , которые удовлетворяют уравнению Лапласа . Пуассон обратился к вопросу об устойчивости планетарных орбит , который уже был решен Лагранжем в первой степени приближения из сил возмущения, и вывел уравнение Пуассона , названное в его честь. Общая форма этого уравнения:

$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =\sigma }$$

где σ — функция источника (как плотность, количество на единицу объема), а ø — скалярный потенциал, для которого требуется найти решение.

В ньютоновской гравитации массы являются источниками поля, так что линии поля заканчиваются на объектах, имеющих массу. Аналогично, заряды являются источниками и стоками электростатических полей: положительные заряды испускают линии электрического поля, а линии поля заканчиваются на отрицательных зарядах. Эти концепции поля также проиллюстрированы в общей теореме о расходимости , в частности, в законе Гаусса для гравитации и электричества. Для случаев гравитации и электромагнетизма, не зависящих от времени, поля являются градиентами соответствующих потенциалов , поэтому подстановка их в закон Гаусса для каждого случая дает $${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi _{g}\,,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi _{e}}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\phi _{g}=4\pi G\rho _{g}\,,\quad \nabla ^{2}\phi _{e}=4\pi k_{e}\rho _{e}=-{\rho _{e} \over \varepsilon _{0}}}$$

где ρ _g — плотность массы , ρ _{e —} плотность заряда , G — гравитационная постоянная и k _e = 1/4πε ₀ — электрическая силовая постоянная.

Кстати, это сходство возникает из сходства между законом тяготения Ньютона и законом Кулона .

В случае отсутствия исходного члена (например, вакуума или парных зарядов) эти потенциалы подчиняются уравнению Лапласа : $${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0.}$$

Для распределения массы (или заряда) потенциал можно разложить в ряд сферических гармоник , а n- й член ряда можно рассматривать как потенциал, возникающий из 2 ⁿ -моментов (см. мультипольное разложение ). Для многих целей в расчетах необходимы только монопольные, дипольные и квадрупольные члены.

Релятивистская теория поля

Современные формулировки классических теорий поля обычно требуют лоренцевой ковариантности , поскольку теперь это признано фундаментальным аспектом природы. Теория поля, как правило, выражается математически с помощью лагранжианов . Это функция, которая, будучи подвергнута принципу действия , порождает уравнения поля и закон сохранения для теории. Действие является скаляром Лоренца, из которого можно легко вывести уравнения поля и симметрии.

Везде мы используем такие единицы измерения, что скорость света в вакууме равна 1, т.е. c = 1. ^{[примечание 2]}

Лагранжева динамика

При наличии тензора поля скаляр, называемый плотностью Лагранжа, может быть построен из и его производных. Из этой плотности функционал действия может быть построен путем интегрирования по пространству-времени, ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,\ldots ,x)}$$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {{\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}.}$$

Где находится объемная форма в искривленном пространстве-времени. ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$ ${\displaystyle (g\equiv \det(g_{\mu \nu }))}$

Следовательно, сам лагранжиан равен интегралу плотности лагранжиана по всему пространству.

Затем, применяя принцип действия , получаем уравнения Эйлера–Лагранжа

$${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)+\cdots +(-1)^{m}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\phi )}}\right)=0.}$$

Релятивистские поля

Теперь описываются две наиболее известные лоренц-ковариантные классические теории поля.

Электромагнетизм

Исторически первыми (классическими) теориями поля были теории, описывающие электрическое и магнитное поля (отдельно). После многочисленных экспериментов было обнаружено, что эти два поля связаны или, по сути, являются двумя аспектами одного и того же поля: электромагнитного поля . Теория электромагнетизма Максвелла описывает взаимодействие заряженной материи с электромагнитным полем. Первая формулировка этой теории поля использовала векторные поля для описания электрического и магнитного полей. С появлением специальной теории относительности была найдена более полная формулировка с использованием тензорных полей. Вместо использования двух векторных полей, описывающих электрическое и магнитное поля, используется тензорное поле, представляющее эти два поля вместе.

Электромагнитный 4-потенциал определяется как A _a = (− φ , A ) , а электромагнитный 4-ток j _a = (− ρ , j ) . Электромагнитное поле в любой точке пространства-времени описывается антисимметричным тензором электромагнитного поля (0,2)-ранга $${\displaystyle F_{ab}=\partial _{a}A_{b}-\partial _{b}A_{a}.}$$

Лагранжиан

Чтобы получить динамику для этого поля, мы пытаемся построить скаляр из поля. В вакууме мы имеем $${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}\,.}$$

Мы можем использовать теорию калибровочного поля , чтобы получить член взаимодействия, и это дает нам $${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}-j^{a}A_{a}\,.}$$

Уравнения

Для получения уравнений поля электромагнитный тензор в плотности Лагранжа необходимо заменить его определением в терминах 4-потенциала A , и именно этот потенциал входит в уравнения Эйлера-Лагранжа. ЭМ-поле F не варьируется в уравнениях ЭЛ. Следовательно, $${\displaystyle \partial _{b}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{b}A_{a}\right)}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}\,.}$$

Оценка производной плотности Лагранжа по компонентам поля и производным компонентов поля дает уравнения Максвелла в вакууме. Исходные уравнения (закон Гаусса для электричества и закон Максвелла-Ампера) имеют вид , а два других (закон Гаусса для магнетизма и закон Фарадея) получаются из того факта, что F является 4-ротором A , или, другими словами, из того факта, что тождество Бьянки справедливо для тензора электромагнитного поля. ^[5] $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}=\mu _{0}j^{a}\,,}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{b}A_{a})}}=F^{ab}\,,}$$ $${\displaystyle \partial _{b}F^{ab}=\mu _{0}j^{a}\,.}$$ $${\displaystyle 6F_{[ab,c]}\,=F_{ab,c}+F_{ca,b}+F_{bc,a}=0.}$$

где запятая обозначает частную производную .

Гравитация

После того, как было обнаружено, что ньютоновская гравитация несовместима со специальной теорией относительности , Альберт Эйнштейн сформулировал новую теорию гравитации, названную общей теорией относительности . Она рассматривает гравитацию как геометрическое явление («искривленное пространство-время »), вызванное массами, и математически представляет гравитационное поле тензорным полем , называемым метрическим тензором . Уравнения поля Эйнштейна описывают, как создается эта кривизна. Ньютоновская гравитация теперь заменена общей теорией относительности Эйнштейна , в которой гравитация рассматривается как вызванная искривленным пространством-временем , вызванным массами. Уравнения поля Эйнштейна описывают, как эта кривизна создается материей и излучением, где G _ab — тензор Эйнштейна , записанный через тензор Риччи R _ab и скаляр Риччи R = R _ab g ^ab , T _ab — тензор энергии-импульса , а κ = 8 πG / c ⁴ — константа. При отсутствии материи и излучения (включая источники) уравнения вакуумного поля можно вывести , варьируя действие Эйнштейна–Гильберта относительно метрики, где g — определитель метрического тензора g ab ^. Решения уравнений вакуумного поля называются вакуумными решениями . Альтернативная интерпретация, предложенная Артуром Эддингтоном , заключается в том, что является фундаментальной, является лишь одним аспектом и обусловлена ​​выбором единиц. $${\displaystyle G_{ab}=\kappa T_{ab}}$$ $${\displaystyle G_{ab}\,=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}$$ $${\displaystyle G_{ab}=0}$$ $${\displaystyle S=\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \kappa }$

Дополнительные примеры

Другими примерами лоренц-ковариантных классических теорий поля являются:

• Теория Клейна-Гордона для действительных или комплексных скалярных полей
• Теория Дирака для спинорного поля Дирака
• Теория Янга–Миллса для неабелева калибровочного поля

Попытки объединения

Попытки создать единую теорию поля на основе классической физики — это классические единые теории поля. В годы между двумя мировыми войнами идея объединения гравитации с электромагнетизмом активно развивалась несколькими математиками и физиками, такими как Альберт Эйнштейн , Теодор Калуца , ^[6] Герман Вейль , ^[7] Артур Эддингтон , ^[8] Густав Ми ^[9] и Эрнст Райхенбахер. ^[10]

Ранние попытки создать такую ​​теорию основывались на включении электромагнитных полей в геометрию общей теории относительности . В 1918 году Герман Вейль предложил первую геометризацию электромагнитного поля. ^{[11] В 1919 году} Теодор Калуца ​​предложил идею пятимерного подхода . ^[11] На основе этого была разработана теория, называемая теорией Калуцы-Клейна . Она пытается объединить гравитацию и электромагнетизм в пятимерном пространстве-времени . Существует несколько способов расширения репрезентативной структуры для единой теории поля, которые рассматривались Эйнштейном и другими исследователями. Эти расширения в целом основаны на двух вариантах. ^[11] Первый вариант основан на ослаблении условий, наложенных на исходную формулировку, а второй основан на введении других математических объектов в теорию. ^[11] Примером первого варианта является ослабление ограничений на четырехмерное пространство-время путем рассмотрения представлений более высокого уровня. ^[11] Это используется в теории Калуцы-Клейна . Для второго наиболее ярким примером является концепция аффинной связи , которая была введена в общую теорию относительности в основном благодаря работам Туллио Леви-Чивиты и Германа Вейля . ^[11]

Дальнейшее развитие квантовой теории поля изменило фокус поиска единой теории поля с классического на квантовое описание. Из-за этого многие физики-теоретики отказались от поиска классической единой теории поля. ^[11] Квантовая теория поля включала бы объединение двух других фундаментальных сил природы , сильной и слабой ядерной силы , которые действуют на субатомном уровне. ^{[12] [13]}

Смотрите также

• Релятивистские волновые уравнения
• Квантовая теория поля
• Классические единые теории поля
• Вариационные методы в общей теории относительности
• Поле Хиггса (классическое)
• Лагранжиан (теория поля)
• Гамильтонова теория поля
• Ковариантная гамильтонова теория поля

Примечания

1. Это зависит от правильного выбора калибровки . φ и A не определяются однозначно ρ и J ; скорее, они определяются только с точностью до некоторой скалярной функции f ( r , t ), известной как калибровка. Формализм запаздывающего потенциала требует выбора калибровки Лоренца .
2. Это эквивалентно выбору единиц расстояния и времени в виде световых секунд и секунд или световых лет и лет. Выбор c = 1 позволяет нам упростить уравнения. Например, E = mc ² сводится к E = m (так как c ² = 1, без учета единиц). Это уменьшает сложность выражений, сохраняя при этом фокус на лежащих в основе принципах. Этот «трюк» необходимо учитывать при выполнении реальных численных расчетов.

Ссылки

Цитаты

1. Клеппнер, Дэвид; Коленков, Роберт. Введение в механику . стр. 85.
2. Гриффитс, Дэвид. Введение в электродинамику (3-е изд.). С. 326.
3. Вангснесс, Роальд. Электромагнитные поля (2-е изд.). С. 469.
4. Джеймс МакКуллах (1839) Очерк динамической теории кристаллического отражения и преломления, Труды Королевской Ирландской Академии 21
5. «Идентификации Бьянки».
6. Калуца, Теодор (1921). «Zum Unitätsproblem in der Physik». Зитцунгсбер. Пройсс. Акад. Висс. Берлин. (Математика и физика) : 966–972. Бибкод : 1921SPAW.......966K.
7. Вейль, Х. (1918). «Гравитация и электричество». Ситц. Пройсс. Акад. Висс. : 465.
8. Эддингтон, А.С. (1924). Математическая теория относительности, 2-е изд . Cambridge Univ. Press.
9. Ми, Г. (1912). «Grundlagen einer Theorie der Materie». Энн. Физ . 37 (3): 511–534. Бибкод : 1912АнП...342..511М. дои : 10.1002/andp.19123420306.
10. Райхенбахер, Э. (1917). «Основы теории электричества и гравитации». Энн. Физ . 52 (2): 134–173. Бибкод : 1917АнП...357..134Р. дои : 10.1002/andp.19173570203.
11. Зауэр, Тилман (май 2014 г.), «Программа единой теории поля Эйнштейна», в Janssen, Michel; Lehner, Christoph (ред.), The Cambridge Companion to Einstein , Cambridge University Press, ISBN 9781139024525
12. Gadzirayi Nyambuya, Golden (октябрь 2007 г.). "Единая теория поля – статья I, гравитационное, электромагнитное, слабое и сильное взаимодействие" (PDF) . Apeiron . 14 (4): 321 . Получено 30 декабря 2017 г. .
13. De Boer, W. (1994). "Теории великого объединения и суперсимметрия в физике элементарных частиц и космологии" (PDF) . Progress in Particle and Nuclear Physics . 33 : 201–301. arXiv : hep-ph/9402266 . Bibcode :1994PrPNP..33..201D. doi :10.1016/0146-6410(94)90045-0. S2CID  119353300 . Получено 30 декабря 2017 г. .

Источники

• Трусделл, К. ; Тупен, Р.А. (1960). «Классические теории поля». Во Флюгге, Зигфрид (ред.). Принципы классической механики и теории поля / Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie . Handbuch der Physik (Энциклопедия физики). Том. III/1. Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 226–793. Збл  0118.39702.

Внешние ссылки

• Тиде, Бо . "Теория электромагнитного поля" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 сентября 2003 г. Получено 14 февраля 2006 г.
• Кэрролл, Шон М. (1997). «Конспект лекций по общей теории относительности». arXiv : gr-qc/9712019 . Bibcode :1997gr.qc....12019C. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
• Бинни, Джеймс Дж. "Конспект лекций по классическим полям" (PDF) . Получено 30 апреля 2007 г.
• Сарданашвили, Г. (ноябрь 2008 г.). «Advanced Classical Field Theory». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 5 (7): 1163–1189. arXiv : 0811.0331 . Bibcode :2008IJGMM..05.1163S. doi :10.1142/S0219887808003247. ISBN 978-981-283-895-7. S2CID  13884729.