stringtranslate.com

Расширение группы

В математике расширение группы — это общее средство описания группы в терминах конкретной нормальной подгруппы и факторгруппы . Если и — две группы, то — расширение группы , если существует короткая точная последовательность

Если является расширением по , то является группой, является нормальной подгруппой и факторгруппа изоморфна группе . Расширения групп возникают в контексте проблемы расширения , где группы и известны, а свойства должны быть определены. Обратите внимание , что фраза « является расширением по » также используется некоторыми. [1]

Поскольку любая конечная группа обладает максимальной нормальной подгруппой с простой факторгруппой , все конечные группы могут быть построены как ряд расширений с конечными простыми группами . Этот факт послужил мотивацией для завершения классификации конечных простых групп .

Расширение называется центральным расширением, если подгруппа лежит в центре .

Расширения в целом

Одно расширение, прямое произведение , сразу очевидно. Если требуется , чтобы и были абелевыми группами , то множество классов изоморфизма расширений заданной (абелевой) группой на самом деле является группой, которая изоморфна

ср. функтор Ext . Известно несколько других общих классов расширений, но не существует теории, которая рассматривала бы все возможные расширения одновременно. Расширение группы обычно описывается как сложная проблема; ее называют проблемой расширения .

Рассмотрим несколько примеров: если , то является расширением и , и . В более общем смысле, если является полупрямым произведением и , записанным как , то является расширением на , поэтому такие произведения, как сплетенное произведение, предоставляют дополнительные примеры расширений.

Проблема расширения

Вопрос о том, какие группы являются расширениями от называется проблемой расширения и интенсивно изучается с конца девятнадцатого века. Что касается его мотивации, то считайте, что композиционный ряд конечной группы представляет собой конечную последовательность подгрупп , где каждая является расширением от некоторой простой группы . Классификация конечных простых групп дает нам полный список конечных простых групп; поэтому решение проблемы расширения даст нам достаточно информации для построения и классификации всех конечных групп в целом.

Классификация расширений

Решение проблемы расширения сводится к классификации всех расширений H по K ; или, что более практично, к выражению всех таких расширений в терминах математических объектов, которые легче понять и вычислить. В общем, эта проблема очень сложна, и все наиболее полезные результаты классифицируют расширения, которые удовлетворяют некоторому дополнительному условию.

Рисунок 1

Важно знать, когда два расширения эквивалентны или конгруэнтны. Мы говорим, что расширения

и

эквивалентны (или конгруэнтны), если существует групповой изоморфизм , делающий коммутативной диаграмму на рисунке 1. Фактически, достаточно иметь групповой гомоморфизм; из-за предполагаемой коммутативности диаграммы отображение принудительно становится изоморфизмом согласно короткой лемме о пяти .

Предупреждение

Может случиться, что расширения и неэквивалентны, но G и G' изоморфны как группы. Например, существуют неэквивалентные расширения четверной группы Клейна с помощью , [2] но с точностью до изоморфизма групп существуют только четыре группы порядка , содержащие нормальную подгруппу порядка с факторгруппой , изоморфной четверной группе Клейна .

Тривиальные расширения

Тривиальное расширение — это расширение

что эквивалентно расширению

где левая и правая стрелки представляют собой соответственно включение и проекцию каждого фактора .

Классификация разделенных расширений

Разделенное расширение — это расширение

с гомоморфизмом таким, что переход от H к G с помощью s , а затем обратно к H с помощью факторного отображения короткой точной последовательности индуцирует тождественное отображение на H , т.е. . В этой ситуации обычно говорят, что s разделяет указанную выше точную последовательность .

Расщепляемые расширения очень легко классифицировать, поскольку расширение расщепляется тогда и только тогда, когда группа G является полупрямым произведением K и H. Сами полупрямые произведения легко классифицировать, поскольку они находятся во взаимно-однозначном соответствии с гомоморфизмами из , где Aut( K ) — группа автоморфизмов K . Для полного обсуждения того, почему это верно, см. полупрямое произведение .

Предупреждение о терминологии

В целом в математике расширение структуры K обычно рассматривается как структура L, подструктурой которой является K. См., например, расширение поля . Однако в теории групп закралась противоположная терминология, отчасти из-за обозначения , которое легко читается как расширение Q посредством N , и фокусируется на группе Q .

В статье Рональда Брауна и Тимоти Портера о теории неабелевых расширений Отто Шрайера используется терминология, согласно которой расширение K дает большую структуру. [3]

Центральное расширение

Центральное расширение группы G — это короткая точная последовательность групп

такой, что A включен в , центр группы E. Множество классов изоморфизма центральных расширений G посредством A находится во взаимно однозначном соответствии с группой когомологий .

Примеры центральных расширений можно построить, взяв любую группу G и любую абелеву группу A и установив E равным . Этот вид примера расщепления соответствует элементу 0 в при указанном выше соответствии. Другой пример расщепления дан для нормальной подгруппы A с E , равным полупрямому произведению . Более серьезные примеры можно найти в теории проективных представлений , в случаях, когда проективное представление не может быть поднято до обычного линейного представления .

В случае конечных совершенных групп существует универсальное совершенное центральное расширение .

Аналогично, центральное расширение алгебры Ли представляет собой точную последовательность

такой, что находится в центре .

Существует общая теория центральных расширений в многообразиях Мальцева . [4]

Обобщение до общих расширений

Существует похожая классификация всех расширений G с помощью A в терминах гомоморфизмов из , утомительное, но явно проверяемое условие существования, включающее и группу когомологий . [5]

Группы Ли

В теории групп Ли центральные расширения возникают в связи с алгебраической топологией . Грубо говоря, центральные расширения групп Ли дискретными группами совпадают с покрывающими группами . Точнее, связное покрывающее пространство G связной группы Ли G естественным образом является центральным расширением G , таким образом, что проекция

является гомоморфизмом групп и сюръективен. (Структура группы на G зависит от выбора элемента тождества, отображающего тождество в G .) Например, когда G ∗ является универсальным покрытием G , ядро ​​π является фундаментальной группой G , которая , как известно , абелева (см. H-пространство ). Обратно, если заданы группа Ли G и дискретная центральная подгруппа Z , фактор-группа G / Z является группой Ли, а G является ее накрывающим пространством.

В более общем смысле, когда группы A , E и G, встречающиеся в центральном расширении, являются группами Ли, а отображения между ними являются гомоморфизмами групп Ли, то если алгебра Ли группы G есть g , алгебра Ли группы A есть a , а алгебра Ли группы E есть e , то e является расширением центральной алгебры Ли группы g посредством a . В терминологии теоретической физики генераторы a называются центральными зарядами . Эти генераторы находятся в центре e ; по теореме Нётер генераторы групп симметрии соответствуют сохраняющимся величинам, называемым зарядами .

Основные примеры центральных расширений как покрывающих групп:

Случай SL 2 ( R ) включает в себя фундаментальную группу, которая является бесконечной циклической . Здесь задействованное центральное расширение хорошо известно в теории модулярных форм в случае форм веса ½ . Соответствующее проективное представление — это представление Вейля , построенное из преобразования Фурье , в этом случае на действительной прямой . Метаплектические группы также встречаются в квантовой механике .

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ группа+расширение#Определение в n Лабораторное замечание 2.2.
  2. ^ стр. № 830, Даммит, Дэвид С., Фут, Ричард М., Абстрактная алгебра (третье издание), John Wiley & Sons, Inc., Хобокен, Нью-Джерси (2004).
  3. ^ Браун, Рональд ; Портер, Тимоти (1996). «О теории Шрайера неабелевых расширений: обобщения и вычисления». Труды Королевской Ирландской Академии, раздел A. 96 ( 2): 213–227. MR  1641218.
  4. ^ Джанелидзе, Джордж; Келли, Грегори Максвелл (2000). «Центральные расширения в многообразиях Мальцева». Теория и приложения категорий . 7 (10): 219–226. MR  1774075.
  5. ^ PJ Morandi, Group Extensions and H3 Архивировано 17.05.2018 в Wayback Machine . Из его коллекции коротких математических заметок.