Задача трех тел

Физическая задача, связанная с законами движения и гравитации.

Приближенные траектории трех одинаковых тел, расположенных в вершинах разностороннего треугольника и имеющих нулевые начальные скорости. Центр масс , в соответствии с законом сохранения импульса , остаётся на месте.

В физике и классической механике задача трёх тел — это задача определения начальных положений и скоростей (или импульсов ) трёх точечных масс и решения их последующего движения в соответствии с законами движения Ньютона и законом всемирного тяготения Ньютона . ^[1] Задача трёх тел является частным случаем задачи n тел . В отличие от задач двух тел , общего решения в замкнутой форме не существует ^[1] , поскольку результирующая динамическая система является хаотичной для большинства начальных условий , и обычно требуются численные методы .

Исторически сложилось так, что первой конкретной задачей трёх тел, получившей расширенное изучение, была проблема, связанная с Луной , Землей и Солнцем . ^[2] В расширенном современном смысле задача трёх тел — это любая задача классической или квантовой механики , которая моделирует движение трёх частиц.

В феврале 2024 года было опубликовано несколько исследований, которые могут предложить решение. ^{[3] [4]}

Математическое описание

Математическая постановка задачи трех тел может быть дана в терминах ньютоновских уравнений движения для векторных положений трех гравитационно взаимодействующих тел с массами : ${\displaystyle \mathbf {r_{i}} =(x_{i},y_{i},z_{i})}$ ${\displaystyle m_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {1} }&=-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{aligned}}}$

где гравитационная постоянная . ^{[5] [6]} Это набор девяти дифференциальных уравнений второго порядка . Задачу также можно сформулировать эквивалентно в гамильтоновом формализме , и в этом случае она описывается набором из 18 дифференциальных уравнений первого порядка, по одному для каждой компоненты положений и импульсов : ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbf {r_{i}} }$ ${\displaystyle \mathbf {p_{i}} }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }},\qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},}$

где гамильтониан : _ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.}$

В данном случае это просто полная энергия системы, гравитационная плюс кинетическая. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Ограниченная задача трех тел.

Круговая ограниченная задача трех тел ^{[ необходимы пояснения ]} является действительным приближением эллиптических орбит, обнаруженных в Солнечной системе , ^{[ нужна ссылка ]} , и это можно визуализировать как комбинацию потенциалов, обусловленных гравитацией двух первичных тел вместе с центробежный эффект от их вращения ( эффекты Кориолиса являются динамическими и не показаны). Тогда точки Лагранжа можно рассматривать как пять мест, где градиент на результирующей поверхности равен нулю, что указывает на то, что силы там находятся в равновесии. ^{[ нужна цитата ]}

В ограниченной задаче трех тел тело незначительной массы («планетоид») движется под действием двух массивных тел. Имея незначительную массу, силой, которую планетоид оказывает на два массивных тела, можно пренебречь, и систему можно анализировать и, следовательно, описывать в терминах движения двух тел. ^{[5] [7]} Что касается вращающейся системы отсчета , то два тела, вращающиеся по одной орбите, неподвижны, а третье может быть также стационарным в точках Лагранжа или двигаться вокруг них, например, по подковообразной орбите . Может оказаться полезным рассмотреть эффективный потенциал . Обычно считается, что это движение двух тел состоит из круговых орбит вокруг центра масс , и предполагается, что планетоид движется в плоскости, определяемой круговыми орбитами.

Ограниченную задачу трех тел легче анализировать теоретически, чем полную задачу. Оно представляет также практический интерес, поскольку точно описывает многие реальные проблемы, наиболее важным примером которых является система Земля-Луна-Солнце. По этим причинам оно сыграло важную роль в историческом развитии проблемы трёх тел.

Математически задача формулируется следующим образом. ^{[ по мнению кого? ]} Пусть будут массы двух массивных тел с (плоскими) координатами и , и пусть будут координатами планетоида. Для простоты выберите такие единицы измерения, чтобы расстояние между двумя массивными телами, а также гравитационная постоянная были равны . Тогда движение планетоида определяется выражением ${\displaystyle m_{1,2}}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {x-x_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {x-x_{2}}{r_{2}^{3}}},\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {y-y_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {y-y_{2}}{r_{2}^{3}}},\end{aligned}}}$

где . В этой форме уравнения движения несут явную зависимость от времени через координаты . Однако эту временную зависимость можно устранить путем преобразования во вращающуюся систему отсчета, что упрощает любой последующий анализ. ${\displaystyle r_{i}={\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}}$ ${\displaystyle x_{i}(t),y_{i}(t)}$

Решения

Общее решение

В то время как система трех тел, взаимодействующих гравитационно, является хаотичной , система трех тел, взаимодействующих упруго, хаотичной не является.

Не существует общего решения задачи трех тел в замкнутой форме , ^[1] это означает, что не существует общего решения, которое можно выразить с помощью конечного числа стандартных математических операций. При этом движение трех тел вообще неповторяющееся, за исключением особых случаев. ^[8]

Однако в 1912 году финский математик Карл Фритиоф Сундман доказал, что существует аналитическое решение задачи трех тел в виде ряда Пюизо , а именно степенного ряда по степеням t ^1/3 . ^[9] Этот ряд сходится при всех действительных t , за исключением начальных условий, соответствующих нулевому угловому моменту . На практике последнее ограничение несущественно, поскольку начальные условия с нулевым угловым моментом встречаются редко и имеют нулевую меру Лебега .

Важным вопросом при доказательстве этого результата является тот факт, что радиус сходимости этого ряда определяется расстоянием до ближайшей особенности. Поэтому необходимо изучить возможные особенности задач трех тел. Как кратко обсуждается ниже, единственными сингулярностями в задаче трех тел являются бинарные столкновения (столкновения двух частиц в один момент) и тройные столкновения (столкновения трех частиц в один момент).

Столкновения, будь то бинарные или тройные (фактически любое число), несколько маловероятны, поскольку было показано, что они соответствуют набору начальных условий нулевой меры. Однако не известно какого-либо критерия, который можно было бы положить в исходное состояние, чтобы избежать коллизий для соответствующего решения. Итак, стратегия Сундмана состояла из следующих шагов:

1. Использование соответствующей замены переменных для продолжения анализа решения за пределами бинарного столкновения в процессе, известном как регуляризация .
2. Доказательство того, что тройные столкновения происходят только тогда, когда угловой момент L обращается в нуль. Ограничив исходные данные до L ≠ 0 , он удалил все вещественные особенности из преобразованных уравнений задачи трех тел.
3. Показывая, что если L ≠ 0 , то не только не может быть тройного столкновения, но и система строго отделена от тройного столкновения. Отсюда следует, используя теорему существования Коши для дифференциальных уравнений, что в полосе (в зависимости от значения L ) в комплексной плоскости с центром вокруг действительной оси нет комплексных особенностей (оттенки Ковалевской ).
4. Найдите конформное преобразование, которое отображает эту полосу в единичный круг. Например, если s = t ^1/3 (новая переменная после регуляризации) и если | пер с | ≤ β , ^{[ необходимы пояснения ]} , тогда это отображение имеет вид
   $${\displaystyle \sigma ={\frac {e^{\frac {\pi s}{2\beta }}-1}{e^{\frac {\pi s}{2\beta }}+1}}.}$$

На этом доказательство теоремы Сундмана закончено.

Однако соответствующий ряд сходится очень медленно. То есть для получения значения значимой точности требуется так много членов, что это решение имеет мало практического применения. Действительно, в 1930 году Давид Белоришки подсчитал, что если бы ряды Сундмана использовались для астрономических наблюдений, то вычисления потребовали бы как минимум 10^{8 000 000} терминов. ^[10]

Решения для особых случаев

В 1767 году Леонард Эйлер нашел три семейства периодических решений, в которых три массы в каждый момент времени коллинеарны. См. задачу трёх тел Эйлера .

В 1772 году Лагранж нашел семейство решений, в которых три массы в каждый момент времени образуют равносторонний треугольник. Вместе с коллинеарными решениями Эйлера эти решения образуют центральные конфигурации задачи трех тел. Эти решения справедливы для любых соотношений масс, причем массы движутся по кеплеровским эллипсам . Эти четыре семейства — единственные известные решения, для которых существуют явные аналитические формулы. В частном случае круговой ограниченной задачи трех тел эти решения, рассматриваемые в системе отсчета, вращающейся вместе с основными элементами, становятся точками, называемыми L ₁ , L ₂ , L ₃ , L ₄ и L ₅ и называемыми лагранжевыми точками. , где L ₄ и L ₅ являются симметричными экземплярами решения Лагранжа.

В работе, обобщенной в 1892–1899 годах, Анри Пуанкаре установил существование бесконечного числа периодических решений ограниченной задачи трех тел, а также методы продолжения этих решений в общую задачу трех тел.

В 1893 году Мейсель сформулировал то, что сейчас называется пифагорейской задачей трёх тел: три массы в соотношении 3:4:5 покоятся в вершинах прямоугольного треугольника 3:4:5 . Буррау ^[11] продолжил исследование этой проблемы в 1913 году. В 1967 году Виктор Себехей и К. Фредерик Петерс нашли возможное решение этой проблемы с помощью численного интегрирования, одновременно находя ближайшее периодическое решение. ^[12]

Анимация решения задачи трех тел в виде восьмерки за один период T ≃ 6,3259. ^[13]

20 примеров периодических решений задачи трёх тел.

В 1970-х годах Мишель Энон и Роджер А. Брук нашли каждый набор решений, которые являются частью одного и того же семейства решений: семейства Брука-Энона-Хаджидеметриу. В этом семействе все три объекта имеют одинаковую массу и могут иметь как ретроградную, так и прямую форму. В некоторых решениях Брука два тела следуют по одному и тому же пути. ^[14]

В 1993 году физик Крис Мур из Института Санта-Фе численно обнаружил решение с нулевым угловым моментом с тремя равными массами, движущимися вокруг восьмерки . ^[15] Его формальное существование было позже доказано в 2000 году математиками Аленом Ченсинером и Ричардом Монтгомери. ^{[16] [17]} Численно было показано, что решение устойчиво при небольших возмущениях массы и орбитальных параметров, что делает возможным наблюдение таких орбит в физической Вселенной. Однако утверждалось, что это событие маловероятно, поскольку область устойчивости мала. Например, вероятность события бинарно-бинарного рассеяния ^{[ нужны разъяснения ]} , приводящего к образованию орбиты в форме восьмерки, оценивается в небольшую долю процента. ^[18]

В 2013 году физики Милован Шуваков и Велько Дмитрашинович из Института физики в Белграде обнаружили 13 новых семейств решений задачи трех тел с равной массой и нулевым угловым моментом. ^{[8] [14]}

В 2015 году физик Ана Худомал обнаружила 14 новых семейств решений задачи трех тел с равной массой и нулевым угловым моментом. ^[19]

В 2017 году исследователи Сяомин Ли и Шицзюнь Ляо обнаружили 669 новых периодических орбит задачи трех тел с равной массой и нулевым угловым моментом. ^[20] В 2018 году последовало еще 1223 новых решения для системы неравных масс с нулевым угловым моментом. ^[21]

В 2018 году Ли и Ляо сообщили о 234 решениях задачи трех тел о «свободном падении» с неравной массой. ^[22] Формулировка задачи трех тел в свободном падении начинается с того, что все три тела находятся в состоянии покоя. Из-за этого массы в конфигурации свободного падения не вращаются по замкнутому «петле», а перемещаются вперед и назад по открытой «траектории».

В 2023 году Иван Христов, Радослава Христова, Дмитрашинович и Киётака Таникава опубликовали исследование задачи трех тел «периодические орбиты свободного падения», ограниченное случаем равной массы, в котором они нашли 12 409 различных решений. ^[23]

Численные подходы

Используя компьютер, задача может быть решена с произвольно высокой точностью с помощью численного интегрирования , хотя высокая точность требует большого количества процессорного времени. Были попытки создания компьютерных программ, которые численно решают проблему трех тел (и, в более широком смысле, проблему n тел), включающую как электромагнитные, так и гравитационные взаимодействия, а также включающие современные теории физики, такие как специальная теория относительности. ^[24] Кроме того, используя теорию случайных блужданий , можно вычислить приблизительную вероятность различных исходов. ^{[25] [26]}

История

Проблема гравитации трех тел в ее традиционном понимании по существу восходит к 1687 году, когда Исаак Ньютон опубликовал свою «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica» , когда Ньютон пытался выяснить, возможна ли какая-либо долгосрочная стабильность, особенно системы нашей Земли , Луны . , и Солнце. Под руководством крупнейших астрономов эпохи Возрождения Николая Коперника , Тихо Браге и Иоганна Кеплера он пришел к началу гравитационной проблемы трех тел. ^[27] В предложении 66 первой книги «Начал» и его 22 следствиях Ньютон сделал первые шаги в определении и изучении проблемы движения трех массивных тел, подверженных взаимно возмущающему гравитационному притяжению. В предложениях 25–35 книги 3 Ньютон также сделал первые шаги в применении результатов предложения 66 к теории Луны , движения Луны под гравитационным влиянием Земли и Солнца. ^[28] Позже эта проблема была также применена к взаимодействиям других планет с Землей и Солнцем. ^[27]

К физической проблеме впервые обратился Америго Веспуччи , а затем Галилео Галилей , а также Симон Стевин , но они не осознавали, какой вклад они внесли. Хотя Галилей установил, что скорость падения всех тел изменяется равномерно и одинаково, он не применил это к движению планет. ^[27] Тогда как в 1499 году Веспуччи использовал знание положения Луны, чтобы определить свое положение в Бразилии. ^[29] Это приобрело техническое значение в 1720-х годах, поскольку точное решение могло быть применимо к навигации, особенно для определения долготы на море , что было решено на практике благодаря изобретению Джона Харрисона морского хронометра . Однако точность лунной теории была низкой из-за возмущающего воздействия Солнца и планет на движение Луны вокруг Земли.

Жан ле Рон д'Аламбер и Алексис Клеро , между которыми возникло давнее соперничество, оба пытались проанализировать проблему в некоторой степени общности; они представили свои конкурирующие первые исследования в Королевскую академию наук в ¹⁷⁴⁷ году . для общего использования. В отчете, опубликованном в 1761 году Жаном ле Роном д'Аламбером, указывается, что это имя впервые было использовано в 1747 году ^.

В конце 19 - начале 20 века подход к решению задачи трех тел с использованием короткодействующих сил притяжения двух тел разрабатывался учеными, которые предложили П. Ф. Бедак, Х.-В. Хаммеру и У. ван Колку пришла идея перенормировать задачу трех тел ближнего действия, предоставив ученым редкий пример предельного цикла ренормгруппы в начале 21 века. ^[32] Джордж Уильям Хилл работал над ограниченной проблемой в конце 19 века, применяя движение Венеры и Меркурия . ^[33]

В начале 20-го века Карл Сундман подошел к проблеме математически и систематически, предоставив теоретическое функциональное доказательство проблемы, справедливое для всех значений времени. Это был первый раз, когда ученые теоретически решили задачу трех тел. Однако, поскольку качественного решения этой системы не было, а ученые слишком медленно ее применяли на практике, это решение все же оставляло некоторые проблемы нерешенными. ^{[34] В 1970-х годах} В. Ефимовым был обнаружен эффект трех тел от двухчастичных сил , который был назван эффектом Ефимова . ^[35]

В 2017 году Шицзюнь Ляо и Сяомин Ли применили новую стратегию численного моделирования хаотических систем, называемую чистым численным моделированием (CNS), с использованием национального суперкомпьютера, чтобы успешно получить 695 семейств периодических решений системы трех тел с равная масса. ^[36]

В 2019 году Брин и др. объявила о быстром решении нейронной сети для задачи трех тел, обученном с использованием числового интегратора. ^[37]

По сообщениям, в сентябре 2023 года было найдено несколько возможных решений проблемы. ^{[38] [39]}

Другие проблемы, связанные с тремя телами

Термин «задача трех тел» иногда используется в более общем смысле для обозначения любой физической задачи, связанной с взаимодействием трех тел.

Квантово-механическим аналогом гравитационной задачи трёх тел в классической механике является атом гелия , в котором ядро ​​гелия и два электрона взаимодействуют по принципу обратного квадрата кулоновского взаимодействия . Как и гравитационную задачу трёх тел, атом гелия не может быть решен точно. ^[40]

Однако как в классической, так и в квантовой механике существуют нетривиальные законы взаимодействия, помимо силы обратных квадратов, которые действительно приводят к точным аналитическим решениям для трех тел. Одна из таких моделей состоит из комбинации гармонического притяжения и отталкивающей силы обратного куба. ^[41] Эта модель считается нетривиальной, поскольку она связана с набором нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих особенности (по сравнению, например, с одними только гармоническими взаимодействиями, которые приводят к легко решаемой системе линейных дифференциальных уравнений). В этих двух отношениях она аналогична (неразрешимым) моделям, имеющим кулоновское взаимодействие, и в результате была предложена в качестве инструмента для интуитивного понимания физических систем, таких как атом гелия. ^{[41] [42]}

В рамках модели точечного вихря движение вихрей в двумерной идеальной жидкости описывается уравнениями движения, содержащими производные по времени только первого порядка. Т.е. в отличие от механики Ньютона, именно скорость , а не ускорение определяется их взаимным расположением. Как следствие, проблема трех вихрей по-прежнему интегрируема ^[43] , хотя для получения хаотического поведения требуется как минимум четыре вихря. ^[44] Можно провести параллели между движением пассивной частицы-трассера в поле скоростей трех вихрей и ограниченной задачей трех тел ньютоновской механики. ^[45]

Гравитационная проблема трёх тел также изучалась с помощью общей теории относительности . Физически релятивистский подход становится необходимым в системах с очень сильными гравитационными полями, например, вблизи горизонта событий черной дыры . Однако релятивистская проблема значительно сложнее, чем в механике Ньютона, и требуются сложные численные методы . Даже полная задача двух тел (т.е. для произвольного соотношения масс) не имеет строгого аналитического решения в общей теории относительности. ^[46]

проблема с телом

Задача трех тел — это частный случай задачи n тел , которая описывает, как n объектов движутся под действием одной из физических сил, например гравитации . Эти проблемы имеют глобальное аналитическое решение в виде сходящегося степенного ряда, как было доказано Карлом Ф. Сундманом для n = 3 и Цюдуном Вангом для n > 3 ( подробности см. В задаче n -тел). Однако ряды Сундмана и Ванга сходятся настолько медленно, что для практических целей они бесполезны; ^[47] поэтому в настоящее время необходимо аппроксимировать решения путем численного анализа в форме численного интегрирования или, в некоторых случаях, аппроксимации классическими тригонометрическими рядами (см. Моделирование n -тел ). Атомные системы, например атомы, ионы и молекулы, можно рассматривать в терминах квантовой задачи n тел. Среди классических физических систем проблема n тел обычно относится к галактике или скоплению галактик ; Планетные системы, такие как звезды, планеты и их спутники, также можно рассматривать как системы n -тел. В некоторых приложениях удобно рассматривать теорию возмущений , в которой система рассматривается как задача двух тел плюс дополнительные силы, вызывающие отклонения от гипотетической невозмущенной траектории двух тел.

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Малочастичные системы
• Формирование и эволюция галактик
• Гравитационная помощь
• Точка Лагранжа
• Низкоэнергетическая передача
• Майкл Минович
• n -теловое моделирование
• Симплектический интегратор
• Задача Ситникова
• Задача двух тел
• Синодическая система отсчета
• Тройная звездная система
• Задача трех тел (роман)

Рекомендации

1. Барроу-Грин, июнь (2008 г.). «Задача трёх тел». В Гауэрсе, Тимоти; Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре (ред.). Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета. стр. 726–728.
2. «Исторические заметки: задача трех тел» . Проверено 19 июля 2017 г.
3. Еврейский университет (13 февраля 2024 г.). «Прорыв в предсказании хаотических результатов в системах трех тел». Физика.орг . Архивировано из оригинала 13 февраля 2024 года . Проверено 13 февраля 2024 г.
4. Манвадкар, Вирадж; и другие. (2 февраля 2024 г.). «Измерение хаотической поглощательной способности трех тел предсказывает хаотическое распределение результатов». Небесная механика и динамическая астрономия . 136 (4). doi : 10.1007/s10569-023-10174-z. Архивировано из оригинала 13 февраля 2024 года . Проверено 13 февраля 2024 г.
5. Барроу-Грин, июнь (1997). Пуанкаре и задача трех тел . Американское математическое общество. стр. 8–12. Бибкод : 1997ptbp.book.....B. ISBN 978-0-8218-0367-7.
6. «Задача трех тел» (PDF) .
7. Ограниченная задача трех тел, Мир науки .
8. Картрайт, Джон (8 марта 2013 г.). «Физики открыли 13 новых решений задачи трех тел». Наука сейчас . Проверено 4 апреля 2013 г.
9. Барроу-Грин, Дж. (2010). Драматический эпизод Сундмана, Historia Mathematica 37, стр. 164–203.
10. Белоришки, Д. (1930). «Практическое применение методов М. Сундмана для решения особых проблем трех корпусов». Астрономический бюллетень . Серия 2. 6 : 417–434. Бибкод : 1930BuAst...6..417B.
11. Буррау (1913). «Numerische Berechnung eines Spezialfalles des Dreikörperproblems». Астрономические Нахрихтен . 195 (6): 113–118. Бибкод : 1913AN....195..113B. дои : 10.1002/asna.19131950602.
12. Виктор Себехей; К. Фредерик Питерс (1967). «Полное решение общей задачи трёх тел». Астрономический журнал . 72 : 876. Бибкод : 1967AJ.....72..876S. дои : 10.1086/110355 .
13. Здесь гравитационная постоянная G установлена ​​равной 1, а начальные условия: r ₁ (0) = - r ₃ (0) = (-0,97000436, 0,24308753); р ₂ (0) = (0,0); v ₁ (0) = v ₃ (0) = (0,4662036850, 0,4323657300); v ₂ (0) = (-0,93240737, -0,86473146). Значения взяты из Chenciner & Montgomery (2000).
14. Шуваков, М.; Дмитрашинович, В. «Галерея трех тел» . Проверено 12 августа 2015 г.
15. Мур, Кристофер (1993). «Косы в классической динамике» (PDF) . Письма о физических отзывах . 70 (24): 3675–3679. Бибкод : 1993PhRvL..70.3675M. doi : 10.1103/PhysRevLett.70.3675. PMID  10053934. Архивировано из оригинала (PDF) 8 октября 2018 г. Проверено 1 января 2016 г.
16. Ченсинер, Ален; Монтгомери, Ричард (2000). «Замечательное периодическое решение задачи трех тел в случае равных масс». Анналы математики . Вторая серия. 152 (3): 881–902. arXiv : math/0011268 . Бибкод : 2000math.....11268C. дои : 10.2307/2661357. JSTOR  2661357. S2CID  10024592.
17. Монтгомери, Ричард (2001). «Новое решение задачи трех тел» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 48 : 471–481.
18. Хегги, Дуглас К. (2000). «Новый результат бинарно-бинарного рассеяния». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 318 (4): L61–L63. arXiv : astro-ph/9604016 . Бибкод : 2000MNRAS.318L..61H. дои : 10.1046/j.1365-8711.2000.04027.x.
19. Худомал, Ана (октябрь 2015 г.). «Новые периодические решения задачи трех тел и гравитационные волны» (PDF) . Магистерская диссертация на физическом факультете Белградского университета . Проверено 5 февраля 2019 г.
20. Ли, Сяомин; Ляо, Шиджун (декабрь 2017 г.). «Более шести сотен новых семейств ньютоновских периодических плоских бесстолкновительных орбит трех тел». Наука Китай Физика, механика и астрономия . 60 (12): 129511. arXiv : 1705.00527 . Бибкод : 2017SCPMA..60l9511L. дои : 10.1007/s11433-017-9078-5. ISSN  1674-7348. S2CID  84838204.
21. Ли, Сяомин; Цзин, Ипэн; Ляо, Шиджун (август 2018 г.). «1223 новые периодические орбиты плоской задачи трех тел с неравной массой и нулевым угловым моментом». Публикации Астрономического общества Японии . 70 (4) 64. arXiv : 1709.04775 . дои : 10.1093/pasj/psy057 .
22. Ли, Сяомин; Ляо, Шиджун (2019). «Бесстолкновительные периодические орбиты в задаче трех тел о свободном падении». Новая астрономия . 70 : 22–26. arXiv : 1805.07980 . Бибкод : 2019НовыйА...70...22Л. doi :10.1016/j.newast.2019.01.003. S2CID  89615142.
23. Христов, Иван; Христова, Радослава; Дмитрашинович, Велько; Таникава, Киётака (2023). «Возвращение к периодическим бесстолкновительным орбитам свободного падения трех тел равной массы». arXiv : 2308.16159 [физика.класс-ph].
24. "Симулятор 3body" . Симулятор 3тела . Проверено 17 ноября 2022 г.
25. Технион (6 октября 2021 г.). «Вековая загадка физики? Разгадка». СайТехДейли . Научные технологии . Проверено 12 октября 2021 г.
26. Гинат, Йонадав Барри; Перец, Хагай Б. (23 июля 2021 г.). «Аналитическое, статистическое приближенное решение диссипативных и недиссипативных встреч двойных и одиночных звезд». Физический обзор . 11 (3): 031020. arXiv : 2011.00010 . Бибкод : 2021PhRvX..11c1020G. doi : 10.1103/PhysRevX.11.031020. S2CID  235485570 . Проверено 12 октября 2021 г.
27. Валтонен, Маури (3 мая 2016 г.). Задача трёх тел от Пифагора до Хокинга . Спрингер. ISBN 978-3-319-22726-9. ОСЛК  1171227640.
28. Ньютон, Исаак (1726). Принципы естественной философии математики. Лондон: Дж. и Дж. Иннис. дои : 10.14711/spcol/b706487 . Получено 5 октября 2022 г. - через Гонконгский университет науки и технологий.
29. "Америго Веспуччи". Биография . 23 июня 2021 г. Проверено 5 октября 2022 г.
30. Мемуары обеих сторон 1747 года можно прочитать в сборнике «Истории» (включая «Мемуары ») Королевской академии наук за 1745 год (опубликованном с опозданием в Париже в 1749 году) (на французском языке):

    Клеро: «О системе мира согласно принципам всемирного тяготения» (на стр. 329–364); и

    Даламбер: «Общий метод определения орбит и движений всех планет с учетом их взаимных действий» (на стр. 365–390). Своеобразная датировка поясняется примечанием, напечатанным на стр. 390 « В разделе «Мемуары»: «Хотя предыдущие мемуары господ Клеро и Даламбера были прочитаны только в течение 1747 года, было сочтено целесообразным опубликовать их в томе за этот год» (т. е. в томе, в остальном посвященном протоколы 1745 г., но опубликованные в 1749 г.).

31. Жан ле Рон д'Аламбер в статье 1761 года, в которой рассматривается математическая история проблемы, упоминает, что Эйлер предложил метод интегрирования определенного дифференциального уравнения «в 1740 году (за семь лет до того, как возник вопрос о проблеме трех тел) )": см. Даламбер, "Opuscules Mathématiques", т. 2, Париж 1761, Quatorzième Mémoire («Reflexions sur le Problème des trois Corps, avec de Nouvelles Tables de la Lune ...»), стр. 329–312, гл. VI, с. 245.
32. Мор, РФ; Ферншталь, Р.Дж.; Хаммер, Х.-В.; Перри, Р.Дж.; Уилсон, КГ (январь 2006 г.). «Точные численные результаты для предельных циклов в квантовой задаче трех тел». Анналы физики . 321 (1): 225–259. arXiv : nucl-th/0509076 . Бибкод : 2006АнФиз.321..225М. дои : 10.1016/j.aop.2005.10.002. ISSN  0003-4916. S2CID  119073191.
33. «Компланарное движение двух планет, одна из которых имеет нулевую массу». Анналы математики , Vol. III, стр. 65–73, 1887 г.
34. Барроу-Грин, июнь (29 октября 1996 г.). Пуанкаре и задача трех тел (PDF) . История математики. Том. 11. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/hmath/011. ISBN 978-0-8218-0367-7.
35. Ефимов, В. (1970-12-21). «Уровни энергии, возникающие из-за резонансных сил двух тел в системе трех тел». Буквы по физике Б. 33 (8): 563–564. Бибкод : 1970PhLB...33..563E. дои : 10.1016/0370-2693(70)90349-7. ISSN  0370-2693.
36. Ляо, Шиджун; Ли, Сяомин (01 ноября 2019 г.). «О периодических решениях задачи трех тел». Национальный научный обзор . 6 (6): 1070–1071. дои : 10.1093/nsr/nwz102. ISSN  2095-5138. ПМЦ 8291409 . ПМИД  34691975. 
37. Брин, Филип Г.; Фоли, Кристофер Н.; Боэкхольт, Тьярда; Портегиес Цварт, Саймон (2020). «Ньютон против машины: решение хаотической задачи трех тел с использованием глубоких нейронных сетей». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 494 (2): 2465–2470. arXiv : 1910.07291 . doi : 10.1093/mnras/staa713. S2CID  204734498.
38. Уотсон, Клэр (23 сентября 2023 г.). «Мы только что получили 12 000 новых решений печально известной задачи трех тел». НаукаАлерт . Архивировано из оригинала 24 сентября 2023 года . Проверено 23 сентября 2023 г.
39. Христов, Иван; Христова, Радослава; Дмитрашинович, Велько; Таникава, Киётака (31 августа 2023 г.). «Возвращение к периодическим бесстолкновительным орбитам свободного падения трех тел равной массы». arXiv : 2308.16159 [физика.класс-ph].
40. Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.) . Прентис Холл. п. 311. ИСБН 978-0-13-111892-8. ОСЛК  40251748.
41. Крэндалл, Р.; Уитнелл, Р.; Беттега, Р. (1984). «Точно растворимая двухэлектронная модель атома». Американский журнал физики . 52 (5): 438–442. Бибкод : 1984AmJPh..52..438C. дои : 10.1119/1.13650.
42. Калоджеро, Ф. (1969). «Решение задачи трех тел в одном измерении». Журнал математической физики . 10 (12): 2191–2196. Бибкод : 1969JMP....10.2191C. дои : 10.1063/1.1664820.
43. Ареф, Хасан (1 марта 1979). «Движение трех вихрей». Физика жидкостей . 22 (3): 393–400. Бибкод : 1979PhFl...22..393A. дои : 10.1063/1.862605. ISSN  0031-9171.
44. Ареф, Хасан; Помфри, Нил (18 августа 1980 г.). «Интегрируемые и хаотические движения четырех вихрей». Буквы по физике А. 78 (4): 297–300. Бибкод : 1980PhLA...78..297A. дои : 10.1016/0375-9601(80)90375-8. ISSN  0375-9601.
45. Нойфельд, З; Тель, Т (21 марта 1997 г.). «Аналог вихревой динамики ограниченной задачи трех тел: адвекция в поле трех одинаковых точечных вихрей». Журнал физики A: Математический и общий . 30 (6): 2263–2280. Бибкод : 1997JPhA...30.2263N. дои : 10.1088/0305-4470/30/6/043. ISSN  0305-4470.
46. Мусиелак, ZE; Куорлз, Б. (2014). «Задача трёх тел». Отчеты о прогрессе в физике . 77 (6): 065901. arXiv : 1508.02312 . Бибкод : 2014RPPH...77f5901M. дои : 10.1088/0034-4885/77/6/065901. ISSN  0034-4885. PMID  24913140. S2CID  38140668.
47. Флорин Диаку . «Решение проблемы n тел», The Mathematical Intelligencer , 1996.

дальнейшее чтение

• Ошет, SJ (2003). Гравитационное моделирование n-тел . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-43272-6.
• Багла, Дж.С. (2005). «Космологическое моделирование N-тел: методы, объем и статус». Современная наука . 88 : 1088–1100. arXiv : astro-ph/0411043 . Бибкод : 2005CSci...88.1088B.
• Чемберс, Дж. Э.; Уэтерилл, GW (1998). «Создание планет земной группы: интеграция N-тел планетарных эмбрионов в трех измерениях». Икар . 136 (2): 304–327. Бибкод : 1998Icar..136..304C. CiteSeerX  10.1.1.64.7797 . дои : 10.1006/icar.1998.6007.
• Эфстатиу, Г.; Дэвис, М.; Уайт, СДМ; Френк, CS (1985). «Численные методы для большого космологического моделирования N-тел». Астрофизический журнал . 57 : 241–260. Бибкод : 1985ApJS...57..241E. дои : 10.1086/191003 .
• Халкоуэр, Нил Д. (1978). «Задача трех тел с нулевой энергией». Математический журнал Университета Индианы . 27 (3): 409–447. Бибкод : 1978IUMJ...27..409H. дои : 10.1512/iumj.1978.27.27030 .
• Халкоуэр, Нил Д. (1980). «Центральные конфигурации и гиперболо-эллиптическое движение в задаче трех тел». Небесная механика . 21 (1): 37–41. Бибкод : 1980CeMec..21...37H. дои : 10.1007/BF01230244. S2CID  123404551.
• Ли, Сяомин; Ляо, Шиджун (2014). «Об устойчивости трех классов ньютоновских плоских периодических орбит трех тел». Наука Китай Физика, механика и астрономия . 57 (11): 2121–2126. arXiv : 1312.6796 . Бибкод : 2014SCPMA..57.2121L. дои : 10.1007/s11433-014-5563-5. S2CID  73682020.
• Мур, Кристофер (1993). «Косы в классической динамике» (PDF) . Письма о физических отзывах . 70 (24): 3675–3679. Бибкод : 1993PhRvL..70.3675M. doi : 10.1103/PhysRevLett.70.3675. PMID  10053934. Архивировано из оригинала (PDF) 8 октября 2018 г. Проверено 1 января 2016 г.
• Пуанкаре, Х. (1967). Новые методы небесной механики (3 тома, английское переводное изд.). Американский институт физики. ISBN 978-1-56396-117-5.
• Шуваков, Милован; Дмитрашинович, В. (2013). «Три класса ньютоновских плоских периодических орбит трех тел». Письма о физических отзывах . 110 (10): 114301. arXiv : 1303.0181 . Бибкод : 2013PhRvL.110k4301S. doi : 10.1103/PhysRevLett.110.114301. PMID  25166541. S2CID  118554305.

Внешние ссылки

• Ченсинер, Ален (2007). «Задача трёх тел». Схоларпедия . 2 (10): 2111. Бибкод : 2007SchpJ...2.2111C. doi : 10.4249/scholarpedia.2111 .
• Физики нашли 13 новых решений задачи трех тел ( Наука )
• Симулятор трех тел - пример компьютерной программы, решающей задачу трех тел численно.