В математике две последовательности чисел, часто экспериментальных данных , пропорциональны или прямо пропорциональны , если их соответствующие элементы имеют постоянное отношение . Отношение называется коэффициентом пропорциональности (или константой пропорциональности ), а его обратная величина известна как константа нормализации (или нормирующая константа ). Две последовательности обратно пропорциональны, если соответствующие элементы имеют постоянное произведение, также называемое коэффициентом пропорциональности.
Это определение обычно распространяется на связанные изменяющиеся величины, которые часто называют переменными . Это значение переменной не является общепринятым значением термина в математике (см. переменная (математика) ); эти два разных понятия имеют одно и то же название по историческим причинам.
Две функции и пропорциональны , если их отношение является постоянной функцией .
Если несколько пар переменных имеют один и тот же коэффициент прямой пропорциональности, то уравнение, выражающее равенство этих отношений, называется пропорцией , например, а/б = х/у = ⋯ = k (подробнее см. Отношение ). Пропорциональность тесно связана с линейностью .
При наличии независимой переменной x и зависимой переменной y , y прямо пропорционален x [ 1], если существует положительная константа k такая, что:
Отношение часто обозначается с помощью символов «∝» (не путать с греческой буквой альфа ) или «~», за исключением японских текстов, где «~» зарезервировано для интервалов:
Для коэффициента пропорциональности можно выразить его как отношение:
Его также называют константой вариации или константой пропорциональности . При наличии такой константы k отношение пропорциональности ∝ с константой пропорциональности k между двумя множествами A и B является отношением эквивалентности, определяемым как
Прямую пропорциональность можно также рассматривать как линейное уравнение двух переменных с точкой пересечения с осью y, равной 0, и наклоном k > 0 , что соответствует линейному росту .
Две переменные обратно пропорциональны (также называются обратно пропорциональными , обратно пропорциональными , обратно пропорциональными ) [2] , если каждая из переменных прямо пропорциональна мультипликативной обратной (обратной) величине другой, или, что эквивалентно, если их произведение является константой. [3] Из этого следует, что переменная y обратно пропорциональна переменной x , если существует ненулевая константа k такая, что
или, что то же самое, . Следовательно, константа « k » является произведением x и y .
График двух переменных, изменяющихся обратно пропорционально на плоскости декартовых координат , представляет собой прямоугольную гиперболу . Произведение значений x и y каждой точки кривой равно константе пропорциональности ( k ). Поскольку ни x, ни y не могут быть равны нулю (потому что k не равно нулю), график никогда не пересекает ни одну из осей.
Прямая и обратная пропорция противопоставляются следующим образом: в прямой пропорциональности переменные увеличиваются или уменьшаются вместе. При обратной пропорциональности увеличение одной переменной связано с уменьшением другой. Например, в путешествии постоянная скорость диктует прямую пропорцию между расстоянием и пройденным временем; напротив, для заданного расстояния (константы) время путешествия обратно пропорционально скорости: s × t = d .
Понятия прямой и обратной пропорциональности приводят к расположению точек на декартовой плоскости с помощью гиперболических координат ; эти две координаты соответствуют константе прямой пропорциональности, которая определяет, что точка находится на определенном луче , и константе обратной пропорциональности, которая определяет, что точка находится на определенной гиперболе .
Символы Unicode для пропорциональности следующие:
