Топология продукта

Топология на декартовых произведениях топологических пространств

В топологии и смежных областях математики пространство произведений — это декартово произведение семейства топологических пространств, снабженных естественной топологией, называемой топологией произведений . Эта топология отличается от другой, возможно, более естественной, топологии, называемой топологией ящика , которая также может быть задана пространству произведений и которая согласуется с топологией произведений, когда произведение распространяется только на конечное число пространств. Однако топология произведений «правильна» в том смысле, что она делает пространство произведений категориальным произведением его факторов, тогда как топология ящика слишком тонка ; в этом смысле топология произведений является естественной топологией на декартовом произведении.

Определение

Везде будет некоторое непустое множество индексов и для каждого индекса пусть будет топологическое пространство . Обозначим декартово произведение множеств как ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

$${\displaystyle X:=\prod X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}}$$

и для каждого индекса обозначим -ю каноническую проекцию как ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle i}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{i}:\ \prod _{j\in I}X_{j}&\to X_{i},\\[3mu](x_{j})_{j\in I}&\mapsto x_{i}.\\\end{aligned}}}$$

Theтопология продукта , иногда называемаяТихоновская топология , наопределяется как самаягрубая топология(то есть топология с наименьшим количеством открытых множеств), для которой все проекциинепрерывны. Декартово произведение,,называется ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\textstyle p_{i}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}}$ ${\textstyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}}$Пространство произведений . Открытые множества в топологии произведений являются произвольными объединениями (конечными или бесконечными) множеств вида, где каждоеоткрыто витолько для конечного числаВ частности, для конечного произведения (в частности, для произведения двух топологических пространств) множество всех декартовых произведений между одним базисным элементом из каждогодает основу для топологии произведенийТо есть, для конечного произведения множество всех ,гдеявляется элементом (выбранного) базиса,является основой для топологии произведений ${\textstyle \prod _{i\in I}U_{i},}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\neq X_{i}}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}U_{i},}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X_{i},}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$

Топология произведения на — это топология, порожденная множествами вида , где и — открытое подмножество Другими словами, множества ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right),}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$

$${\displaystyle \left\{p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)\mathbin {\big \vert } i\in I{\text{ and }}U_{i}\subseteq X_{i}{\text{ is open in }}X_{i}\right\}}$$

образуют предбазу для топологии на Подмножество открыто тогда и только тогда, когда оно является (возможно, бесконечным) объединением пересечений конечного числа множеств вида Иногда их называют открытыми цилиндрами , а их пересечения — цилиндрическими множествами . ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right).}$ ${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)}$

Топология произведения также называется топологией поточечной сходимости , поскольку последовательность (или, в более общем смысле, сеть ) в сходится тогда и только тогда, когда сходятся все ее проекции на пространства . Явно, последовательность (соответственно, сеть ) сходится к заданной точке тогда и только тогда, когда в для каждого индекса , где обозначает (соответственно, обозначает ). В частности, если используется для всех , то декартово произведение является пространством всех вещественных -значных функций на , а сходимость в топологии произведения совпадает с поточечной сходимостью функций. ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\textstyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\textstyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\textstyle x\in \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}\left(s_{\bullet }\right)\to p_{i}(x)}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle p_{i}\left(s_{\bullet }\right):=p_{i}\circ s_{\bullet }}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\left(s_{n}\right)\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\left(s_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle i}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{I}}$ ${\displaystyle I,}$

Примеры

Если вещественная прямая наделена своей стандартной топологией, то топология произведения на произведении копий равна обычной евклидовой топологии на (поскольку является конечной, это также эквивалентно топологии ящика на ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Множество Кантора гомеоморфно произведению счетного числа копий дискретного пространства , а пространство иррациональных чисел гомеоморфно произведению счетного числа копий натуральных чисел , где снова каждая копия несет дискретную топологию. ${\displaystyle \{0,1\}}$

Несколько дополнительных примеров приведены в статье об исходной топологии .

Характеристики

Множество декартовых произведений между открытыми множествами топологий каждого из них образует основу для так называемой топологии ящика на В общем случае топология ящика тоньше топологии произведения, но для конечных произведений они совпадают. ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X.}$

Пространство произведений вместе с каноническими проекциями можно охарактеризовать следующим универсальным свойством : если — топологическое пространство, а для каждого — непрерывное отображение, то существует ровно одно непрерывное отображение, такое что для каждого следующая диаграмма коммутирует : ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to X_{i}}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle i\in I}$

Это показывает, что пространство произведений является произведением в категории топологических пространств . Из приведенного выше универсального свойства следует, что отображение непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно для всех Во многих случаях проще проверить, что функции-компоненты непрерывны. Проверка непрерывности отображения обычно сложнее; пытаются использовать тот факт, что они непрерывны каким-то образом. ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle f_{i}=p_{i}\circ f}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Помимо того, что канонические проекции непрерывны, они являются открытыми отображениями . Это означает, что любое открытое подмножество пространства произведений остается открытым при проецировании вниз на Обратное неверно: если — подпространство пространства произведений, проекции которого вниз на все открыты, то не обязательно должны быть открытыми в (рассмотрим, например , ). Канонические проекции, как правило, не являются замкнутыми отображениями (рассмотрим, например, замкнутое множество , проекции которого на обе оси равны ). ${\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle W=\mathbb {R} ^{2}\setminus (0,1)^{2}.}$ ${\textstyle \left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:xy=1\right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$

Предположим, что является произведением произвольных подмножеств, где для каждого Если все непусты , то является замкнутым подмножеством пространства произведения тогда и только тогда, когда каждое является замкнутым подмножеством Более обще, замыкание произведения произвольных подмножеств в пространстве произведения равно произведению замыканий: ^[1] ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}\subseteq X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\operatorname {Cl} _{X}}{\Bigl (}\prod _{i\in I}S_{i}{\Bigr )}=\prod _{i\in I}{\bigl (}{\operatorname {Cl} _{X_{i}}}S_{i}{\bigr )}.}$$

Любое произведение хаусдорфовых пространств снова является хаусдорфовым пространством.

Теорема Тихонова , эквивалентная аксиоме выбора , утверждает, что любое произведение компактных пространств является компактным пространством. Специализация теоремы Тихонова, требующая только леммы об ультрафильтре (а не полной силы аксиомы выбора), утверждает, что любое произведение компактных хаусдорфовых пространств является компактным пространством .

Если фиксировано, то набор ${\textstyle z=\left(z_{i}\right)_{i\in I}\in X}$

$${\displaystyle \left\{x=\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in X\mathbin {\big \vert } x_{i}=z_{i}{\text{ for all but finitely many }}i\right\}}$$

является плотным подмножеством пространства произведений . ^[1] ${\displaystyle X}$

Связь с другими топологическими понятиями

Разделение

• Каждое произведение пространств T 0 есть T ₀ .
• Каждое произведение пространств T 1 есть T ₁ .
• Каждое произведение хаусдорфовых пространств хаусдорфово.
• Каждое произведение регулярных пространств является регулярным.
• Каждое произведение тихоновских пространств является тихоновским.
• Произведение нормальных пространств не обязательно должно быть нормальным.

Компактность

• Всякое произведение компактных пространств компактно ( теорема Тихонова ).
• Произведение локально компактных пространств не обязано быть локально компактным. Однако произвольное произведение локально компактных пространств, где все, кроме конечного числа, компактны, является локально компактным (это условие является достаточным и необходимым).

Связанность

• Каждое произведение связных (соответственно линейно связных) пространств связно (соответственно линейно связно).
• Всякий продукт наследственно несвязных пространств наследственно несвязен.

Метрические пространства

• Счётные произведения метрических пространств являются метризуемыми пространствами .

Аксиома выбора

Один из многих способов выразить аксиому выбора — сказать, что она эквивалентна утверждению, что декартово произведение набора непустых множеств непусто. ^[2] Доказательство того, что это эквивалентно утверждению аксиомы в терминах функций выбора, является непосредственным: нужно только выбрать элемент из каждого множества, чтобы найти представителя в произведении. И наоборот, представитель продукта — это множество, которое содержит ровно один элемент из каждого компонента.

Аксиома выбора снова встречается при изучении (топологических) произведений пространств; например, теорема Тихонова о компактных множествах является более сложным и тонким примером утверждения, которое требует аксиомы выбора и эквивалентно ей в ее наиболее общей формулировке ^[3] , и показывает, почему топология произведения может считаться более полезной топологией для наложения на декартово произведение.

Смотрите также

• Непересекающееся объединение (топология)  – пространство, образованное путем оснащения непересекающегося объединения базовых множеств естественной топологией, называемой топологией непересекающегося объединения.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Окончательная топология  – наилучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными
• Начальная топология  – Грубейшая топология, делающая некоторые функции непрерывными – Иногда называется топологией проективного предела.
• Обратный предел  – Конструкция в теории категорий
• Точечная сходимость  – Понятие сходимости в математике.
• Факторпространство (топология)  – Построение топологического пространства
• Подпространство (топология)  – Унаследованная топологияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Слабая топология  – Математический термин

Примечания

1. Бурбаки 1989, стр. 43–50.
2. Первин, Уильям Дж. (1964), Основы общей топологии , Academic Press, стр. 33
3. Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология, Дувр, стр. 28, ISBN 978-0-486-65676-2

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология. Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0486434796. Получено 13 февраля 2013 г.