stringtranslate.com

Продукт (теория категорий)

В теории категорий произведение двух (или более) объектов в категории — это понятие, призванное уловить суть конструкций в других областях математики, таких как декартово произведение множеств, прямое произведение групп или колец и произведение топологических пространств . По сути , произведение семейства объектов — это « наиболее общий» объект, который допускает морфизм к каждому из данных объектов.

Определение

Произведение двух объектов

Зафиксируем категорию Пусть и будут объектами Произведение и — это объект, обычно обозначаемый как снабженный парой морфизмов, удовлетворяющих следующему универсальному свойству :

Существование продукта может зависеть от или от и Если он существует, он уникален с точностью до канонического изоморфизма , из-за универсального свойства, поэтому можно говорить о продукте . Это имеет следующее значение: если — другой продукт, то существует уникальный изоморфизм такой, что и .

Морфизмы и называются каноническими проекциями или проекционными морфизмами ; буква аллитерирует с проекцией. При этом и единственный морфизм называется произведением морфизмов и и обозначается

Продукт произвольной семьи

Вместо двух объектов мы можем начать с произвольного семейства объектов, индексированных набором

Для данного семейства объектов произведением семейства является объект, снабженный морфизмами, удовлетворяющими следующему универсальному свойству:

Произведение обозначается Если то обозначается и произведение морфизмов обозначается

Эквациональное определение

В качестве альтернативы, произведение может быть определено с помощью уравнений. Так, например, для бинарного произведения:

Как предел

Произведение является частным случаем предела . Это можно увидеть, используя дискретную категорию (семейство объектов без каких-либо морфизмов, кроме их тождественных морфизмов) в качестве диаграммы , требуемой для определения предела. Дискретные объекты будут служить индексом компонентов и проекций. Если мы рассматриваем эту диаграмму как функтор, то это функтор из множества индексов, рассматриваемого как дискретная категория. Тогда определение произведения совпадает с определением предела, будучи конусом , а проекции являются пределом (предельным конусом).

Универсальная собственность

Так же как предел является частным случаем универсальной конструкции , так и произведение. Начиная с определения, данного для универсального свойства пределов , возьмем в качестве дискретной категории с двумя объектами, так что это просто категория произведения Диагональный функтор сопоставляет каждому объекту упорядоченную пару , а каждому морфизму — пару Произведение в задается универсальным морфизмом из функтора в объект в Этот универсальный морфизм состоит из объекта и морфизма , который содержит проекции.

Примеры

В категории множеств произведение (в смысле теории категорий) является декартовым произведением. Для заданного семейства множеств произведение определяется как с каноническими проекциямиДля любого набора с семейством функций универсальная стрелка определяется как

Другие примеры:

Обсуждение

Пример, в котором произведение не существует: В категории полей произведение не существует, так как не существует поля с гомоморфизмами как в , так и в

Другой пример: пустое произведение (то есть пустое множество ) — это то же самое, что и терминальный объект , а некоторые категории, такие как категория бесконечных групп , не имеют терминального объекта: для любой бесконечной группы существует бесконечно много морфизмов , поэтому она не может быть терминальной.

Если — множество такое, что существуют все продукты для семейств, индексированных с , то можно рассматривать каждое произведение как функтор [3] То, как этот функтор отображает объекты, очевидно. Отображение морфизмов является тонким, поскольку произведение морфизмов, определенных выше, не подходит. Во-первых, рассмотрим бинарный функтор произведения, который является бифунктором . Для мы должны найти морфизм Мы выбираем Эта операция над морфизмами называется декартовым произведением морфизмов . [4] Во-вторых, рассмотрим общий функтор произведения. Для семейств мы должны найти морфизм Мы выбираем произведение морфизмов

Категорию, в которой каждое конечное множество объектов имеет произведение, иногда называют декартовой категорией [4] (хотя некоторые авторы используют эту фразу для обозначения «категории со всеми конечными пределами»).

Произведение ассоциативно . Предположим, что — декартова категория, функторы произведения выбраны так же, как и выше, и обозначает конечный объект Тогда мы имеем естественные изоморфизмы Эти свойства формально аналогичны свойствам коммутативного моноида ; декартова категория с ее конечными произведениями является примером симметричной моноидальной категории .

Распределяемость

Для любых объектов категории с конечными произведениями и копроизведениями существует канонический морфизм , где знак плюс здесь обозначает копроизведение . Чтобы увидеть это, обратите внимание, что универсальное свойство копроизведения гарантирует существование уникальных стрелок, заполняющих следующую диаграмму (индуцированные стрелки обозначены пунктиром):

Универсальное свойство продукта тогда гарантирует уникальный морфизм, индуцированный пунктирными стрелками на диаграмме выше. Дистрибутивная категория — это категория, в которой этот морфизм на самом деле является изоморфизмом. Таким образом, в дистрибутивной категории существует канонический изоморфизм

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Ламбек Дж., Скотт П. Дж. (1988). Введение в категориальную логику высшего порядка . Cambridge University Press. стр. 304.
  2. ^ Qiaochu Yuan (23 июня 2012 г.). «Банаховы пространства (и метрики Ловера, и замкнутые категории)». Раздражающая точность .
  3. ^ Лейн, С. Мак (1988). Категории для работающего математика (1-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 37. ISBN 0-387-90035-7.
  4. ^ ab Майкл Барр, Чарльз Уэллс (1999). Теория категорий – Конспект лекций для ESSLLI. стр. 62. Архивировано из оригинала 2011-04-13.

Внешние ссылки