Биномиальная теорема

Алгебраическое разложение степеней бинома

${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}$

Биномиальный коэффициент появляется как k -я запись в n -й строке треугольника Паскаля (где вершиной является 0-я строка ). Каждая запись представляет собой сумму двух над ней. ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}}$

В элементарной алгебре биномиальная теорема (или биномиальное разложение ) описывает алгебраическое разложение степеней бинома . Согласно теореме, можно разложить многочлен ( x + y ) ⁿ в сумму , включающую члены вида ax ^b y ^c , где показатели b и c являются целыми неотрицательными числами с b + c = n , а коэффициент a каждого термина представляет собой определенное положительное целое число , зависящее от n и b . Например, для n = 4 ,

$${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}$$

Коэффициент a в термине ax ^by c известен как биномиальный коэффициент или (оба имеют одинаковое значение) ^. Эти коэффициенты для изменения n и b можно расположить в виде треугольника Паскаля . Эти числа также встречаются в комбинаторике , где указывается количество различных комбинаций (т.е. подмножеств) b элементов , которые можно выбрать из n -элементного множества . Поэтому обычно произносится как « n Choose b ». ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{c}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$

История

Особые случаи биномиальной теоремы были известны, по крайней мере, с 4 века до нашей эры, когда греческий математик Евклид упомянул особый случай биномиальной теоремы для показателя степени . ^[1] Греческий математик Диофант возвел в куб различные биномы, в том числе . ^[1] Метод индийского математика Арьябхаты для поиска кубических корней, датируемый примерно 510 годом нашей эры, предполагает, что он знал биномиальную формулу для показателя степени . ^[1] ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle x-1}$ ${\displaystyle n=3}$

Биномиальные коэффициенты как комбинаторные величины, выражающие число способов выбора k объектов из n без замены, интересовали древнеиндийских математиков. Самая ранняя известная ссылка на эту комбинаторную проблему - это « Чандахшастра » индийского лирика Пингалы (ок. 200 г. до н. э.), в которой содержится метод ее решения. ^{[2] : 230} Комментатор Халаюдха из 10-го века нашей эры объясняет этот метод. ^{[2] [ нужна страница ]} К VI веку нашей эры индийские математики, вероятно, знали, как выразить это как частное , ^[3] и четкое изложение этого правила можно найти в тексте XII века « Лилавати » Бхаскары . ^[3] ${\textstyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$

Первая известная формулировка биномиальной теоремы и таблицы биномиальных коэффициентов появляется в работе Аль-Караджи , цитируемой Аль-Самауалом в его «Аль-Бахире». ^{[4] [5] [6]} Аль-Караджи описал треугольную структуру биномиальных коэффициентов ^[7] , а также предоставил математическое доказательство как биномиальной теоремы, так и треугольника Паскаля, используя раннюю форму математической индукции . ^[7] Персидский поэт и математик Омар Хайям, вероятно, был знаком с формулой высших порядков, хотя многие из его математических работ утеряны. ^[1] Биномиальные разложения малых степеней были известны в математических работах XIII века Ян Хуэя ^[8] , а также Чу Ши-Цзе . ^[1] Ян Хуэй приписывает этот метод гораздо более раннему тексту Цзя Сяня XI века , хотя эти сочинения сейчас также утеряны. ^{[2] : 142}

В 1544 году Майкл Стифель ввел термин «биномиальный коэффициент» и показал, как использовать его для выражения через «треугольник Паскаля». ^[9] Блез Паскаль всесторонне изучил одноименный треугольник в своем «Трактате о треугольной арифметике» . ^[10] Однако порядок чисел был уже известен европейским математикам позднего Возрождения, в том числе Стифелю, Никколо Фонтана Тарталья и Симону Стевину . ^[9] ${\displaystyle (1+x)^{n}}$ ${\displaystyle (1+x)^{n-1}}$

Исааку Ньютону обычно приписывают открытие обобщенной биномиальной теоремы, справедливой для любого действительного показателя степени, в 1665 году. ^{[9] [11]} Она была открыта независимо в 1670 году Джеймсом Грегори . ^[12]

Заявление

Согласно теореме, разложение любой целой неотрицательной степени n бинома x + y представляет собой сумму вида

$${\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}$$

биномиальный коэффициент ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}.}$$

Эту формулу также называют биномиальной формулой или биномиальным тождеством . Используя обозначение суммирования , это можно записать более кратко как

$${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}$$

Окончательное выражение следует из предыдущего в силу симметричности x и y в первом выражении, а из сравнения следует, что последовательность биномиальных коэффициентов в формуле симметрична, ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}.}$

Простой вариант биномиальной формулы получается путем замены y на 1 , так что она включает только одну переменную . В таком виде формула читается

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{n}&={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n}\\[4mu]&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.{\vphantom {\Bigg )}}\end{aligned}}}$$

Примеры

Вот первые несколько случаев биномиальной теоремы:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\\[8pt](x+y)^{1}&=x+y,\\[8pt](x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7},\\[8pt](x+y)^{8}&=x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}.\end{aligned}}}$$

( x + y ) ⁿn

• показатели степени x в слагаемых равны n , n − 1, ..., 2, 1, 0 (последний член неявно содержит x ⁰ = 1 );
• показатели степени y в слагаемых равны 0, 1, 2, ..., n − 1, n (первый член неявно содержит y ⁰ = 1 );
• коэффициенты образуют n- ю строку треугольника Паскаля;
• перед объединением подобных терминов в разложении имеется 2 ⁿ терминов x ⁱ y ^{j (не показано);}
• после объединения подобных членов получается n + 1 член, а сумма их коэффициентов равна 2 ⁿ .

Пример, иллюстрирующий два последних пункта:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{ terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{ terms}})\end{aligned}}}$$

${\displaystyle 1+3+3+1=2^{3}}$

Простой пример с конкретным положительным значением y :

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}}$$

Простой пример с конкретным отрицательным значением y :

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x-2)^{3}&=x^{3}-3x^{2}(2)+3x(2)^{2}-2^{3}\\&=x^{3}-6x^{2}+12x-8.\end{aligned}}}$$

Геометрическое объяснение

Визуализация биномиального разложения до 4-й степени

Для положительных значений a и b биномиальная теорема с n = 2 представляет собой геометрически очевидный факт, что квадрат со стороной a + b можно разрезать на квадрат со стороной a , квадрат со стороной b и два прямоугольника со сторонами a. и б . При n = 3 теорема утверждает, что куб со стороной a + b можно разрезать на куб со стороной a , куб со стороной b , три прямоугольных ящика a × a × b и три прямоугольных ящика a × b × b . .

В исчислении эта картина также дает геометрическое доказательство производной [ ^13]: если положить и интерпретировать b как бесконечно малое изменение a , то эта картина показывает бесконечно малое изменение объема n -мерного гиперкуба , где коэффициент линейный член (in ) представляет собой площадь n граней, каждая из которых имеет размерность n - 1 : ${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}:}$ ${\displaystyle a=x}$ ${\displaystyle b=\Delta x,}$ ${\displaystyle (x+\Delta x)^{n},}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle nx^{n-1},}$

$${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}$$

определение производнойразностный коэффициент ${\displaystyle (\Delta x)^{2}}$ ${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1},}$

«Биконечно малая скорость изменения объема n -куба при изменении длины стороны равна площади n его ( n - 1) -мерных граней».

Если интегрировать эту картину, что соответствует применению фундаментальной теоремы исчисления , можно получить квадратурную формулу Кавальери , интеграл – подробности см . в доказательстве квадратурной формулы Кавальери . ^[13] ${\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}}$

Биномиальные коэффициенты

Коэффициенты, которые появляются в биномиальном разложении, называются биномиальными коэффициентами . Обычно они пишутся и произносятся как « n Choose k ». ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$

Формулы

Коэффициент при x ^{n − k} y ^k определяется по формуле

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},}$$

факториал-n !

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}}$$

kдробицелым числом ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

Комбинаторная интерпретация

Биномиальный коэффициент можно интерпретировать как количество способов выбрать k элементов из n -элементного множества. Это связано с биномами по следующей причине: если мы запишем ( x + y ) ⁿ как произведение ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

$${\displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),}$$

закону распределенияxyx ⁿxx ^{n −2} y ²yобъединения подобных членовx ^{n −2} y ²2n

Доказательства

Комбинаторное доказательство

Пример

Коэффициент при ху ² в

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\\&=xxx+xxy+xyx+{\underline {xyy}}+yxx+{\underline {yxy}}+{\underline {yyx}}+yyy\\&=x^{3}+3x^{2}y+{\underline {3xy^{2}}}+y^{3}\end{aligned}}}$$

x , yy ${\displaystyle {\tbinom {3}{2}}=3}$

$${\displaystyle xyy,\;yxy,\;yyx,}$$

{1, 2, 3}

$${\displaystyle \{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},}$$

в

Общий случай

Разложение ( x + y ) ⁿ дает сумму 2 ⁿ произведений вида e ₁ e ₂ ... en _, где каждый e _i равен x или  y . Перестановка коэффициентов показывает, что каждое произведение равно x ^{n − k} y ^k для некоторого k от 0 до  n . Для данного k последовательно доказывается равенство следующих условий:

• количество членов, равное x ^{n − k} y ^k в разложении
• количество n -символьных строк x , y , содержащих y ровно в k позициях
• количество k -элементных подмножеств {1, 2, ..., n }
• ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$либо по определению, либо с помощью короткого комбинаторного аргумента, если кто-то определяет как ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

Это доказывает биномиальную теорему.

Индуктивное доказательство

Индукция дает еще одно доказательство биномиальной теоремы. Когда n = 0 , обе части равны 1 , поскольку x ⁰ = 1 и Теперь предположим, что равенство выполняется для данного n ; мы докажем это для n + 1 . Для j , k ≥ 0 , пусть [ f ( x , y )] _{j , k} обозначает коэффициент при x ^j y ^k в многочлене f ( x , y ) . По индуктивному предположению ( x + y ) ⁿ — полином от x и y такой, что [( x + y ) ⁿ ] _{j , k} равно, если j + k = n , и 0 в противном случае. Личность ${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1.}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

$${\displaystyle (x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}}$$

( x + y ) ^{n +1}xy

$${\displaystyle [(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},}$$

j + k = n + 1( j − 1) + k = nj + ( k − 1) = n

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}},}$$

личности Паскаля^[14]j + k ≠ n + 1( j – 1) + k ≠ nj + ( k – 1) ≠ n0 + 0 = 0

$${\displaystyle (x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},}$$

nn + 1

Обобщения

Обобщенная биномиальная теорема Ньютона

Около 1665 года Исаак Ньютон обобщил биномиальную теорему, разрешив действительные показатели степени, отличные от неотрицательных целых чисел. (То же обобщение применимо и к комплексным показателям.) В этом обобщении конечная сумма заменяется бесконечным рядом . Для этого необходимо придать смысл биномиальным коэффициентам с произвольным верхним индексом, чего нельзя сделать с помощью обычной формулы с факториалами. Однако для произвольного числа r можно определить

$${\displaystyle {r \choose k}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},}$$

символ Поххаммерападающий факториалrxy| х | > | й |^{[Примечание 1]}r ${\displaystyle (\cdot )_{k}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}}$$

Когда r является неотрицательным целым числом, биномиальные коэффициенты при k > r равны нулю, поэтому это уравнение сводится к обычной биномиальной теореме, и существует не более r + 1 ненулевых членов. Для других значений r ряд обычно имеет бесконечное количество ненулевых членов.

Например, r = 1/2 дает следующий ряд для квадратного корня:

$${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots .}$$

При r = −1 обобщенный биномиальный ряд дает формулу геометрического ряда , справедливую для | х | < 1 :

$${\displaystyle (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots .}$$

В более общем смысле, при r = − s мы имеем для | х | < 1 : ^[15]

$${\displaystyle {\frac {1}{(1+x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{-s \choose k}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}(-1)^{k}x^{k}.}$$

Так, например, когда s = 1/2 ,

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

Замена x на -x дает:

$${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}(-1)^{k}(-x)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}x^{k}.}$$

Так, например, когда s = 1/2 , мы имеем | х | < 1 :

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}+{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}+{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

Дальнейшие обобщения

Обобщенную биномиальную теорему можно распространить на случай, когда x и y — комплексные числа. Для этой версии следует снова предположить | х | > | й | ^{[Примечание 1]} и определим степени x + y и x , используя голоморфную ветвь журнала , определенную на открытом диске радиуса | х | с центром в x . Обобщенная биномиальная теорема справедлива также для элементов x и y банаховой алгебры , пока xy = yx , x обратима и ‖ y / x ‖ < 1 .

Версия биномиальной теоремы справедлива для следующего символьно -подобного семейства многочленов Похгаммера : для данной вещественной константы c определите и ${\displaystyle x^{(0)}=1}$

$${\displaystyle x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]}$$

^[16] ${\displaystyle n>0.}$

$${\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.}$$

c = 0

В более общем смысле говорят , что последовательность полиномов имеет биномиальный тип, если ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$

• ${\displaystyle \deg p_{n}=n}$для всех , ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle p_{0}(0)=1}$, и
• ${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}$для всех , , и . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle n}$

Оператор в пространстве многочленов называется базисным оператором последовательности, если и для всех . Последовательность является биномиальной тогда и только тогда, когда ее базисный оператор является дельта-оператором . ^[17] Для оператора сдвига дельта-операторы, соответствующие вышеупомянутым семействам полиномов «Поххаммера», представляют собой обратную разность для , обычную производную для и прямую разность для . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle Qp_{0}=0}$ ${\displaystyle Qp_{n}=np_{n-1}}$ ${\displaystyle n\geqslant 1}$ ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle E^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I-E^{-c}}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle E^{-c}-I}$ ${\displaystyle c<0}$

Полиномиальная теорема

Биномиальную теорему можно обобщить, включив в нее степени сумм, содержащих более двух членов. Общая версия такая

$${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},}$$

где суммирование производится по всем последовательностям неотрицательных целых индексов от k ₁ до km _, таких что сумма всех k _i равна  n . (Для каждого члена разложения показатели степени должны составлять в сумме  n ). Коэффициенты известны как полиномиальные коэффициенты и могут быть вычислены по формуле ${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$

$${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}$$

Комбинаторно, мультиномиальный коэффициент подсчитывает количество различных способов разбить набор из n элементов на непересекающиеся подмножества размеров k ₁ , ... _, km . ${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$

Мультибиномиальная теорема

При работе с большим количеством измерений часто бывает полезно иметь дело с произведениями биномиальных выражений. По биномиальной теореме это равно

$${\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}$$

Это можно записать более кратко, с помощью мультииндексной записи , как

$${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$

Правило генерала Лейбница

Общее правило Лейбница дает n -ю производную произведения двух функций в форме, аналогичной форме биномиальной теоремы: ^[18]

$${\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}$$

Здесь верхний индекс ( n ) указывает на n- ю производную функции, . Если установить f ( x ) = e ^ax и g ( x ) = e ^bx , исключение общего множителя e ^{( a + b ) x} из каждого члена дает обычную биномиальную теорему. ^[19] ${\displaystyle f^{(n)}(x)={\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}$

Приложения

Многоугольные тождества

Для комплексных чисел биномиальная теорема может быть объединена с формулой де Муавра, чтобы получить формулы кратных углов для синуса и косинуса . По формуле Муавра:

$${\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.}$$

Используя биномиальную теорему, выражение справа можно расширить, а затем взять действительную и мнимую части, чтобы получить формулы для cos( nx ) и sin( nx ) . Например, поскольку

$${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x),}$$

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}=\cos(2x)+i\sin(2x)}$

$${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}$$

$${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}$$

$${\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}$$

$${\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}$$

$${\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}$$

полиномов Чебышева

Серия для е

Число e часто определяют по формуле

$${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$$

Применение биномиальной теоремы к этому выражению дает обычный бесконечный ряд для e . В частности:

$${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.}$$

k - й член этой суммы равен

$${\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}$$

При n → ∞ рациональное выражение справа приближается к 1 , и, следовательно,

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}$$

Это указывает на то, что e можно записать в виде ряда:

$${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}$$

Действительно, поскольку каждый член биномиального разложения является возрастающей функцией от n , из теоремы о монотонной сходимости рядов следует , что сумма этого бесконечного ряда равна  e .

Вероятность

Биномиальная теорема тесно связана с функцией вероятности отрицательного биномиального распределения . Вероятность того, что (счетная) совокупность независимых испытаний Бернулли с вероятностью того, что все не произойдет, равна ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in S}}$ ${\displaystyle p\in [0,1]}$

${\displaystyle P\left(\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}\right)=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{|S| \choose n}(-p)^{n}.}$

Верхняя граница этой величины равна ^[20] ${\displaystyle e^{-p|S|}.}$

В абстрактной алгебре

Биномиальная теорема справедлива в более общем смысле для двух элементов x и y в кольце или даже полукольце при условии, что xy = yx . Например, это справедливо для двух матриц размера n × n при условии, что эти матрицы коммутируют; это полезно для вычисления мощности матрицы. ^[21]

Биномиальную теорему можно сформулировать, сказав, что полиномиальная последовательность {1, x , x ² , x ³ , ...} имеет биномиальный тип .

В популярной культуре

• Биномиальная теорема упоминается в « Песне генерал-майора» комической оперы «Пираты Пензанса» .
• Шерлок Холмс описывает профессора Мориарти как написавшего трактат по биномиальной теореме .
• Португальский поэт Фернандо Пессоа , используя гетероним Альваро де Кампос , написал, что «Бином Ньютона так же прекрасен, как Венера Милосская . Правда в том, что мало кто это замечает». ^[22]
• В фильме 2014 года «Игра в имитацию» Алан Тьюринг ссылается на работу Исаака Ньютона над биномиальной теоремой во время его первой встречи с коммандером Деннистоном в Блетчли-парке.

Смотрите также

• Математический портал

• Биномиальное приближение
• Биномиальное распределение
• Биномиальная обратная теорема
• Приближение Стирлинга
• Теорема Таннери
• Полиномы, вычисляющие суммы степеней арифметических прогрессий
• q-биномиальная теорема

Примечания

1. Это должно гарантировать конвергенцию. В зависимости от r ряд также может иногда сходиться, когда | х | = | й | .

Рекомендации

1. Кулидж, JL (1949). «История биномиальной теоремы». Американский математический ежемесячник . 56 (3): 147–157. дои : 10.2307/2305028. JSTOR  2305028.
2. Жан-Клод Марцлофф; СС Вильсон; Дж. Гернет; Дж. Домбрес (1987). История китайской математики . Спрингер.
3. Биггс, Нидерланды (1979). «Корни комбинаторики». История математики . 6 (2): 109–136. дои : 10.1016/0315-0860(79)90074-0 .
4. Ядегари, Мохаммад (1980). «Биномиальная теорема: широко распространенная концепция в средневековой исламской математике». История математики . 7 (4): 401–406. дои : 10.1016/0315-0860(80)90004-X .
5. Стиллвелл, Джон (2015). «Укрощение неизвестного. История алгебры ... Виктора Дж. Каца и Карен Хангер Паршалл». Бюллетень Американского математического общества (рецензия на книгу). 52 (4): 725–731. дои : 10.1090/S0273-0979-2015-01491-6 . п. 727: Однако алгебра продвинулась и в других отношениях. Около 1000 года аль-Караджи сформулировал биномиальную теорему.
6. Рашед, Рошди (1994). Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй. Клювер. п. 63. ИСБН 0-7923-2565-6.
7. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Бекр ибн Мухаммад ибн аль-Хусейн Аль-Караджи», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
8. Ландау, Джеймс А. (8 мая 1999 г.). «Архив списка рассылки Historia Matematica: Re: Треугольник [HM] Паскаля» . Архив Historia Matematica . Архивировано из оригинала (электронная почта списка рассылки) 24 февраля 2021 г. Проверено 13 апреля 2007 г.
9. Клайн, Моррис (1972). История математической мысли . Издательство Оксфордского университета. п. 273.
10. Кац, Виктор (2009). «14.3: Элементарная вероятность». История математики: Введение . Аддисон-Уэсли. п. 491. ИСБН 978-0-321-38700-4.
11. Бурбаки, Н. (18 ноября 1998 г.). Элементы истории математики в мягкой обложке . Дж. Мелдрам (переводчик). ISBN 978-3-540-64767-6.
12. Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история (третье изд.). Спрингер. п. 186. ИСБН 978-1-4419-6052-8.
13. Барт, Нильс Р. (2004). «Вычисление квадратурной формулы Кавальери по симметрии n -куба». Американский математический ежемесячник . 111 (9): 811–813. дои : 10.2307/4145193. ISSN  0002-9890. JSTOR  4145193.
14. Биномиальная теорема - индуктивные доказательства. Архивировано 24 февраля 2015 г., в Wayback Machine.
15. Вайсштейн, Эрик В. «Отрицательный биномиальный ряд». Вольфрам Математический мир .
16. Соколовский, Дэн; Ренни, Бэзил К. (февраль 1979 г.). «Задача 352». Crux Mathematicorum . 5 (2): 55–56.
17. Айгнер, Мартин (1997) [Перепечатка издания 1979 года]. Комбинаторная теория . Спрингер. п. 105. ИСБН 3-540-61787-6.
18. Олвер, Питер Дж. (2000). Применение групп Ли к дифференциальным уравнениям. Спрингер. стр. 318–319. ISBN 9780387950006.
19. Спиви, Майкл З. (2019). Искусство доказательства биномиальных тождеств . ЦРК Пресс. п. 71. ИСБН 978-1351215800.
20. Обложка, Томас М.; Томас, Джой А. (1 января 2001 г.). Сжатие данных . John Wiley & Sons, Inc. с. 320. дои : 10.1002/0471200611.ch5. ISBN 9780471200611.
21. Артин, Алгебра , 2-е издание, Пирсон, 2018, уравнение (4.7.11).
22. "Arquivo Pessoa: Obra Édita - O binómio de Newton é tão belo como Венера Милосская" . arquivopessoa.net.

дальнейшее чтение

• Сумка, Амуля Кумар (1966). «Биномиальная теорема в древней Индии». Индийская историческая наука . 1 (1): 68–74.
• Грэм, Рональд; Кнут, Дональд; Паташник, Орен (1994). «(5) Биномиальные коэффициенты». Конкретная математика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. стр. 153–256. ISBN 978-0-201-55802-9. ОСЛК  17649857.

Внешние ссылки

• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Бином Ньютона», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Биномиальная теорема Стивена Вольфрама и «Биномиальная теорема (шаг за шагом)» Брюса Коллетти и Джеффа Брайанта, Демонстрационный проект Вольфрама , 2007.
• Эта статья включает в себя материал из индуктивного доказательства биномиальной теоремы на платформе PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .