Дисперсия (оптика)

Зависимость фазовой скорости от частоты

В дисперсионной призме дисперсия материала ( показатель преломления, зависящий от длины волны ) заставляет разные цвета преломляться под разными углами, расщепляя белый свет на спектр .

Компактная люминесцентная лампа, видимая через призму Амичи

В оптике и в распространении волн в целом дисперсия — это явление, при котором фазовая скорость волны зависит от ее частоты; ^[1] иногда термин хроматическая дисперсия используется для специфичности к оптике в частности. Среда, обладающая этим общим свойством, может быть названа дисперсионной средой (множественное число дисперсионные среды ).

Хотя этот термин используется в области оптики для описания света и других электромагнитных волн , дисперсия в том же смысле может применяться к любому виду волнового движения, например, акустическая дисперсия в случае звуковых и сейсмических волн, а также гравитационных волн (океанских волн). В оптике дисперсия является свойством телекоммуникационных сигналов вдоль линий передачи (например, микроволн в коаксиальном кабеле ) или импульсов света в оптоволокне .

В оптике одним из важных и известных последствий дисперсии является изменение угла преломления различных цветов света ^[2], как видно из спектра, создаваемого дисперсионной призмой , и хроматической аберрации линз. Конструкция составных ахроматических линз , в которых хроматическая аберрация в значительной степени устранена, использует количественную оценку дисперсии стекла, заданную его числом Аббе V , где более низкие числа Аббе соответствуют большей дисперсии в видимом спектре . В некоторых приложениях, таких как телекоммуникации, абсолютная фаза волны часто не важна, а только распространение волновых пакетов или «импульсов»; в этом случае интересны только изменения групповой скорости с частотой, так называемая дисперсия групповой скорости.

Все распространенные среды передачи также различаются по затуханию (нормализованному по отношению к длине передачи) в зависимости от частоты, что приводит к искажению затухания ; это не дисперсия, хотя иногда отражения на близко расположенных границах импеданса (например, гофрированные сегменты в кабеле) могут вызывать искажение сигнала, которое еще больше усугубляет непостоянное время прохождения, наблюдаемое по всей полосе пропускания сигнала.

Примеры

Наиболее известным примером дисперсии, вероятно, является радуга , в которой дисперсия вызывает пространственное разделение белого света на компоненты с разными длинами волн (разные цвета ). Однако дисперсия также оказывает влияние во многих других обстоятельствах: например, дисперсия групповой скорости заставляет импульсы распространяться в оптических волокнах , ухудшая сигналы на больших расстояниях; также, компенсация между дисперсией групповой скорости и нелинейными эффектами приводит к появлению солитонных волн.

Материальная и волноводная дисперсия

Чаще всего хроматическая дисперсия относится к дисперсии объемного материала, то есть к изменению показателя преломления с оптической частотой. Однако в волноводе также существует явление волноводной дисперсии , в этом случае фазовая скорость волны в структуре зависит от ее частоты просто из-за геометрии структуры. В более общем смысле, «волноводная» дисперсия может возникать для волн, распространяющихся через любую неоднородную структуру (например, фотонный кристалл ), независимо от того, ограничены ли волны какой-либо областью. ^{[ сомнительно – обсудить ]} В волноводе, как правило, будут присутствовать оба типа дисперсии, хотя они не являются строго аддитивными. ^{[ необходима цитата ]} Например, в волоконной оптике дисперсия материала и волновода может эффективно компенсировать друг друга, создавая длину волны с нулевой дисперсией , что важно для быстрой волоконно-оптической связи .

Дисперсия материалов в оптике

Изменение показателя преломления в зависимости от длины волны вакуума для различных стекол. Длины волн видимого света закрашены серым цветом.

Влияние выбранных добавок компонентов стекла на среднюю дисперсию определенного базового стекла ( n _F действительно для λ  = 486 нм (синий), n _C действительно для λ  = 656 нм (красный)) ^[3]

Дисперсия материала может быть желательным или нежелательным эффектом в оптических приложениях. Дисперсия света стеклянными призмами используется для создания спектрометров и спектрорадиометров . Однако в линзах дисперсия вызывает хроматическую аберрацию — нежелательный эффект, который может ухудшить изображения в микроскопах, телескопах и фотографических объективах.

Фазовая скорость v волны в данной однородной среде определяется выражением

${\displaystyle v={\frac {c}{n}},}$

где c — скорость света в вакууме, а n — показатель преломления среды.

В общем случае показатель преломления является некоторой функцией частоты f света, таким образом, n  =  n ( f ), или, альтернативно, относительно длины волны n  =  n ( λ ). Зависимость показателя преломления материала от длины волны обычно количественно определяется его числом Аббе или его коэффициентами в эмпирической формуле, такой как уравнения Коши или Селлмейера .

Из-за соотношений Крамерса–Кронига зависимость длины волны действительной части показателя преломления связана с поглощением материала , описываемым мнимой частью показателя преломления (также называемой коэффициентом экстинкции ). В частности, для немагнитных материалов ( μ  =  μ 0 ) восприимчивость χ , которая появляется в соотношениях Крамерса–Кронига, является электрической восприимчивостью χ _e  =  n ²  − 1.

Наиболее часто наблюдаемым следствием дисперсии в оптике является разделение белого света на цветовой спектр призмой . Из закона Снеллиуса видно, что угол преломления света в призме зависит от показателя преломления материала призмы. Поскольку этот показатель преломления изменяется в зависимости от длины волны, отсюда следует, что угол, под которым преломляется свет, также будет изменяться в зависимости от длины волны, вызывая угловое разделение цветов, известное как угловая дисперсия .

Для видимого света показатели преломления n большинства прозрачных материалов (например, воздуха, стекла) уменьшаются с увеличением длины волны λ :

${\displaystyle 1<n(\lambda _{\text{red}})<n(\lambda _{\text{yellow}})<n(\lambda _{\text{blue}}),}$

или вообще,

${\displaystyle {\frac {dn}{d\lambda }}<0.}$

В этом случае говорят, что среда имеет нормальную дисперсию . Тогда как если показатель увеличивается с ростом длины волны (что обычно имеет место в ультрафиолете ^[4] ), говорят, что среда имеет аномальную дисперсию .

На границе такого материала с воздухом или вакуумом (индекс ~1) закон Снеллиуса предсказывает, что свет, падающий под углом θ к нормали, будет преломляться под углом arcsin( ⁠грех θ/н⁠ ). Таким образом, синий свет с более высоким показателем преломления будет преломляться сильнее, чем красный свет, что приведет к хорошо известному радужному узору.

Дисперсия групповой скорости

Временная эволюция короткого импульса в гипотетической дисперсионной среде ( k  =  ω ² ), показывающая, что компоненты с большей длиной волны распространяются быстрее, чем компоненты с меньшей длиной волны (положительная ДГС), что приводит к чирпу и расширению импульса.

Помимо простого описания изменения фазовой скорости в зависимости от длины волны, более серьезное последствие дисперсии во многих приложениях называется дисперсией групповой скорости (GVD). Хотя фазовая скорость v определяется как v = c / n , это описывает только один компонент частоты. Когда различные компоненты частоты объединяются, как при рассмотрении сигнала или импульса, часто больше интересует групповая скорость , которая описывает скорость, с которой распространяется импульс или информация, наложенная на волну (модуляция). На прилагаемой анимации можно увидеть, что сама волна (оранжево-коричневая) движется с фазовой скоростью, намного превышающей скорость огибающей ( черной), которая соответствует групповой скорости. Этот импульс может быть, например, сигналом связи, и его информация распространяется только со скоростью групповой скорости, хотя он состоит из волновых фронтов, продвигающихся с большей скоростью (фазовой скоростью).

Групповую скорость можно рассчитать из кривой показателя преломления n ( ω ) или более непосредственно из волнового числа k = ωn / c , где ω — радианная частота ω  = 2 πf . В то время как одно из выражений для фазовой скорости — v _p  =  ω / k , групповую скорость можно выразить с помощью производной : v _g  =  dω / dk . Или в терминах фазовой скорости v _p ,

${\displaystyle v_{\text{g}}={\frac {v_{\text{p}}}{1-{\dfrac {\omega }{v_{\text{p}}}}{\dfrac {dv_{\text{p}}}{d\omega }}}}.}$

При наличии дисперсии не только групповая скорость не равна фазовой скорости, но и, как правило, сама меняется с длиной волны. Это известно как дисперсия групповой скорости и приводит к расширению короткого импульса света, поскольку компоненты разной частоты в импульсе движутся с разной скоростью. Дисперсия групповой скорости количественно определяется как производная обратной величины групповой скорости по угловой частоте , что приводит к дисперсии групповой скорости  =  d ² k / dω ² .

Если световой импульс распространяется через материал с положительной дисперсией групповой скорости, то компоненты с более короткой длиной волны распространяются медленнее, чем компоненты с более длинной длиной волны. Поэтому импульс становится положительно чирпированным или чирпированным вверх , увеличивая свою частоту со временем. С другой стороны, если импульс распространяется через материал с отрицательной дисперсией групповой скорости, компоненты с более короткой длиной волны распространяются быстрее, чем более длинные, и импульс становится отрицательно чирпированным или чирпированным вниз , уменьшая свою частоту со временем.

Повседневным примером отрицательно чирпированного сигнала в акустической области является приближающийся поезд, ударяющийся о деформации на сварном пути. Звук, создаваемый самим поездом, является импульсным и распространяется гораздо быстрее в металлических путях, чем в воздухе, так что поезд можно услышать задолго до его прибытия. Однако издалека он не слышен как вызывающий импульсы, а приводит к характерному нисходящему чирпу среди реверберации, вызванной сложностью колебательных режимов пути. Дисперсия групповой скорости может быть услышана в том, что громкость звуков остается слышимой в течение удивительно долгого времени, до нескольких секунд.

Контроль дисперсии

Результатом GVD, будь то отрицательный или положительный, в конечном итоге является временное расширение импульса. Это делает управление дисперсией чрезвычайно важным в оптических системах связи на основе оптического волокна, поскольку, если дисперсия слишком высока, группа импульсов, представляющих поток битов, будет расширяться во времени и сливаться, делая поток битов неразборчивым. Это ограничивает длину волокна, по которому сигнал может быть отправлен без регенерации. Одним из возможных ответов на эту проблему является отправка сигналов по оптическому волокну на длине волны, где GVD равна нулю (например, около 1,3–1,5 мкм в кварцевых волокнах ), поэтому импульсы на этой длине волны испытывают минимальное расширение из-за дисперсии. Однако на практике этот подход вызывает больше проблем, чем решает, поскольку нулевая GVD неприемлемо усиливает другие нелинейные эффекты (такие как четырехволновое смешение ). Другим возможным вариантом является использование солитонных импульсов в режиме отрицательной дисперсии, формы оптического импульса, которая использует нелинейный оптический эффект для самоподдержания своей формы. Однако солитоны имеют практическую проблему, заключающуюся в том, что им требуется поддерживать определенный уровень мощности в импульсе для того, чтобы нелинейный эффект имел правильную силу. Вместо этого, решение, которое в настоящее время используется на практике, заключается в выполнении компенсации дисперсии, как правило, путем согласования волокна с другим волокном с противоположным знаком дисперсии, так что эффекты дисперсии отменяются; такая компенсация в конечном итоге ограничена нелинейными эффектами, такими как фазовая автомодуляция , которые взаимодействуют с дисперсией, что делает ее очень сложной для отмены.

Управление дисперсией также важно в лазерах , которые производят короткие импульсы . Общая дисперсия оптического резонатора является основным фактором, определяющим длительность импульсов, излучаемых лазером. Пара призм может быть расположена так, чтобы производить чистую отрицательную дисперсию, которая может использоваться для балансировки обычно положительной дисперсии лазерной среды. Дифракционные решетки также могут использоваться для создания дисперсионных эффектов; они часто используются в системах усилителей лазеров высокой мощности. Недавно была разработана альтернатива призмам и решеткам: чирпированные зеркала . Эти диэлектрические зеркала покрыты таким образом, что разные длины волн имеют разные длины проникновения и, следовательно, разные групповые задержки. Слои покрытия могут быть адаптированы для достижения чистой отрицательной дисперсии.

В волноводах

Волноводы обладают высокой дисперсией из-за своей геометрии (а не только из-за своего материального состава). Оптические волокна являются своего рода волноводом для оптических частот (света), широко используемым в современных телекоммуникационных системах. Скорость, с которой данные могут передаваться по одному волокну, ограничена уширением импульса из-за хроматической дисперсии и других явлений.

В общем случае для волноводной моды с угловой частотой ω ( β ) при постоянной распространения β (так что электромагнитные поля в направлении распространения z колеблются пропорционально ei ^{( βz − ωt )} ) параметр дисперсии групповой скорости D определяется как ^{[5 ]}

${\displaystyle D=-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}{\frac {d^{2}\beta }{d\omega ^{2}}}={\frac {2\pi c}{v_{g}^{2}\lambda ^{2}}}{\frac {dv_{g}}{d\omega }},}$

где λ  = 2 π c / ω — длина волны в вакууме, а v _g  =  dω / dβ — групповая скорость. Эта формула обобщает формулу из предыдущего раздела для однородных сред и включает как дисперсию волновода, так и дисперсию материала. Причина определения дисперсии таким образом заключается в том, что | D | — это (асимптотическое) временное распространение импульса Δ t на единицу ширины полосы Δ λ на единицу пройденного расстояния, обычно выражаемое в пс / ( нм ⋅ км ) для оптических волокон.

В случае многомодовых оптических волокон так называемая модовая дисперсия также приведет к уширению импульса. Даже в одномодовых волокнах уширение импульса может возникнуть в результате дисперсии мод поляризации (поскольку все еще есть две моды поляризации). Это не примеры хроматической дисперсии, поскольку они не зависят от длины волны или ширины полосы распространяемых импульсов.

Дисперсия более высокого порядка в широких полосах пропускания

Когда в одном волновом пакете присутствует широкий диапазон частот (широкая полоса пропускания), например, в сверхкоротком импульсе или чирпированном импульсе или других формах передачи с расширенным спектром , приближение дисперсии константой по всей полосе пропускания может оказаться неточным, и для вычисления таких эффектов, как расширение импульса, требуются более сложные вычисления.

В частности, параметр дисперсии D, определенный выше, получается только из одной производной групповой скорости. Высшие производные известны как дисперсия высшего порядка . ^{[6] [7]} Эти члены являются просто разложением в ряд Тейлора дисперсионного соотношения β ( ω ) среды или волновода вокруг некоторой конкретной частоты. Их эффекты могут быть вычислены с помощью численной оценки преобразований Фурье формы волны, с помощью интегрирования медленно меняющихся приближений огибающей высшего порядка , методом расщепления шага (который может использовать точное дисперсионное соотношение вместо ряда Тейлора) или путем прямого моделирования полных уравнений Максвелла, а не приближенного уравнения огибающей.

Обобщенная формулировка высших порядков дисперсии – оптика Ла-Лагерра

Описание хроматической дисперсии пертурбативным способом через коэффициенты Тейлора выгодно для задач оптимизации, где дисперсия из нескольких различных систем должна быть сбалансирована. Например, в лазерных усилителях с чирп-импульсами импульсы сначала растягиваются во времени с помощью стретчера, чтобы избежать оптического повреждения. Затем в процессе усиления импульсы неизбежно накапливают линейную и нелинейную фазу, проходя через материалы. И, наконец, импульсы сжимаются в различных типах компрессоров. Чтобы отменить любые остаточные высшие порядки в накопленной фазе, обычно измеряются и балансируются отдельные порядки. Однако для однородных систем такое пертурбативное описание часто не требуется (т. е. распространение в волноводах). Порядки дисперсии были обобщены в вычислительно удобной манере в виде преобразований типа Ла-Лагерра. ^[8] Преобразования применимы в обоих направлениях, посредством прямых и обратных операций. Таким образом, формализм также позволяет решать обратные задачи, где ключевые параметры настраиваются для оптимизации желаемых дисперсионных характеристик оптических систем. ^[8]

Порядки дисперсии определяются разложением Тейлора фазы или волнового вектора. $${\displaystyle \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} =\varphi \left.\ \right|_{\omega _{0}}+\left.\ {\frac {\partial \varphi }{\partial \omega }}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)+{\frac {1}{2}}\left.\ {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \omega ^{2}}}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)^{2}\ +\ldots +{\frac {1}{p!}}\left.\ {\frac {\partial ^{p}\varphi }{\partial \omega ^{p}}}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)^{p}+\cdots }$$

$${\displaystyle k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} =k\left.\ \right|_{\omega _{0}}+\left.\ {\frac {\partial k}{\partial \omega }}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)+{\frac {1}{2}}\left.\ {\frac {\partial ^{2}k}{\partial \omega ^{2}}}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)^{2}\ +\ldots +{\frac {1}{p!}}\left.\ {\frac {\partial ^{p}k}{\partial \omega ^{p}}}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)^{p}+\cdots }$$

Дисперсионные соотношения для волнового вектора и фазы можно выразить как: ${\displaystyle k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\omega }{c}}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }$ ${\displaystyle \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\omega }{c}}{\it {OP}}\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {1}{c}}\left(p{\frac {{\partial }^{p-1}}{\partial {\omega }^{p-1}}}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} +\omega {\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} \right)\ \end{array}}}$, ${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {1}{c}}\left(p{\frac {{\partial }^{p-1}}{\partial {\omega }^{p-1}}}{\it {OP}}\mathrm {(} \omega \mathrm {)} +\omega {\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}{\it {OP}}\mathrm {(} \omega \mathrm {)} \right)\end{array}}(1)}$

Производные любой дифференцируемой функции в пространстве длин волн или частот определяются с помощью преобразования Лаха следующим образом: ${\displaystyle f\mathrm {(} \omega \mathrm {|} \lambda \mathrm {)} }$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial {p}}{\partial {\omega }^{p}}}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\lambda }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\lambda }^{m}}}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }\end{array}}}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\lambda }^{p}}}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\omega }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\omega }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\omega }^{m}}}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }\end{array}}(2)}$

Элементами матрицы преобразования являются коэффициенты Лаха: ${\displaystyle {\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} ={\frac {p\mathrm {!} }{\left(p\mathrm {-} m\right)\mathrm {!} m\mathrm {!} }}{\frac {\mathrm {(} p\mathrm {-} \mathrm {1)!} }{\mathrm {(} m\mathrm {-} \mathrm {1)!} }}}$

Написанное для GDD, приведенное выше выражение утверждает, что константа с длиной волны GGD будет иметь нулевые высшие порядки. Высшие порядки, вычисленные из GDD, следующие:

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}GDD\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\lambda }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\lambda }^{m}}}GDD\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }\end{array}}}$

Подстановка уравнения (2), выраженного для показателя преломления или оптического пути , в уравнение (1) приводит к замкнутым выражениям для порядков дисперсии. В общем случае дисперсия порядка POD представляет собой преобразование типа Лагерра отрицательного порядка два: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle OP}$ ${\displaystyle p^{th}}$

${\displaystyle POD={\frac {d^{p}\varphi (\omega )}{d\omega ^{p}}}=(-1)^{p}({\frac {\lambda }{2\pi c}})^{(p-1)}\sum _{m=0}^{p}{\mathcal {B(p,m)}}(\lambda )^{m}{\frac {d^{m}OP(\lambda )}{d\lambda ^{m}}}}$ ${\displaystyle ,}$

Первые десять порядков дисперсии плавленого кварца (p = 2 - GDD, p = 3 - TOD, p = 4 - FOD, p = 5 - FiOD, p = 6 - SiOD, p = 7 - SeOD, p = 8 - EOD, p = 9 - NOD, p = 10 - TeOD)

${\displaystyle POD={\frac {d^{p}k(\omega )}{d\omega ^{p}}}=(-1)^{p}({\frac {\lambda }{2\pi c}})^{(p-1)}\sum _{m=0}^{p}{\mathcal {B(p,m)}}(\lambda )^{m}{\frac {d^{m}n(\lambda )}{d\lambda ^{m}}}}$

Элементами матрицы преобразований являются беззнаковые коэффициенты Лагерра порядка минус 2, и они задаются как: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} ={\frac {p\mathrm {!} }{\left(p\mathrm {-} m\right)\mathrm {!} m\mathrm {!} }}{\frac {\mathrm {(} p\mathrm {-} \mathrm {2)!} }{\mathrm {(} m\mathrm {-} \mathrm {2)!} }}}$

Первые десять порядков дисперсии, явно записанные для волнового вектора, следующие: ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {GD}}}={\frac {\partial }{\partial \omega }}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} +\omega {\frac {\partial n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega }}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} -\lambda {\frac {\partial n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}\right)=v_{gr}^{\mathrm {-} \mathrm {1} }\end{array}}}$

Групповой показатель преломления определяется как: . ${\displaystyle n_{g}}$ ${\displaystyle n_{g}=cv_{gr}^{\mathrm {-} \mathrm {1} }}$

$${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {GDD}}}={\frac {{\partial }^{2}}{\partial {\omega }^{\mathrm {2} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {2} {\frac {\partial n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega }}+\omega {\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {2} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)\left({\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}\right)\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {TOD}}}={\frac {{\partial }^{3}}{\partial {\omega }^{\mathrm {3} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {3} {\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {2} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {3} }}}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {2} }{\Bigl (}\mathrm {3} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+{\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {FOD}}}={\frac {{\partial }^{4}}{\partial {\omega }^{\mathrm {4} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {4} {\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {3} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {4} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {3} }{\Bigl (}\mathrm {12} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {8} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+{\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {FiOD}}}={\frac {{\partial }^{5}}{\partial {\omega }^{\mathrm {5} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {5} {\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {4} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {5} }}}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {4} }{\Bigl (}\mathrm {60} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {60} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {15} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+{\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {SiOD}}}={\frac {{\partial }^{6}}{\partial {\omega }^{\mathrm {6} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {6} {\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {5} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {6} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {5} }{\Bigl (}\mathrm {360} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {480} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {180} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {24} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+{\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {SeOD}}}={\frac {{\partial }^{7}}{\partial {\omega }^{\mathrm {7} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {7} {\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{{\partial \omega }^{\mathrm {6} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{{\partial \omega }^{\mathrm {7} }}}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {6} }{\Bigl (}\mathrm {2520} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {4200} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {2100} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {420} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {35} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+{\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {EOD}}}={\frac {{\partial }^{8}}{\partial {\omega }^{\mathrm {8} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {8} {\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{{\partial \omega }^{\mathrm {7} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {8} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {7} }{\Bigl (}\mathrm {20160} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {40320} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {25200} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {6720} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {840} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\\+\mathrm {48} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+{\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {NOD}}}={\frac {{\partial }^{9}}{\partial {\omega }^{\mathrm {9} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {9} {\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {8} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{9}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {9} }}}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {8} }{\Bigl (}\mathrm {181440} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {423360} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {317520} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {105840} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {17640} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\\+\mathrm {1512} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\mathrm {63} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}+{\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac {{\partial }^{9}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {TeOD}}}={\frac {{\partial }^{10}}{\partial {\omega }^{\mathrm {10} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {10} {\frac {{\partial }^{9}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {9} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{10}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {10} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {9} }{\Bigl (}\mathrm {1814400} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {4838400} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {4233600} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+{1693440}{\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\\+\mathrm {352800} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\mathrm {40320} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\mathrm {2520} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}+\mathrm {80} {\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac {{\partial }^{9}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} }}}+{\lambda }^{\mathrm {10} }{\frac {{\partial }^{10}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {10} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$$

Явно записанные для фазы , первые десять порядков дисперсии можно выразить как функцию длины волны с использованием преобразований Лаха (уравнение (2)) следующим образом: ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial {p}}{\partial {\omega }^{p}}}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\lambda }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\lambda }^{m}}}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }\end{array}}}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\lambda }^{p}}}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\omega }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\omega }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\omega }^{m}}}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }\end{array}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega }}={-}\left({\frac {\mathrm {2} \pi c}{{\omega }^{\mathrm {2} }}}\right){\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \lambda }}={-}\left({\frac {{\lambda }^{\mathrm {2} }}{\mathrm {2} \pi c}}\right){\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}}$$

$${\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {2} }}}={\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega }}\right)={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {2} }\left(\mathrm {2} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+{\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}\right)}$$

$${\displaystyle {\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {3} }}}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {3} }\left(\mathrm {6} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {6} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+{\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}\right)}$$

$${\displaystyle {\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {4} }}}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {4} }{\Bigl (}\mathrm {24} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {36} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {12} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+{\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}{\Bigr )}}$$ $${\displaystyle {\frac {{\partial }^{\mathrm {5} }\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {5} }}}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {5} }{\Bigl (}\mathrm {120} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {240} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {120} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {20} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+{\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}{\Bigr )}}$$ $${\displaystyle {\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {6} }}}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {6} }{\Bigl (}\mathrm {720} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {1800} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {1200} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {300} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {30} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}\mathrm {\ +} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}{\Bigr )}}$$ $${\displaystyle {\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {7} }}}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {7} }{\Bigl (}\mathrm {5040} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {15120} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {12600} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {4200} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {630} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {42} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+{\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}{\Bigr )}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {{\partial }^{8}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {8} }}}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {8} }{\Bigl (}\mathrm {40320} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {141120} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {141120} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {58800} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {11760} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {1176} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\mathrm {56} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\\\displaystyle +{\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {\partial ^{8}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {{\partial }^{9}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {9} }}}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {9} }{\Bigl (}\mathrm {362880} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {1451520} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {1693440} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {846720} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {211680} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {28224} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\\\displaystyle +\mathrm {2016} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\mathrm {72} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}+{\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac {\partial ^{\mathrm {9} }\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {{\partial }^{10}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {10} }}}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {10} }{\Bigl (}\mathrm {3628800} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {16329600} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {21772800} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {12700800} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {3810240} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {635040} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\\\displaystyle +\mathrm {60480} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\mathrm {3240} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}+\mathrm {90} {\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac {{\partial }^{9}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} }}}+{\lambda }^{\mathrm {10} }{\frac {{\partial }^{10}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {10} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$$

Пространственная дисперсия

В электромагнетизме и оптике термин дисперсия обычно относится к вышеупомянутой временной или частотной дисперсии. Пространственная дисперсия относится к нелокальному отклику среды на пространство; это можно перефразировать как зависимость волнового вектора диэлектрической проницаемости. Для типичной анизотропной среды пространственное соотношение между электрическим и электрическим полем смещения может быть выражено как свертка : ^[9]

${\displaystyle D_{i}(t,r)=E_{i}(t,r)+\int _{0}^{\infty }\int f_{ik}(\tau ;r,r')E_{k}(t-\tau ,r')\,dV'\,d\tau ,}$

где ядро ​​— диэлектрический отклик (восприимчивость); его индексы делают его в общем тензором для учета анизотропии среды. Пространственная дисперсия незначительна в большинстве макроскопических случаев, где масштаб изменения намного больше атомных размеров, поскольку диэлектрическое ядро ​​затухает на макроскопических расстояниях. Тем не менее, это может привести к не незначительным макроскопическим эффектам, особенно в проводящих средах, таких как металлы , электролиты и плазма . Пространственная дисперсия также играет роль в оптической активности и доплеровском уширении , ^[9] , а также в теории метаматериалов . ^[10] ${\displaystyle f_{ik}}$ ${\displaystyle E_{k}(t-\tau ,r')}$

В геммологии

В технической терминологии геммологии дисперсия — это разница в показателе преломления материала на  длинах волн Фраунгофера B и G (686,7 нм и 430,8 нм) или C и F (656,3 нм и 486,1 нм) , и она призвана выразить степень, в которой призма, вырезанная из драгоценного камня, демонстрирует «огонь». Огонь — это разговорный термин, используемый геммологами для описания дисперсионной природы драгоценного камня или ее отсутствия. Дисперсия — это свойство материала. Количество огня, демонстрируемое данным драгоценным камнем, является функцией углов граней драгоценного камня, качества полировки, среды освещения, показателя преломления материала, насыщенности цвета и ориентации наблюдателя относительно драгоценного камня. ^{[11] [12]}

В изображении

В фотографических и микроскопических линзах дисперсия вызывает хроматическую аберрацию , которая приводит к тому, что разные цвета на изображении не перекрываются должным образом. Для противодействия этому были разработаны различные методы, такие как использование ахроматов , многоэлементных линз со стеклами с разной дисперсией. Они сконструированы таким образом, что хроматические аберрации разных частей компенсируются.

Излучения пульсара

Пульсары — это вращающиеся нейтронные звезды, которые испускают импульсы с очень регулярными интервалами от миллисекунд до секунд. Астрономы полагают, что импульсы испускаются одновременно в широком диапазоне частот. Однако, как наблюдалось на Земле, компоненты каждого импульса, испускаемые на более высоких радиочастотах, прибывают раньше, чем те, которые испускаются на более низких частотах. Эта дисперсия происходит из-за ионизированного компонента межзвездной среды , в основном свободных электронов, которые делают групповую скорость частотно-зависимой. Дополнительная задержка, добавляемая на частоте ν, равна

${\displaystyle t=k_{\text{DM}}\cdot \left({\frac {\text{DM}}{\nu ^{2}}}\right),}$

где константа дисперсии k _DM определяется выражением ^[13]

${\displaystyle k_{\text{DM}}={\frac {e^{2}}{2\pi m_{\text{e}}c}}\approx 4.149~{\text{GHz}}^{2}\,{\text{pc}}^{-1}\,{\text{cm}}^{3}\,{\text{ms}},}$

а мера дисперсии (DM) представляет собой плотность столба свободных электронов ( полное электронное содержание ) – т.е. плотность числа электронов n _{e ,} интегрированная вдоль пути, пройденного фотоном от пульсара до Земли, – и определяется как

${\displaystyle {\text{DM}}=\int _{0}^{d}n_{e}\,dl}$

с единицами парсек на кубический сантиметр (1 шт/см ³ = 30,857 × 10²¹  м ⁻² ). ^[14]

Обычно для астрономических наблюдений эта задержка не может быть измерена напрямую, поскольку время излучения неизвестно. Что может быть измерено, так это разница во времени прибытия на двух разных частотах. Задержка Δ t между высокочастотным ν _hi и низкочастотным ν _lo компонентом импульса будет

${\displaystyle \Delta t=k_{\text{DM}}\cdot {\text{DM}}\cdot \left({\frac {1}{\nu _{\text{lo}}^{2}}}-{\frac {1}{\nu _{\text{hi}}^{2}}}\right).}$

Переписывая приведенное выше уравнение в терминах Δ t, можно определить DM, измеряя время прибытия импульсов на нескольких частотах. Это, в свою очередь, может быть использовано для изучения межзвездной среды, а также позволяет комбинировать наблюдения пульсаров на разных частотах.

Смотрите также

• Число Аббе
• Расчет свойств стекла, включая дисперсию
• Уравнение Коши
• Дисперсионное соотношение
• Быстрый радиовсплеск (астрономия)
• Теорема флуктуации
• Отношения Грина и Кубо
• Групповая задержка
• Внутримодовая дисперсия
• Соотношения Крамерса–Кронига
• Линейная функция отклика
• Теория дисперсии с множественными призмами
• Уравнение Селлмейера
• Сверхкороткий импульс
• Виртуально отображаемая фазированная решетка

Ссылки

1. Борн, Макс ; Вольф, Эмиль (октябрь 1999). Принципы оптики . Кембридж: Cambridge University Press . стр. 14–24. ISBN 0-521-64222-1.
2. Компенсация дисперсии. Получено 25-08-2015.
3. Расчет средней дисперсии стекол.
4. Борн, М. и Вольф, Э. (1980) « Принципы оптики », 6-е изд., стр. 93. Pergamon Press.
5. Рамасвами, Раджив и Сивараджан, Кумар Н. (1998) Оптические сети: практическая перспектива . Academic Press: Лондон.
6. Хроматическая дисперсия, Энциклопедия лазерной физики и техники (Wiley, 2008).
7. Mai, Wending; Campbell, Sawyer D.; Whiting, Eric B.; Kang, Lei; Werner, Pingjuan L.; Chen, Yifan; Werner, Douglas H. (2020-10-01). «Метод призматического разрывного временного интервала Галеркина с интегрированной обобщенной моделью дисперсии для эффективного оптического анализа метаповерхностей». Optical Materials Express . 10 (10): 2542–2559. Bibcode : 2020OMExp..10.2542M. doi : 10.1364/OME.399414 . ISSN  2159-3930.
8. Popmintchev, Dimitar; Wang, Siyang; Xiaoshi, Zhang; Stoev, Ventzislav; Popmintchev, Tenio (2022-10-24). "Аналитический оптический формализм Ла-Лагерра для пертурбативной хроматической дисперсии". Optics Express . 30 (22): 40779–40808. Bibcode :2022OExpr..3040779P. doi : 10.1364/OE.457139 . PMID  36299007.
9. Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М .; Питаевский, Л. П. (1984). Электродинамика сплошных сред . Т. 8 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеман . ISBN 978-0-7506-2634-7.
10. Demetriadou, A.; Pendry, JB (1 июля 2008 г.). «Укрощение пространственной дисперсии в метаматериале проволоки». Journal of Physics: Condensed Matter . 20 (29): 295222. Bibcode : 2008JPCM...20C5222D. doi : 10.1088/0953-8984/20/29/295222. S2CID  120249447.
11. Шуман, Уолтер (2009). Драгоценные камни мира (4-е недавно пересмотренное и расширенное издание). Sterling Publishing Company. стр. 41–42. ISBN 978-1-4027-6829-3. Получено 31 декабря 2011 г.
12. "Что такое дисперсия драгоценных камней?". Международное общество драгоценных камней (GemSociety.org) . Получено 09.03.2015 .
13. "Single-Dish Radio Astronomy: Techniques and Applications", ASP Conference Proceedings, т. 278. Под редакцией Снежаны Станимирович, Дэниела Альтшулера , Пола Голдсмита и Криса Солтера. ISBN 1-58381-120-6 . Сан-Франциско: Астрономическое общество Тихого океана, 2002, стр. 251–269. 
14. Лоример, Д. Р. и Крамер, М., Справочник по астрономии пульсаров , т. 4 из Cambridge Observing Handbooks for Research Astronomers ( Издательство Кембриджского университета , Кембридж, Великобритания; Нью-Йорк, США, 2005), 1-е издание.

Внешние ссылки

• Дисперсионная вики-страница. Архивировано 23 июля 2017 г. на Wayback Machine — обсуждение математических аспектов дисперсии.
• Дисперсия – Энциклопедия лазерной физики и техники
• Анимации, демонстрирующие оптическую дисперсию с помощью квантовой электродинамики
• Интерактивная веб-демонстрация хроматической дисперсии Институт телекоммуникаций, Штутгартский университет