Пучок волокон

Непрерывная сюръекция, удовлетворяющая локальному условию тривиальности

Цилиндрическая расческа, демонстрирующая интуитивное понимание термина « пучок волокон» . Эта расческа похожа на пучок волокон, в котором базовое пространство представляет собой цилиндр, а волокна ( щетинки ) — отрезки линий. При отображении точка на любой щетине будет сопоставлена ​​с ее корнем на цилиндре. ${\displaystyle \pi :E\to B}$

В математике , и особенно в топологии , расслоение ( на английском языке : расслоение волокон ) — это пространство , которое локально является пространством продукта , но в глобальном масштабе может иметь различную топологическую структуру . В частности, сходство между пространством и пространством продукта определяется с помощью непрерывной сюръективной карты , которая в небольших областях ведет себя точно так же, как проекция из соответствующих областей в . Карта , называемая проекцией или погружением расслоения, рассматривается как часть структура пачки. Пространство известно как общее пространство расслоения, базовое пространство и слой . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B\times F}$ ${\displaystyle \pi :E\to B,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B\times F}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle \pi ,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$

В тривиальном случае справедливо , а карта — это просто проекция пространства продукта на первый фактор. Это называется тривиальным расслоением . Примеры нетривиальных расслоений включают полосу Мёбиуса и бутылку Клейна , а также нетривиальные накрывающие пространства . Расслоения, такие как касательное расслоение многообразия и другие более общие векторные расслоения , играют важную роль в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии , как и основные расслоения . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B\times F,}$ ${\displaystyle \pi }$

Отображения между тотальными пространствами расслоений, которые «коммутируют» с картами проекций, известны как карты расслоений , и класс расслоений образует категорию относительно таких отображений. Карта расслоения из самого базового пространства (с тождественным отображением в качестве проекции) в, называемая секцией пучков Fiber, может быть специализирована несколькими способами, наиболее распространенным из которых является требование, чтобы карты перехода между локальными тривиальными участками лежали в некоторую топологическую группу , известную как структурная группа , действующая на слой . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle F}$

История

В топологии термины «волокно» (нем. Faser ) и «расслоенное пространство» ( gefaserter Raum ) впервые появились в статье Герберта Зейферта в 1933 году, ^{[1] [2] [3],} но его определения ограничиваются очень специальными понятиями. случай. Однако главное отличие от современной концепции расслоенного пространства заключалось в том, что для Зейферта то, что сейчас называется базовым пространством (топологическим пространством) расслоенного (топологического) пространства E , не было частью структуры, а производилось от нее как факторпространство E . Первое определение расслоенного пространства было дано Хасслером Уитни в 1935 году ^[4] под названием « пространство сферы» , но в 1940 году Уитни изменил название на « расслоение сфер» . ^[5]

Теория расслоенных пространств, частным случаем которых являются векторные расслоения , главные расслоения , топологические расслоения и расслоенные многообразия , приписывают Зейферту, Хайнцу Хопфу , Жаку Фельдбау , ^[6] Уитни, Норману Стинроду , Чарльзу Эресману , ^{[7] [ 8] [9]} Жан-Пьер Серр , ^[10] и другие.

Пучки волокон стали самостоятельным объектом изучения в период 1935–1940 гг. Первое общее определение появилось в работах Уитни. ^[11]

Уитни пришел к общему определению расслоения из своего исследования более частного понятия расслоения сфер ^[12] , которое представляет собой расслоение, слоем которого является сфера произвольной размерности . ^[13]

Формальное определение

Расслоение — это структура , в которой и — топологические пространства , и непрерывная сюръекция , удовлетворяющая локальному условию тривиальности , описанному ниже. Пространство называется ${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F),}$ ${\displaystyle E,B,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle B}$базовое пространство расслоения, ${\displaystyle E}$общая площадьи ${\displaystyle F}$волокно . Картаназывается ${\displaystyle \pi }$карта проекции (илипроекция пучка ). В дальнейшем будем считать, что базовоепространствосвязно. ${\displaystyle B}$

Мы требуем, чтобы для каждого существовала открытая окрестность (которая будет называться тривиализирующей окрестностью) такая, что существует гомеоморфизм ( где задана топология подпространства и - пространство произведения) таким образом, который согласуется с проекцией на первый фактор. То есть следующая диаграмма должна коммутировать : ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle U\subseteq B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U\times F}$ ${\displaystyle \pi }$

Условие локальной тривиальности

где – естественная проекция, – гомеоморфизм. Совокупность всех называется​ ${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}:U\times F\to U}$ ${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F}$ ${\displaystyle \left\{\left(U_{i},\,\varphi _{i}\right)\right\}}$локальная тривиализация расслоения.

Таким образом , для любого прообраз гомеоморфен (поскольку это верно для ) и называется слоем над каждым расслоением. Каждое расслоение является открытым отображением , поскольку проекции произведений являются открытыми отображениями. Поэтому несет фактортопологию, определенную отображением ${\displaystyle p\in B}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{p\})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}^{-1}(\{p\})}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi .}$

Пучок волокон часто обозначают ${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F)}$

что, по аналогии с короткой точной последовательностью , указывает, какое пространство является слоем, общим пространством и базовым пространством, а также отображением общего пространства в базовое.

АГладкое расслоение — расслоение изкатегориигладкихмногообразий. То естьидолжны быть гладкими многообразиями, а всефункциидолжны бытьгладкими отображениями. ${\displaystyle E,B,}$ ${\displaystyle F}$

Примеры

Тривиальный комплект

Пусть и пусть – проекция на первый множитель. Тогда есть расслоение (из ) над. Здесь продукт не только локально, но и глобально . Любой такой пучок волокон называется ${\displaystyle E=B\times F}$ ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle E}$банальный комплект . Любое расслоение надстягиваемым CW-комплексомтривиально.

Нетривиальные расслоения

Лента Мёбиуса

Лента Мёбиуса — нетривиальное расслоение над окружностью.

Пожалуй, самым простым примером нетривиального расслоения является лента Мёбиуса . У него есть круг , который проходит вдоль центра полосы в качестве основания и отрезок для волокна , поэтому лента Мёбиуса представляет собой пучок отрезков над кругом. Окрестность ( где ) является дугой ; на картинке это длина одного из квадратов. Прообраз на рисунке представляет собой (несколько скрученный) кусок полосы шириной в четыре квадрата и длиной в один (т.е. все точки, которые проецируются на ) . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pi (x)\in B}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U}$

Существует гомеоморфизм ( в § Формальное определение), который отображает прообраз (тривиализирующую окрестность) в срез цилиндра: изогнутый, но не скрученный. Эта пара локально тривиализует полосу. Соответствующее тривиальное расслоение было бы цилиндром , но лента Мёбиуса имеет общий «закручивание». Этот поворот виден только глобально; локально лента Мёбиуса и цилиндр идентичны (единственный вертикальный разрез в любом из них дает одинаковое пространство). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle B\times F}$

бутылка Клейна

Аналогичным нетривиальным расслоением является бутылка Клейна , которую можно рассматривать как «скрученное» расслоение кругов над другим кругом. Соответствующее нескрученное (тривиальное) расслоение есть 2- тор , . ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$

Карта покрытия

Накрывающее пространство — это расслоение такое, что проекция расслоения является локальным гомеоморфизмом . Отсюда следует, что слой представляет собой дискретное пространство .

Векторные и главные расслоения

Специальный класс расслоений, называемый векторными расслоениями , — это те, чьи слои представляют собой векторные пространства (чтобы квалифицироваться как векторное расслоение, структурная группа расслоения — см. ниже — должна быть линейной группой ). Важные примеры векторных расслоений включают касательное расслоение и кокасательное расслоение гладкого многообразия. Из любого векторного расслоения можно построить фреймовое расслоение баз , которое является главным расслоением (см. ниже) .

Другой специальный класс расслоений, называемый главными расслоениями , — это расслоения, на слоях которых задано свободное и транзитивное действие группы , так что каждый слой является главным однородным пространством . Пакет часто указывается вместе с группой, называя его основным -bundle. Группа также является структурной группой пакета. Учитывая представление в векторном пространстве , векторное расслоение со структурной группой может быть построено, известное как ассоциированное расслоение . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho (G)\subseteq {\text{Aut}}(V)}$

Пакеты сфер

Расслоение сфер — это расслоение, слоем которого является n -сфера . Учитывая векторное расслоение с метрикой (например, касательное расслоение к риманову многообразию ), можно построить соответствующее расслоение единичной сферы , для которого слой над точкой является набором всех единичных векторов в . Когда векторное расслоение, о котором идет речь, является касательным расслоением , расслоение единичной сферы известно как единичное касательное расслоение . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle TM}$

Расслоение сфер частично характеризуется своим классом Эйлера , который является классом когомологий степени в полном пространстве расслоения. В этом случае расслоение сфер называется расслоением окружностей , а класс Эйлера равен первому классу Чженя , который полностью характеризует топологию расслоения. Для любого , учитывая класс Эйлера расслоения, можно вычислить его когомологии, используя длинную точную последовательность , называемую последовательностью Гайзина . ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n}$

Отображение торов

Если — топологическое пространство и является гомеоморфизмом , то тор отображения имеет естественную структуру расслоения над кругом со слоями. Торы отображения гомеоморфизмов поверхностей имеют особое значение в топологии 3-многообразия . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle X.}$

Факторпространства

Если — топологическая группа и — замкнутая подгруппа , то при некоторых обстоятельствах фактор-пространство вместе с фактор-отображением представляет собой расслоение, слоем которого является топологическое пространство . Необходимым и достаточным условием для того, чтобы ( ) образовало расслоение, является то, что отображение допускает локальные сечения (Стинрод, 1951, §7). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle \pi :G\to G/H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G,\,G/H,\,\pi ,\,H}$ ${\displaystyle \pi }$

Наиболее общие условия, при которых фактор-отображение будет иметь локальные сечения, неизвестны, хотя если это группа Ли и замкнутая подгруппа (и, следовательно, подгруппа Ли по теореме Картана ), то фактор-отображение является расслоением. Одним из примеров этого является расслоение Хопфа , которое представляет собой расслоение над сферой, полное пространство которой равно . С точки зрения групп Ли, их можно отождествить с особой унитарной группой . Абелева подгруппа диагональных матриц изоморфна группе окружности , а фактор диффеоморфен сфере. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle SU(2)/U(1)}$

В более общем смысле, если это любая топологическая группа и замкнутая подгруппа, которая также является группой Ли, то это расслоение. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\to G/H}$

Разделы

Асечение (илисечение) расслоения— это непрерывное отображениетакое, чтодля всехxвB. Поскольку пучки, как правило, не имеют глобально определенных секций, одна из целей теории — объяснить их существование. Препятствиесуществованию сечения часто можно измерить с помощью класса когомологий, что приводит к теориихарактеристическихклассоввалгебраической топологии. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle f:B\to E}$ ${\displaystyle \pi (f(x))=x}$

Самый известный пример — теорема о волосатом шаре , где класс Эйлера является препятствием для касательного расслоения 2-сферы , имеющего никуда не исчезающее сечение.

Часто хочется определять разделы только локально (особенно, когда глобальные разделы не существуют). Локальное сечение расслоения — это непрерывное отображение, где U — открытое множество в B и для всех x в U. Если это локальная карта тривиализации, то над U всегда существуют локальные сечения . Такие сечения находятся в 1-1 соответствии с непрерывными отображениями . Секции образуют связку . ${\displaystyle f:U\to E}$ ${\displaystyle \pi (f(x))=x}$ ${\displaystyle (U,\,\varphi )}$ ${\displaystyle U\to F}$

Структурные группы и функции перехода

Пучки волокон часто содержат группу симметрий, которые описывают условия совпадения между перекрывающимися локальными диаграммами тривиализации. В частности, пусть G — топологическая группа , действующая непрерывно на расслоении F слева. Мы ничего не потеряем , если потребуем, чтобы G действовала точно на F , чтобы ее можно было рассматривать как группу гомеоморфизмов F . G - атлас для расслоения — это набор локальных карт тривиализации, такой, что для любых перекрывающихся карт и функция задается выражением где — непрерывное отображение, называемое ${\displaystyle (E,B,\pi ,F)}$ ${\displaystyle \{(U_{k},\,\varphi _{k})\}}$ ${\displaystyle \varphi _{i},\varphi _{j}}$ ${\displaystyle (U_{i},\,\varphi _{i})}$ ${\displaystyle (U_{j},\,\varphi _{j})}$ $${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F\to \left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F}$$ $${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\,\xi )=\left(x,\,t_{ij}(x)\xi \right)}$$ ${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G}$функция перехода . ДваG-атласа эквивалентны, если их объединение также являетсяG-атласом. G -расслоение —это расслоение с классом эквивалентностиG-атласов. ГруппаGназываетсяструктурная группа пакета; аналогичный термин вфизике—калибровочная группа.

В гладкой категории G -расслоение — это гладкое расслоение, где G — группа Ли , соответствующее действие на F является гладким, а все функции перехода — гладкие отображения.

Функции перехода удовлетворяют следующим условиям ${\displaystyle t_{ij}}$

1. ${\displaystyle t_{ii}(x)=1\,}$
2. ${\displaystyle t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}\,}$
3. ${\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x).\,}$

Третье условие применяется к тройным перекрытиям U _i ∩ U _j ∩ U _k и называется условием коцикла (см. когомологии Чеха ). Важность этого состоит в том, что функции перехода определяют расслоение (если принять условие коцикла Чеха).

Главное G- расслоение — это G -расслоение, в котором слой F является главным однородным пространством для левого действия самого G (эквивалентно, можно указать , что действие G на слое F является свободным и транзитивным, т. е. регулярным ). В этом случае часто бывает удобно отождествить F с G и таким образом получить (правое) действие G на главном расслоении.

Пакетные карты

Полезно иметь представление об отображении между двумя расслоениями. Предположим, что M и N — базовые пространства, а и — расслоения над M и N соответственно. А ${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$ ${\displaystyle \pi _{F}:F\to N}$карта пакета илиМорфизм расслоения состоит из пары непрерывных^[14]функций таких, что То есть следующая диаграммакоммутативна: $${\displaystyle \varphi :E\to F,\quad f:M\to N}$$ ${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}.}$

Для расслоений со структурной группой G , тотальные пространства которых являются (правыми) G -пространствами (такими как главное расслоение), морфизмы расслоений также должны быть G - эквивариантными на слоях. Это означает, что также является G -морфизмом одного G -пространства в другое, т.е. для всех и ${\displaystyle \varphi :E\to F}$ ${\displaystyle \varphi (xs)=\varphi (x)s}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle s\in G.}$

В случае, если базовые пространства M и N совпадают, то морфизм расслоения над M из расслоения в является отображением таким, что Это означает, что отображение расслоения покрывает тождество M . То есть и коммутирует следующая диаграмма: ${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$ ${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$ ${\displaystyle \varphi :E\to F}$ ${\displaystyle \pi _{E}=\pi _{F}\circ \varphi .}$ ${\displaystyle \varphi :E\to F}$ ${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$

Предположим, что оба и определены в одном и том же базовом пространстве M. Изоморфизм расслоения — это отображение расслоения между и такое, что и такое, что также является гомеоморфизмом. ^[15] ${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$ ${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$ ${\displaystyle (\varphi ,\,f)}$ ${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$ ${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$ ${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Дифференцируемые пучки волокон

В категории дифференцируемых многообразий расслоения естественным образом возникают как погружения одного многообразия в другое. Не всякое (дифференцируемое) погружение из дифференцируемого многообразия M в другое дифференцируемое многообразие N приводит к возникновению дифференцируемого расслоения. Во-первых, отображение должно быть сюръективным и называется расслоенным многообразием . Однако это необходимое условие не совсем достаточно, и в обычном использовании существует множество достаточных условий. ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle (M,N,f)}$

Если M и N компактны и связны , то любая субмерсия приводит к расслоению в том смысле, что существует расслоение F, диффеоморфное каждому из слоев, такое, что является расслоением. (Сюръективность следует из уже сделанных в этом случае предположений.) В более общем смысле, предположение о компактности можно ослабить, если предполагается, что субмерсия является сюръективным собственным отображением , что означает, что оно компактно для каждого компактного подмножества K из N. Другое достаточное условие, предложенное Эресманном (1951), состоит в том, что если это сюръективная субмерсия с M и N дифференцируемыми многообразиями , такая, что прообраз компактен и связен для всех , то допускает совместимую структуру расслоения (Michor 2008, §17). ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle (E,B,\pi ,F)=(M,N,f,F)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle f^{-1}(K)}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle f^{-1}\{x\}}$ ${\displaystyle x\in N,}$ ${\displaystyle f}$

Обобщения

• Понятие пучка применимо ко многим другим категориям в математике за счет соответствующего изменения условия локальной тривиальности; ср. главное однородное пространство и торсор (алгебраическая геометрия) .
• В топологии расслоение — это отображение , обладающее некоторыми теоретико-гомотопическими свойствами, общими с расслоениями. В частности, при мягких технических предположениях расслоение всегда обладает свойством гомотопического поднятия или свойством гомотопического накрытия (подробнее см. Стинрод (1951, 11.7)). Это определяющее свойство расслоения. ${\displaystyle \pi :E\to B}$
• Секция пучка волокон — это «функция, выходной диапазон которой постоянно зависит от входных данных». Это свойство формально фиксируется в понятии зависимого типа .

Смотрите также

• Аффинный пакет
• Пакет алгебры
• Класс характеристики
• Карта покрытия
• Эквивариантный расслоение
• Волокнистый коллектор
• Расслоение
• Калибровочная теория
• пучок Хопфа
• Я-пучок
• Натуральный пучок
• Основной пакет
• Проективный расслоение
• Пакет откатов
• Квазифибрация
• Универсальный комплект
• Векторный пакет
• Словарь У-Ян

Примечания

1. Зайферт, Герберт (1933). «Топология глубоких измерений». Акта Математика . 60 : 147–238. дои : 10.1007/bf02398271 .
2. "Topologie Dreisizeder Gefaserter Räume" в рамках проекта "Евклид" .
3. Зайферт, Х. (1980). Зейферт и Трелфолл, Учебник топологии. В. Трелфолл, Джоан С. Бирман, Джулиан Эйснер. Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 0-12-634850-2. ОСЛК  5831391.
4. Уитни, Хасслер (1935). «Сферические пространства». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 21 (7): 464–468. Бибкод : 1935PNAS...21..464W. дои : 10.1073/pnas.21.7.464 . ПМЦ 1076627 . ПМИД  16588001. 
5. Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 26 (2): 148–153. Бибкод : 1940PNAS...26..148W. дои : 10.1073/pnas.26.2.148 . ПМЦ 1078023 . ПМИД  16588328. 
6. Фельдбау, Жак (1939). «Классификация пространственных волокон». Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 208 : 1621–1623.
7. Эресманн, Чарльз (1947). «Сюр-ла-теория пространственных волокон». Колл. Вершина. Алг. Париж . ННРС: 3–15.
8. Эресманн, Чарльз (1947). «Sur les espaces fibrés différentiables». Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 224 : 1611–1612.
9. Эресманн, Чарльз (1955). «Продление дифференцируемых волокон». Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 240 : 1755–1757.
10. Серр, Жан-Пьер (1951). «Homologie Singulière des Espaces Fibrés. Приложения». Анналы математики . 54 (3): 425–505. дои : 10.2307/1969485. JSTOR  1969485.
11. См. Стинрод (1951, предисловие).
12. В своих ранних работах Уитни называл пучки сфер «сферическими пространствами». См., например:
    • Уитни, Хасслер (1935). «Сферические пространства». Учеб. Натл. акад. Наука . 21 (7): 462–468. Бибкод : 1935PNAS...21..464W. дои : 10.1073/pnas.21.7.464 . ПМЦ  1076627 . ПМИД  16588001.
    • Уитни, Хасслер (1937). «Топологические свойства дифференцируемых многообразий» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 43 (12): 785–805. дои : 10.1090/s0002-9904-1937-06642-0 .
13. Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер» (PDF) . Учеб. Натл. акад. Наука . 26 (2): 148–153. Бибкод : 1940PNAS...26..148W. дои : 10.1073/pnas.26.2.148 . ПМЦ 1078023 . ПМИД  16588328. 
14. В зависимости от категории рассматриваемых пространств можно предположить, что функции обладают свойствами, отличными от непрерывности. Например, в категории дифференцируемых многообразий функции предполагаются гладкими. В категории алгебраических многообразий они являются регулярными морфизмами.
15. Или, по крайней мере, обратима в соответствующей категории; например, диффеоморфизм.

Рекомендации

• Стинрод, Норман (1951), Топология пучков волокон , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08055-0
• Стинрод, Норман (5 апреля 1999 г.). Топология пучков волокон . Принстонская математическая серия. Том. 14. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-00548-5. ОСЛК  40734875.
• Бликер, Дэвид (1981), Калибровочная теория и вариационные принципы , Ридинг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-10096-9
• Эресманн, Чарльз (1951). «Бесконечно малые связи в пространстве дифференцируемых волокон». Colloque de Topologie (Espaces fibrés), Брюссель, 1950 г. Париж: Жорж Тон, Льеж; Masson et Cie., стр. 29–55.
• Хуземоллер, Дейл (1994), Пучки волокон , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-94087-8
• Михор, Питер В. (2008), Темы дифференциальной геометрии , Аспирантура по математике , том. 93, Провиденс: Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-2003-2
• Войцеховский, М.И. (2001) [1994], «Расслоенное пространство», Математическая энциклопедия , EMS Press

Внешние ссылки

• Пакет волокон, PlanetMath
• Роуленд, Тодд. «Пучок волокон». Математический мир .
• Создание символической скульптуры Джона Робинсона «Вечность»
• Сарданашвили, Геннадий , Расслоения, струйные многообразия и теория Лагранжа. Лекции для теоретиков, arXiv :0908.1886