Степени свободы (механика)

Количество независимых параметров, необходимых для определения состояния механической системы.

В физике степени свободы ( DOF ) механической системы — это количество независимых параметров , которые определяют ее конфигурацию или состояние. Это важно при анализе систем тел в машиностроении , строительной технике , аэрокосмической технике , робототехнике и других областях.

Положение отдельного вагона (двигателя), движущегося по пути, имеет одну степень свободы, поскольку положение вагона определяется расстоянием по пути. Поезд из жестких вагонов, шарнирно соединенных с двигателем, по-прежнему имеет только одну степень свободы, поскольку положение вагонов за паровозом ограничено формой пути.

Автомобиль с очень жесткой подвеской можно рассматривать как твердое тело, движущееся по плоскости (плоскому двумерному пространству). Это тело имеет три независимые степени свободы, состоящие из двух составляющих поступательного движения и одного угла поворота. Занос или занос — хороший пример трех независимых степеней свободы автомобиля.

Положение и ориентация твердого тела в пространстве определяются тремя компонентами перемещения и тремя компонентами вращения , что означает, что оно имеет шесть степеней свободы.

Метод механического проектирования с точными ограничениями управляет степенями свободы, чтобы не ограничивать и не перегружать устройство. ^[1]

Движения и размеры

Положение n -мерного твердого тела определяется жестким преобразованием [ T ] = [ A ,  d ], где d — n -мерный сдвиг, а A — матрица вращения размера n  ×  n , имеющая n степеней поступательного движения. свободы и n ( n  − 1)/2 вращательных степеней свободы. Число вращательных степеней свободы зависит от размерности группы вращения  SO(n) .

Нежесткое или деформируемое тело можно рассматривать как совокупность множества мельчайших частиц (бесконечное число степеней свободы), это часто аппроксимируется системой с конечной степенями свободы. Когда основной целью исследования является движение, связанное с большими смещениями (например, для анализа движения спутников), деформируемое тело можно аппроксимировать как твердое тело (или даже частицу), чтобы упростить анализ.

Степень свободы системы можно рассматривать как минимальное количество координат, необходимое для задания конфигурации. Применяя это определение, мы имеем:

1. Для отдельной частицы на плоскости две координаты определяют ее положение, поэтому она имеет две степени свободы;
2. Одной частице в пространстве требуются три координаты, поэтому она имеет три степени свободы;
3. Две частицы в космосе имеют в общей сложности шесть степеней свободы;
4. Если две частицы в пространстве вынуждены поддерживать постоянное расстояние друг от друга, как, например, в случае двухатомной молекулы, тогда шесть координат должны удовлетворять одному уравнению ограничения, определяемому формулой расстояния. Это уменьшает степень свободы системы до пяти, поскольку формулу расстояния можно использовать для определения оставшейся координаты, как только указаны остальные пять.

Твердые тела

Шесть степеней свободы движения корабля

Степени свободы положения самолета

Мнемотехника для запоминания названий углов

Одно твердое тело имеет не более шести степеней свободы (6 степеней свободы) 3T3R , состоящих из трех поступаний 3T и трех вращений 3R .

См. также углы Эйлера .

Например, движение корабля в море имеет шесть степеней свободы твердого тела и описывается как: ^[2]

Перевод и вращение:

1. Ходьба (или скачок ): движение вперед и назад;
2. Стрейфинг (или покачивание ): движение влево и вправо;
3. Подъем (или подъем ): движение вверх и вниз;
4. Вращение крена : Повороты из стороны в сторону;
5. Вращение по высоте : Наклоны вперед и назад;
6. Вращение по рысканью : Поворот влево и вправо;

Например, траектория самолета в полете имеет три степени свободы, а его положение на траектории имеет три степени свободы, всего шесть степеней свободы.

• О качке в полете и динамике корабля см. крен (авиация) и крен (движение корабля) соответственно.
  • Важной производной является скорость крена (или скорость крена), которая представляет собой угловую скорость, с которой самолет может изменить свое положение крена, и обычно выражается в градусах в секунду.
• О качке в полете и динамике корабля см. тангаж (авиация) и тангаж (движение корабля) соответственно.
• Чтобы узнать о рыскании в полете и динамике корабля, см. рыскание (авиация) и рыскание (движение корабля) соответственно.
  • Одной из важных производных является скорость рыскания (или скорость рыскания), угловая скорость вращения рыскания, измеряемая датчиком скорости рыскания .
  • Другой важной производной является момент рыскания, угловой момент вращения рыскания, который важен для неблагоприятного рыскания в динамике самолета.

Низкая мобильность

Физические ограничения могут ограничивать количество степеней свободы одного твердого тела. Например, скользящий по плоскому столу блок имеет 3 степени свободы 2T1R , состоящие из двух перемещений 2T и одного вращения 1R . Робот позиционирования XYZ, такой как SCARA, имеет 3 DOF и 3T меньшую мобильность.

Формула мобильности

Формула подвижности подсчитывает количество параметров, определяющих конфигурацию набора твердых тел, ограниченных суставами, соединяющими эти тела. ^{[3] [4]}

Предположим, что система из n твердых тел, движущихся в пространстве, имеет 6n степеней свободы, измеренных относительно неподвижной системы отсчета. Чтобы посчитать степени свободы этой системы, включите в число тел неподвижное тело так, чтобы подвижность не зависела от выбора тела, образующего неподвижный каркас. Тогда степень свободы неограниченной системы N  =  n  + 1 равна

${\displaystyle M=6n=6(N-1),\!}$

потому что неподвижное тело имеет нулевую степень свободы относительно самого себя.

Суставы, соединяющие тела в этой системе, лишают степеней свободы и уменьшают подвижность. В частности, петли и ползунки налагают по пять ограничений и, следовательно, удаляют пять степеней свободы. Удобно определить количество ограничений c , которые накладывает сустав, через свободу соединения f , где c  = 6 −  f . В случае шарнира или ползунка, которые представляют собой соединения с одной степенью свободы, f  = 1 и, следовательно, c  = 6 - 1 = 5.

В результате подвижность системы, образованной из n движущихся звеньев и j суставов, каждый со свободой f _i , i  = 1, ..., j, определяется выражением

${\displaystyle M=6n-\sum _{i=1}^{j}\ (6-f_{i})=6(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}}$

Напомним, что N включает фиксированную ссылку.

Есть два важных особых случая: (i) простая открытая цепь и (ii) простая закрытая цепь. Одиночная разомкнутая цепь состоит из n подвижных звеньев, соединенных встык n шарнирами, один конец которых соединен с заземляющим звеном. Таким образом, в этом случае N  =  j  + 1 и подвижность цепи равна

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}}$

В простой замкнутой цепи n подвижных звеньев соединены встык с помощью n  + 1 шарниров так, что два конца соединены с заземляющим звеном, образуя петлю. В этом случае N  =  j и подвижность цепи равна

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-6}$

Примером простой открытой цепи является серийный робот-манипулятор. Эти роботизированные системы состоят из ряда звеньев, соединенных шестью вращающимися или призматическими шарнирами с одной степенью свободы, поэтому система имеет шесть степеней свободы.

Примером простой замкнутой цепи является пространственная четырехзвенная связь РССР. Сумма свобод этих шарниров равна восьми, поэтому подвижность звена равна двум, где одна из степеней свободы представляет собой вращение муфты вокруг линии, соединяющей два S-образных шарнира.

Плоское и сферическое движение

Обычной практикой является проектирование системы рычагов таким образом, чтобы движение всех тел лежало в параллельных плоскостях, образуя так называемую плоскую связь . Также возможно построить систему связей так, что все тела движутся по концентрическим сферам, образуя сферическую связь . В обоих случаях степени свободы звеньев в каждой системе теперь равны трем, а не шести, а ограничения, налагаемые соединениями, теперь равны c  = 3 −  f .

В этом случае формула мобильности имеет вид

${\displaystyle M=3(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},}$

и особые случаи становятся

• плоская или сферическая простая открытая цепь,
  $${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},}$$
• плоская или сферическая простая замкнутая цепь,
  $${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-3.}$$

Примером плоской простой замкнутой цепи является плоская четырехзвенная рычажная система , которая представляет собой четырехзвенную петлю с четырьмя шарнирами по одной степени свободы и поэтому имеет подвижность  М  = 1.

Системы тел

Шарнирно -сочлененный робот с шестью степенями свободы в кинематической цепи.

Система с несколькими телами будет иметь объединенную степень свободы, которая представляет собой сумму степеней свободы тел за вычетом внутренних ограничений, которые они могут иметь на относительное движение. Механизм или связь , содержащая несколько соединенных твердых тел, может иметь больше степеней свободы, чем одно твердое тело . Здесь термин «степени свободы» используется для описания количества параметров, необходимых для определения пространственного положения связи. Оно также определяется в контексте пространства конфигурации, пространства задач и рабочего пространства робота.

Особым типом связи является разомкнутая кинематическая цепь , в которой совокупность жестких звеньев соединена в шарнирах ; соединение может иметь одну степень свободы (шарнирное/скользящее) или две (цилиндрическое). Такие цепочки обычно встречаются в робототехнике , биомеханике , а также на спутниках и других космических объектах. Считается, что человеческая рука имеет семь степеней свободы. Плечо обеспечивает подачу, рысканье и крен, локоть обеспечивает подачу, а запястье позволяет выполнять подачу, рыскание и крен. Для перемещения руки в любую точку пространства потребуется всего три таких движения, но у людей не будет возможности захватывать предметы под разными углами и направлениями. Робот (или объект), имеющий механизмы управления всеми шестью физическими степенями свободы, называется голономным. Объект с меньшим количеством контролируемых степеней свободы, чем общее количество степеней свободы, называется неголономным, а объект с более управляемыми степенями свободы, чем общее количество степеней свободы (например, человеческая рука), называется избыточным. Хотя имейте в виду, что для человеческой руки это не является лишним, поскольку две степени свободы; запястье и плечо, представляющие одно и то же движение; перекатывайтесь, снабжайте друг друга, так как они не могут сделать полный поворот на 360 градусов. Степень свободы подобна различным движениям, которые можно сделать.

В мобильной робототехнике робот, похожий на автомобиль, может достигать любого положения и ориентации в двумерном пространстве, поэтому для описания его позы требуется 3 степени свободы, но в любой момент вы можете переместить его только движением вперед и углом поворота рулевого колеса. Таким образом, у него есть две контрольные степени свободы и три репрезентативные степени свободы; т.е. он неголономен. Самолет с неподвижным крылом с 3–4 степенями свободы управления (движение вперед, крен, тангаж и, в ограниченной степени, рыскание) в трехмерном пространстве также неголономен, поскольку он не может двигаться прямо вверх/вниз или лево право.

Краткое изложение формул и методов вычисления степеней свободы в механических системах было дано Пеннестри, Кавачече и Вита. ^[5]

Электротехника

В электротехнике степени свободы часто используются для описания количества направлений, в которых фазированная антенная решетка может формировать либо лучи, либо нули . Оно на единицу меньше количества элементов, содержащихся в решетке, поскольку один элемент используется в качестве эталона, к которому могут быть применены либо конструктивные, либо деструктивные помехи с использованием каждого из остальных элементов антенны. Практика использования радиолокаторов и линий связи, при этом управление лучом более распространено для радиолокационных приложений, а нулевое управление более распространено для подавления помех в линиях связи.

Смотрите также

• Блокировка карданного подвеса  - потеря одной степени свободы в трехмерном трехкарданном механизме.
• Кинематика  - раздел физики, описывающий движение объектов без учета сил.
• Кинематическая пара  - соединение между двумя физическими объектами, ограничивающее их относительное движение.
• XR-2  – Образовательный робот

Рекомендации

1. Хейл, Лейтон К. (1999). Принципы и методы проектирования прецизионных машин (PDF) (доктор философии). Массачусетский Институт Технологий.
2. Сводная информация о движении кораблей. Архивировано 25 ноября 2011 г. в Wayback Machine.
3. Дж. Дж. Уикер, Г. Р. Пеннок и Дж. Э. Шигли, 2003, Теория машин и механизмов, Oxford University Press, Нью-Йорк.
4. Дж. М. Маккарти и Г. С. Со, Геометрический дизайн связей, 2-е издание, Springer, 2010 г.
5. Пеннестри, Э.; Кавасече, М.; Вита, Л. (2005). «О вычислении степеней свободы: дидактическая перспектива». Том 6: 5-я Международная конференция по системам многих тел, нелинейной динамике и управлению, части A, B и C. 2005 Международные технические конференции ASME по проектированию и конференции по компьютерам и информации в инженерии. Калифорния, США. стр. 1733–1741. дои : 10.1115/DETC2005-84109. ISBN 0-7918-4743-8.