Имущество Каждана (Т)

Математический термин

В математике локально компактная топологическая группа G обладает свойством (T) , если тривиальное представление является изолированной точкой в ​​ее унитарном двойственном, снабженном топологией Фелла . Неформально это означает, что если G действует унитарно на гильбертовом пространстве и имеет «почти инвариантные векторы», то она имеет ненулевой инвариантный вектор . Формальное определение, введенное Дэвидом Кажданом (1967), придает этому точное количественное значение.

Хотя изначально свойство (T) было определено в терминах неприводимых представлений , его часто можно проверить даже при отсутствии явных знаний об унитарном дуальном. Свойство (T) имеет важные приложения к теории представлений групп , решеткам в алгебраических группах над локальными полями , эргодической теории , геометрической теории групп , экспандерам , операторным алгебрам и теории сетей .

Определения

Пусть G — σ-компактная, локально компактная топологическая группа и π : G → U ( H ) — унитарное представление G в (комплексном) гильбертовом пространстве H . Если ε > 0 и K — компактное подмножество G , то единичный вектор ξ в H называется (ε, K )-инвариантным вектором , если

${\displaystyle \forall g\in K\ :\ \left\|\pi (g)\xi -\xi \right\|<\varepsilon .}$

Все следующие условия на G эквивалентны тому, что G имеет свойство (T) Каждана , и любое из них может быть использовано в качестве определения свойства (T).

(1) Тривиальное представление является изолированной точкой унитарного сопряженного к G класса с топологией Фелла .

(2) Любая последовательность непрерывных положительно определенных функций на G, равномерно сходящаяся к 1 на компактных подмножествах , сходится к 1 равномерно на G.

(3) Каждое унитарное представление группы G , имеющее (ε, K )-инвариантный единичный вектор для любого ε > 0 и любого компактного подмножества K , имеет ненулевой инвариантный вектор.

(4) Существуют ε > 0 и компактное подмножество K группы G такие, что каждое унитарное представление группы G , имеющее (ε, K )-инвариантный единичный вектор, имеет ненулевой инвариантный вектор.

(5) Каждое непрерывное аффинное изометрическое действие G на вещественном гильбертовом пространстве имеет неподвижную точку ( свойство (FH) ).

Если H — замкнутая подгруппа группы G , то говорят, что пара ( G , H ) обладает относительным свойством (T) Маргулиса , если существует ε > 0 и компактное подмножество K группы G, такие, что всякий раз , когда унитарное представление группы G имеет (ε, K )-инвариантный единичный вектор, то оно имеет ненулевой вектор, фиксированный H.

Обсуждение

Определение (4) очевидно подразумевает определение (3). Чтобы показать обратное, пусть G — локально компактная группа, удовлетворяющая (3), предположим от противного, что для каждого K и ε существует унитарное представление, которое имеет ( K , ε)-инвариантный единичный вектор и не имеет инвариантного вектора. Посмотрите на прямую сумму всех таких представлений, и это отменит (4).

Эквивалентность (4) и (5) (Свойство (FH)) — это теорема Делорма-Гишарде. Тот факт, что (5) влечет (4), требует предположения, что G является σ-компактным (и локально компактным) (Бекка и др., теорема 2.12.4).

Общие свойства

• Свойство (T) сохраняется при факторизации: если G имеет свойство (T) и H является факторгруппой G , то H имеет свойство (T). Эквивалентно, если гомоморфный образ группы G не имеет свойства (T), то сама G не имеет свойства (T).
• Если G обладает свойством (T), то G /[ G , G ] компактен.
• Любая счетная дискретная группа со свойством (T) конечно порождена.
• Аменабельная группа , обладающая свойством (T), обязательно компактна . Аменабельность и свойство (T) в грубом смысле противоположны: они делают почти инвариантные векторы легко или трудно находимыми.
• Теорема Каждана : Если Γ — решетка в группе Ли G , то Γ обладает свойством (T) тогда и только тогда, когда G обладает свойством (T). Таким образом, для n ≥ 3 специальная линейная группа SL( n , Z ) обладает свойством (T).

Примеры

• Компактные топологические группы обладают свойством (T). В частности, группа окружности , аддитивная группа Z _p целых p -адических чисел, компактные специальные унитарные группы SU( n ) и все конечные группы обладают свойством (T).
• Простые действительные группы Ли действительного ранга не менее двух обладают свойством (T). Это семейство групп включает специальные линейные группы SL( n , R ) для n ≥ 3 и специальные ортогональные группы SO( p , q ) для p > q ≥ 2 и SO( p , p ) для p ≥ 3. В более общем смысле это справедливо для простых алгебраических групп ранга не менее двух над локальным полем .
• Пары ( R ⁿ ⋊ SL( n , R ), R ⁿ ) и ( Z ⁿ ⋊ SL( n , Z ), Z ⁿ ) обладают относительным свойством (T) для n ≥ 2.
• Для n ≥ 2 некомпактная группа Ли Sp( n , 1) изометрий кватернионной эрмитовой формы сигнатуры ( n , 1) является простой группой Ли действительного ранга 1, которая обладает свойством (T). По теореме Каждана решетки в этой группе обладают свойством (T). Эта конструкция важна, поскольку эти решетки являются гиперболическими группами ; таким образом, существуют группы, которые являются гиперболическими и обладают свойством (T). Явными примерами групп в этой категории являются арифметические решетки в Sp( n , 1) и некоторые кватернионные группы отражений .

Примеры групп, не имеющих свойства (T), включают:

• Аддитивные группы целых чисел Z , действительных чисел R и p -адических чисел Q _p .
• Специальные линейные группы SL(2, Z ) и SL(2, R ), как результат существования дополнительных серий представлений вблизи тривиального представления, хотя SL(2, Z ) обладает свойством (τ) относительно главных конгруэнц-подгрупп, по теореме Сельберга.
• Некомпактные разрешимые группы .
• Нетривиальные свободные группы и свободные абелевы группы .

Дискретные группы

Исторически свойство (T) было установлено для дискретных групп Γ путем вложения их как решеток в действительные или p-адические группы Ли со свойством (T). В настоящее время доступно несколько прямых методов.

• Алгебраический метод Шалома применяется, когда Γ = SL( n , R ) с кольцом R и n ≥ 3; метод основан на том факте, что Γ может быть ограниченно порождена , т.е. может быть выражена как конечное произведение более легких подгрупп, таких как элементарные подгруппы, состоящие из матриц, отличающихся от единичной матрицы в одной заданной недиагональной позиции.
• Геометрический метод берет свое начало в идеях Гарланда, Громова и Пьера Пансю . Его простейшая комбинаторная версия принадлежит Жуку: пусть Γ — дискретная группа, порожденная конечным подмножеством S , замкнутая относительно взятия обратных и не содержащая тождества, и определите конечный граф с вершинами S и ребром между g и h всякий раз, когда g ⁻¹ h лежит в S. Если этот граф связен и наименьшее ненулевое собственное значение лапласиана соответствующего простого случайного блуждания больше ⁠1/2⁠ , то Γ имеет свойство (T). Более общая геометрическая версия, предложенная Жуком и Баллманном и Святковским (1997), утверждает, что если дискретная группа Γ действует надлежащим образом разрывно и кокомпактно на стягиваемом 2-мерном симплициальном комплексе с теми же теоретико-графовыми условиями, наложенными на связь в каждой вершине, то Γ имеет свойство (T). С помощью этого метода можно продемонстрировать множество новых примеров гиперболических групп со свойством (T).
• Метод с использованием компьютера основан на предложении Нарутаки Одзавы и был успешно реализован несколькими исследователями. Он основан на алгебраической характеристике свойства (T) в терминах неравенства в действительной групповой алгебре , для которого решение может быть найдено путем численного решения задачи полуопределенного программирования на компьютере. Примечательно, что этот метод подтвердил свойство (T) для группы автоморфизмов свободной группы ранга не менее 5. Неизвестно человеческое доказательство этого результата.

Приложения

• Григорий Маргулис использовал тот факт, что SL( n , Z ) (для n ≥ 3) имеет свойство (T), чтобы построить явные семейства расширяющихся графов , то есть графов со свойством, что каждое подмножество имеет равномерно большую «границу». Эта связь привела к ряду недавних исследований, дающих явную оценку констант Каждана , количественно определяющих свойство (T) для конкретной группы и порождающего набора.
• Ален Конн использовал дискретные группы со свойством (T), чтобы найти примеры факторов типа II ₁ со счетной фундаментальной группой , то есть, в частности, не все положительные действительные числа . Сорин Попа впоследствии использовал относительное свойство (T) для дискретных групп, чтобы получить фактор типа II ₁ с тривиальной фундаментальной группой. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$
• Группы со свойством (T) также обладают свойством Серра FA . ^[1]
• Тошикадзу Сунады заметил, что положительность нижней части спектра «скрученного» лапласиана на замкнутом многообразии связана со свойством (T) фундаментальной группы . ^[2] Это наблюдение приводит к результату Брукса, который гласит, что нижняя часть спектра лапласиана на универсальном накрывающем многообразии над замкнутым римановым многообразием M равна нулю тогда и только тогда, когда фундаментальная группа M аменабельна . [ 3 ^]

Ссылки

1. Вататани, Ясуо (1981). «Свойство Т Каждана подразумевает свойство Ф.А. Серра». Математика. Япония . 27 : 97–103. МР  0649023. Збл  0489.20022.
2. Сунады, Тошикадзу (1989). «Унитарные представления фундаментальных групп и спектр скрученных лапласианов». Топология . 28 (2): 125–132. doi : 10.1016/0040-9383(89)90015-3 .
3. Брукс, Роберт (1981). «Фундаментальная группа и спектр лапласиана». Комментарий. Math. Helv. 56 : 581–598. doi :10.1007/bf02566228.

• Ballmann, W.; Swiatkowski, J. (1997), "L ² -когомологии и свойство (T) для групп автоморфизмов полиэдральных клеточных комплексов", GAFA , 7 (4): 615–645, CiteSeerX  10.1.1.56.8641 , doi : 10.1007/s000390050022
• Бекка, Бачир; де ла Арп, Пьер; Валетт, Ален (2008), Свойство Каждана (T) (PDF) , Новые математические монографии, том. 11, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-88720-5, г-н  2415834
• де ла Арп, П.; Валетт, А. (1989), «La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes localement Compactes (с приложением М. Бургера)», Asterisque , 175.
• Каждан, Д. (1967), «О связи дуального пространства группы со строением ее замкнутых подгрупп», Функциональный анализ и его приложения , 1 (1): 63–65, doi :10.1007/BF01075866МР 0209390
• Любоцкий , А. (1994), Дискретные группы, расширяющиеся графы и инвариантные меры , Progress in Mathematics, т. 125, Базель: Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5075-8
• Любоцкий , А. и А. Жук, О свойстве (τ), монография, готовящаяся к выходу.
• Любоцкий , А. (2005), «Что такое свойство (τ)» (PDF) , AMS Notices , 52 (6): 626–627.
• Шалом, Й. (2006), «Алгебраизация свойства (Т)» (PDF) , Международный конгресс математиков, Мадрид, 2006 г.
• Зук, А. (1996), "Собственность (T) Каждана для групп, выступающих за полиэдре", CR Acad. наук. Париж , 323 : 453–458 ..
• Жук, А. (2003), «Свойство (T) и константы Каждана для дискретных групп», GAFA , 13 (3): 643–670, doi :10.1007/s00039-003-0425-8.