Уравнение Борда-Карно

Уравнение в гидродинамике

В гидродинамике уравнение Борда -Карно является эмпирическим описанием потерь механической энергии жидкости из-за (внезапного) расширения потока . Оно описывает, как общий напор уменьшается из-за потерь. Это контрастирует с принципом Бернулли для бездиссипационного потока (без необратимых потерь), где общий напор является постоянным вдоль линии тока . Уравнение названо в честь Жана-Шарля де Борда (1733–1799) и Лазаря Карно (1753–1823).

Это уравнение используется как для потока в открытом канале, так и для потока в трубе . В тех частях потока, где необратимые потери энергии незначительны, можно использовать принцип Бернулли.

Формулировка

Уравнение Борда–Карно имеет вид ^{[1] [2]}

${\displaystyle \Delta E=\xi \,{\frac {\rho }{2}}\,(v_{1}-v_{2})^{2},}$

где

Δ E — потеря механической энергии жидкости,

ξ — эмпирический коэффициент потерь, который является безразмерным и имеет значение от нуля до единицы, 0 ≤ ξ ≤ 1,

ρ — плотность жидкости ,

v ₁ и v ₂ — средние скорости потока до и после расширения.

В случае резкого и широкого расширения коэффициент потерь равен единице. ^[1] В других случаях коэффициент потерь приходится определять другими способами, чаще всего по эмпирическим формулам (на основе данных, полученных в ходе экспериментов ). Уравнение потерь Борда-Карно справедливо только для убывающей скорости, v ₁ > v ₂ , в противном случае потери Δ E равны нулю — без механической работы дополнительных внешних сил не может быть прироста механической энергии жидкости.

Коэффициент потерь ξ может быть подвержен влиянию обтекания . Например, в случае расширения трубы использование постепенно расширяющегося диффузора может снизить потери механической энергии. ^[3]

Связь с общим напором и принципом Бернулли

Уравнение Борда-Карно дает уменьшение константы уравнения Бернулли . Для несжимаемого потока результат таков — для двух точек, обозначенных 1 и 2, с точкой 2 ниже по течению относительно 1 — вдоль линии тока : ^[2]

${\displaystyle p_{1}+{\tfrac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}+\rho gz_{1}=p_{2}+{\tfrac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}+\rho gz_{2}+\Delta E,}$

с

p ₁ и p ₂ давление в точках 1 и 2 ,

z ₁ и z ₂ — вертикальная высота (выше некоторого опорного уровня) частицы жидкости,

г ускорение свободного падения .

Первые три члена по обе стороны от знака равенства — это соответственно давление, плотность кинетической энергии жидкости и плотность потенциальной энергии, обусловленной гравитацией. Как можно видеть, давление эффективно действует как форма потенциальной энергии.

В случае течения в трубах высокого давления, когда гравитационными эффектами можно пренебречь, Δ E равна потерям Δ( p  +  ρv ² /2):

${\displaystyle \Delta E=\Delta \left(p+{\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}\right).}$

Для потоков в открытом русле Δ E связано с общей потерей напора Δ H следующим образом ^[1]

${\displaystyle \Delta E=\rho g\Delta H,}$

где H – общий напор: ^[4]

${\displaystyle H=h+{\frac {v^{2}}{2g}},}$

где h — гидравлический напор  — возвышение свободной поверхности над опорной точкой : h  =  z  +  p /( ρg ).

Примеры

Внезапное расширение трубы

Внезапное расширение потока

Уравнение Борда-Карно применяется к потоку через внезапное расширение горизонтальной трубы. В поперечном сечении 1 средняя скорость потока равна v ₁ , давление равно p ₁ , а площадь поперечного сечения равна A ₁ . Соответствующие величины потока в поперечном сечении 2 — значительно позади расширения (и областей отрывного течения ) — равны v ₂ , p ₂ и A ₂ соответственно. При расширении поток разделяется, и возникают турбулентные зоны рециркуляционного потока с потерями механической энергии. Коэффициент потерь ξ для этого внезапного расширения приблизительно равен единице: ξ  ≈ 1,0. Из-за сохранения массы, предполагая постоянную плотность жидкости ρ , объемный расход через оба поперечных сечения 1 и 2 должен быть одинаковым:

${\displaystyle A_{1}\,v_{1}\,=A_{2}\,v_{2}}$     так     ${\displaystyle v_{2}\,=\,{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\,v_{1}.}$

Следовательно, согласно уравнению Борда-Карно, потеря механической энергии при этом внезапном расширении составляет:

${\displaystyle \Delta E\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,\left(1\,-\,{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\right)^{2}\,v_{1}^{2}.}$

Соответствующая потеря полного напора ΔH составляет:

${\displaystyle \Delta H\,=\,{\frac {\Delta E}{\rho \,g}}\,=\,{\frac {1}{2\,g}}\,\left(1\,-\,{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\right)^{2}\,v_{1}^{2}.}$

Для этого случая при ξ  = 1 общее изменение кинетической энергии между двумя поперечными сечениями рассеивается. В результате изменение давления между обоими поперечными сечениями равно (для этой горизонтальной трубы без эффектов гравитации):

${\displaystyle \Delta p\,=\,p_{1}\,-\,p_{2}\,=\,-\,\rho \,{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\left(1\,-\,{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\right)\,v_{1}^{2},}$

и изменение гидравлического напора h  =  z  +  p /( ρg ):

${\displaystyle \Delta h\,=\,h_{1}\,-\,h_{2}\,=\,-\,{\frac {1}{g}}\,{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\left(1\,-\,{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\right)\,v_{1}^{2}.}$

Знаки минус перед правыми сторонами означают, что давление (и гидравлический напор) больше после расширения трубы. То, что это изменение давлений (и гидравлических напоров) непосредственно перед и после расширения трубы соответствует потере энергии, становится ясно при сравнении с результатами принципа Бернулли . Согласно этому принципу без рассеивания, уменьшение скорости потока связано с гораздо большим увеличением давления, чем обнаружено в данном случае с потерями механической энергии.

Внезапное сужение трубы

Течение через внезапное сужение диаметра трубы с пузырьками отрыва потока вблизи поперечного сечения 3

В случае резкого уменьшения диаметра трубы, без обтекания, поток не может следовать за крутым изгибом в более узкую трубу. В результате происходит разделение потока , создавая рециркуляционные зоны разделения на входе в более узкую трубу. Основной поток сжимается между разделенными областями потока, а затем снова расширяется, охватывая всю площадь трубы.

Небольшая потеря напора между поперечным сечением 1, до сужения, и поперечным сечением 3, vena contracta , в котором основной поток сжимается больше всего. Но есть существенные потери при расширении потока от поперечного сечения 3 до 2. Эти потери напора можно выразить с помощью уравнения Борда-Карно, используя коэффициент сужения μ : ^[5]

${\displaystyle \mu \,=\,{\frac {A_{3}}{A_{2}}},}$

где A _{3 —} площадь поперечного сечения в месте наибольшего сжатия основного потока 3, а A _{2 —} площадь поперечного сечения более узкой части трубы. Поскольку A ₃  ≤  A ₂ , коэффициент сжатия меньше единицы: μ  ≤ 1. Опять же, имеет место сохранение массы, поэтому объемные потоки в трех поперечных сечениях являются постоянными (при постоянной плотности жидкости ρ ):

${\displaystyle A_{1}\,v_{1}\,=\,A_{2}\,v_{2}\,=\,A_{3}\,v_{3},}$

где v ₁ , v ₂ и v _{3 —} средняя скорость потока в соответствующих поперечных сечениях. Тогда, согласно уравнению Борда–Карно (с коэффициентом потерь ξ = 1), потеря энергии ΔE на единицу объема жидкости и из-за сжатия трубы составляет:

${\displaystyle \Delta E\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,\left(v_{3}\,-\,v_{2}\right)^{2}\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,\left({\frac {1}{\mu }}\,-\,1\right)^{2}\,v_{2}^{2}\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,\left({\frac {1}{\mu }}\,-\,1\right)^{2}\,\left({\frac {A_{1}}{A_{2}}}\right)^{2}\,v_{1}^{2}.}$

Соответствующую потерю общего напора ΔH можно рассчитать как ΔH  =  ΔE /( ρg ).

Согласно измерениям Вайсбаха , коэффициент сжатия для остроконечного сжатия приблизительно равен: ^[6]

${\displaystyle \mu \,=\,0.63\,+\,0.37\,\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)^{3}.}$

Вывод из баланса импульса для внезапного расширения

Для внезапного расширения в трубе, см. рисунок выше, уравнение Борда-Карно может быть выведено из сохранения массы и импульса потока. ^[7] Поток импульса S (т.е. для компонента импульса жидкости, параллельного оси трубы) через поперечное сечение площадью A равен – согласно уравнениям Эйлера :

${\displaystyle S=A\,\left(\rho \,v^{2}+p\right).}$

Рассмотрим сохранение массы и импульса для контрольного объема, ограниченного поперечным сечением 1 непосредственно перед расширением, поперечным сечением 2 ниже по течению, где поток снова присоединяется к стенке трубы (после разделения потока при расширении), и стенкой трубы. Существует прирост импульса контрольного объема S ₁ на входе и потеря S ₂ на выходе. Кроме того, есть также вклад силы F от давления на жидкость, оказываемого стенкой расширения (перпендикулярно оси трубы):

${\displaystyle F=(A_{2}-A_{1})\,p_{1},}$

где предполагалось, что давление равно близкому давлению вверх по потоку p ₁ .

Добавляя вклады, баланс импульса для контрольного объема между поперечными сечениями 1 и 2 дает:

${\displaystyle S_{1}-S_{2}+F=A_{1}\,\left(\rho \,v_{1}^{2}+p_{1}\right)-A_{2}\,\left(\rho \,v_{2}^{2}+p_{2}\right)+(A_{2}-A_{1})\,p_{1}=0.}$

Следовательно, поскольку по закону сохранения массы ρ A ₁ v ₁ = ρ A ₂ v ₂ :

${\displaystyle \Delta p=p_{1}-p_{2}=-\rho \,\left({\frac {A_{1}}{A_{2}}}\,v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)=-\rho \,{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\,\left(1-{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\right)\,v_{1}^{2},}$

в соответствии с перепадом давления Δ p в приведенном выше примере.

Потеря механической энергии Δ E равна:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta E&=\left(p_{1}+{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v_{1}^{2}\right)-\left(p_{2}+{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v_{2}^{2}\right)=\Delta p+{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)\\&=-\rho \,v_{2}\,\left(v_{1}-v_{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,\left(v_{1}^{2}-2\,v_{1}\,v_{2}+v_{2}^{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2},\end{aligned}}}$

что является уравнением Борда–Карно (при ξ = 1).

Смотрите также

• Уравнение Дарси–Вейсбаха
• Уравнение Прони

Примечания

1. Chanson (2004), стр. 231.
2. Massey & Ward-Smith (1998), стр. 274–280.
3. Гард, Р. Дж. (1997). Механика жидкости через проблемы . New Age Publishers. стр. 347–349. ISBN 978-81-224-1131-7.
4. Шансон (2004), стр. 22.
5. Гард (1997), там же , стр. 349–350.
6. Эртель, Герберт; Прандтль, Людвиг; Бёле, М.; Мэйес, Кэтрин (2004), Основы механики жидкости Прандтля , Springer, ISBN 978-0-387-40437-0, См. стр. 163–165.
7. Бэтчелор (1967), §5.15.

Ссылки

• Бэтчелор, Джордж К. (1967), Введение в гидродинамику , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66396-0, 634 стр.
• Шансон, Хьюберт (2004), Гидравлика потока в открытом канале: Введение (2-е изд.), Butterworth–Heinemann, ISBN 978-0-7506-5978-9, 634 стр.
• Мэсси, Бернард Стэнфорд; Уорд-Смит, Джон (1998), Механика жидкостей (7-е изд.), Тейлор и Фрэнсис, ISBN 978-0-7487-4043-7, 706 стр.