Импульс

Свойство массы в движении

В ньютоновской механике импульс ( мн . ч.: импульсы или импульсы ; более конкретно линейный импульс или поступательный импульс ) — это произведение массы и скорости объекта. Это векторная величина, имеющая величину и направление. Если m — масса объекта, а v — его скорость (также векторная величина), то импульс объекта p (от лат. pellere «толкать, гнать») равен: В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения импульса является килограмм- метр в секунду (кг⋅м/с), что размерно эквивалентно ньютон -секунде . ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} .}$

Второй закон движения Ньютона гласит, что скорость изменения импульса тела равна чистой силе, действующей на него. Импульс зависит от системы отсчёта , но в любой инерциальной системе отсчёта он является сохраняющейся величиной, что означает, что если на замкнутую систему не действуют внешние силы, её полный импульс не изменяется. Импульс также сохраняется в специальной теории относительности (с изменённой формулой) и, в изменённой форме, в электродинамике , квантовой механике , квантовой теории поля и общей теории относительности . Это выражение одной из фундаментальных симметрий пространства и времени: трансляционной симметрии .

Расширенные формулировки классической механики, механики Лагранжа и Гамильтона , позволяют выбирать системы координат, которые включают симметрии и ограничения. В этих системах сохраняющейся величиной является обобщенный импульс , и в общем случае он отличается от кинетического импульса, определенного выше. Концепция обобщенного импульса переносится в квантовую механику, где он становится оператором волновой функции . Операторы импульса и положения связаны принципом неопределенности Гейзенберга .

В непрерывных системах, таких как электромагнитные поля , гидродинамика и деформируемые тела , плотность импульса может быть определена как импульс на объем ( объемная величина ). Континуальная версия сохранения импульса приводит к уравнениям, таким как уравнения Навье-Стокса для жидкостей или уравнение импульса Коши для деформируемых твердых тел или жидкостей.

Классическая

Импульс — векторная величина : он имеет как величину, так и направление. Поскольку импульс имеет направление, его можно использовать для прогнозирования результирующего направления и скорости движения объектов после их столкновения. Ниже основные свойства импульса описаны в одном измерении. Векторные уравнения почти идентичны скалярным уравнениям (см. несколько измерений).

Отдельная частица

Импульс частицы традиционно обозначается буквой p . Он является произведением двух величин: массы частицы (обозначаемой буквой m ) и ее скорости ( v ): ^[1] p = m v . {\displaystyle p=mv.}

Единица импульса — это произведение единиц массы и скорости. В единицах СИ , если масса в килограммах, а скорость в метрах в секунду, то импульс в килограммах метрах в секунду (кг⋅м/с). В единицах СГС , если масса в граммах, а скорость в сантиметрах в секунду, то импульс в граммах сантиметрах в секунду (г⋅см/с).

Будучи вектором, импульс имеет величину и направление. Например, модель самолета массой 1 кг, летящая на север со скоростью 1 м/с в прямом и горизонтальном полете, имеет импульс 1 кг⋅м/с на север, измеренный относительно земли.

Множество частиц

Импульс системы частиц — это векторная сумма их импульсов. Если две частицы имеют соответствующие массы m ₁ и m ₂ и скорости v ₁ и v ₂ , то общий импульс равен Импульсы более чем двух частиц можно сложить в более общем виде следующим образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle p=\sum _{i}m_{i}v_{i}.}$$

Система частиц имеет центр масс — точку, определяемую взвешенной суммой их положений: $${\displaystyle r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum _{i}m_{i}r_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}.}$$

Если одна или несколько частиц движутся, центр масс системы, как правило, также будет двигаться (если только система не находится в чистом вращении вокруг него). Если общая масса частиц равна , а центр масс движется со скоростью v _см , импульс системы равен: ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle p=mv_{\text{cm}}.}$$

Это известно как первый закон Эйлера . ^{[2] [3]}

Отношение к силе

Если результирующая сила F, приложенная к частице, постоянна и применяется в течение интервала времени Δ t , импульс частицы изменяется на величину Δ p = F Δ t . {\displaystyle \Delta p=F\Delta t\,.}

В дифференциальной форме это второй закон Ньютона : скорость изменения импульса частицы равна мгновенной силе F, действующей на нее, ^[1] $${\displaystyle F={\frac {{\text{d}}p}{{\text{d}}t}}.}$$

Если суммарная сила, испытываемая частицей, изменяется как функция времени, F ( t ) , то изменение импульса (или импульса J ) между моментами времени t ₁ и t ₂ равно $${\displaystyle \Delta p=J=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,{\text{d}}t\,.}$$

Импульс измеряется в производных единицах ньютон- секунда (1 Н⋅с = 1 кг⋅м/с) или дина- секунда (1 дина⋅с = 1 г⋅см/с).

При условии постоянной массы m это эквивалентно записи

$${\displaystyle F={\frac {{\text{d}}(mv)}{{\text{d}}t}}=m{\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}=ma,}$$

следовательно, чистая сила равна массе частицы, умноженной на ее ускорение . ^[1]

Пример : Модель самолета массой 1 кг разгоняется из состояния покоя до скорости 6 м/с на север за 2 с. Чистая сила, необходимая для создания этого ускорения, составляет 3  ньютона на север. Изменение импульса составляет 6 кг⋅м/с на север. Скорость изменения импульса составляет 3 (кг⋅м/с)/с на север, что численно эквивалентно 3 ньютонам.

Сохранение

В замкнутой системе (которая не обменивается никаким веществом с окружающей средой и не подвергается воздействию внешних сил) общий импульс остается постоянным. Этот факт, известный как закон сохранения импульса , следует из законов движения Ньютона . ^{[4] [5]} Предположим, например, что взаимодействуют две частицы. Как объясняется в третьем законе, силы между ними равны по величине, но противоположны по направлению. Если частицы пронумерованы 1 и 2, второй закон гласит, что F ₁ = ⁠д п ₁/д т⁠ и F ₂ = ⁠д п ₂/д т⁠ . Поэтому,

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}p_{1}}{{\text{d}}t}}=-{\frac {{\text{d}}p_{2}}{{\text{d}}t}},}$$со знаком минус, указывающим на то, что силы противодействуют. Эквивалентно,

$${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(p_{1}+p_{2}\right)=0.}$$

Если скорости частиц до взаимодействия равны v _A1 и v _{B1 , а после взаимодействия они равны} v _A2 и v _B2 , то

м А в А 1 + м В в В 1 = м А в А 2 + м В в В 2 . {\displaystyle m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}=m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}.}

Этот закон выполняется независимо от того, насколько сложна сила между частицами. Аналогично, если есть несколько частиц, импульс, которым обмениваются между каждой парой частиц, добавляется к нулю, поэтому общее изменение импульса равно нулю. Сохранение полного импульса ряда взаимодействующих частиц можно выразить как ^[4] $${\displaystyle m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}+m_{C}v_{C}+...=constant.}$$

Этот закон сохранения применим ко всем взаимодействиям, включая столкновения (как упругие, так и неупругие ) и разделения, вызванные взрывными силами. ^[4] Его также можно обобщить на ситуации, где законы Ньютона не выполняются, например, в теории относительности и в электродинамике . ^[6]

Зависимость от системы отсчета

Импульс — это измеримая величина, и измерение зависит от системы отсчета . Например: если самолет массой 1000 кг летит по воздуху со скоростью 50 м/с, его импульс можно рассчитать как 50 000 кг.м/с. Если самолет летит навстречу ветру со скоростью 5 м/с, его скорость относительно поверхности Земли составляет всего 45 м/с, а его импульс можно рассчитать как 45 000 кг.м/с. Оба расчета одинаково верны. В обеих системах отсчета любое изменение импульса будет признано соответствующим соответствующим законам физики.

Предположим, что x — это положение в инерциальной системе отсчета. С точки зрения другой системы отсчета, движущейся с постоянной скоростью u относительно другой, положение (представленное штрихованной координатой) изменяется со временем как

$${\displaystyle x'=x-ut\,.}$$

Это называется преобразованием Галилея .

Если частица движется со скоростью ⁠д х/д т⁠ = v в первой системе отсчета, во второй он движется со скоростью

$${\displaystyle v'={\frac {{\text{d}}x'}{{\text{d}}t}}=v-u\,.}$$

Поскольку u не меняется, вторая система отсчета также является инерциальной и ускорения одинаковы:

$${\displaystyle a'={\frac {{\text{d}}v'}{{\text{d}}t}}=a\,.}$$

Таким образом, импульс сохраняется в обеих системах отсчета. Более того, пока сила имеет одинаковую форму, в обеих системах отсчета второй закон Ньютона неизменен. Такие силы, как ньютоновская гравитация, которые зависят только от скалярного расстояния между объектами, удовлетворяют этому критерию. Эта независимость от системы отсчета называется ньютоновской относительностью или галилеевской инвариантностью . ^[7]

Изменение системы отсчета часто может упростить расчеты движения. Например, при столкновении двух частиц можно выбрать систему отсчета, в которой одна частица начинает движение в состоянии покоя. Другая, обычно используемая система отсчета — это система центра масс , которая движется вместе с центром масс. В этой системе полный импульс равен нулю.

Применение к столкновениям

Если две частицы, каждая из которых имеет известный импульс, сталкиваются и сливаются, закон сохранения импульса может быть использован для определения импульса слившегося тела. Если результатом столкновения является разделение двух частиц, закон недостаточен для определения импульса каждой частицы. Если импульс одной частицы после столкновения известен, закон может быть использован для определения импульса другой частицы. Альтернативно, если известна объединенная кинетическая энергия после столкновения, закон может быть использован для определения импульса каждой частицы после столкновения. ^[8] Кинетическая энергия обычно не сохраняется. Если она сохраняется, столкновение называется упругим столкновением ; если нет, это неупругое столкновение .

Упругие столкновения

Упругий удар равных масс

Упругое столкновение неравных масс

Упругое столкновение — это столкновение, при котором кинетическая энергия не преобразуется в тепло или какую-либо другую форму энергии. Совершенно упругие столкновения могут происходить, когда объекты не касаются друг друга, как, например, при атомном или ядерном рассеянии, когда электрическое отталкивание удерживает объекты на расстоянии. Маневр спутника вокруг планеты, похожий на рогатку, также можно рассматривать как совершенно упругое столкновение. Столкновение двух бильярдных шаров является хорошим примером почти полностью упругого столкновения из-за их высокой жесткости , но когда тела соприкасаются, всегда происходит некоторое рассеивание . ^[9]

Упругое лобовое столкновение двух тел можно представить скоростями в одном измерении, вдоль линии, проходящей через тела. Если скорости равны v _A1 и v _B1 до столкновения и v _A2 и v _B2 после, то уравнения, выражающие сохранение импульса и кинетической энергии, следующие:

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}&=m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B1}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A2}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B2}^{2}\,.\end{aligned}}}$$

Изменение системы отсчета может упростить анализ столкновения. Например, предположим, что есть два тела одинаковой массы m , одно из которых неподвижно, а другое приближается к другому со скоростью v (как на рисунке). Центр масс движется со скоростью ⁠в/2⁠ и оба тела движутся к нему со скоростью ⁠в/2⁠ . Из-за симметрии после столкновения оба должны удаляться от центра масс с одинаковой скоростью. Прибавляя к обоим скорость центра масс, мы обнаруживаем, что тело, которое двигалось, теперь остановилось, а другое удаляется со скоростью v . Тела обменялись скоростями. Независимо от скоростей тел, переключение на систему отсчета центра масс приводит нас к тому же выводу. Поэтому окончательные скорости определяются как ^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=v_{B1}\\v_{B2}&=v_{A1}\,.\end{aligned}}}$$

В общем случае, когда известны начальные скорости, конечные скорости определяются по формуле ^[10]

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=\left({\frac {m_{A}-m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{A1}+\left({\frac {2m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{B1}\\v_{B2}&=\left({\frac {m_{B}-m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{B1}+\left({\frac {2m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{A1}\,.\end{aligned}}}$$

Если масса одного тела намного больше массы другого, то его скорость мало пострадает от столкновения, в то время как другое тело испытает большие изменения.

Неупругие столкновения

абсолютно неупругое столкновение между равными массами

При неупругом столкновении часть кинетической энергии сталкивающихся тел преобразуется в другие формы энергии (например, тепло или звук ). Примерами служат дорожные столкновения , ^[11] в которых эффект потери кинетической энергии можно увидеть в повреждении транспортных средств; электроны, теряющие часть своей энергии атомам (как в эксперименте Франка-Герца ); ^[12] и ускорители частиц , в которых кинетическая энергия преобразуется в массу в виде новых частиц.

При абсолютно неупругом столкновении (например, когда насекомое ударяется о лобовое стекло) оба тела после этого движутся одинаково. Лобовое неупругое столкновение двух тел можно представить скоростями в одном измерении вдоль линии, проходящей через тела. Если скорости равны v _A1 и v _B1 до столкновения, то при абсолютно неупругом столкновении оба тела будут двигаться со скоростью v ₂ после столкновения. Уравнение, выражающее сохранение импульса, имеет вид:

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}&=\left(m_{A}+m_{B}\right)v_{2}\,.\end{aligned}}}$$

Если одно тело изначально неподвижно (например, ), то уравнение сохранения импульса имеет вид ${\displaystyle u_{2}=0}$

$${\displaystyle m_{A}v_{A1}=\left(m_{A}+m_{B}\right)v_{2}\,,}$$

так

$${\displaystyle v_{2}={\frac {m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}v_{A1}\,.}$$

В другой ситуации, если система отсчета движется с конечной скоростью, такой что , объекты будут остановлены абсолютно неупругим столкновением, и 100% кинетической энергии преобразуется в другие формы энергии. В этом случае начальные скорости тел будут ненулевыми, или тела должны будут быть безмассовыми. ${\displaystyle v_{2}=0}$

Одной из мер неупругости столкновения является коэффициент восстановления C _R , определяемый как отношение относительной скорости разделения к относительной скорости сближения. Применяя эту меру к мячу, отскакивающему от твердой поверхности, это можно легко измерить с помощью следующей формулы: ^[13]

$${\displaystyle C_{\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{bounce height}}{\text{drop height}}}}\,.}$$

Уравнения импульса и энергии также применяются к движению объектов, которые начинаются вместе, а затем расходятся. Например, взрыв является результатом цепной реакции, которая преобразует потенциальную энергию, хранящуюся в химической, механической или ядерной форме, в кинетическую энергию, акустическую энергию и электромагнитное излучение. Ракеты также используют сохранение импульса: топливо выталкивается наружу, приобретая импульс, а равный и противоположный импульс передается ракете. ^[14]

Множественные измерения

Двумерное упругое столкновение. Нет движения, перпендикулярного изображению, поэтому для представления скоростей и импульсов нужны только два компонента. Два синих вектора представляют скорости после столкновения и складываются векторно, чтобы получить начальную (красную) скорость.

Реальное движение имеет как направление, так и скорость и должно быть представлено вектором . В системе координат с осями x , y , z скорость имеет компоненты v _x в направлении x , v _y в направлении y , v _z в направлении z . Вектор представлен жирным символом: ^[15]

$${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right).}$$

Аналогично, импульс является векторной величиной и обозначается жирным шрифтом:

$${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{x},p_{y},p_{z}\right).}$$

Уравнения в предыдущих разделах работают в векторной форме, если скаляры p и v заменить векторами p и v . Каждое векторное уравнение представляет собой три скалярных уравнения. Например,

$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$$

представляет собой три уравнения: ^[15]

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{z}.\end{aligned}}}$$

Уравнения кинетической энергии являются исключениями из вышеуказанного правила замены. Уравнения по-прежнему одномерны, но каждый скаляр представляет величину вектора , например,

$${\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\,.}$$

Каждое векторное уравнение представляет три скалярных уравнения. Часто координаты можно выбрать так, чтобы было достаточно только двух компонентов, как на рисунке. Каждый компонент можно получить отдельно, а результаты объединить для получения векторного результата. ^[15]

Простая конструкция, включающая систему координат центра масс, может быть использована для того, чтобы показать, что если неподвижная упругая сфера сталкивается с движущейся сферой, то после столкновения они разлетятся под прямым углом (как на рисунке). ^[16]

Объекты переменной массы

Концепция импульса играет фундаментальную роль в объяснении поведения объектов переменной массы, таких как ракета, выбрасывающая топливо, или звезда, аккрецирующая газ. При анализе такого объекта масса объекта рассматривается как функция, которая меняется со временем: m ( t ) . Таким образом, импульс объекта в момент времени t равен p ( t ) = m ( t ) v ( t ) . Затем можно попытаться применить второй закон движения Ньютона, сказав, что внешняя сила F, действующая на объект, связана с его импульсом p ( t ) соотношением F = ⁠д п/д т⁠ , но это неверно, как и связанное выражение, найденное путем применения правила произведения к ⁠г ( м в )/д т⁠ : ^[17]

$${\displaystyle F=m(t){\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}+v(t){\frac {{\text{d}}m}{{\text{d}}t}}.{\text{(incorrect)}}}$$

Это уравнение не описывает правильно движение объектов переменной массы. Правильное уравнение:

$${\displaystyle F=m(t){\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}-u{\frac {{\text{d}}m}{{\text{d}}t}},}$$

где u — скорость выброшенной/присоединенной массы , наблюдаемая в системе покоя объекта . ^[17] Это отличается от v , которая является скоростью самого объекта, наблюдаемой в инерциальной системе.

Это уравнение выводится путем отслеживания как импульса объекта, так и импульса выброшенной/присоединенной массы ( d m ). При совместном рассмотрении объект и масса ( d m ) образуют замкнутую систему, в которой сохраняется полный импульс.

$${\displaystyle P(t+{\text{d}}t)=(m-{\text{d}}m)(v+{\text{d}}v)+{\text{d}}m(v-u)=mv+m{\text{d}}v-u{\text{d}}m=P(t)+m{\text{d}}v-u{\text{d}}m}$$

Обобщенный

Законы Ньютона могут быть трудно применимы ко многим видам движения, поскольку движение ограничено ограничениями . Например, бусина на счетах ограничена движением по своей проволоке, а маятниковый груз ограничен качанием на фиксированном расстоянии от оси вращения. Многие такие ограничения могут быть включены путем изменения обычных декартовых координат на набор обобщенных координат , число которых может быть меньше. ^[18] Были разработаны усовершенствованные математические методы для решения задач механики в обобщенных координатах. Они вводят обобщенный импульс , также известный как канонический импульс или сопряженный импульс , который расширяет концепции как линейного импульса, так и углового импульса . Чтобы отличить его от обобщенного импульса, произведение массы и скорости также называют механическим импульсом , кинетическим импульсом или кинематическим импульсом . ^{[6] [19] [20]} Два основных метода описаны ниже.

Лагранжева механика

В механике Лагранжа лагранжиан определяется как разность между кинетической энергией T и потенциальной энергией V :

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V\,.}$$

Если обобщенные координаты представлены в виде вектора q = ( q ₁ , q ₂ , ... , q _N ) , а дифференциация по времени представлена ​​точкой над переменной, то уравнения движения (известные как уравнения Лагранжа или Эйлера–Лагранжа ) представляют собой набор из N уравнений: ^[21]

$${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{j}}}=0\,.}$$

Если координата q _i не является декартовой координатой, то соответствующая обобщенная компонента импульса p _i не обязательно имеет размерность линейного импульса. Даже если q _i является декартовой координатой, p _i не будет тем же самым, что и механический импульс, если потенциал зависит от скорости. ^[6] Некоторые источники представляют кинематический импульс символом Π . ^[22]

В этой математической структуре обобщенный импульс связан с обобщенными координатами. Его компоненты определяются как

$${\displaystyle p_{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\,.}$$

Говорят, что каждая компонента p _j является сопряженным импульсом для координаты q _j .

Теперь, если заданная координата q _i не появляется в лагранжиане (хотя ее производная по времени может появиться), то p _j является константой. Это обобщение закона сохранения импульса. ^[6]

Даже если обобщенные координаты — это просто обычные пространственные координаты, сопряженные импульсы не обязательно являются обычными координатами импульса. Пример можно найти в разделе об электромагнетизме.

Гамильтонова механика

В гамильтоновой механике лагранжиан (функция обобщенных координат и их производных) заменяется гамильтонианом, который является функцией обобщенных координат и импульса. Гамильтониан определяется как

$${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t\right)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}\left(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t\right)\,,}$$

где импульс получается путем дифференцирования лагранжиана, как указано выше. Гамильтоновы уравнения движения ^[23]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}_{i}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\\-{\dot {p}}_{i}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}\\-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}&={\frac {{\text{d}}{\mathcal {H}}}{{\text{d}}t}}\,.\end{aligned}}}$$

Как и в механике Лагранжа, если обобщенная координата не появляется в гамильтониане, ее сопряженная компонента импульса сохраняется. ^[24]

Симметрия и сохранение

Сохранение импульса является математическим следствием однородности ( симметрии сдвига ) пространства (положение в пространстве является канонической сопряженной величиной импульса). То есть сохранение импульса является следствием того факта, что законы физики не зависят от положения; это частный случай теоремы Нётер . ^[25] Для систем, не обладающих этой симметрией, может оказаться невозможным определить сохранение импульса. Примерами, где сохранение импульса не применяется, являются искривленное пространство-время в общей теории относительности ^[26] или кристаллы времени в физике конденсированного состояния . ^{[27] [28] [29] [30]}

Плотность импульса

В деформируемых телах и жидкостях

Сохранение в континууме

Движение материального тела

В таких областях, как динамика жидкости и механика твердого тела , невозможно проследить движение отдельных атомов или молекул. Вместо этого материалы должны быть аппроксимированы континуумом , в котором в каждой точке есть частица или жидкий пакет , которому назначено среднее значение свойств атомов в небольшой области поблизости. В частности, он имеет плотность ρ и скорость v , которые зависят от времени t и положения r . Импульс на единицу объема равен ρ v . ^[31]

Рассмотрим столб воды в гидростатическом равновесии . Все силы, действующие на воду, находятся в равновесии, и вода неподвижна. На любую каплю воды уравновешены две силы. Первая — это сила тяжести, которая действует непосредственно на каждый атом и молекулу внутри. Сила тяжести на единицу объема равна ρ g , где g — ускорение свободного падения . Вторая сила — это сумма всех сил, действующих на ее поверхность окружающей водой. Сила снизу больше силы сверху ровно на величину, необходимую для уравновешивания силы тяжести. Нормальная сила на единицу площади — это давление p . Средняя сила на единицу объема внутри капли — это градиент давления, поэтому уравнение баланса сил имеет вид ^[32]

$${\displaystyle -\nabla p+\rho \mathbf {g} =0\,.}$$

Если силы не уравновешены, капля ускоряется. Это ускорение не просто частная производная ⁠∂ v/∂ т⁠ потому что жидкость в данном объеме изменяется со временем. Вместо этогонужна материальная производная : ^[33]

$${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\,.}$$

Применительно к любой физической величине материальная производная включает скорость изменения в точке и изменения, вызванные адвекцией , когда жидкость переносится мимо точки. На единицу объема скорость изменения импульса равна ρ ⁠Д в/Д т⁠ . Это равно суммарной силе, действующей на каплю.

Силы, которые могут изменить импульс капли, включают градиент давления и гравитацию, как указано выше. Кроме того, поверхностные силы могут деформировать каплю. В простейшем случае касательное напряжение τ , оказываемое силой, параллельной поверхности капли, пропорционально скорости деформации или скорости деформации . Такое касательное напряжение возникает, если жидкость имеет градиент скорости, поскольку жидкость движется быстрее с одной стороны, чем с другой. Если скорость в направлении x изменяется с z , то касательная сила в направлении x на единицу площади, нормальная к направлению z , равна

$${\displaystyle \sigma _{zx}=-\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\,,}$$

где μ - вязкость . Это также поток , или поток на единицу площади, x -импульса через поверхность. ^[34]

Уравнения баланса импульса для несжимаемого потока ньютоновской жидкости, включающие влияние вязкости, имеют вид

$${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-{\boldsymbol {\nabla }}p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\rho \mathbf {g} .\,}$$

Они известны как уравнения Навье-Стокса . ^[35]

Уравнения баланса импульса можно распространить на более общие материалы, включая твердые тела. Для каждой поверхности с нормалью в направлении i и силой в направлении j существует компонент напряжения σ _{i j} . Девять компонентов составляют тензор напряжения Коши σ , который включает как давление, так и сдвиг. Локальное сохранение импульса выражается уравнением импульса Коши :

$${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} \,,}$$

где f — объемная сила . ^[36]

Уравнение импульса Коши широко применимо к деформациям твердых тел и жидкостей. Соотношение между напряжениями и скоростью деформации зависит от свойств материала (см. Типы вязкости ).

Акустические волны

Возмущение в среде приводит к колебаниям или волнам , которые распространяются от источника. В жидкости небольшие изменения давления p часто можно описать уравнением акустической волны :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}p\,,}$$

где c — скорость звука . В твердом теле можно получить аналогичные уравнения для распространения давления ( P-волны ) и сдвига ( S-волны ). ^[37]

Поток, или перенос на единицу площади, компонента импульса ρ v _j скоростью v _i равен ρ v _j v _j . ^{[ сомнительно – обсудить ]} В линейном приближении, которое приводит к приведенному выше акустическому уравнению, среднее по времени этого потока равно нулю. Однако нелинейные эффекты могут привести к ненулевому среднему значению. ^[38] Возможно возникновение потока импульса, даже если сама волна не имеет среднего импульса. ^[39]

В электромагнетизме

Частица в поле

В уравнениях Максвелла силы между частицами опосредованы электрическими и магнитными полями. Электромагнитная сила ( сила Лоренца ) на частицу с зарядом q из-за комбинации электрического поля E и магнитного поля B равна

F = q ( E + v × B ) . {\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).}

(в единицах СИ ). ^{[40] : 2} Он имеет электрический потенциал φ ( r , t ) и магнитный векторный потенциал A ( r , t ) . ^[22] В нерелятивистском режиме его обобщенный импульс равен

$${\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} ,}$$

в то время как в релятивистской механике это становится

$${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} .}$$

Величину V = q A иногда называют потенциальным импульсом . ^{[41] [42] [43]} Это импульс, обусловленный взаимодействием частицы с электромагнитными полями. Название является аналогией с потенциальной энергией U = q φ , которая является энергией, обусловленной взаимодействием частицы с электромагнитными полями. Эти величины образуют четырехвектор, поэтому аналогия является последовательной; кроме того, концепция потенциального импульса важна для объяснения так называемого скрытого импульса электромагнитных полей. ^[44]

Сохранение

В ньютоновской механике закон сохранения импульса может быть выведен из закона действия и противодействия , который гласит, что каждая сила имеет возвратно-поступательную равную и противоположную силу. При некоторых обстоятельствах движущиеся заряженные частицы могут оказывать силы друг на друга в непротивоположных направлениях. ^[45] Тем не менее, объединенный импульс частиц и электромагнитного поля сохраняется.

Вакуум

Сила Лоренца сообщает импульс частице, поэтому по второму закону Ньютона частица должна сообщать импульс электромагнитным полям. ^[46]

В вакууме импульс на единицу объема равен

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,,}$$

где μ ₀ — проницаемость вакуума , а c — скорость света . Плотность импульса пропорциональна вектору Пойнтинга S , который дает направленную скорость передачи энергии на единицу площади: ^{[46] [47]}

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,.}$$

Если импульс должен сохраняться по объему V в области Q , изменения импульса материи через силу Лоренца должны быть уравновешены изменениями импульса электромагнитного поля и оттоком импульса. Если P _mech — это импульс всех частиц в Q , а частицы рассматриваются как континуум, то второй закон Ньютона дает

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\mathbf {P} _{\text{mech}}}{{\text{d}}t}}=\iiint \limits _{Q}\left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right){\text{d}}V\,.}$$

Электромагнитный импульс равен

$${\displaystyle \mathbf {P} _{\text{field}}={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}\iiint \limits _{Q}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,dV\,,}$$

и уравнение сохранения каждого компонента i импульса имеет вид

$${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(\mathbf {P} _{\text{mech}}+\mathbf {P} _{\text{field}}\right)_{i}=\iint \limits _{\sigma }\left(\sum \limits _{j}T_{ij}n_{j}\right){\text{d}}\Sigma \,.}$$

Член справа представляет собой интеграл по площади поверхности Σ поверхности σ, представляющей поток импульса в объем и из него, а n _j является компонентом нормали к поверхности S. Величина T _{i j} называется тензором напряжений Максвелла , определяемым как ^[46]

$${\displaystyle T_{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right)\,.}$$

СМИ

Вышеприведенные результаты относятся к микроскопическим уравнениям Максвелла, применимым к электромагнитным силам в вакууме (или в очень малых масштабах в среде). Сложнее определить плотность импульса в среде, поскольку разделение на электромагнитные и механические является произвольным. Определение плотности электромагнитного импульса изменено на

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} \times \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,,}$$

где H-поле H связано с B-полем и намагниченностью M соотношением

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {H} +\mathbf {M} \right)\,.}$$

Тензор электромагнитных напряжений зависит от свойств среды. ^[46]

Неклассический

Квантово-механический

В квантовой механике импульс определяется как самосопряженный оператор волновой функции . Принцип неопределенности Гейзенберга определяет пределы того, насколько точно импульс и положение отдельной наблюдаемой системы могут быть известны одновременно. В квантовой механике положение и импульс являются сопряженными переменными .

Для одной частицы, описанной в базисе положения, оператор импульса можно записать как

$${\displaystyle \mathbf {p} ={\hbar \over i}\nabla =-i\hbar \nabla \,,}$$

где ∇ — оператор градиента , ħ — приведенная постоянная Планка , а i — мнимая единица . Это часто встречающаяся форма оператора импульса, хотя оператор импульса в других базисах может принимать другие формы. Например, в пространстве импульсов оператор импульса представлен уравнением собственных значений

$${\displaystyle \mathbf {p} \psi (p)=p\psi (p)\,,}$$

где оператор p, действующий на волновую собственную функцию ψ ( p ), дает эту волновую функцию, умноженную на собственное значение p , аналогично тому, как оператор положения, действующий на волновую функцию ψ ( x ), дает эту волновую функцию, умноженную на собственное значение x .

Как для массивных, так и для безмассовых объектов релятивистский импульс связан с фазовой константой β соотношением ^[48]

$${\displaystyle p=\hbar \beta }$$

Электромагнитное излучение (включая видимый свет , ультрафиолетовый свет и радиоволны ) переносится фотонами . Несмотря на то, что фотоны (частичный аспект света) не имеют массы, они все равно несут импульс. Это приводит к таким приложениям, как солнечный парус . Расчет импульса света в диэлектрических средах является несколько спорным (см. спор Абрахама–Минковского ). ^{[49] [50]}

Релятивистский

Лоренц-инвариантность

Ньютоновская физика предполагает, что абсолютное время и пространство существуют вне любого наблюдателя; это приводит к галилеевой инвариантности . Это также приводит к предсказанию, что скорость света может меняться от одной системы отсчета к другой. Это противоречит тому, что наблюдалось. В специальной теории относительности Эйнштейн сохраняет постулат о том, что уравнения движения не зависят от системы отсчета, но предполагает, что скорость света c является инвариантной. В результате положение и время в двух системах отсчета связаны преобразованием Лоренца вместо преобразования Галилея . ^[51]

Рассмотрим, например, одну систему отсчета, движущуюся относительно другой со скоростью v в направлении x . Преобразование Галилея дает координаты движущейся системы как

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=t\\x'&=x-vt\end{aligned}}}$$

в то время как преобразование Лоренца дает ^[52]

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\,\end{aligned}}}$$

где γ — фактор Лоренца :

γ знак равно 1 1 - v 2 / c 2 . {\displaystyle \gamma = {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}

Второй закон Ньютона, при фиксированной массе, не инвариантен относительно преобразования Лоренца. Однако его можно сделать инвариантным, сделав инертную массу m объекта функцией скорости:

$${\displaystyle m=\gamma m_{0}\,;}$$

m ₀ — инвариантная масса объекта. ^[53]

Модифицированный импульс,

$${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \,,}$$

подчиняется второму закону Ньютона:

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\,.}$$

В области классической механики релятивистский импульс близко приближается к ньютоновскому импульсу: при низкой скорости γ m ₀ v приблизительно равен m ₀ v , ньютоновскому выражению для импульса.

Формулировка четырех векторов

В специальной теории относительности физические величины выражаются в терминах четырехвекторов , которые включают время как четвертую координату вместе с тремя пространственными координатами. Эти векторы обычно обозначаются заглавными буквами, например R для положения. Выражение для четырехимпульса зависит от того, как выражены координаты. Время может быть задано в его обычных единицах или умножено на скорость света, так что все компоненты четырехвектора имеют размерность длины. Если используется последнее масштабирование, интервал собственного времени , τ , определяемый как ^[54]

$${\displaystyle c^{2}{\text{d}}\tau ^{2}=c^{2}{\text{d}}t^{2}-{\text{d}}x^{2}-{\text{d}}y^{2}-{\text{d}}z^{2}\,,}$$

инвариантен относительно преобразований Лоренца (в этом выражении и далее использовалась метрическая сигнатура (+ − − −) , разные авторы используют разные соглашения). Математически эта инвариантность может быть обеспечена одним из двух способов: рассматривая 4-векторы как евклидовы векторы и умножая время на √ −1 ; или сохраняя время действительной величиной и встраивая векторы в пространство Минковского . ^[55] В пространстве Минковского скалярное произведение двух 4-векторов U = ( U ₀ , U ₁ , U ₂ , U ₃ ) и V = ( V ₀ , V ₁ , V ₂ , V ₃ ) определяется как

$${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U_{0}V_{0}-U_{1}V_{1}-U_{2}V_{2}-U_{3}V_{3}\,.}$$

Во всех системах координат ( контравариантная ) релятивистская четырехскорость определяется как

$${\displaystyle \mathbf {U} \equiv {\frac {{\text{d}}\mathbf {R} }{{\text{d}}\tau }}=\gamma {\frac {{\text{d}}\mathbf {R} }{{\text{d}}t}}\,,}$$

и (контравариантный) четырехимпульс равен

п знак равно м 0 U , {\ displaystyle \ mathbf {P} = m_ {0} \ mathbf {U} \,,}

где m ₀ — инвариантная масса. Если R = ( c t , x , y , z ) (в пространстве Минковского), то

$${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m_{0}\left(c,\mathbf {v} \right)=(mc,\mathbf {p} )\,.}$$

Используя эквивалентность массы и энергии Эйнштейна , E = m c ² , это можно переписать как

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,.}$$

Таким образом, сохранение 4-импульса является лоренц-инвариантным и подразумевает сохранение как массы, так и энергии.

Величина четырехвектора импульса равна m ₀ c :

$${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =\gamma ^{2}m_{0}^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)=(m_{0}c)^{2}\,,}$$

и является инвариантным во всех системах отсчета.

Релятивистское соотношение энергии и импульса справедливо даже для безмассовых частиц, таких как фотоны; положив m ₀ = 0, следует, что

$${\displaystyle E=pc\,.}$$

В игре в релятивистский «бильярд», если неподвижная частица сталкивается с движущейся частицей в упругом столкновении, траектории, образованные двумя частицами, образуют острый угол. Это отличается от нерелятивистского случая, где они движутся под прямым углом. ^[56]

Четырех-импульс плоской волны можно связать с волновым четырех-вектором ^[57]

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$$

Для частицы соотношение между временными компонентами E = ħ ω представляет собой соотношение Планка–Эйнштейна , а соотношение между пространственными компонентами p = ħ k описывает волну материи де Бройля .

История концепции

Импульс

Иоанн Филопон

Около 530 г. н. э. Иоанн Филопон разработал концепцию импульса в «О физике» , комментарии к «Физике » Аристотеля . Аристотель утверждал, что все, что движется, должно чем-то поддерживаться в движении. Например, брошенный мяч должен поддерживаться в движении движениями воздуха. Филопон указал на абсурдность утверждения Аристотеля о том, что движение объекта обеспечивается тем же воздухом, который сопротивляется его прохождению. Вместо этого он предположил, что импульс сообщается объекту в процессе его броска. ^[58]

Ибн Сина

Ибн Сина
(980–1037)

В 1020 году Ибн Сина (также известный по своему латинизированному имени Авиценна) прочитал Филопона и опубликовал свою собственную теорию движения в «Книге исцеления» . Он согласился с тем, что импульс сообщается снаряду метателем; но в отличие от Филопона, который считал, что это временная добродетель, которая будет уменьшаться даже в вакууме, он рассматривал ее как постоянную, требующую внешних сил, таких как сопротивление воздуха , чтобы рассеять ее. ^{[59] [60] [61]}

Питер Оливи, Жан Буридан

В XIII и XIV веках Пьер Оливи и Жан Буридан читали и дорабатывали труды Филопона и, возможно, Ибн Сины. ^[61] Буридан, который около 1350 года был назначен ректором Парижского университета, ссылался на импульс , пропорциональный весу, умноженному на скорость. Более того, теория Буридана отличалась от теории его предшественника тем, что он не считал импульс саморассеивающимся, утверждая, что тело будет остановлено силами сопротивления воздуха и гравитации, которые могут противостоять его импульсу. ^{[62] [63]}

Количество движения

Рене Декарт

В «Началах философии» ( Principia Philosophiae ) 1644 года французский философ Рене Декарт определил «количество движения» ( лат . quantitas motus ) как произведение размера и скорости ^[64] и утверждал, что общее количество движения во Вселенной сохраняется. ^{[64] [65]}

Рене Декарт
(1596–1650)

Если x в два раза больше y и движется в два раза медленнее, то в каждом случае будет одинаковое количество движения.

[Бог] создал материю вместе с ее движением... просто позволяя вещам идти своим чередом, он сохраняет то же количество движения... которое он заложил в начале.

Это не следует понимать как утверждение современного закона сохранения импульса , поскольку у Декарта не было понятия массы, отличной от веса и размера. (Понятие массы, отличное от веса, было введено Ньютоном в 1686 году.) ^[66] Что еще важнее, он считал, что сохраняется скорость, а не быстродействие. Поэтому для Декарта, если бы движущийся объект отскакивал от поверхности, изменяя свое направление, но не скорость, не произошло бы никаких изменений в его количестве движения. ^{[67] [68] [69]} Галилей в своих «Двух новых науках» (опубликованных в 1638 году) использовал итальянское слово impeto для аналогичного описания количества движения Декарта.

Христиан Гюйгенс

Христиан Гюйгенс
(1629–1695)

В 1600-х годах Христиан Гюйгенс довольно рано пришел к выводу, что законы Декарта для упругого столкновения двух тел должны быть неверны, и сформулировал правильные законы. ^[70] Важным шагом было признание им галилеевой инвариантности проблем. ^[71] Затем потребовалось много лет, чтобы его взгляды стали широко распространены. Он передал их лично Уильяму Брункеру и Кристоферу Рену в Лондоне в 1661 году. ^[72] То, что Спиноза написал о них Генри Ольденбургу в 1666 году во время Второй англо-голландской войны , было сохранено в тайне. ^[73] Гюйгенс фактически разработал их в рукописи De motu corporum ex percussione в период 1652–1656 годов. Война закончилась в 1667 году, и Гюйгенс объявил о своих результатах Королевскому обществу в 1668 году. Он опубликовал их в Journal des sçavans в 1669 году. ^[74]

Импульс

Джон Уоллис

В 1670 году Джон Уоллис в своей работе «Mechanica sive De Motu, Tractatus Geometricus » сформулировал закон сохранения импульса: «начальное состояние тела, будь то покой или движение, сохранится» и «Если сила больше сопротивления, возникнет движение». ^[75] Уоллис использовал импульс для количества движения, а v для силы.

Готфрид Лейбниц

В 1686 году Готфрид Вильгельм Лейбниц в «Рассуждении о метафизике » привел аргумент против конструкции Декарта сохранения «количества движения», используя пример падения блоков разного размера на разные расстояния. Он указывает, что сила сохраняется, но количество движения, понимаемое как произведение размера и скорости объекта, не сохраняется. ^[76]

Исаак Ньютон

Исаак Ньютон
(1642–1727)

В 1687 году Исаак Ньютон в Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , как и Уоллис, продемонстрировал схожий поиск слов для обозначения математического импульса. Его Определение II определяет quantitas motus , «количество движения», как «возникающее из скорости и количества материи совместно», что идентифицирует его как импульс. ^[77] Таким образом, когда в Законе II он ссылается на mutatio motus , «изменение движения», будучи пропорциональным приложенной силе, его обычно считают идущим на импульс, а не на движение. ^[78]

Джон Дженнингс

В 1721 году Джон Дженнингс опубликовал Miscellanea , где засвидетельствован импульс в его нынешнем математическом смысле, за пять лет до окончательного издания Principia Mathematica Ньютона . Импульс M или «количество движения» определялся для студентов как «прямоугольник», произведение Q и V , где Q — «количество материала», а V — «скорость», ⁠с/т⁠ . ^[79]

В 1728 году в «Энциклопедии» говорилось:

Импульс , импульс или количество движения любого тела — это факт [т. е. произведение] его скорости (или пространства, которое оно перемещает за данное время, см. Движение ) , умноженное на его массу.

Смотрите также

• Физический портал

• Угловой момент импульса
• Кристаллический импульс
• Галилеевская пушка
• Уплотнение импульса
• Передача импульса
• Колыбель Ньютона
• Пространство положения и импульса

Ссылки

1. Фейнмановские лекции по физике Том I Гл. 9: Законы динамики Ньютона
2. Законы движения Эйлера. Архивировано из оригинала 2009-07-10 . Получено 2009-03-30 .
3. Макгилл, Дэвид Дж. и Кинг, Уилтон У. (1995). Инженерная механика: Введение в динамику (3-е изд.). PWS. ISBN 978-0-534-93399-9.
4. Фейнмановские лекции по физике Том I Гл. 10: Сохранение импульса
5. Хо-Ким, Куанг; Кумар, Нарендра; Лам, Гарри CS (2004). Приглашение в современную физику (иллюстрированное издание). World Scientific. стр. 19. ISBN 978-981-238-303-7.
6. Гольдштейн 1980, стр. 54–56
7. Гольдштейн 1980, стр. 276
8. Резник и Холлидей (1966), Физика , Раздел 10-3. Wiley Toppan, Библиотека Конгресса 66-11527
9. Nave, Carl (2010). "Упругие и неупругие столкновения". Hyperphysics . Архивировано из оригинала 18 августа 2012 года . Получено 2 августа 2012 года .
10. Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Jr. (2012). Principles of physics: a calculus-based text (5th ed.). Бостон, Массачусетс: Brooks/Cole, Cengage Learning. стр. 245. ISBN 978-1-133-10426-1.
11. Nave, Carl (2010). "Силы при автокатастрофах". Hyperphysics . Архивировано из оригинала 22 августа 2012 года . Получено 2 августа 2012 года .
12. Nave, Carl (2010). "Эксперимент Франка-Герца". Hyperphysics . Архивировано из оригинала 16 июля 2012 года . Получено 2 августа 2012 года .
13. МакГиннис, Питер М. (2005). Биомеханика спорта и упражнений (2-е изд.). Шампейн, Иллинойс: Human Kinetics. стр. 85. ISBN 978-0-7360-5101-9. Архивировано из оригинала 2016-08-19.
14. Sutton, George (2001). "Глава 1: Классификация". Rocket Propulsion Elements (7-е изд.). Чичестер: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-32642-7.
15. Фейнмановские лекции по физике Том I Гл. 11: Векторы
16. Риндлер 1986, стр. 26–27.
17. Kleppner; Kolenkow. Введение в механику . С. 135–139.
18. Гольдштейн 1980, стр. 11–13.
19. Джексон 1975, стр. 574
20. Фейнмановские лекции по физике, том III, гл. 21-3: Два вида импульса
21. Гольдштейн 1980, стр. 20–21.
22. Лернер, Рита Г.; Тригг, Джордж Л., ред. (2005). Энциклопедия физики (3-е изд.). Weinheim: Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-40554-1.
23. Гольдштейн 1980, стр. 341–342.
24. Гольдштейн 1980, стр. 348
25. Hand, Louis N.; Finch, Janet D. (1998). Аналитическая механика (7-е печатное издание). Кембридж: Cambridge University Press. Глава 4. ISBN 978-0-521-57572-0.
26. Виттен, Эдвард (1981). "Новое доказательство теоремы о положительной энергии" (PDF) . Сообщения по математической физике . 80 (3): 381–402. Bibcode :1981CMaPh..80..381W. doi :10.1007/BF01208277. ISSN  0010-3616. S2CID  1035111. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-11-25 . Получено 2020-12-17 .
27. Гроссман, Лиза (18 января 2012 г.). «Кристалл времени, бросающий вызов смерти, может пережить вселенную». New Scientist . Архивировано из оригинала 2017-02-02.
28. Коуэн, Рон (27 февраля 2012 г.). «'Time Crystals' Could Be a Legitimate Form of Perpetual Motion». Scientific American . Архивировано из оригинала 2017-02-02.
29. Пауэлл, Девин (2013). «Может ли материя циклически изменять формы вечно?». Nature . doi :10.1038/nature.2013.13657. ISSN  1476-4687. S2CID  181223762. Архивировано из оригинала 2017-02-03.
30. Гибни, Элизабет (2017). «Попытка кристаллизовать время». Nature . 543 (7644): 164–166. Bibcode :2017Natur.543..164G. doi :10.1038/543164a. ISSN  0028-0836. PMID  28277535. S2CID  4460265. Архивировано из оригинала 2017-03-13.
31. Триттон 2006, стр. 48–51
32. Фейнмановские лекции по физике, том II, гл. 40: Течение сухой воды
33. Триттон 2006, стр. 54
34. Берд, Р. Байрон; Стюарт, Уоррен; Лайтфут, Эдвин Н. (2007). Явления переноса (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. С. 13. ISBN 978-0-470-11539-8.
35. Триттон 2006, стр. 58
36. Ачесон, DJ (1990). Элементарная гидродинамика . Oxford University Press. стр. 205. ISBN 978-0-19-859679-0.
37. Габбинс, Дэвид (1992). Сейсмология и тектоника плит (переизданное издание). Кембридж, Англия: Cambridge University Press. стр. 59. ISBN 978-0-521-37995-3.
38. ЛеБлонд, Пол Х.; Мисак, Лоуренс А. (1980). Волны в океане (2-е изд.). Амстердам: Elsevier. стр. 258. ISBN 978-0-444-41926-2.
39. Макинтайр, ME (1981). «О мифе о „волновом импульсе“». Журнал механики жидкости . 106 : 331–347. Bibcode : 1981JFM...106..331M. doi : 10.1017/s0022112081001626. S2CID  18232994.
40. Джексон 1975
41. Semon, Mark D.; Taylor, John R. (ноябрь 1996 г.). «Мысли о магнитном векторном потенциале». American Journal of Physics . 64 (11): 1361–1369. Bibcode : 1996AmJPh..64.1361S. doi : 10.1119/1.18400. ISSN  0002-9505.
42. Гриффитс, Дэвид Дж. (29 июня 2017 г.). Введение в электродинамику (4-е изд.). Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-42041-9. OCLC  1021068059.
43. Виейра, RS; Брентан, HB (апрель 2018 г.). «Ковариантная теория гравитации в рамках специальной теории относительности». The European Physical Journal Plus . 133 (4): 165. arXiv : 1608.00815 . Bibcode : 2018EPJP..133..165V. doi : 10.1140/epjp/i2018-11988-9. ISSN  2190-5444. S2CID  16691128.
44. Бабсон, Дэвид; Рейнольдс, Стивен П.; Бьоркквист, Робин; Гриффитс, Дэвид Дж. (сентябрь 2009 г.). «Скрытый импульс, импульс поля и электромагнитный импульс». American Journal of Physics . 77 (9): 826–833. Bibcode :2009AmJPh..77..826B. doi :10.1119/1.3152712. ISSN  0002-9505.
45. Гриффитс, Дэвид Дж. (2013). Введение в электродинамику (4-е изд.). Бостон: Pearson. стр. 361. ISBN 978-0-321-85656-2.
46. Jackson 1975, стр. 238–241 Выражения, приведенные в тексте в гауссовых единицах , были преобразованы в единицы СИ с использованием Таблицы 3 в Приложении.
47. Лекции Фейнмана по физике, том II, гл. 27-6: Импульс поля
48. Ван, ZY (2016). «Обобщенное уравнение импульса квантовой механики». Оптическая и квантовая электроника . 48 (2): 1–9. doi :10.1007/s11082-015-0261-8. S2CID  124732329.
49. Барнетт, Стивен М. (2010). «Решение дилеммы Абрахама-Минковского» (PDF) . Physical Review Letters . 104 (7): 070401. Bibcode : 2010PhRvL.104g0401B. doi : 10.1103/PhysRevLett.104.070401. PMID  20366861.
50. Ван Чжун-Юэ; Ван Пинь-Ю; Сюй Янь-Ронг (2011). «Решающий эксперимент для разрешения спора Авраама-Минковского». Оптик . 122 (22): 1994–1996. arXiv : 1103.3559 . Бибкод : 2011Optik.122.1994W. дои : 10.1016/j.ijleo.2010.12.018. S2CID  119209160.
51. Риндлер 1986, Глава 2
52. Лекции Фейнмана по физике, том I, гл. 15-2: Преобразование Лоренца
53. Риндлер 1986, стр. 77–81
54. Риндлер 1986, стр. 66
55. Мизнер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . 24-е издание. Нью-Йорк: WH Freeman. стр. 51. ISBN 978-0-7167-0344-0.
56. Риндлер 1986, стр. 86–87
57. Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Oxford Science Publications. стр. 82–84. ISBN 978-0-19-853952-0.
58. "Джон Филопон". Стэнфордская энциклопедия философии . 8 июня 2007 г. Получено 26 июля 2012 г.
59. Эспиноза, Фернандо (2005). «Анализ исторического развития идей о движении и его значение для обучения». Физическое образование . 40 (2): 141. Bibcode : 2005PhyEd..40..139E. doi : 10.1088/0031-9120/40/2/002. S2CID  250809354.
60. Наср, Сейед Хоссейн ; Разави, Мехди Амин (1996). Исламская интеллектуальная традиция в Персии . Routledge . стр. 72. ISBN 978-0-7007-0314-2.
61. Aydin Sayili (1987). «Ибн Сина и Буридан о движении снаряда». Annals of the New York Academy of Sciences . 500 (1): 477–482. Bibcode : 1987NYASA.500..477S. doi : 10.1111/j.1749-6632.1987.tb37219.x. S2CID  84784804.
62. Глик, Т.Ф.; Ливси, С.Дж.; Уоллис, Ф. «Буридиан, Джон». Средневековая наука, технология и медицина: энциклопедия . п. 107.
63. Парк, Дэвид (1990). Как и почему: эссе о происхождении и развитии физической теории . С рисунками Робина Брикмана (3-е издание). Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. стр. 139–141. ISBN 978-0-691-02508-7.
64. Декарт, Р. (2008) [1644]. Беннетт, Дж. (ред.). Принципы философии (PDF) . Часть II, § 36.
65. Александр Африат (2004). "Декартов и Лагранжев импульс". Архивировано 09.03.2017 на Wayback Machine .
66. Ньютон, I (1729) [Оригинальная работа опубликована в 1686]. Математические начала натуральной философии. Перевод Мотта, А. Напечатано для Бенджамина Мотта. С. 1–2.
67. Гарбер, Дэниел (1992). «Физика Декарта». В Джоне Коттингеме (ред.). Кембриджский компаньон Декарта . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 310–319. ISBN 978-0-521-36696-0.
68. Ротман, Милтон А. (1989). Открытие законов природы: экспериментальная основа физики (2-е изд.). Нью-Йорк: Довер. С. 83–88. ISBN 978-0-486-26178-2.
69. Словик, Эдвард (осень 2017 г.). «Физика Декарта». В Zalta, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Получено 29 ноября 2019 г.
70. Татон, Рене, ред. (1964) [1958]. Начало современной науки . Основные книги.
71. Гарбер и Айерс, стр. 666–667.
72. Гарбер и Айерс, стр. 689.
73. Израиль, Джонатан И. (8 февраля 2001 г.). Радикальное Просвещение: Философия и создание современности 1650–1750. Oxford University Press. стр. lxii–lxiii. ISBN 978-0-19-162287-8. Получено 11 мая 2013 г.
74. Словарь, стр. 470.
75. Скотт, Дж. Ф. (1981). Математическая работа Джона Уоллиса, доктора богословия, члена Королевского общества . Chelsea Publishing Company. стр. 111. ISBN 978-0-8284-0314-6.
76. Лейбниц, GW (1989). «Рассуждение о метафизике». В Ariew, Roger; Garber, Daniel (ред.). Philosophical Essays . Индианаполис, Индиана: Hackett. стр. 49–51. ISBN 978-0-87220-062-3.
77. Гримсель, Эрнст (1932). Учебник физики . Перевод Вудворда, Леонарда Эри. Лондон и Глазго: Blackie & Son. стр. 78.
78. Ресиньо, Альдо (2003). Основы фармакокинетики . Нью-Йорк: Kluwer Academic/Plenum. стр. 19. ISBN 978-0-306-47704-1.
79. Дженнингс, Джон (1721). Разное в Usum Juventutis Academicae (на латыни). Нортгемптон: Р. Эйкс и Дж. Дайси. п. 67.

Библиография

• Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт (13 августа 2013 г.). Основы физики. John Wiley & Sons. Глава 9. ISBN 978-1-118-23071-8.
• Дюгас, Рене (1988). История механики . Переведено на английский язык Дж. Р. Мэддоксом (ред. Довер). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-65632-8.
• Фейнман, Ричард П.; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс, Мэтью (2005). Лекции Фейнмана по физике, том 1: Главным образом механика, излучение и тепло (Окончательное издание). Сан-Франциско: Pearson Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-9046-9.
• Фейнман, Ричард П.; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс, Мэтью (2006). Лекции Фейнмана по физике (Окончательное издание). Сан-Франциско: Pearson Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-9047-6.
• Фейнман, Ричард П.; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс, Мэтью (2005). Лекции Фейнмана по физике, том III: Квантовая механика (Окончательное издание). Нью-Йорк: BasicBooks. ISBN 978-0-8053-9049-0.
• Goldstein, Herbert (1980). Классическая механика (2-е изд.). Reading, MA: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 978-0-201-02918-5.
• Хэнд, Луис Н.; Финч, Джанет Д. Аналитическая механика . Издательство Кембриджского университета. Глава 4.
• Джексон, Джон Дэвид (1975). Классическая электродинамика (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 978-0-471-43132-9.
• Джаммер, Макс (1999). Концепции силы: исследование основ динамики (ред. Facsim). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-40689-3.
• Ландау, Л. Д.; Лифшиц, Э. М. (2000). Классическая теория полей . Английское издание, перепечатано с исправлениями; перевод с русского Мортона Хамермеша (4-е изд.). Оксфорд: Butterworth Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9.
• Риндлер, Вольфганг (1986). Essential Relativity: Special, general and cosmological (2nd ed.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-10090-6.
• Serway, Raymond; Jewett, John (2003). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
• Стенгер, Виктор Дж. (2000). Вневременная реальность: симметрия, простота и множественные вселенные . Книги Прометея. стр. Глава 12 в частности.
• Типлер, Пол (1998). Физика для ученых и инженеров: Том 1: Механика, колебания и волны, термодинамика (4-е изд.). WH Freeman. ISBN 978-1-57259-492-0.
• Триттон, DJ (2006). Физическая динамика жидкости (2-е изд.). Оксфорд: Clarendon Press. стр. 58. ISBN 978-0-19-854493-7.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Momentum на Wikimedia Commons
• Сохранение импульса – Глава из онлайн-учебника