Триангулированная категория

В математике триангулированная категория — это категория с дополнительной структурой «функтора трансляции» и классом «точных треугольников». Яркими примерами являются производная категория абелевой категории , а также стабильная гомотопическая категория . Точные треугольники обобщают короткие точные последовательности в абелевой категории, а также последовательности волокон и последовательности коволокон в топологии.

Большая часть гомологической алгебры проясняется и расширяется языком триангулированных категорий, важным примером которого является теория когомологий пучков . В 1960-х годах типичным использованием триангулированных категорий было расширение свойств пучков на пространстве X на комплексы пучков, рассматриваемые как объекты производной категории пучков на X. Совсем недавно триангулированные категории стали объектами интереса сами по себе. Было доказано или высказано предположение о многих эквивалентностях между триангулированными категориями различного происхождения. Например, гипотеза гомологической зеркальной симметрии предсказывает, что производная категория многообразия Калаби–Яу эквивалентна категории Фукая его «зеркального» симплектического многообразия . Оператор сдвига является декатегоризованным аналогом триангулированной категории.

История

Триангулированные категории были введены независимо Дитером Пуппе (1962) и Жаном-Луи Вердье (1963), хотя аксиомы Пуппе были менее полными (отсутствовала аксиома октаэдра (TR 4)). ^[1] Пуппе был мотивирован стабильной гомотопической категорией. Ключевым примером Вердье была производная категория абелевой категории, которую он также определил, развивая идеи Александра Гротендика . Ранние приложения производных категорий включали когерентную двойственность и двойственность Вердье , которая расширяет двойственность Пуанкаре на сингулярные пространства.

Определение

Функтор сдвига или трансляции в категории D — это аддитивный автоморфизм (или, по мнению некоторых авторов, автоэквивалентность ) из D в D. Для целых чисел n принято писать . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X[n]=\Sigma ^{n}X}$

Треугольник ( X , Y , Z , u , v , w ) состоит из трех объектов X , Y и Z , а также морфизмов и . Треугольники обычно записываются в развернутой форме : ${\displaystyle u\colon X\to Y}$ ${\displaystyle v\colon Y\to Z}$ ${\displaystyle w\colon Z\to X[1]}$

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1],}$

или

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}}$

для краткости.

Триангулированная категория — это аддитивная категория D с функтором переноса и классом треугольников, называемых точными треугольниками ^[2] (или выделенными треугольниками ), удовлетворяющими следующим свойствам (TR 1), (TR 2), (TR 3) и (TR 4). (Эти аксиомы не являются полностью независимыми, поскольку (TR 3) может быть выведена из других. ^[3] )

ТР 1

• Для каждого объекта X следующий треугольник является точным:

${\displaystyle X{\overset {\text{id}}{\to }}X\to 0\to X[1]}$

• Для каждого морфизма существует объект Z (называемый конусом или коволокном морфизма u ), вписывающийся в точный треугольник ${\displaystyle u\colon X\to Y}$

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y\to Z\to X[1]}$

Название «конус» происходит от конуса отображения цепных комплексов , которое в свою очередь было вдохновлено отображением конуса в топологии. Из других аксиом следует, что точный треугольник (и в частности объект Z ) определяется с точностью до изоморфизма морфизмом , хотя и не всегда с точностью до единственного изоморфизма. ^[4] ${\displaystyle X\to Y}$

• Каждый треугольник, изоморфный точному треугольнику, является точным. Это означает, что если

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]}$

— точный треугольник, а , , и — изоморфизмы, тогда ${\displaystyle f\colon X\to X'}$ ${\displaystyle g\colon Y\to Y'}$ ${\displaystyle h\colon Z\to Z'}$

${\displaystyle X'{\xrightarrow {guf^{-1}}}Y'{\xrightarrow {hvg^{-1}}}Z'{\xrightarrow {f[1]wh^{-1}}}X'[1]}$

также является точным треугольником.

ТР 2

Если

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]}$

является точным треугольником, то и два повернутые треугольника являются такими же

${\displaystyle Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]{\xrightarrow {-u[1]}}Y[1]}$

и

${\displaystyle Z[-1]{\xrightarrow {-w[-1]}}X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z.\ }$

Ввиду последнего треугольника объект Z [−1] называется слоем морфизма . ${\displaystyle X\to Y}$

Второй повернутый треугольник имеет более сложную форму, когда и не являются изоморфизмами, а только взаимно обратными эквивалентностями категорий, поскольку является морфизмом из в , и чтобы получить морфизм в нужно составить композицию с естественным преобразованием . Это приводит к сложным вопросам о возможных аксиомах, которые нужно наложить на естественные преобразования, превращая и в пару обратных эквивалентностей. Из-за этой проблемы предположение, что и являются взаимно обратными изоморфизмами, является обычным выбором в определении триангулированной категории. ${\displaystyle [1]}$ ${\displaystyle [-1]}$ ${\displaystyle -w[-1]}$ ${\displaystyle Z[-1]}$ ${\displaystyle (X[1])[-1]}$ ${\displaystyle [X]}$ ${\displaystyle (X[1])[-1]{\xrightarrow {}}X}$ ${\displaystyle [1]}$ ${\displaystyle [-1]}$ ${\displaystyle [1]}$ ${\displaystyle [-1]}$

ТР 3

Если даны два точных треугольника и отображение между первыми морфизмами в каждом треугольнике, то существует морфизм между третьими объектами в каждом из двух треугольников, который делает все коммутирующими . То есть, на следующей диаграмме (где две строки являются точными треугольниками, а f и g являются морфизмами, такими, что gu = u′f ) существует отображение h (не обязательно уникальное), делающее все квадраты коммутирующими:

TR 4: Октаэдрическая аксиома

Пусть и будут морфизмами, и рассмотрим составной морфизм . Образуем точные треугольники для каждого из этих трех морфизмов согласно TR 1. Аксиома октаэдра утверждает (грубо), что три конуса отображения можно превратить в вершины точного треугольника так, что «все коммутирует». ${\displaystyle u\colon X\to Y}$ ${\displaystyle v\colon Y\to Z}$ ${\displaystyle vu\colon X\to Z}$

Более формально, учитывая точные треугольники

${\displaystyle X{\xrightarrow {u\,}}Y{\xrightarrow {j}}Z'{\xrightarrow {k}}X[1]}$

${\displaystyle Y{\xrightarrow {v\,}}Z{\xrightarrow {l}}X'{\xrightarrow {i}}Y[1]}$

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop vu}}Z{\xrightarrow {m}}Y'{\xrightarrow {n}}X[1]}$,

существует точный треугольник

${\displaystyle Z'{\xrightarrow {f}}Y'{\xrightarrow {g}}X'{\xrightarrow {h}}Z'[1]}$

такой что

${\displaystyle l=gm,\quad k=nf,\quad h=j[1]i,\quad ig=u[1]n,\quad fj=mv.}$

Эта аксиома называется «аксиомой октаэдра», потому что рисование всех объектов и морфизмов дает скелет октаэдра , четыре грани которого являются точными треугольниками. Представление здесь принадлежит Вердье и появляется, вместе с октаэдрической диаграммой, в (Hartshorne 1966). На следующей диаграмме u и v — заданные морфизмы, а штрихованные буквы — конусы различных карт (выбранных так, чтобы каждый точный треугольник имел буквы X , Y и Z ). Различные стрелки отмечены [1], чтобы указать, что они имеют «степень 1»; например, отображение из Z ′ в X на самом деле является отображением из Z ′ в X [1]. Затем аксиома октаэдра утверждает существование отображений f и g, образующих точный треугольник, и поэтому f и g образуют коммутативные треугольники в других гранях, которые их содержат:

Две разные картинки появляются в (Beilinson, Bernstein & Deligne 1982) (Gelfand and Manin (2006) также представляют первую). Первая представляет верхнюю и нижнюю пирамиды вышеуказанного октаэдра и утверждает, что, имея нижнюю пирамиду, можно заполнить верхнюю пирамиду так, чтобы два пути от Y до Y ′ и от Y ′ до Y были равны (это условие опущено, возможно, ошибочно, в представлении Хартшорна). Треугольники, отмеченные знаком +, являются коммутативными, а треугольники, отмеченные знаком "d", являются точными:

Вторая диаграмма представляет собой более инновационное представление. Точные треугольники представлены линейно, и диаграмма подчеркивает тот факт, что четыре треугольника в «октаэдре» связаны серией карт треугольников, где даны три треугольника (а именно, те, которые завершают морфизмы из X в Y , из Y в Z , и из X в Z ) и утверждается существование четвертого. Переход между первыми двумя осуществляется «поворотом» вокруг X , к третьему — поворотом вокруг Z , а к четвертому — поворотом вокруг X ′. Все вложения на этой диаграмме коммутативны (как тригоны, так и квадрат), но другой коммутативный квадрат, выражающий равенство двух путей из Y ′ в Y , не очевиден. Все стрелки, указывающие «за край», имеют степень 1:

Эта последняя диаграмма также иллюстрирует полезную интуитивную интерпретацию аксиомы октаэдра. В триангулированных категориях треугольники играют роль точных последовательностей, и поэтому наводит на мысль думать об этих объектах как о «частных», и . В этих терминах существование последнего треугольника выражает, с одной стороны, ${\displaystyle Z'=Y/X}$ ${\displaystyle Y'=Z/X}$

${\displaystyle X'=Z/Y\ }$(глядя на треугольник  ), и ${\displaystyle Y\to Z\to X'\to }$

${\displaystyle X'=Y'/Z'}$(глядя на треугольник  ). ${\displaystyle Z'\to Y'\to X'\to }$

Объединяя все это, аксиома октаэдра утверждает «третью теорему об изоморфизме»:

${\displaystyle (Z/X)/(Y/X)\cong Z/Y.}$

Если триангулированная категория является производной категорией D ( A ) абелевой категории A , а X , Y , Z являются объектами A , рассматриваемыми как комплексы, сосредоточенные в степени 0, а отображения и являются мономорфизмами в A , то конусы этих морфизмов в D ( A ) на самом деле изоморфны факторам выше в A . ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle Y\to Z}$

Наконец, Ниман (2001) формулирует аксиому октаэдра, используя двумерную коммутативную диаграмму с 4 строками и 4 столбцами. Бейлинсон, Бернстайн и Делинь (1982) также дают обобщения аксиомы октаэдра.

Характеристики

Вот некоторые простые следствия аксиом для триангулированной категории D.

• Дан точный треугольник

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]}$

в D композиция любых двух последовательных морфизмов равна нулю. То есть vu = 0, wv = 0, u [1] w = 0 и т. д. ^[5]

• При наличии морфизма TR 1 гарантирует существование конуса Z , завершающего точный треугольник. Любые два конуса u изоморфны, но изоморфизм не всегда определяется однозначно. ^[4] ${\displaystyle u\colon X\to Y}$

• Каждый мономорфизм в D является включением прямого слагаемого, , а каждый эпиморфизм является проекцией . ^[6] Связанный с этим момент заключается в том, что не следует говорить об «инъективности» или «сюръективности» для морфизмов в триангулированной категории. Каждый морфизм, который не является изоморфизмом, имеет ненулевое «коядро» Z (что означает, что существует точный треугольник ), а также ненулевое «ядро», а именно Z [−1]. ${\displaystyle X\to X\oplus Y}$ ${\displaystyle X\oplus Y\to X}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$

Нефункториальность конструкции конуса

Одной из технических сложностей с триангулированными категориями является тот факт, что конструкция конуса не является функториальной. Например, если задано кольцо и частичное отображение выделенных треугольников ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{matrix}R&\to &0&\to &R[+1]&\to \\\downarrow &&\downarrow &&&\\0&\to &R[+1]&\to &R[+1]&\to \end{matrix}}}$

в , есть две карты, которые завершают эту диаграмму. Это может быть карта идентичности или нулевая карта ${\displaystyle D^{b}(R)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{id}}:&R[+1]\to R[+1]\\0:&R[+1]\to R[+1]\end{aligned}}}$

Оба они коммутативны. Тот факт, что существуют две карты, является тенью того факта, что триангулированная категория является инструментом, который кодирует гомотопические пределы и копредел . Одно из решений этой проблемы было предложено Гротендиком , где рассматривалась не только производная категория, но и производная категория диаграмм на этой категории. Такой объект называется Derivator .

Примеры

1. Векторные пространства над полем k образуют элементарную триангулированную категорию, в которой X [1] = X для всех X. Точный треугольник — это последовательность k - линейных отображений (записывающих одну и ту же карту дважды) , которая точна в точках X , Y и Z. ${\displaystyle X\to Y\to Z\to X\to Y}$ ${\displaystyle X\to Y}$
2. Если A — аддитивная категория (например, абелева категория), то определим гомотопическую категорию ⁠ ⁠ ${\displaystyle K(A)}$ так, чтобы ее объектами были цепные комплексы в A , а морфизмами — гомотопические классы морфизмов комплексов. Тогда ⁠ ⁠ ${\displaystyle K(A)}$ — триангулированная категория. ^[7] Сдвиг X [1] — это комплекс X, перемещенный на один шаг влево (и с дифференциалами, умноженными на −1). Точный треугольник в ⁠ ⁠ ${\displaystyle K(A)}$ — это треугольник, который изоморфен в ⁠ ⁠ ${\displaystyle K(A)}$ треугольнику, связанному с некоторой картой цепных комплексов. (Здесь обозначает конус отображения цепной карты.) ${\displaystyle X\to Y\to {\text{cone}}(f)\to X[1]}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle {\text{cone}}(f)}$
3. Производная категория D ( A ) абелевой категории A является триангулированной категорией. ^[8] Она строится из категории комплексов C ( A ) путем локализации относительно всех квазиизоморфизмов . То есть формально присоединяет обратный морфизм для каждого квазиизоморфизма. Объекты D ( A ) не изменяются; то есть они являются цепными комплексами. Точный треугольник в D ( A ) является треугольником, который изоморфен в D ( A ) треугольнику, связанному с некоторой картой цепных комплексов. Ключевой мотивацией для производной категории является то, что производные функторы на A можно рассматривать как функторы на производной категории. ^[9] Некоторые естественные подкатегории D ( A ) также являются триангулированными категориями, например, подкатегория комплексов X, чьи когомологические объекты в A обращаются в нуль для i достаточно отрицательного, достаточно положительного или обоих, называемых , соответственно. ${\displaystyle X\to Y\to {\text{cone}}(f)\to X[1]}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$
   ${\displaystyle H^{i}(X)}$ ${\displaystyle D^{+}(A),D^{-}(A),D^{\text{b}}(A)}$
4. В топологии стабильная гомотопическая категория является триангулированной категорией. ^[10] Объектами являются спектры , сдвиг X [1] является подвеской (или, что эквивалентно, расцеплением ), а точные треугольники являются последовательностями коволокон. Отличительной чертой стабильной гомотопической категории (по сравнению с нестабильной гомотопической категорией ) является то, что последовательности волокон совпадают с последовательностями коволокон. Фактически, в любой триангулированной категории точные треугольники можно рассматривать как последовательности волокон, а также как последовательности коволокон. ${\displaystyle h{\cal {S}}}$ ${\displaystyle \Sigma X}$ ${\displaystyle \Omega ^{-1}X}$
5. В теории модулярных представлений конечной группы G стабильная модульная категория StMod( kG ) является триангулированной категорией. Ее объектами являются представления G над полем k , а морфизмы являются обычными по модулю тех, которые факторизуются через проективные (или эквивалентно инъективные ) kG -модули. В более общем смысле, стабильная модульная категория определяется для любой алгебры Фробениуса вместо kG .

Есть ли лучшие аксиомы?

Некоторые эксперты подозревают ^{[11] стр. 190} (см., например, (Гельфанд и Манин 2006, Введение, Глава IV)), что триангулированные категории на самом деле не являются «правильной» концепцией. Основная причина в том, что конус морфизма уникален только с точностью до неединственного изоморфизма. В частности, конус морфизма в общем случае не зависит функториально от морфизма (обратите внимание на неединственность в аксиоме (TR 3), например). Эта неединственность является потенциальным источником ошибок. Однако аксиомы адекватно работают на практике, и существует большое количество литературы, посвященной их изучению.

Дериваторы

Одним из альтернативных предложений является теория дериваторов, предложенная в Pursuing stacks Гротендиком в 80-х годах ^{[11] стр. 191} , и позднее развитая в 90-х годах в его рукописи на эту тему. По сути, это система гомотопических категорий, заданная категориями диаграмм для категории с классом слабых эквивалентностей . Затем эти категории связаны морфизмами диаграмм . Этот формализм имеет преимущество в том, что он может восстановить гомотопические пределы и копределы, что заменяет конструкцию конуса. ${\displaystyle I\to M}$ ${\displaystyle (M,W)}$ ${\displaystyle I\to J}$

Стабильные ∞-категории

Другая альтернатива, построенная, — это теория стабильных ∞-категорий . Гомотопическая категория стабильной ∞-категории канонически триангулируется, и, более того, отображающие конусы становятся по существу уникальными (в точном гомотопическом смысле). Более того, стабильная ∞-категория естественным образом кодирует целую иерархию совместимых свойств для своей гомотопической категории, в основании которой находится аксиома октаэдра. Таким образом, строго сильнее дать данные стабильной ∞-категории, чем дать данные триангуляции ее гомотопической категории. Почти все триангулированные категории, которые возникают на практике, происходят из стабильных ∞-категорий. Аналогичное (но более специальное) обогащение триангулированных категорий — это понятие dg-категории .

В некотором смысле стабильные ∞-категории или dg-категории работают лучше, чем триангулированные категории. Одним из примеров является понятие точного функтора между триангулированными категориями, обсуждаемое ниже. Для гладкого проективного многообразия X над полем k ограниченная производная категория когерентных пучков естественным образом происходит из dg-категории. Для многообразий X и Y каждый функтор из dg-категории X в dg-категорию Y происходит из комплекса пучков на с помощью преобразования Фурье–Мукаи . ^[12] Напротив, существует пример точного функтора из в , который не происходит из комплекса пучков на . ^[13] Ввиду этого примера «правильным» понятием морфизма между триангулированными категориями, по-видимому, является то, которое происходит из морфизма базовых dg-категорий (или стабильных ∞-категорий). ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(Y)}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Другое преимущество стабильных ∞-категорий или dg-категорий над триангулированными категориями проявляется в алгебраической K-теории . Можно определить алгебраическую K-теорию стабильной ∞-категории или dg-категории C , задав последовательность абелевых групп для целых чисел i . Группа имеет простое описание в терминах триангулированной категории, связанной с C. Но пример показывает, что высшие K-группы dg-категории не всегда определяются связанной триангулированной категорией. ^[14] Таким образом, триангулированная категория имеет хорошо определенную группу, но в общем случае не высшие K-группы. ${\displaystyle K_{i}(C)}$ ${\displaystyle K_{0}(C)}$ ${\displaystyle K_{0}}$

С другой стороны, теория триангулированных категорий проще, чем теория стабильных ∞-категорий или dg-категорий, и во многих приложениях триангулированная структура достаточна. Примером является доказательство гипотезы Блоха–Като , где многие вычисления были сделаны на уровне триангулированных категорий, и дополнительная структура ∞-категорий или dg-категорий не требовалась.

Когомологии в триангулированных категориях

Триангулированные категории допускают понятие когомологии, и каждая триангулированная категория имеет большой запас когомологических функторов. Когомологический функтор F из триангулированной категории D в абелеву категорию A — это функтор такой, что для каждого точного треугольника

${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1],\ }$

последовательность в A точна. Поскольку точный треугольник определяет бесконечную последовательность точных треугольников в обоих направлениях, ${\displaystyle F(X)\to F(Y)\to F(Z)}$

${\displaystyle \cdots \to Z[-1]\to X\to Y\to Z\to X[1]\to \cdots ,\ }$

когомологический функтор F на самом деле дает длинную точную последовательность в абелевой категории A :

${\displaystyle \cdots \to F(Z[-1])\to F(X)\to F(Y)\to F(Z)\to F(X[1])\to \cdots .\ }$

Ключевым примером является: для каждого объекта B в триангулированной категории D функторы и являются когомологическими со значениями в категории абелевых групп . ^[15] (Если быть точным, последний является контравариантным функтором , который можно рассматривать как функтор в противоположной категории D . ) То есть, точный треугольник определяет две длинные точные последовательности абелевых групп: ${\displaystyle \operatorname {Hom} (B,{\text{-}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} ({\text{-}},B)}$ ${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Hom} (B,X[i])\to \operatorname {Hom} (B,Y[i])\to \operatorname {Hom} (B,Z[i])\to \operatorname {Hom} (B,X[i+1])\to \cdots }$

и

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Hom} (Z,B[i])\to \operatorname {Hom} (Y,B[i])\to \operatorname {Hom} (X,B[i])\to \operatorname {Hom} (Z,B[i+1])\to \cdots .}$

Для конкретных триангулированных категорий эти точные последовательности дают многие важные точные последовательности в когомологиях пучков, когомологиях групп и других областях математики.

Можно также использовать обозначение

${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{i}(B,X)=\operatorname {Hom} (B,X[i])}$

для целых чисел i , обобщая функтор Ext в абелевой категории. В этой нотации первая точная последовательность выше будет записана:

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Ext} ^{i}(B,X)\to \operatorname {Ext} ^{i}(B,Y)\to \operatorname {Ext} ^{i}(B,Z)\to \operatorname {Ext} ^{i+1}(B,X)\to \cdots .\ }$

Для абелевой категории A другой базовый пример когомологического функтора в производной категории D ( A ) отправляет комплекс X объекту в A . То есть точный треугольник в D ( A ) определяет длинную точную последовательность в A : ${\displaystyle H^{0}(X)}$ ${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$

${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i}(Z)\to H^{i+1}(X)\to \cdots ,}$

используя это . ${\displaystyle H^{0}(X[i])\cong H^{i}(X)}$

Точные функторы и эквивалентности

Точный функтор ( также называемый триангулированным функтором ) из триангулированной категории D в триангулированную категорию E является аддитивным функтором , который, грубо говоря, коммутирует со сдвигом и переводит точные треугольники в точные треугольники. ^[16] ${\displaystyle F\colon D\to E}$

Более подробно, точный функтор имеет естественный изоморфизм (где первый обозначает функтор трансляции D , а второй обозначает функтор трансляции E ), такой что всякий раз, когда ${\displaystyle \eta \colon F\Sigma \to \Sigma F}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]}$

является точным треугольником в D ,

${\displaystyle F(X){\xrightarrow {F(u)}}F(Y){\xrightarrow {F(v)}}F(Z){\xrightarrow {\eta _{X}F(w)}}F(X)[1]}$

является точным треугольником в E.

Эквивалентность триангулированных категорий — это точный функтор , который также является эквивалентностью категорий . В этом случае существует точный функтор, такой что FG и GF естественно изоморфны соответствующим тождественным функторам. ${\displaystyle F\colon D\to E}$ ${\displaystyle G\colon E\to D}$

Компактно сгенерированные триангулированные категории

Пусть D — триангулированная категория, такая, что прямые суммы , индексированные произвольным множеством (не обязательно конечным), существуют в D . Объект X в D называется компактным, если функтор коммутирует с прямыми суммами. Явно это означает, что для каждого семейства объектов в D, индексированных множеством S , естественный гомоморфизм абелевых групп является изоморфизмом. Это отличается от общего понятия компактного объекта в теории категорий, которое включает все копределы, а не только копроизведения. ${\displaystyle {\text{Hom}}_{D}(X,{\text{-}})}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle \oplus _{i\in S}\mathrm {Hom} _{D}(X,Y_{i})\to \mathrm {Hom} _{D}(X,\oplus _{i\in S}Y_{i})}$

Например, компактный объект в стабильной гомотопической категории является конечным спектром. ^[17] Компактный объект в производной категории кольца или в квазикогерентной производной категории схемы является совершенным комплексом . В случае гладкого проективного многообразия X над полем категорию Perf( X ) совершенных комплексов можно также рассматривать как ограниченную производную категорию когерентных пучков, . ${\displaystyle h{\cal {S}}}$ ${\displaystyle D_{\text{coh}}^{\text{b}}(X)}$

Триангулированная категория D компактно генерируется , если

• D имеет произвольные (не обязательно конечные) прямые суммы;
• Существует множество S компактных объектов в D такое, что для каждого ненулевого объекта X в D существует объект Y в S с ненулевым отображением для некоторого целого числа n . ${\displaystyle Y[n]\to X}$

Многие встречающиеся в природе «большие» триангулированные категории генерируются компактно:

• Производная категория модулей над кольцом R компактно порождается одним объектом — R - модулем R.
• Квазикогерентная производная категория квазикомпактной квазиразделенной схемы компактно порождается одним объектом. ^[18]
• Стабильная гомотопическая категория компактно порождается одним объектом — сферическим спектром . ^[19] ${\displaystyle S^{0}}$

Амнон Ниман обобщил теорему Брауна о представимости на любую компактно порожденную триангулированную категорию следующим образом. ^[20] Пусть D — компактно порожденная триангулированная категория, когомологический функтор, который переводит копроизведения в произведения. Тогда H представимо. (То есть, существует объект W из D такой, что для всех X .) Для другой версии, пусть D — компактно порожденная триангулированная категория, T — любая триангулированная категория. Если точный функтор переводит копроизведения в копроизведения, то F имеет правый сопряженный . ${\displaystyle H\colon D^{\text{op}}\to {\text{Ab}}}$ ${\displaystyle H(X)\cong {\text{Hom}}(X,W)}$ ${\displaystyle F\colon D\to T}$

Теорема Брауна о представимости может быть использована для определения различных функторов между триангулированными категориями. В частности, Ниман использовал ее для упрощения и обобщения конструкции исключительного функтора обратного образа для морфизма f схем , центральной особенности теории когерентной двойственности . ^[21] ${\displaystyle f^{!}}$

т-структуры

Для каждой абелевой категории A производная категория D ( A ) является триангулированной категорией, содержащей A как полную подкатегорию (комплексы, сосредоточенные в степени ноль). Различные абелевы категории могут иметь эквивалентные производные категории, так что не всегда возможно реконструировать A из D ( A ) как триангулированную категорию.

Александр Бейлинсон , Джозеф Бернштейн и Пьер Делинь описали эту ситуацию с помощью понятия t-структуры на триангулированной категории D. ^[22] t-структура на D определяет абелеву категорию внутри D , и различные t-структуры на D могут давать различные абелевы категории.

Локализация и толстые подкатегории

Пусть D — триангулированная категория с произвольными прямыми суммами. Локализующая подкатегория D — это строго полная триангулированная подкатегория, замкнутая относительно произвольных прямых сумм. ^[23] Для пояснения названия: если локализующая подкатегория S компактно порожденной триангулированной категории D порождена множеством объектов, то существует функтор локализации Боусфилда с ядром S. ^[24] (То есть для каждого объекта X в D существует точный треугольник с Y в S и LX в правом ортогонале . ) Например, эта конструкция включает локализацию спектра в простом числе или ограничение с комплекса пучков на пространстве на открытое подмножество. ${\displaystyle L\colon D\to D}$ ${\displaystyle Y\to X\to LX\to Y[1]}$ ${\displaystyle S^{\perp }}$

Параллельное понятие более актуально для «малых» триангулированных категорий: толстая подкатегория триангулированной категории C является строго полной триангулированной подкатегорией, замкнутой относительно прямых слагаемых. (Если C является идемпотентно-полной , подкатегория является толстой тогда и только тогда, когда она также является идемпотентно-полной.) Локализующая подкатегория является толстой. ^[25] Таким образом, если S является локализующей подкатегорией триангулированной категории D , то пересечение S с подкатегорией компактных объектов является толстой подкатегорией . ${\displaystyle D^{\text{c}}}$ ${\displaystyle D^{\text{c}}}$

Например, Девинац– Хопкинс –Смит описал все толстые подкатегории триангулированной категории конечных спектров в терминах K-теории Моравы . ^[26] Локализующие подкатегории всей стабильной гомотопической категории не были классифицированы.

Смотрите также

• Преобразование Фурье–Мукаи
• Шесть операций
• Извращенный сноп
• D-модуль
• Локализация Бейлинсона–Бернштейна
• Спектр модуля
• Полуортогональное разложение
• Состояние устойчивости моста

Примечания

1. Куппе (1962, 1967); Вердье (1963, 1967).
2. Вейбель (1994), Определение 10.2.1.
3. Дж. Питер Мэй, Аксиомы для триангулированных категорий.
4. Weibel (1994), замечание 10.2.2.
5. Weibel (1994), Упражнение 10.2.1.
6. Гельфанд и Манин (2006), Упражнение IV.1.1.
7. Кашивара и Шапира (2006), Теорема 11.2.6.
8. Вайбель (1994), Следствие 10.4.3.
9. Вайбель (1994), раздел 10.5.
10. Вейбель (1994), Теорема 10.9.18.
11. Grothendieck. "Pursuing Stacks". thescrivener.github.io . Архивировано (PDF) из оригинала 30 июля 2020 г. . Получено 17 сентября 2020 г.
12. Тоен (2007), Теорема 8.15.
13. Рицзардо и др. (2019), Теорема 1.4.
14. Даггер и Шипли (2009), Примечание 4.9.
15. Вейбель (1994), пример 10.2.8.
16. Вейбель (1994), Определение 10.2.6.
17. Ниман (2001), Замечание D.1.5.
18. Проект Stacks, тег 09IS, Проект стеков, Тег 09M1.
19. Ниман (2001), Лемма D.1.3.
20. Ниман (1996), Теоремы 3.1 и 4.1.
21. Ниман (1996), Пример 4.2.
22. Бейлинсон и др. (1982), Определение 1.3.1.
23. Ниман (2001), Введение, после замечания 1.4.
24. Краузе (2010), Теорема, Введение.
25. Ниман (2001), Замечание 3.2.7.
26. Равенель (1992), Теорема 3.4.3.

Ссылки

Вот некоторые введения в триангулированные категории из учебников:

• Гельфанд, Сергей; Манин, Юрий (2006), «IV. Триангулированные категории», Методы гомологической алгебры , Монографии Спрингера по математике (2-е изд.), Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12492-5, ISBN 978-3540435839, МР  1950475
• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2006), Категории и пучки , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-27950-4, ISBN 978-3-540-27949-5, МР  2182076
• Weibel, Charles A. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.

Краткое резюме с приложениями:

• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2002), «Глава I. Гомологическая алгебра», Пучки на многообразиях , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-02661-8, ISBN 978-3540518617, МР  1074006

Вот некоторые более продвинутые ссылки:

• Бейлинсон, А.А. ; Бернштейн, Дж .; Делинь, П. (2018) [1982], «Faisceaux Pervers», Asterisque , 100 , Société Mathématique de France, Париж, ISBN 978-2-85629-878-7, МР  0751966
• Даггер, Дэниел; Шипли, Брук (2009), «Любопытный пример триангулированно-эквивалентных категорий моделей, которые не являются эквивалентными по Квиллену», Алгебраическая и геометрическая топология , 9 : 135–166, arXiv : 0710.3070 , doi : 10.2140/agt.2009.9.135, MR  2482071
• Хартшорн, Робин (1966), «Глава I. Производная категория», Вычеты и двойственность , Lecture Notes in Mathematics 20 , т. 20, Springer-Verlag , стр. 20–48, doi :10.1007/BFb0080482, ISBN 978-3-540-03603-6, МР  0222093
• Krause, Henning (2010), «Теория локализации для триангулированных категорий», Триангулированные категории , Серия лекций Лондонского математического общества, т. 375, Cambridge University Press, стр. 161–235, arXiv : 0806.1324 , doi : 10.1017/CBO9781139107075.005, ISBN 9780521744317, MR  2681709, S2CID  50160822
• Ниман, Амнон (1996), «Теорема двойственности Гротендика через методы Боусфилда и представимость Брауна», Журнал Американского математического общества , 9 : 205–236, doi : 10.1090/S0894-0347-96-00174-9 , MR  1308405
• Ниман, Амнон (2001), Триангулированные категории , Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, doi : 10.1515/9781400837212, ISBN 978-0691086866, MR  1812507, S2CID  242258794
• Пуппе, Дитер (1962), «О формальной структуре стабильной гомотопической теории», Коллоквиум по алгебраической топологии , Математический институт Орхусского университета, стр. 65–71, Zbl  0139.41106
• Пуппе, Дитер (1967), «Стабильная гомотопическая теория. I.», Mathematische Annalen , 169 (2): 243–274, doi : 10.1007/BF01362348, MR  0211400, S2CID  122663283
• Равенел, Дуглас (1992), Нильпотентность и периодичность в стабильной гомотопической теории , Princeton University Press, ISBN 9780691025728, г-н  1192553
• Рицзардо, Алиса; Ван ден Берг, Мишель ; Ниман, Амнон (2019), «Пример функтора, не являющегося Фурье-Мукаи, между производными категориями когерентных пучков», Inventiones Mathematicae , 216 (3): 927–1004, arXiv : 1410.4039 , Bibcode : 2019InMat.216..927R , дои :10.1007/s00222-019-00862-9, MR  3955712, S2CID  253743362
• Toën, Bertrand (2007), «Гомотопическая теория dg-категорий и производная теория Мориты», Inventiones Mathematicae , 167 (3): 615–667, arXiv : math/0408337 , doi :10.1007/s00222-006-0025-y, MR  2276263, S2CID  9445008
• Вердье, Жан-Луи (1977) [1963], «Categories dérivées: quelques résultats (état 0)», Cohomologie étale (SGA 4 1/2) (PDF) , Конспекты лекций по математике, том. 569, Springer, стр. 262–311, номер документа : 10.1007/BFb0091525, ISBN. 978-3-540-08066-4, г-н  3727440
• Вердье, Жан-Луи (1996) [1967], Des categories dérivées descategories abéliennes , Asterisque, vol. 239, Математическое общество Франции, MR  1453167

Внешние ссылки

• Дж. Питер Мэй , Аксиомы для триангулированных категорий
• Авторы проекта «Стеки», проект «Стеки»