Симплекс

Многомерное обобщение треугольника

Четыре симплекса, которые можно полностью представить в трехмерном пространстве.

В геометрии симплекс (множественное число: симплексы или симплексы ) — это обобщение понятия треугольника или тетраэдра на произвольные измерения . Симплекс так назван, потому что он представляет собой простейший возможный многогранник в любом заданном измерении. Например,

• 0-мерный симплекс — это точка ,
• одномерный симплекс — это отрезок прямой ,
• 2-мерный симплекс — это треугольник ,
• 3-мерный симплекс — это тетраэдр , и
• 4-мерный симплекс — это 5-клеточный .

В частности, k -симплекс - это k -мерный многогранник , который является выпуклой оболочкой своих k + 1 вершин . Более формально, предположим, что k + 1 точек аффинно независимы , что означает, что k векторов линейно независимы . Тогда симплекс, определяемый ими, является множеством точек ${\displaystyle u_{0},\dots ,u_{k}}$ ${\displaystyle u_{1}-u_{0},\dots ,u_{k}-u_{0}}$ $${\displaystyle C=\left\{\theta _{0}u_{0}+\dots +\theta _{k}u_{k}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{k}\theta _{i}=1{\mbox{ and }}\theta _{i}\geq 0{\mbox{ for }}i=0,\dots ,k\right\}.}$$

Правильный симплекс ^[1] — это симплекс, который также является правильным многогранником . Правильный k -симплекс может быть построен из правильного ( k − 1) -симплекса путем присоединения новой вершины ко всем исходным вершинам общей длиной ребра.

Стандартный симплекс или вероятностный симплекс ^[2] — это ( k − 1) -мерный симплекс, вершинами которого являются k стандартных единичных векторов в , или, другими словами, ${\displaystyle \mathbf {R} ^{k}}$ $${\displaystyle \left\{x\in \mathbf {R} ^{k}:x_{0}+\dots +x_{k-1}=1,x_{i}\geq 0{\text{ for }}i=0,\dots ,k-1\right\}.}$$

В топологии и комбинаторике принято «склеивать» симплексы, чтобы сформировать симплициальный комплекс . Соответствующая комбинаторная структура называется абстрактным симплициальным комплексом , в контексте которого слово «симплекс» просто означает любой конечный набор вершин.

История

Концепция симплекса была известна Уильяму Кингдону Клиффорду , который писал об этих формах в 1886 году, но называл их «простыми границами». Анри Пуанкаре , писавший об алгебраической топологии в 1900 году, называл их «обобщенными тетраэдрами». В 1902 году Питер Хендрик Схоуте сначала описал концепцию с помощью латинской превосходной степени simplicissimum («простейший»), а затем с помощью того же латинского прилагательного в нормальной форме simplex («простой»). ^[3]

Регулярное семейство симплексов является первым из трех регулярных семейств многогранников , обозначенных Дональдом Коксетером как α _n , два других — семейство кросс-политопов , обозначенное как β _n , и гиперкубы , обозначенные как γ _n . Четвертое семейство, тесселяция n -мерного пространства бесконечным числом гиперкубов , он обозначил как δ _n . ^[4]

Элементы

Выпуклая оболочка любого непустого подмножества из n + 1 точек, определяющих n -симплекс, называется гранью симплекса. Грани сами по себе являются симплексами. В частности, выпуклая оболочка подмножества размера m + 1 (из n + 1 определяющих точек) является m -симплексом, называемым m -гранью n -симплекса. 0-грани (т. е. сами определяющие точки как множества размера 1 ) называются вершинами ( единственное число: вершина), 1-грани называются ребрами , ( n − 1 )-грани называются гранями , а единственная n -грань является всем n -симплексом. В общем случае число m -граней равно биномиальному коэффициенту . ^[5] Следовательно, число m -граней n -симплекса можно найти в столбце ( m + 1 ) строки ( n + 1 ) треугольника Паскаля . Симплекс A является когранью симплекса B , если B является гранью A. Грань и грань могут иметь разные значения при описании типов симплексов в симплициальном комплексе . ${\displaystyle {\tbinom {n+1}{m+1}}}$

Расширенный f-вектор для n -симплекса может быть вычислен по формуле ( 1 , 1 ) ^{n +1} , как коэффициенты полиномиальных произведений . Например, 7-симплекс — это ( 1 , 1 ) ⁸ = ( 1,2 , 1 ) ⁴ = ( 1,4,6,4 , 1 ) ² = ( 1,8,28,56,70,56,28,8 , 1 ).

Число 1-граней (ребер) n -симплекса равно n -му треугольному числу , число 2-граней n -симплекса равно ( n − 1) -му тетраэдрическому числу , число 3-граней n -симплекса равно ( n − 2) -му 5-клеточному числу и т. д.

n - симплекс — это многогранник с наименьшим количеством вершин, требующий n измерений. Рассмотрим отрезок AB как фигуру в одномерном пространстве (одномерное пространство — это линия, в которой лежит отрезок). Можно поместить новую точку C где-нибудь вне линии. Новая фигура, треугольник ABC , требует двух измерений; она не может поместиться в исходном одномерном пространстве. Треугольник — это 2-симплекс, простая фигура, требующая двух измерений. Рассмотрим треугольник ABC , фигуру в двумерном пространстве (плоскость, в которой находится треугольник). Можно поместить новую точку D где-нибудь вне плоскости. Новая фигура, тетраэдр ABCD , требует трех измерений; она не может поместиться в исходном двумерном пространстве. Тетраэдр — это 3-симплекс, простая фигура, требующая трех измерений. Рассмотрим тетраэдр ABCD , фигуру в трехмерном пространстве (трехмерное пространство, в котором лежит тетраэдр). Можно поместить новую точку E где-нибудь за пределами 3-мерного пространства. Новая форма ABCDE , называемая 5-ячейкой, требует четырех измерений и называется 4-симплексом; она не может поместиться в исходное 3-мерное пространство. (Его также нельзя легко визуализировать.) Эту идею можно обобщить, то есть добавить одну новую точку за пределами текущего занятого пространства, что требует перехода к следующему более высокому измерению, чтобы удерживать новую форму. Эту идею можно также проработать в обратном направлении: отрезок линии, с которого мы начали, является простой формой, которая требует 1-мерного пространства для его удерживания; отрезок линии является 1-симплексом. Сам отрезок линии был образован путем начала с одной точки в 0-мерном пространстве (эта начальная точка является 0-симплексом) и добавления второй точки, что потребовало увеличения до 1-мерного пространства.

Более формально, ( n + 1) -симплекс может быть построен как соединение (оператор ∨) n -симплекса и точки,  ( ) . ( m + n + 1) -симплекс может быть построен как соединение m -симплекса и n -симплекса. Два симплекса ориентированы так, чтобы быть полностью нормальными друг другу, с переносом в направлении, ортогональном им обоим. 1-симплекс - это соединение двух точек: ( ) ∨ ( ) = 2 ⋅ ( ) . Общий 2-симплекс (разносторонний треугольник) - это соединение трех точек: ( ) ∨ ( ) ∨ ( ) . Равнобедренный треугольник - это соединение 1-симплекса и точки: { } ∨ ( ) . Равносторонний треугольник - это 3 ⋅ ( ) или {3}. Общий 3-симплекс — это соединение 4 точек: ( ) ∨ ( ) ∨ ( ) ∨ ( ) . 3-симплекс с зеркальной симметрией можно выразить как соединение ребра и двух точек: { } ∨ ( ) ∨ ( ) . 3-симплекс с треугольной симметрией можно выразить как соединение равностороннего треугольника и 1 точки: 3.( )∨( ) или {3}∨( ) . Правильный тетраэдр — это 4 ⋅ ( ) или {3,3} и так далее.

В некоторых соглашениях ^[7] пустое множество определяется как (−1)-симплекс. Определение симплекса выше все еще имеет смысл, если n = −1 . Это соглашение более распространено в приложениях к алгебраической топологии (например, симплициальной гомологии ), чем к изучению многогранников.

Симметричные графы правильных симплексов

Эти многоугольники Петри (косые ортогональные проекции) показывают все вершины правильного симплекса на окружности и все пары вершин, соединенные ребрами.

Стандартный симплекс

Стандартный 2-симплекс в R ³

Стандартный n -симплекс (или единичный n -симплекс ) — это подмножество R ^{n +1,} заданное формулой

${\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1{\text{ and }}t_{i}\geq 0{\text{ for }}i=0,\ldots ,n\right\}}$.

Симплекс Δ ⁿ лежит в аффинной гиперплоскости, полученной путем снятия ограничения t _i ≥ 0 в приведенном выше определении.

n + 1 вершин стандартного n -симплекса — это точки e _i ∈ R ^{n +1} , где

е ₀ = (1, 0, 0, ..., 0),

е ₁ = (0, 1, 0, ..., 0),

⋮

е _n = (0, 0, 0, ..., 1) .

Стандартный симплекс является примером 0/1-политопа , все координаты которого равны 0 или 1. Также можно увидеть одну грань правильного ( n + 1) -ортоплекса .

Существует каноническое отображение из стандартного n -симплекса в произвольный n -симплекс с вершинами ( v ₀ , ..., v _n ), заданное формулой

${\displaystyle (t_{0},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}t_{i}v_{i}}$

Коэффициенты t _i называются барицентрическими координатами точки в n -симплексе. Такой общий симплекс часто называют аффинным n -симплексом , чтобы подчеркнуть, что каноническое отображение является аффинным преобразованием . Его также иногда называют ориентированным аффинным n -симплексом , чтобы подчеркнуть, что каноническое отображение может сохранять или обращать ориентацию.

В более общем случае существует каноническое отображение стандартного α-симплекса (с n вершинами) на любой многогранник с n вершинами, заданное тем же уравнением (с модификацией индексации): ${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}}$

Они известны как обобщенные барицентрические координаты и выражают каждый многогранник как изображение симплекса: ${\displaystyle \Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.}$

Обычно используемой функцией из R ⁿ внутрь стандартного -симплекса является функция softmax , или нормализованная экспоненциальная функция; она обобщает стандартную логистическую функцию . ${\displaystyle (n-1)}$

Примеры

• Δ ⁰ — точка 1 в R ¹ .
• Δ ¹ — отрезок прямой, соединяющий (1, 0) и (0, 1) в R ² .
• Δ ² — равносторонний треугольник с вершинами (1, 0, 0) , (0, 1, 0) и (0, 0, 1) в R ³ .
• Δ ³ — правильный тетраэдр с вершинами (1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 0) и (0, 0, 0, 1) в R ⁴ .
• Δ ⁴ — это правильная 5-ячейка с вершинами (1, 0, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0, 0) , (0, 0, 1, 0, 0) , (0, 0, 0, 1, 0) и (0, 0, 0, 0, 1) в R ⁵ .

Увеличение координат

Альтернативная система координат получается путем взятия неопределенной суммы :

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=0\\s_{1}&=s_{0}+t_{0}=t_{0}\\s_{2}&=s_{1}+t_{1}=t_{0}+t_{1}\\s_{3}&=s_{2}+t_{2}=t_{0}+t_{1}+t_{2}\\&\;\;\vdots \\s_{n}&=s_{n-1}+t_{n-1}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n-1}\\s_{n+1}&=s_{n}+t_{n}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}=1\end{aligned}}}$

Это дает альтернативное представление по порядку, а именно в виде неубывающих n -кортежей от 0 до 1:

${\displaystyle \Delta _{*}^{n}=\left\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in \mathbf {R} ^{n}\mid 0=s_{0}\leq s_{1}\leq s_{2}\leq \dots \leq s_{n}\leq s_{n+1}=1\right\}.}$

Геометрически это n -мерное подмножество (максимальная размерность, коразмерность 0), а не (коразмерность 1). Грани, которые на стандартном симплексе соответствуют исчезновению одной координаты, здесь соответствуют последовательным координатам, равным друг другу, в то время как внутренняя часть соответствует строгим неравенствам (возрастающие последовательности). ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle t_{i}=0,}$ ${\displaystyle s_{i}=s_{i+1},}$

Ключевым различием между этими представлениями является поведение при перестановке координат — стандартный симплекс стабилизируется перестановкой координат, в то время как перестановка элементов «упорядоченного симплекса» не оставляет его инвариантным, поскольку перестановка упорядоченной последовательности обычно делает ее неупорядоченной. Действительно, упорядоченный симплекс является (закрытой) фундаментальной областью для действия симметрической группы на n -кубе, что означает, что орбита упорядоченного симплекса при n ! элементах симметрической группы делит n -куб на в основном непересекающиеся симплексы (непересекающиеся, за исключением границ), показывая, что этот симплекс имеет объем 1/ n ! . В качестве альтернативы объем можно вычислить с помощью итерированного интеграла, последовательными подынтегральными функциями которого являются 1, x , x ² /2 , x ³ /3! , ..., x ⁿ / n ! . ${\displaystyle n!}$

Еще одним свойством этого представления является то, что оно использует порядок, а не сложение, и, таким образом, может быть определено в любом измерении над любым упорядоченным множеством и, например, может использоваться для определения бесконечномерного симплекса без проблем со сходимостью сумм.

Проекция на стандартный симплекс

Особенно в числовых приложениях теории вероятностей проекция на стандартный симплекс представляет интерес. При наличии возможных отрицательных записей ближайшая точка на симплексе имеет координаты ${\displaystyle (p_{i})_{i}}$ ${\displaystyle \left(t_{i}\right)_{i}}$

${\displaystyle t_{i}=\max\{p_{i}+\Delta \,,0\},}$

где выбрано так, что ${\displaystyle \Delta }$ ${\textstyle \sum _{i}\max\{p_{i}+\Delta \,,0\}=1.}$

${\displaystyle \Delta }$может быть легко вычислено из сортировки p _i . ^[8] Подход сортировки требует сложности, которая может быть улучшена до сложности O( n ) с помощью алгоритмов поиска медианы . ^[9] Проецирование на симплекс вычислительно похоже на проецирование на шар. ${\displaystyle O(n\log n)}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$

Угол куба

Наконец, простой вариант — заменить «суммирование до 1» на «суммирование до не более 1»; это увеличивает размерность на 1, поэтому для упрощения записи индексация меняется:

${\displaystyle \Delta _{c}^{n}=\left\{(t_{1},\ldots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n}t_{i}\leq 1{\text{ and }}t_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.}$

Это дает n -симплекс как угол n -куба, и является стандартным ортогональным симплексом. Это симплекс, используемый в симплекс-методе , который основан на начале координат и локально моделирует вершину на многограннике с n гранями.

Декартовы координаты для регулярногон-мерный симплекс вРн

Один из способов записать правильный n -симплекс в R ⁿ — выбрать две точки в качестве первых двух вершин, выбрать третью точку, чтобы получился равносторонний треугольник, выбрать четвертую точку, чтобы получился правильный тетраэдр, и так далее. Каждый шаг требует выполнения уравнений, которые гарантируют, что каждая вновь выбранная вершина вместе с ранее выбранными вершинами образует правильный симплекс. Существует несколько наборов уравнений, которые можно записать и использовать для этой цели. К ним относятся равенство всех расстояний между вершинами; равенство всех расстояний от вершин до центра симплекса; тот факт, что угол, образуемый новой вершиной любыми двумя ранее выбранными вершинами, равен ; и тот факт, что угол, образуемый центром симплекса любыми двумя вершинами, равен . ${\displaystyle \pi /3}$ ${\displaystyle \arccos(-1/n)}$

Также возможно напрямую записать конкретный правильный n -симплекс в R ⁿ , который затем можно переносить, вращать и масштабировать по желанию. Один из способов сделать это заключается в следующем. Обозначим базисные векторы R ⁿ через e ₁ через e _n . Начнем со стандартного ( n − 1) -симплекса, который является выпуклой оболочкой базисных векторов. Добавляя дополнительную вершину, они становятся гранью правильного n -симплекса. Дополнительная вершина должна лежать на линии , перпендикулярной барицентру стандартного симплекса, поэтому она имеет вид ( α / n , ..., α / n ) для некоторого действительного числа α . Поскольку квадрат расстояния между двумя базисными векторами равен 2, для того, чтобы дополнительная вершина образовала правильный n -симплекс, квадрат расстояния между ней и любым из базисных векторов также должен быть равен 2. Это дает квадратное уравнение для α . Решение этого уравнения показывает, что есть два выбора для дополнительной вершины:

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(1\pm {\sqrt {n+1}}\right)\cdot (1,\dots ,1).}$

Любой из них вместе со стандартными базисными векторами дает правильный n -симплекс.

Вышеуказанный правильный n -симплекс не центрирован в начале координат. Его можно перенести в начало координат, вычитая среднее значение его вершин. При изменении масштаба ему можно придать единичную длину стороны. Это приводит к симплексу, вершины которого:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{i}-{\frac {1}{n{\sqrt {2}}}}{\bigg (}1\pm {\frac {1}{\sqrt {n+1}}}{\bigg )}\cdot (1,\dots ,1),}$

для , и ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {2(n+1)}}}\cdot (1,\dots ,1).}$

Обратите внимание, что здесь описаны два набора вершин. Один набор использует в каждом расчете. Другой набор использует в каждом расчете. ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$

Этот симплекс вписан в гиперсферу радиуса . ${\displaystyle {\sqrt {n/(2(n+1))}}}$

Другое масштабирование создает симплекс, который вписан в единичную гиперсферу. Когда это сделано, его вершины

${\displaystyle {\sqrt {1+n^{-1}}}\cdot \mathbf {e} _{i}-n^{-3/2}({\sqrt {n+1}}\pm 1)\cdot (1,\dots ,1),}$

где , и ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle \pm n^{-1/2}\cdot (1,\dots ,1).}$

Длина стороны этого симплекса равна . ${\textstyle {\sqrt {2(n+1)/n}}}$

Высокосимметричный способ построения регулярного n -симплекса заключается в использовании представления циклической группы Z _{n +1} ортогональными матрицами . Это ортогональная матрица Q размером n × n, такая, что Q ^{n +1} = I является единичной матрицей , но ни одна из нижних степеней Q не является единичной. Применение степеней этой матрицы к соответствующему вектору v даст вершины регулярного n -симплекса. Чтобы выполнить это, сначала заметим, что для любой ортогональной матрицы Q существует выбор базиса, в котором Q является блочно-диагональной матрицей

${\displaystyle Q=\operatorname {diag} (Q_{1},Q_{2},\dots ,Q_{k}),}$

где каждая Q _i ортогональна и имеет размер либо 2 × 2 , либо 1 × 1. Для того чтобы Q имела порядок n + 1 , все эти матрицы должны иметь порядок, делящий n + 1. Поэтому каждая Q _i является либо матрицей 1 × 1, единственным элементом которой является 1 или, если n нечетно , −1 ; либо это матрица 2 × 2 вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&-\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\\\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\end{pmatrix}},}$

где каждое ω _i — целое число от нуля до n включительно. Достаточным условием для того, чтобы орбита точки была правильным симплексом, является то, что матрицы Q _i образуют базис для нетривиальных неприводимых вещественных представлений Z _{n +1} , и вращаемый вектор не стабилизируется ни одним из них.

На практике для четного n это означает, что каждая матрица Q _i имеет размер 2 × 2 , то есть имеет место равенство множеств

${\displaystyle \{\omega _{1},n+1-\omega _{1},\dots ,\omega _{n/2},n+1-\omega _{n/2}\}=\{1,\dots ,n\},}$

и для каждого Q _i элементы v , на которые действует Q _{i ,} не являются оба нулевыми. Например, когда n = 4 , одна возможная матрица —

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)&-\sin(2\pi /5)&0&0\\\sin(2\pi /5)&\cos(2\pi /5)&0&0\\0&0&\cos(4\pi /5)&-\sin(4\pi /5)\\0&0&\sin(4\pi /5)&\cos(4\pi /5)\end{pmatrix}}.}$

Применив это к вектору (1, 0, 1, 0), получим симплекс, вершины которого

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\\\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\\\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\\\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\\\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\end{pmatrix}},}$

каждый из которых имеет расстояние √5 от других. Когда n нечетно, условие означает, что ровно один из диагональных блоков имеет размер 1 × 1 , равен −1 , и действует на ненулевой элемент v ; в то время как оставшиеся диагональные блоки, скажем Q ₁ , ..., Q _{( n − 1) / 2} , имеют размер 2 × 2 , имеет место равенство множеств

${\displaystyle \left\{\omega _{1},-\omega _{1},\dots ,\omega _{(n-1)/2},-\omega _{n-1)/2}\right\}=\left\{1,\dots ,(n-1)/2,(n+3)/2,\dots ,n\right\},}$

и каждый диагональный блок действует на пару элементов v , которые оба не равны нулю. Так, например, когда n = 3 , матрица может быть

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}}.}$

Для вектора (1, 0, 1/ √ 2 ) результирующий симплекс имеет вершины

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},}$

каждый из которых находится на расстоянии 2 от других.

Геометрические свойства

Объем

Объем n -симплекса в n -мерном пространстве с вершинами ( v ₀ , ... , v _n ) равен

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&&v_{2}-v_{0}&&\cdots &&v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right|}$

где каждый столбец определителя n × n представляет собой вектор , который указывает из вершины v ₀ в другую вершину v _k . ^[10] Эта формула особенно полезна, когда является началом координат. ${\displaystyle v_{0}}$

Выражение

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\det \left[{\begin{pmatrix}v_{1}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\v_{2}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\\vdots \\v_{n}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&v_{2}-v_{0}&\cdots &v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right]^{1/2}}$

использует определитель Грама и работает даже тогда, когда вершины n -симплекса находятся в евклидовом пространстве с более чем n измерениями, например, треугольник в . ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$

Более симметричный способ вычисления объема n -симплекса — это ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={1 \over n!}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{0}&v_{1}&\cdots &v_{n}\\1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}\right|.}$

Другой распространенный способ вычисления объема симплекса — с помощью определителя Кэли–Менгера , который работает даже тогда, когда вершины n-симплекса находятся в евклидовом пространстве с более чем n измерениями. ^[11]

Без 1/ n ! это формула для объема n - параллелоэдра . Это можно понять следующим образом: предположим, что P - n -параллелоэдр, построенный на основе . При заданной перестановке назовем список вершин n -путем , если ${\displaystyle (v_{0},e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle v_{0},\ v_{1},\ldots ,v_{n}}$

${\displaystyle v_{1}=v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{2}=v_{1}+e_{\sigma (2)},\ldots ,v_{n}=v_{n-1}+e_{\sigma (n)}}$

(так что существует n ! n -путей и не зависит от перестановки). Справедливы следующие утверждения: ${\displaystyle v_{n}}$

Если P — единичный n -гиперкуб, то объединение n -симплексов, образованных выпуклой оболочкой каждого n -пути, равно P , и эти симплексы конгруэнтны и попарно не перекрываются. ^[12] В частности, объем такого симплекса равен

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {1}{n!}}.}$

Если P — общий параллелоэдр, то справедливы те же утверждения, за исключением того, что в размерности > 2 уже не верно, что симплексы должны быть попарно конгруэнтными; тем не менее их объемы остаются равными, поскольку n -параллелоэдр является образом единичного n -гиперкуба с помощью линейного изоморфизма , который переводит канонический базис в . Как и ранее, это подразумевает, что объем симплекса, полученного из n -пути, равен: ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {\det(e_{1},\ldots ,e_{n})}{n!}}.}$

Наоборот, если задан n -симплекс , можно предположить, что векторы образуют базис . Рассматривая параллелоэдр, построенный из и , можно увидеть, что предыдущая формула верна для любого симплекса. ${\displaystyle (v_{0},\ v_{1},\ v_{2},\ldots v_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle e_{1}=v_{1}-v_{0},\ e_{2}=v_{2}-v_{1},\ldots e_{n}=v_{n}-v_{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

Наконец, формула в начале этого раздела получается путем наблюдения того, что

${\displaystyle \det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\ldots ,v_{n}-v_{0})=\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{1},\ldots ,v_{n}-v_{n-1}).}$

Из этой формулы немедленно следует, что объем под стандартным n -симплексом (т.е. между началом координат и симплексом в R ^{n +1} ) равен

${\displaystyle {1 \over (n+1)!}}$

Объем правильного n -симплекса с единичной длиной стороны равен

${\displaystyle {\frac {\sqrt {n+1}}{n!{\sqrt {2^{n}}}}}}$

как можно увидеть, умножив предыдущую формулу на x ^{n +1} , чтобы получить объем под n -симплексом как функцию расстояния его вершины x от начала координат, дифференцируя по x , в точке   (где длина стороны n -симплекса равна 1), и нормализуя на длину приращения , вдоль вектора нормали. ${\displaystyle x=1/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle dx/{\sqrt {n+1}}}$ ${\displaystyle (dx/(n+1),\ldots ,dx/(n+1))}$

Двугранные углы правильногон-симплекс

Любые две ( n − 1) -мерные грани правильного n -мерного симплекса сами являются правильными ( n − 1) -мерными симплексами, и они имеют одинаковый двугранный угол cos ⁻¹ (1/ n ) . ^{[13] [14]}

Это можно увидеть, заметив, что центр стандартного симплекса — , а центры его граней — перестановки координат . Тогда, по симметрии, вектор, направленный от к , перпендикулярен граням. Таким образом, векторы, нормальные к граням, являются перестановками , из которых вычисляются двугранные углы. ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$ ${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$ ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$ ${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$ ${\displaystyle (-n,1,\dots ,1)}$

Симплексы с «ортогональным углом»

«Ортогональный угол» здесь означает, что существует вершина, в которой все смежные ребра попарно ортогональны. Отсюда немедленно следует, что все смежные грани попарно ортогональны. Такие симплексы являются обобщениями прямоугольных треугольников, и для них существует n -мерная версия теоремы Пифагора : сумма квадратов ( n − 1) -мерных объемов граней, смежных с ортогональным углом, равна квадрату ( n − 1) -мерного объема грани, противоположной ортогональному углу.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|A_{k}|^{2}=|A_{0}|^{2}}$

где грани попарно ортогональны друг другу, но не ортогональны , то есть грани, противоположной ортогональному углу. ^[15] ${\displaystyle A_{1}\ldots A_{n}}$ ${\displaystyle A_{0}}$

Для 2-симплекса теорема представляет собой теорему Пифагора для треугольников с прямым углом, а для 3-симплекса — теорему де Гуа для тетраэдра с ортогональным углом.

Отношение к (н+ 1)-гиперкуб

Диаграмма Хассе решетки граней n -симплекса изоморфна графу ребер ( n + 1) - гиперкуба , при этом вершины гиперкуба отображаются на каждый из элементов n -симплекса, включая весь симплекс и нулевой многогранник как крайние точки решетки (отображенные на две противоположные вершины гиперкуба). Этот факт можно использовать для эффективного перечисления решетки граней симплекса, поскольку более общие алгоритмы перечисления решетки граней требуют больше вычислительных затрат.

n -симплекс также является вершинной фигурой ( n + 1) -гиперкуба . Он также является гранью ( n + 1 ) -ортоплекса .

Топология

Топологически n -симплекс эквивалентен n -шару . Каждый n -симплекс представляет собой n -мерное многообразие с углами .

Вероятность

В теории вероятностей точки стандартного n -симплекса в ( n + 1) -пространстве образуют пространство возможных распределений вероятностей на конечном множестве, состоящем из n + 1 возможных результатов. Соответствие следующее: для каждого распределения, описанного как упорядоченный ( n + 1) -кортеж вероятностей, сумма которых (обязательно) равна 1, мы связываем точку симплекса, барицентрические координаты которой являются именно этими вероятностями. То есть k -й вершине симплекса назначается k -я вероятность ( n + 1) -кортежа в качестве ее барицентрического коэффициента. Это соответствие является аффинным гомеоморфизмом.

геометрия Эйтчисона

Геометрия Эйтчинсона — это естественный способ построения внутреннего пространства произведения из стандартного симплекса . Она определяет следующие операции над симплексами и действительными числами: ${\displaystyle \Delta ^{D-1}}$

Возмущение (сложение)

${\displaystyle x\oplus y=\left[{\frac {x_{1}y_{1}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},{\frac {x_{2}y_{2}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},\dots ,{\frac {x_{D}y_{D}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}}\right]\qquad \forall x,y\in \Delta ^{D-1}}$

Возведение в степень (скалярное умножение)

${\displaystyle \alpha \odot x=\left[{\frac {x_{1}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},{\frac {x_{2}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},\ldots ,{\frac {x_{D}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}}\right]\qquad \forall x\in \Delta ^{D-1},\;\alpha \in \mathbb {R} }$

Внутренний продукт

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{2D}}\sum _{i=1}^{D}\sum _{j=1}^{D}\log {\frac {x_{i}}{x_{j}}}\log {\frac {y_{i}}{y_{j}}}\qquad \forall x,y\in \Delta ^{D-1}}$

Соединения

Поскольку все симплексы самодвойственны, они могут образовывать ряд соединений;

• Два треугольника образуют гексаграмму {6/2}.
• Два тетраэдра образуют соединение двух тетраэдров или звездчатую октагонгулу .
• Две 5-клетки образуют соединение двух 5-клеток в четырех измерениях.

Алгебраическая топология

В алгебраической топологии симплексы используются в качестве строительных блоков для построения интересного класса топологических пространств, называемых симплициальными комплексами . Эти пространства построены из симплексов, склеенных комбинаторным образом . Симплициальные комплексы используются для определения определенного вида гомологии, называемой симплициальной гомологией .

Конечное множество k -симплексов, вложенных в открытое подмножество R n ^, называется аффинной k -цепью . Симплексы в цепи не обязательно должны быть уникальными; они могут встречаться с кратностью . Вместо использования стандартной нотации множеств для обозначения аффинной цепи, вместо этого стандартной практикой является использование знаков плюс для разделения каждого члена в наборе. Если некоторые симплексы имеют противоположную ориентацию , они имеют префикс в виде знака минус. Если некоторые симплексы встречаются в наборе более одного раза, они имеют префикс в виде целого числа. Таким образом, аффинная цепь принимает символическую форму суммы с целыми коэффициентами.

Обратите внимание, что каждая грань n -симплекса является аффинным ( n − 1) -симплексом, и, таким образом, граница n -симплекса является аффинной ( n − 1) -цепью. Таким образом, если мы обозначим один положительно ориентированный аффинный симплекс как

${\displaystyle \sigma =[v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}]}$

с обозначением вершин, то граница σ — это цепь ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle \partial \sigma }$

${\displaystyle \partial \sigma =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}].}$

Из этого выражения и линейности граничного оператора следует, что граница границы симплекса равна нулю:

${\displaystyle \partial ^{2}\sigma =\partial \left(\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}]\right)=0.}$

Аналогично, граница границы цепи равна нулю: . ${\displaystyle \partial ^{2}\rho =0}$

В более общем случае симплекс (и цепь) можно вложить в многообразие с помощью гладкого дифференцируемого отображения . В этом случае как соглашение о суммировании для обозначения множества, так и граничная операция коммутируют с вложением . То есть, ${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\to M}$

${\displaystyle f\left(\sum \nolimits _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum \nolimits _{i}a_{i}f(\sigma _{i})}$

где — целые числа, обозначающие ориентацию и кратность. Для граничного оператора имеем: ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \partial }$

${\displaystyle \partial f(\rho )=f(\partial \rho )}$

где ρ — это цепь. Граничная операция коммутирует с отображением, поскольку в конечном итоге цепь определяется как множество и немного больше, а операция множества всегда коммутирует с операцией отображения (по определению отображения).

Непрерывное отображение в топологическое пространство X часто называют сингулярным n -симплексом . (Отображение обычно называют «сингулярным», если оно не обладает каким-либо желаемым свойством, таким как непрерывность, и в этом случае этот термин призван отражать тот факт, что непрерывное отображение не обязательно должно быть вложением.) ^[16] ${\displaystyle f:\sigma \to X}$

Алгебраическая геометрия

Поскольку классическая алгебраическая геометрия позволяет говорить о полиномиальных уравнениях, но не о неравенствах, алгебраический стандартный n-симплекс обычно определяется как подмножество аффинного ( n + 1) -мерного пространства, где все координаты в сумме дают 1 (таким образом, опуская часть неравенства). Алгебраическое описание этого множества равно схемно -теоретическому описанию с кольцом регулярных функций на алгебраическом n -симплексе (для любого кольца ). $${\displaystyle \Delta ^{n}:=\left\{x\in \mathbb {A} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=1\right\},}$$ ${\displaystyle \Delta _{n}(R)=\operatorname {Spec} (R[\Delta ^{n}])}$ $${\displaystyle R[\Delta ^{n}]:=R[x_{1},\ldots ,x_{n+1}]\left/\left(1-\sum x_{i}\right)\right.}$$ ${\displaystyle R}$

Используя те же определения, что и для классического n -симплекса, n -симплексы для различных размерностей n собираются в один симплициальный объект , в то время как кольца собираются в один косимплициальный объект (в категории схем соответственно колец, поскольку все отображения граней и вырождения являются полиномиальными). ${\displaystyle R[\Delta ^{n}]}$ ${\displaystyle R[\Delta ^{\bullet }]}$

Алгебраические n -симплексы используются в высшей K -теории и в определении высших групп Чжоу .

Приложения

• В статистике симплексы представляют собой выборочные пространства композиционных данных и также используются при построении графиков величин, сумма которых составляет 1, например, пропорций субпопуляций, как в тернарном графике .
• В теории вероятностей симплексное пространство часто используется для представления пространства распределений вероятностей. Например, распределение Дирихле определяется на симплексе.
• В промышленной статистике симплексы возникают при формулировке проблемы и в алгоритмическом решении. При разработке хлеба производитель должен объединить дрожжи, муку, воду, сахар и т. д. В таких смесях имеют значение только относительные пропорции ингредиентов: для оптимальной хлебной смеси, если мука удваивается, то и дрожжи должны быть удвоены. Такие проблемы смешивания часто формулируются с нормализованными ограничениями, так что неотрицательные компоненты в сумме дают единицу, и в этом случае допустимая область образует симплекс. Качество хлебных смесей можно оценить с помощью методологии поверхности отклика , а затем локальный максимум можно вычислить с помощью метода нелинейного программирования , такого как последовательное квадратичное программирование . ^[17]
• В исследовании операций задачи линейного программирования можно решить с помощью симплексного алгоритма Джорджа Данцига .
• В теории игр стратегии можно представить как точки внутри симплекса. Такое представление упрощает анализ смешанных стратегий.
• В геометрическом проектировании и компьютерной графике многие методы сначала выполняют симплициальные триангуляции области, а затем подгоняют интерполяционные полиномы к каждому симплексу. ^[18]
• В химии гидриды большинства элементов в p-блоке могут напоминать симплекс, если соединить каждый атом. Неон не реагирует с водородом и, как таковой, является точкой , фтор связывается с одним атомом водорода и образует отрезок прямой, кислород связывается с двумя атомами водорода изогнутым образом , напоминающим треугольник, азот реагирует, образуя тетраэдр , а углерод образует структуру, напоминающую диаграмму Шлегеля 5-клеточной структуры. Эта тенденция продолжается для более тяжелых аналогов каждого элемента, а также если атом водорода заменен атомом галогена .
• В некоторых подходах к квантовой гравитации , таких как исчисление Редже и причинные динамические триангуляции , симплексы используются в качестве строительных блоков дискретизаций пространства-времени, то есть для построения симплициальных многообразий .

Смотрите также

• 3-сфера
• геометрия Эйтчисона
• Причинно-следственная динамическая триангуляция
• Полный график
• триангуляция Делоне
• Дистанционная геометрия
• Геометрический примитив
• Тетраэдр Хилла
• Гиперсимплекс
• Список правильных многогранников
• Закон Меткалфа
• Другие правильные n - многогранники
  • Кросс-политоп
  • Гиперкуб
  • Тессеракт
• Многогранник
• ортосхема Шлефли
• Симплексный алгоритм – метод оптимизации с ограничениями-неравенствами
• Симплициальный комплекс
• Симплициальная гомология
• Симплициальный набор
• Спектраэдр
• Тройной участок

Примечания

1. Элте, Э. Л. (2006) [1912]. "IV. пятимерный полуправильный многогранник". Полуправильные многогранники гиперпространств . Саймон и Шустер. ISBN 978-1-4181-7968-7.
2. Бойд и Ванденберг 2004
3. Миллер, Джефф, «Симплекс», Самые ранние известные случаи использования некоторых слов из математики , получено 08.01.2018
4. Коксетер 1973, стр. 120–124, §7.2.
5. Коксетер 1973, стр. 120.
6. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A135278 (треугольник Паскаля с удаленным левым ребром)». Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
7. Козлов, Дмитрий, Комбинаторная алгебраическая топология , 2008, Springer-Verlag (Серия: Алгоритмы и вычисления в математике)
8. Юнмей Чен; Сяоцзин Е (2011). «Проекция на симплекс». arXiv : 1101.6081 [math.OC].
9. MacUlan, N.; De Paula, GG (1989). "Линейный алгоритм поиска медианы для проецирования вектора на симплекс n". Operations Research Letters . 8 (4): 219. doi :10.1016/0167-6377(89)90064-3.
10. Вывод очень похожей формулы можно найти в Stein, P. (1966). "A Note on the Volume of a Simplex". American Mathematical Monthly . 73 (3): 299–301. doi :10.2307/2315353. JSTOR  2315353.
11. Колинз, Карен Д. «Определитель Кэли-Менгера». Математический мир .
12. Каждый n -путь, соответствующий перестановке, является образом n -пути с помощью аффинной изометрии, которая отправляет в , и линейная часть которой совпадает с для всех  i . следовательно, каждые два n -пути изометричны, и их выпуклые оболочки тоже; это объясняет конгруэнтность симплексов. Чтобы показать другие утверждения, достаточно заметить, что внутренность симплекса, определяемая n -путем , является множеством точек , причем и Следовательно, компоненты этих точек относительно каждого соответствующего переставленного базиса строго упорядочены в порядке убывания. Это объясняет, почему симплексы не перекрываются. Тот факт, что объединение симплексов является целым единичным n -гиперкубом, также следует, заменяя строгие неравенства выше на " ". Те же самые рассуждения справедливы и для общего параллелоэдра, за исключением изометрии между симплексами. ${\displaystyle \scriptstyle \sigma }$ ${\displaystyle \scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{1},\ v_{0}+e_{1}+e_{2},\ldots v_{0}+e_{1}+\cdots +e_{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle v_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle v_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle e_{i}}$ ${\displaystyle \scriptstyle e_{\sigma (i)}}$ ${\displaystyle \scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{0}+e_{\sigma (1)}+e_{\sigma (2)}\ldots v_{0}+e_{\sigma (1)}+\cdots +e_{\sigma (n)}}$ ${\displaystyle \scriptstyle v_{0}+(x_{1}+\cdots +x_{n})e_{\sigma (1)}+\cdots +(x_{n-1}+x_{n})e_{\sigma (n-1)}+x_{n}e_{\sigma (n)}}$ ${\displaystyle \scriptstyle 0<x_{i}<1}$ ${\displaystyle \scriptstyle x_{1}+\cdots +x_{n}<1.}$ ${\displaystyle \scriptstyle \leq }$
13. Паркс, Гарольд Р.; Уиллс, Дин К. (октябрь 2002 г.). «Элементарное вычисление двугранного угла правильного n -симплекса». American Mathematical Monthly . 109 (8): 756–8. doi :10.2307/3072403. JSTOR  3072403.
14. Уиллс, Гарольд Р.; Паркс, Дин К. (июнь 2009 г.). Связи между комбинаторикой перестановок и алгоритмами и геометрией (PhD). Университет штата Орегон. hdl :1957/11929.
15. Дончиан, PS; Коксетер, HSM (июль 1935 г.). "1142. N-мерное расширение теоремы Пифагора". The Mathematical Gazette . 19 (234): 206. doi :10.2307/3605876. JSTOR  3605876. S2CID  125391795.
16. Ли, Джон М. (2006). Введение в топологические многообразия. Springer. С. 292–3. ISBN 978-0-387-22727-6.
17. Корнелл, Джон (2002). Эксперименты со смесями: проекты, модели и анализ данных по смесям (третье изд.). Wiley. ISBN 0-471-07916-2.
18. Vondran, Gary L. (апрель 1998 г.). "Радиальные и усеченные тетраэдральные интерполяционные методы" (PDF) . Технический отчет HP . HPL-98-95: 1–32. Архивировано из оригинала (PDF) 2011-06-07 . Получено 2009-11-11 .

Ссылки

• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. (См. главу 10 для простого обзора топологических свойств.)
• Таненбаум, Эндрю С. (2003). "§2.5.3". Компьютерные сети (4-е изд.). Prentice Hall. ISBN 0-13-066102-3.
• Деврой, Люк (1986). Генерация неравномерных случайных величин. Springer. ISBN 0-387-96305-7. Архивировано из оригинала 2009-05-05.
• Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Дувр. ISBN 0-486-61480-8.
  • стр. 120–121, §7.2. см. иллюстрацию 7-2 A
  • стр. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n измерениях ( n ≥ 5 )
• Вайсштейн, Эрик В. «Симплекс». MathWorld .
• Бойд, Стивен ; Ванденберг, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-39400-1.В формате PDF