Симплекс

Многомерное обобщение треугольника

Четыре симплекса, которые можно полностью представить в трехмерном пространстве.

В геометрии симплекс (множественное число: симплексы или симплексы ) — это обобщение понятия треугольника или тетраэдра на произвольные размеры . Симплекс назван так потому, что он представляет собой простейший возможный многогранник в любом заданном измерении. Например,

• 0-мерный симплекс – это точка ,
• одномерный симплекс — это отрезок прямой ,
• двумерный симплекс – это треугольник ,
• трехмерный симплекс — это тетраэдр , а
• 4-мерный симплекс — это 5-клеточный .

В частности, k -симплекс — это k -мерный многогранник , который представляет собой выпуклую оболочку своих k + 1 вершин . Более формально, предположим, что k + 1 точек аффинно независимы , что означает, что k векторов линейно независимы . Тогда определяемый ими симплекс есть множество точек ${\displaystyle u_{0},\dots ,u_{k}}$ ${\displaystyle u_{1}-u_{0},\dots ,u_{k}-u_{0}}$

$${\displaystyle C=\left\{\theta _{0}u_{0}+\dots +\theta _{k}u_{k}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{k}\theta _{i}=1{\mbox{ and }}\theta _{i}\geq 0{\mbox{ for }}i=0,\dots ,k\right\}.}$$

Правильный симплекс ^[1] — это симплекс, который также является правильным многогранником . Правильный k -симплекс можно построить из регулярного ( k − 1) -симплекса, соединив новую вершину со всеми исходными вершинами общей длиной ребра.

Стандартный симплекс или вероятностный симплекс ^[2] представляет собой ( k − 1) -мерный симплекс, вершинами которого являются k стандартных единичных векторов в , или, другими словами, ${\displaystyle \mathbf {R} ^{k}}$

$${\displaystyle \left\{x\in \mathbf {R} ^{k}:x_{0}+\dots +x_{k-1}=1,x_{i}\geq 0{\text{ for }}i=0,\dots ,k-1\right\}.}$$

В топологии и комбинаторике принято «склеивать» симплексы, образуя симплициальный комплекс . Соответствующая комбинаторная структура называется абстрактным симплициальным комплексом , в контексте которого слово «симплекс» просто означает любой конечный набор вершин.

История

Концепция симплекса была известна Уильяму Кингдону Клиффорду , который писал об этих формах в 1886 году, но называл их «простыми границами». Анри Пуанкаре , писавший об алгебраической топологии в 1900 году, назвал их «обобщёнными тетраэдрами». В 1902 году Питер Хендрик Шоут описал эту концепцию сначала с помощью латинской превосходной степени simplicissimum («самый простой»), а затем с помощью того же латинского прилагательного в нормальной форме simplex («простой»). ^[3]

Семейство правильных симплексов — первое из трёх семейств правильных многогранников , обозначенных Дональдом Коксетером как α _n , два других — это семейство кросс-многогранников , обозначенное как β _n , и гиперкубы , обозначенные как γ _n . Четвертое семейство, мозаику n -мерного _{пространства} бесконечным числом гиперкубов , он обозначил как δn . ^[4]

Элементы

Выпуклая оболочка любого непустого подмножества из n + 1 точек, определяющих n -симплекс, называется гранью симплекса . Лица сами по себе являются упрощениями. В частности, выпуклая оболочка подмножества размера m + 1 (из n + 1 определяющих точек) представляет собой m -симплекс, называемый m -гранью n -симплекса . 0-грани (т. е. сами определяющие точки как наборы размера 1) называются вершинами ( единственное число: вершина), 1-грани называются ребрами , ( n − 1 )-грани называются гранями , а единственная n -грань — это сам весь n -симплекс. В общем случае количество m -граней равно биномиальному коэффициенту . ^[5] Следовательно, количество m -граней n -симплекса можно найти в столбце ( m + 1 ) строки ( n + 1 ) треугольника Паскаля . Симплекс A является когранью симплекса B , если B является гранью A . Грань и фасет могут иметь разные значения при описании типов симплексов в симплициальном комплексе . ${\displaystyle {\tbinom {n+1}{m+1}}}$

Расширенный f-вектор для n -симплекса может быть вычислен как ( 1 , 1 ) ^{n +1} , как и коэффициенты полиномиальных произведений . Например, 7-симплекс — это ( 1 , 1 ) ⁸ = ( 1 ,2, 1 ) ⁴ = ( 1 ,4,6,4, 1 ) ² = ( 1 ,8,28,56,70,56, 28,8, 1 ).

Число 1-граней (ребер) n -симплекса равно n - му числу треугольника , количество 2-граней n - симплекса равно ( n − 1) -му числу тетраэдра , количество 3-граней n -симплекса — это ( n − 2) -е 5-клеточное число и так далее.

n -симплекс — это многогранник с наименьшим количеством вершин, требующий n измерений. Рассмотрим отрезок AB как фигуру в одномерном пространстве (одномерное пространство — это линия, на которой лежит этот отрезок). Можно разместить новую точку C где-нибудь за линией. Новая форма, треугольник ABC , требует двух измерений; он не может поместиться в исходное одномерное пространство. Треугольник — это 2-симплекс, простая форма, требующая двух измерений. Рассмотрим треугольник ABC — фигуру в двумерном пространстве (плоскости, в которой находится треугольник). Можно разместить новую точку D где-нибудь за пределами плоскости. Новая форма, тетраэдр ABCD , требует трёх измерений; он не может поместиться в исходное двумерное пространство. Тетраэдр — это 3-симплекс, простая форма, требующая трех измерений. Рассмотрим тетраэдр ABCD , фигуру в трехмерном пространстве (трехмерном пространстве, в котором находится тетраэдр). Можно разместить новую точку E где-нибудь за пределами трехмерного пространства. Новая форма ABCDE , называемая 5-клеточной, требует четырех измерений и называется 4-симплексной; он не может поместиться в исходное трехмерное пространство. (Ее также нелегко визуализировать.) Эту идею можно обобщить, то есть добавить одну новую точку за пределами занятого в данный момент пространства, что потребует перехода в следующее более высокое измерение, чтобы сохранить новую форму. Эту идею можно развить и в обратном направлении: отрезок линии, с которого мы начали, представляет собой простую фигуру, для хранения которой требуется одномерное пространство; отрезок является 1-симплексом. Сам отрезок линии был сформирован путем начала с одной точки в 0-мерном пространстве (эта начальная точка является 0-симплексом) и добавления второй точки, что потребовало увеличения до 1-мерного пространства.

Более формально, ( n + 1) -симплекс может быть построен как соединение (∨ оператор) n -симплекса и точки  ( ) . ( m + n + 1) -симплекс может быть построен как объединение m -симплекса и n -симплекса. Два симплекса ориентированы совершенно нормально друг к другу, с перемещением в направлении, ортогональном им обоим. 1-симплекс — это соединение двух точек: ( ) ∨ ( ) = 2 ⋅ ( ) . Общий 2-симплекс (разносторонний треугольник) — это соединение трех точек: ( ) ∨ ( ) ∨ ( ) . Равнобедренный треугольник — это соединение 1-симплекса и точки: { } ∨ ( ) . Равносторонний треугольник — это 3 ⋅ ( ) или {3}. Общий 3-симплекс — это соединение 4 точек: ( ) ∨ ( ) ∨ ( ) ∨ ( ) . 3-симплекс с зеркальной симметрией можно выразить как соединение ребра и двух точек: { } ∨ ( ) ∨ ( ) . 3-симплекс с треугольной симметрией можно выразить как соединение равностороннего треугольника и 1 точки: 3.( )∨( ) или {3}∨( ) . Правильный тетраэдр — это 4 ⋅ ( ) или {3,3} и так далее.

В некоторых соглашениях ^[7] пустое множество определяется как (−1)-симплекс. Определение симплекса, приведенное выше, все еще имеет смысл, если n = −1 . Это соглашение более распространено в приложениях к алгебраической топологии (например, симплициальной гомологии ), чем к изучению многогранников.

Симметричные графы правильных симплексов

Эти многоугольники Петри (косоортогональные проекции) показывают все вершины правильного симплекса на окружности и все пары вершин, соединенные ребрами.

Стандартный симплекс

Стандартный 2-симплекс в R ³

Стандартный n -симплекс (или единичный n -симплекс ) представляет собой подмножество R ^{n +1} , заданное формулой

${\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1{\text{ and }}t_{i}\geq 0{\text{ for }}i=0,\ldots ,n\right\}}$

Симплекс ∆n лежит в аффинной гиперплоскости ^, полученной удалением ограничения t _i ≥ 0 в приведенном выше определении.

n + 1 вершинами стандартного n -симплекса являются точки e _i ∈ R ^{n +1} , где

е ₀ = (1, 0, 0, ..., 0),

е ₁ = (0, 1, 0, ..., 0),

⋮

е _п = (0, 0, 0, ..., 1) .

Стандартный симплекс является примером 0/1-многогранника , у которого все координаты равны 0 или 1. Также можно увидеть одну грань регулярного ( n + 1) -ортоплекса .

Существует каноническое отображение стандартного n -симплекса в произвольный n -симплекс с вершинами ( v0 _, ..., vn ), заданное _{формулой}

${\displaystyle (t_{0},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}t_{i}v_{i}}$

Коэффициенты t _i называются барицентрическими координатами точки n -симплекса. Такой общий симплекс часто называют аффинным n -симплексом , чтобы подчеркнуть, что каноническое отображение является аффинным преобразованием . Его также иногда называют ориентированным аффинным n -симплексом , чтобы подчеркнуть, что каноническое отображение может сохранять или обращать ориентацию .

В более общем смысле, существует каноническое отображение стандартного -симплекса (с n вершинами) на любой многогранник с n вершинами, заданное тем же уравнением (модифицирующая индексация): ${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}}$

Они известны как обобщенные барицентрические координаты и выражают каждый многогранник как образ симплекса: ${\displaystyle \Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.}$

Обычно используемая функция от R ⁿ до внутренней части стандартного -симплекса — это функция softmax или нормализованная экспоненциальная функция; это обобщает стандартную логистическую функцию . ${\displaystyle (n-1)}$

Примеры

• Δ0 ^{— это} точка 1 в R1 .
• Δ ¹ - это отрезок, соединяющий (1, 0) и (0, 1) в R ² .
• ∆2 — равносторонний треугольник с вершинами (1, 0, 0) , (0 ^, 1, 0) и (0, 0, 1) в R ³ .
• Δ ³ — правильный тетраэдр с вершинами (1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 0) и (0, 0, 0, 1) в R ⁴ .
• ∆ ⁴ — правильная 5-ячейка с вершинами (1, 0, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0, 0) , (0, 0, 1, 0, 0) , (0, 0 , 0, 1, 0) и (0, 0, 0, 0, 1) в R ⁵ .

Увеличение координат

Альтернативная система координат задается путем взятия неопределенной суммы :

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=0\\s_{1}&=s_{0}+t_{0}=t_{0}\\s_{2}&=s_{1}+t_{1}=t_{0}+t_{1}\\s_{3}&=s_{2}+t_{2}=t_{0}+t_{1}+t_{2}\\&\;\;\vdots \\s_{n}&=s_{n-1}+t_{n-1}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n-1}\\s_{n+1}&=s_{n}+t_{n}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}=1\end{aligned}}}$

Это дает альтернативное представление по порядку, а именно в виде неубывающих n -кортежей от 0 до 1:

${\displaystyle \Delta _{*}^{n}=\left\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in \mathbf {R} ^{n}\mid 0=s_{0}\leq s_{1}\leq s_{2}\leq \dots \leq s_{n}\leq s_{n+1}=1\right\}.}$

Геометрически это n -мерное подмножество (максимальная размерность, коразмерность 0), а не (коразмерность 1). Фасеты, которые в стандартном симплексе соответствуют исчезновению одной координаты, здесь соответствуют равенству последовательных координат, а внутренняя часть соответствует строгим неравенствам (возрастающим последовательностям). ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle t_{i}=0,}$ ${\displaystyle s_{i}=s_{i+1},}$

Ключевым различием между этими представлениями является поведение при перестановке координат: стандартный симплекс стабилизируется за счет перестановки координат, в то время как перестановка элементов «упорядоченного симплекса» не оставляет его инвариантным, поскольку перестановка упорядоченной последовательности обычно делает ее неупорядоченной. Действительно, упорядоченный симплекс является (замкнутой) фундаментальной областью действия симметрической группы на n -куб , а это означает, что орбита упорядоченного симплекса под n ! элементов симметричной группы делит n -куб на преимущественно непересекающиеся симплексы (непересекающиеся, за исключением границ), показывая, что этот симплекс имеет объем 1/ n ! . Альтернативно , объем можно вычислить с помощью повторного интеграла, последовательные подынтегральные выражения которого равны 1, x , x ^2/2 , x ^3/3 ! , ..., х ^н / н ! . ${\displaystyle n!}$

Еще одним свойством этого представления является то, что оно использует порядок, а не сложение, и, таким образом, может быть определено в любом измерении любого упорядоченного набора и, например, может использоваться для определения бесконечномерного симплекса без проблем сходимости сумм.

Проекция на стандартный симплекс

Особенно интересна проекция на стандартный симплекс в численных приложениях теории вероятностей . Учитывая возможные отрицательные значения, ближайшая точка симплекса имеет координаты ${\displaystyle (p_{i})_{i}}$ ${\displaystyle \left(t_{i}\right)_{i}}$

${\displaystyle t_{i}=\max\{p_{i}+\Delta \,,0\},}$

где выбрано такое, что ${\displaystyle \Delta }$ ${\textstyle \sum _{i}\max\{p_{i}+\Delta \,,0\}=1.}$

${\displaystyle \Delta }$можно легко вычислить путем сортировки pi _. ^[8] Подход к сортировке требует сложности, которую можно повысить до сложности O( n ) с помощью алгоритмов поиска медианы . ^[9] Проецирование на симплекс вычислительно аналогично проецированию на шар. ${\displaystyle O(n\log n)}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$

Угол куба

Наконец, простой вариант — заменить «суммирование до 1» на «суммирование максимум до 1»; это увеличивает размерность на 1, поэтому для упрощения записи индексация меняется:

${\displaystyle \Delta _{c}^{n}=\left\{(t_{1},\ldots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n}t_{i}\leq 1{\text{ and }}t_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.}$

Это дает n -симплекс как угол n -куба и является стандартным ортогональным симплексом. Это симплекс, используемый в методе симплекс , который основан на начале координат и локально моделирует вершину на многограннике с n гранями.

Декартовы координаты регулярного n -мерного симплекса в R n

Один из способов записать правильный n -симплекс в R ⁿ — это выбрать две точки в качестве первых двух вершин, выбрать третью точку, чтобы образовать равносторонний треугольник, выбрать четвертую точку, чтобы образовать правильный тетраэдр, и так далее. Каждый шаг требует выполнения уравнений, которые гарантируют, что каждая вновь выбранная вершина вместе с ранее выбранными вершинами образует правильный симплекс. Существует несколько наборов уравнений, которые можно записать и использовать для этой цели. К ним относятся равенство всех расстояний между вершинами; равенство всех расстояний от вершин до центра симплекса; тот факт, что угол, образуемый через новую вершину любыми двумя ранее выбранными вершинами, равен ; и тот факт, что угол, образуемый через центр симплекса любыми двумя вершинами, равен . ${\displaystyle \pi /3}$ ${\displaystyle \arccos(-1/n)}$

Также возможно напрямую записать конкретный правильный n -симплекс в R ⁿ , который затем можно будет перемещать, вращать и масштабировать по желанию. Один из способов сделать это заключается в следующем. Обозначим _{базисные} векторы Rn через e1 _– en . _ ^_ _ Начните со стандартного ( n − 1) -симплекса, который представляет собой выпуклую оболочку базисных векторов. Добавляя дополнительную вершину, они становятся гранью правильного n -симплекса. Дополнительная вершина должна лежать на прямой, перпендикулярной барицентру стандартного симплекса, поэтому она имеет вид ( α / n , ..., α / n ) для некоторого действительного числа α . Поскольку квадрат расстояния между двумя базисными векторами равен 2, для того чтобы дополнительная вершина образовала правильный n -симплекс, квадрат расстояния между ней и любым из базисных векторов также должен быть равен 2. Это дает квадратное уравнение для α . Решение этого уравнения показывает, что есть два варианта выбора дополнительной вершины:

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(1\pm {\sqrt {n+1}}\right)\cdot (1,\dots ,1).}$

Любой из них вместе со стандартными базисными векторами дает правильный n -симплекс.

Вышеупомянутый регулярный n -симплекс не центрирован в начале координат. Его можно перевести в начало координат, вычитая среднее значение его вершин. Путем изменения масштаба ему можно задать единичную длину стороны. В результате получается симплекс, вершины которого:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{i}-{\frac {1}{n{\sqrt {2}}}}{\bigg (}1\pm {\frac {1}{\sqrt {n+1}}}{\bigg )}\cdot (1,\dots ,1),}$

для и ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {2(n+1)}}}\cdot (1,\dots ,1).}$

Обратите внимание, что здесь описаны два набора вершин. В каждом расчете используется один набор . Другой набор используется в каждом расчете. ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$

Этот симплекс вписан в гиперсферу радиуса . ${\displaystyle {\sqrt {n/(2(n+1))}}}$

Другое масштабирование дает симплекс, вписанный в единичную гиперсферу. Когда это будет сделано, его вершины будут

${\displaystyle {\sqrt {1+n^{-1}}}\cdot \mathbf {e} _{i}-n^{-3/2}({\sqrt {n+1}}\pm 1)\cdot (1,\dots ,1),}$

где и ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle \pm n^{-1/2}\cdot (1,\dots ,1).}$

Длина стороны этого симплекса равна . ${\textstyle {\sqrt {2(n+1)/n}}}$

Высокосимметричный способ построения регулярного n -симплекса _{состоит} в использовании представления циклической группы Zn ₊₁ ортогональными матрицами . Это ортогональная матрица Q размера n × n такая, что Q ^{n +1} = I является единичной матрицей , но никакая нижняя степень Q не является таковой. Применяя степени этой матрицы к соответствующему вектору v , получим вершины правильного n -симплекса. Чтобы выполнить это, сначала заметим, что для любой ортогональной матрицы Q существует выбор базиса, в котором Q является блочной диагональной матрицей.

${\displaystyle Q=\operatorname {diag} (Q_{1},Q_{2},\dots ,Q_{k}),}$

где каждый Q _i ортогонален и имеет размер 2 × 2 или 1 × 1 . Чтобы Q имел порядок n + 1 , все эти матрицы должны иметь порядок деления n + 1 . Следовательно, каждый Q _i представляет собой либо матрицу 1 × 1 , единственная запись которой равна 1 , либо, если n нечетно , −1 ; или это матрица 2 × 2 вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&-\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\\\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\end{pmatrix}},}$

где каждое ω _i представляет собой целое число от нуля до n включительно. Достаточным условием того, что орбита точки является регулярным симплексом, является то, что матрицы Q _i образуют базис нетривиальных неприводимых вещественных представлений Z _{n +1} и вращаемый вектор не стабилизируется ни одним из них.

На практике даже для n это означает, что каждая матрица Q _i имеет размер 2 × 2 , существует равенство множеств

${\displaystyle \{\omega _{1},n+1-\omega _{1},\dots ,\omega _{n/2},n+1-\omega _{n/2}\}=\{1,\dots ,n\},}$

и для каждого Q _i элементы v , на которые действует Q _i, не равны нулю. Например, когда n = 4 , одной из возможных матриц является

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)&-\sin(2\pi /5)&0&0\\\sin(2\pi /5)&\cos(2\pi /5)&0&0\\0&0&\cos(4\pi /5)&-\sin(4\pi /5)\\0&0&\sin(4\pi /5)&\cos(4\pi /5)\end{pmatrix}}.}$

Применяя это к вектору (1, 0, 1, 0), получаем симплекс, вершины которого равны

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\\\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\\\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\\\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\\\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\end{pmatrix}},}$

каждый из которых находится на расстоянии √5 от остальных. Когда n нечетно, это условие означает, что ровно один из диагональных блоков имеет размер 1 × 1 , равен −1 , и действует на ненулевой элемент v ; в то время как остальные диагональные блоки, скажем Q ₁ , ..., Q _{( n − 1) / 2} , имеют размер 2 × 2 , существует равенство множеств

${\displaystyle \left\{\omega _{1},-\omega _{1},\dots ,\omega _{(n-1)/2},-\omega _{n-1)/2}\right\}=\left\{1,\dots ,(n-1)/2,(n+3)/2,\dots ,n\right\},}$

и каждый диагональный блок действует на пару элементов v , которые не равны нулю. Так, например, когда n = 3 , матрица может быть

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}}.}$

Для вектора (1, 0, 1/ √ 2 ) результирующий симплекс имеет вершины

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},}$

каждый из которых находится на расстоянии 2 от остальных.

Геометрические свойства

Объем

Объем n -симплекса в n -мерном пространстве с вершинами ( v ₀ , ..., v _n ) равен

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&&v_{2}-v_{0}&&\cdots &&v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right|}$

где каждый столбец определителя размера n × n представляет собой вектор , указывающий из вершины v ₀ на другую вершину v _k . ^[10] Эта формула особенно полезна, когда указано начало координат. ${\displaystyle v_{0}}$

Выражение

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\det \left[{\begin{pmatrix}v_{1}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\v_{2}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\\vdots \\v_{n}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&v_{2}-v_{0}&\cdots &v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right]^{1/2}}$

использует определитель Грама и работает, даже когда вершины n -симплекса находятся в евклидовом пространстве с более чем n измерениями, например, треугольник в . ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$

Более симметричный способ вычисления объема n -симплекса в : ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={1 \over n!}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{0}&v_{1}&\cdots &v_{n}\\1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}\right|.}$

Другой распространенный способ вычисления объема симплекса — с помощью определителя Кэли-Менгера , который работает, даже если вершины n-симплекса находятся в евклидовом пространстве с более чем n измерениями. ^[11]

Без 1/ n ! это формула объема n - параллелоэдра . Это можно понять следующим образом. Предположим, что P — n -параллелотоп, построенный на основе . Учитывая перестановку , назовите список вершин n -путем , если ${\displaystyle (v_{0},e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle v_{0},\ v_{1},\ldots ,v_{n}}$

${\displaystyle v_{1}=v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{2}=v_{1}+e_{\sigma (2)},\ldots ,v_{n}=v_{n-1}+e_{\sigma (n)}}$

(так что существует n ! n -путей и не зависит от перестановки). Имеют место следующие утверждения: ${\displaystyle v_{n}}$

Если P — единичный n -гиперкуб, то объединение n -симплексов, образованных выпуклой оболочкой каждого n -пути, есть P , и эти симплексы конгруэнтны и попарно непересекающиеся. ^[12] В частности, объем такого симплекса равен

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {1}{n!}}.}$

Если P — общий параллелоэдр, справедливы те же утверждения, за исключением того, что в размерности > 2 уже неверно, что симплексы должны быть попарно конгруэнтны; однако их объемы остаются равными, поскольку n -параллелотоп является образом единичного n -гиперкуба посредством линейного изоморфизма , который переводит канонический базис в . Как и ранее, это означает, что объем симплекса, исходящего из n -пути, равен: ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {\det(e_{1},\ldots ,e_{n})}{n!}}.}$

И наоборот, учитывая n -симплекс , можно предположить, что векторы образуют базис . Рассматривая параллелоэдр, построенный из и , видно, что предыдущая формула справедлива для любого симплекса. ${\displaystyle (v_{0},\ v_{1},\ v_{2},\ldots v_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle e_{1}=v_{1}-v_{0},\ e_{2}=v_{2}-v_{1},\ldots e_{n}=v_{n}-v_{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

Наконец, формула в начале этого раздела получается, если заметить, что

${\displaystyle \det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\ldots ,v_{n}-v_{0})=\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{1},\ldots ,v_{n}-v_{n-1}).}$

Из этой формулы сразу следует, что объем под стандартным n -симплексом (т.е. между началом координат и симплексом в R ^{n +1} ) равен

${\displaystyle {1 \over (n+1)!}}$

Объем правильного n -симплекса с единичной длиной стороны равен

${\displaystyle {\frac {\sqrt {n+1}}{n!{\sqrt {2^{n}}}}}}$

как можно видеть, умножив предыдущую формулу на x ^{n +1} , чтобы получить объем под n -симплексом как функцию расстояния его вершин x от начала координат, дифференцируя по x , at   (где сторона n -симплекса длина равна 1) и нормализуется на длину приращения вдоль вектора нормали. ${\displaystyle x=1/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle dx/{\sqrt {n+1}}}$ ${\displaystyle (dx/(n+1),\ldots ,dx/(n+1))}$

Двугранные углы правильного n -симплекса

Любые две ( n - 1) -мерные грани правильного n -мерного симплекса сами по себе являются правильными ( n - 1) -мерными симплексами и имеют одинаковый двугранный угол cos −1 (1 ^/ n ) . ^{[13] [14]}

В этом можно убедиться, заметив, что центр стандартного симплекса равен , а центры его граней являются координатными перестановками . Тогда по симметрии вектор, направленный от до , перпендикулярен граням. Таким образом, векторы, нормальные к граням, являются перестановками , из которых вычисляются двугранные углы. ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$ ${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$ ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$ ${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$ ${\displaystyle (-n,1,\dots ,1)}$

Симплексы с «ортогональным углом»

«Ортогональный угол» здесь означает, что существует вершина, в которой все смежные ребра попарно ортогональны. Отсюда сразу следует, что все смежные грани попарно ортогональны. Такие симплексы являются обобщениями прямоугольных треугольников и для них существует n -мерная версия теоремы Пифагора :

Сумма квадратов ( n - 1) -мерных объемов граней, прилегающих к ортогональному углу, равна квадрату ( n - 1) -мерного объема грани, противоположной ортогональному углу.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|A_{k}|^{2}=|A_{0}|^{2}}$

где грани попарно ортогональны друг другу, но не ортогональны , что является гранью, противоположной ортогональному углу. ^[15] ${\displaystyle A_{1}\ldots A_{n}}$ ${\displaystyle A_{0}}$

Для 2-симплекса теорема представляет собой теорему Пифагора для треугольников с прямым углом, а для 3-симплекса — теорему де Гуа для тетраэдра с ортогональным углом.

Связь с ( n + 1)-гиперкубом

Диаграмма Хассе решетки граней n -симплекса изоморфна графику ( n + 1) - ребер гиперкуба , при этом вершины гиперкуба отображаются на каждый из элементов n -симплекса, включая весь симплекс и нулевой многогранник как крайние точки решетки (сопоставленные с двумя противоположными вершинами гиперкуба). Этот факт можно использовать для эффективного перебора решетки граней симплекса, поскольку более общие алгоритмы перечисления решетки граней требуют больше вычислительных затрат.

n - симплекс также является вершиной ( n + 1) -гиперкуба . Это также грань ( n + 1 ) -ортоплекса .

Топология

Топологически n - симплекс эквивалентен n - шару . Каждый n -симплекс представляет собой n -мерное многообразие с углами .

Вероятность

В теории вероятностей точки стандартного n -симплекса в ( n + 1) -пространстве образуют пространство возможных распределений вероятностей на конечном множестве, состоящем из n + 1 возможных исходов. Соответствие следующее: каждому распределению, описываемому как упорядоченный ( n + 1) -набор вероятностей, сумма которых (обязательно) равна 1, мы сопоставляем точку симплекса, барицентрические координаты которого являются именно этими вероятностями. То есть k -й вершине симплекса присваивается k -я вероятность кортежа ( n + 1) в качестве барицентрического коэффициента. Это соответствие является аффинным гомеоморфизмом.

Соединения

Поскольку все симплексы самодвойственны, они могут образовывать ряд соединений;

• Два треугольника образуют гексаграмму {6/2}.
• Два тетраэдра образуют соединение двух тетраэдров или стеллу-октангулу .
• Две 5-клетки образуют соединение двух 5-клеток в четырех измерениях.

Алгебраическая топология

В алгебраической топологии симплексы используются в качестве строительных блоков для построения интересного класса топологических пространств, называемых симплициальными комплексами . Эти пространства построены из симплексов, склеенных комбинаторным способом. Симплициальные комплексы используются для определения определенного вида гомологии , называемого симплициальной гомологией .

Конечный набор k -симплексов ^, вложенный в открытое подмножество Rn , называется аффинной k -цепью . Симплексы в цепочке не обязательно должны быть уникальными; они могут возникать во множестве . Вместо использования стандартной нотации набора для обозначения аффинной цепи стандартной практикой является использование знаков плюс для разделения каждого члена набора. Если некоторые из симплексов имеют противоположную ориентацию , перед ними ставится знак минус. Если некоторые симплексы встречаются в наборе более одного раза, перед ними ставится целочисленное число. Таким образом, аффинная цепь принимает символический вид суммы с целыми коэффициентами.

Обратите внимание, что каждая грань n -симплекса является аффинным ( n - 1) -симплексом, и, таким образом, граница n -симплекса представляет собой аффинную ( n - 1) -цепь. Таким образом, если мы обозначим один положительно ориентированный аффинный симплекс как

${\displaystyle \sigma =[v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}]}$

с обозначением вершин, то границей σ является цепь ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle \partial \sigma }$

${\displaystyle \partial \sigma =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}].}$

Из этого выражения и линейности граничного оператора следует, что граница границы симплекса равна нулю:

${\displaystyle \partial ^{2}\sigma =\partial \left(\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}]\right)=0.}$

Аналогично, граница границы цепи равна нулю: . ${\displaystyle \partial ^{2}\rho =0}$

В более общем смысле симплекс (и цепь) можно вложить в многообразие с помощью гладкого дифференцируемого отображения . В этом случае и соглашение о суммировании для обозначения множества, и граничная операция коммутируют с вложением . То есть, ${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\to M}$

${\displaystyle f\left(\sum \nolimits _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum \nolimits _{i}a_{i}f(\sigma _{i})}$

где – целые числа, обозначающие ориентацию и кратность. Для граничного оператора имеем: ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \partial }$

${\displaystyle \partial f(\rho )=f(\partial \rho )}$

где ρ — цепь. Операция границы коммутирует с отображением, потому что, в конечном итоге, цепочка определяется как множество и не более того, а операция установки всегда коммутирует с операцией отображения (по определению отображения).

Непрерывное отображение топологического пространства X часто называют сингулярным n - симплексом . (Отображение обычно называют «сингулярным», если оно не обладает некоторым желаемым свойством, таким как непрерывность, и в этом случае этот термин призван отражать тот факт, что непрерывное отображение не обязательно должно быть вложением.) [16 ^] ${\displaystyle f:\sigma \to X}$

Алгебраическая геометрия

Поскольку классическая алгебраическая геометрия позволяет говорить о полиномиальных уравнениях, но не о неравенствах, алгебраический стандартный n-симплекс обычно определяется как подмножество аффинного ( n + 1) -мерного пространства, где сумма всех координат равна 1 (таким образом, исключая часть неравенства). Алгебраическое описание этого множества имеет вид

$${\displaystyle \Delta ^{n}:=\left\{x\in \mathbb {A} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=1\right\},}$$

схемному ${\displaystyle \Delta _{n}(R)=\operatorname {Spec} (R[\Delta ^{n}])}$

$${\displaystyle R[\Delta ^{n}]:=R[x_{1},\ldots ,x_{n+1}]\left/\left(1-\sum x_{i}\right)\right.}$$

nкольца ${\displaystyle R}$

Используя те же определения, что и для классического n -симплекса, n -симплексы для разных размерностей n собираются в один симплициальный объект , а кольца собираются в один косимплициальный объект (в категории схем соответственно колец, поскольку грань и вырождение все карты полиномиальны). ${\displaystyle R[\Delta ^{n}]}$ ${\displaystyle R[\Delta ^{\bullet }]}$

Алгебраические n -симплексы используются в высшей K -теории и в определении высших групп Чжоу .

Приложения

• В статистике симплексы представляют собой выборочные пространства композиционных данных и также используются для построения графиков величин, сумма которых равна 1, например, пропорций субпопуляций, как на троичном графике .
• В теории вероятностей симплексное пространство часто используется для представления пространства вероятностных распределений. Например, распределение Дирихле определяется на симплексе.
• В промышленной статистике симплексы возникают при постановке задач и алгоритмическом решении. При изготовлении хлеба производитель должен сочетать дрожжи, муку, воду, сахар и т. д. В таких смесях значение имеют только относительные пропорции ингредиентов: для оптимальной хлебной смеси, если количество муки увеличивается вдвое, то количество дрожжей должно быть увеличено вдвое. Такая задача о смеси часто формулируется с нормализованными ограничениями, так что сумма неотрицательных компонентов равна единице, и в этом случае допустимая область образует симплекс. Качество хлебных смесей можно оценить с помощью методологии поверхности отклика , а затем вычислить локальный максимум с помощью метода нелинейного программирования , такого как последовательное квадратичное программирование . ^[17]
• В исследовании операций задачи линейного программирования могут быть решены с помощью симплексного алгоритма Джорджа Данцига .
• В теории игр стратегии можно представить в виде точек внутри симплекса. Такое представление упрощает анализ смешанных стратегий.
• В геометрическом дизайне и компьютерной графике многие методы сначала выполняют симплициальную триангуляцию области, а затем подгоняют интерполяционные полиномы к каждому симплексу. ^[18]
• В химии гидриды большинства элементов p -блока могут напоминать симплекс, если соединить каждый атом. Неон не реагирует с водородом и поэтому является точкой , фтор связывается с одним атомом водорода и образует отрезок линии, кислород связывается с двумя атомами водорода изогнутым образом , напоминающим треугольник, азот реагирует с образованием тетраэдра , а углерод образует структура , напоминающая диаграмму Шлегеля 5-клеточной ячейки. Эта тенденция сохраняется для более тяжелых аналогов каждого элемента, а также при замене атома водорода атомом галогена .
• В некоторых подходах к квантовой гравитации , таких как исчисление Редже и причинно-следственные динамические триангуляции , симплексы используются в качестве строительных блоков дискретизации пространства-времени; то есть построить симплициальные многообразия .

Смотрите также

• 3-сфера
• Геометрия Эйчисона
• Причинная динамическая триангуляция
• Полный график
• Триангуляция Делоне
• Геометрия расстояния
• Геометрический примитив
• Хилл тетраэдр
• Гиперсимплекс
• Список правильных многогранников
• Закон Меткалфа
• Другие правильные n - многогранники
  • Кросс-многогранник
  • Гиперкуб
  • Тессеракт
• Многогранник
• Ортосхема Шлефли
• Симплексный алгоритм - метод оптимизации с ограничениями-неравенствами.
• Симплициальный комплекс
• Симплициальная гомология
• Симплициальный набор
• Спектраэдр
• Тройной сюжет

Примечания

1. Эльте, EL (2006) [1912]. «IV. Пятимерный полуправильный многогранник». Полуправильные многогранники гиперпространств . Саймон и Шустер. ISBN 978-1-4181-7968-7.
2. Бойд и Ванденберге, 2004 г.
3. Миллер, Джефф, «Симплекс», самое раннее известное использование некоторых математических слов , получено 8 января 2018 г.
4. Коксетер 1973, стр. 120–124, §7.2.
5. Коксетер 1973, с. 120.
6. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A135278 (треугольник Паскаля с удаленным левым краем)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
7. Козлов, Дмитрий, Комбинаторно-алгебраическая топология , 2008, Springer-Verlag (Серия: Алгоритмы и вычисления в математике)
8. Юнмей Чен; Сяоцзин Е (2011). «Проекция на симплекс». arXiv : 1101.6081 [math.OC].
9. Макулан, Н.; Де Паула, Г.Г. (1989). «Алгоритм поиска медианы с линейным временем для проектирования вектора на симплекс n». Письма об исследованиях операций . 8 (4): 219. дои : 10.1016/0167-6377(89)90064-3.
10. Вывод очень похожей формулы можно найти у Штейна П. (1966). «Заметка об объеме симплекса». Американский математический ежемесячник . 73 (3): 299–301. дои : 10.2307/2315353. JSTOR  2315353.
11. Колинз, Карен Д. «Определитель Кэли-Менгера». Математический мир .
12. Каждый n -путь, соответствующий перестановке, является образом n -пути с помощью аффинной изометрии, которая отправляет в , и чья линейная часть соответствует для всех  i . следовательно, каждые два n -пути изометричны, как и их выпуклые оболочки; этим объясняется конгруэнтность симплексов. Чтобы показать остальные утверждения, достаточно заметить, что внутренность симплекса, определяемого n -путем , представляет собой множество точек , причем и Следовательно, компоненты этих точек по отношению к каждому соответствующему перестановочному базису строго упорядочены в порядке убывания . Это объясняет, почему симплексы не перекрываются. Тот факт, что объединение симплексов представляет собой целый единичный n -гиперкуб, следует также из замены строгих неравенств, приведенных выше, на " ". Те же аргументы справедливы и для общего параллелоэдра, за исключением изометрии между симплексами. ${\displaystyle \scriptstyle \sigma }$ ${\displaystyle \scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{1},\ v_{0}+e_{1}+e_{2},\ldots v_{0}+e_{1}+\cdots +e_{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle v_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle v_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle e_{i}}$ ${\displaystyle \scriptstyle e_{\sigma (i)}}$ ${\displaystyle \scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{0}+e_{\sigma (1)}+e_{\sigma (2)}\ldots v_{0}+e_{\sigma (1)}+\cdots +e_{\sigma (n)}}$ ${\displaystyle \scriptstyle v_{0}+(x_{1}+\cdots +x_{n})e_{\sigma (1)}+\cdots +(x_{n-1}+x_{n})e_{\sigma (n-1)}+x_{n}e_{\sigma (n)}}$ ${\displaystyle \scriptstyle 0<x_{i}<1}$ ${\displaystyle \scriptstyle x_{1}+\cdots +x_{n}<1.}$ ${\displaystyle \scriptstyle \leq }$
13. Паркс, Гарольд Р .; Уиллс, Дин К. (октябрь 2002 г.). «Элементарный расчет двугранного угла правильного n -симплекса». Американский математический ежемесячник . 109 (8): 756–8. дои : 10.2307/3072403. JSTOR  3072403.
14. Уиллс, Гарольд Р.; Паркс, Дин К. (июнь 2009 г.). Связь комбинаторики перестановок с алгоритмами и геометрией (доктор философии). Государственный университет Орегона. HDL : 1957/11929.
15. Дончиан, PS; Коксетер, HSM (июль 1935 г.). «1142. n-мерное расширение теоремы Пифагора». Математический вестник . 19 (234): 206. дои : 10.2307/3605876. JSTOR  3605876. S2CID  125391795.
16. Ли, Джон М. (2006). Введение в топологические многообразия. Спрингер. стр. 292–3. ISBN 978-0-387-22727-6.
17. Корнелл, Джон (2002). Эксперименты со смесями: конструкции, модели и анализ данных о смесях (третье изд.). Уайли. ISBN 0-471-07916-2.
18. Вондран, Гэри Л. (апрель 1998 г.). «Методы радиальной и обрезанной тетраэдральной интерполяции» (PDF) . Технический отчет HP . HPL-98-95: 1–32. Архивировано из оригинала (PDF) 7 июня 2011 г. Проверено 11 ноября 2009 г.

Рекомендации

• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-054235-Х. (Простой обзор топологических свойств см. в главе 10.)
• Таненбаум, Эндрю С. (2003). «§2.5.3». Компьютерные сети (4-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-066102-3.
• Деврой, Люк (1986). Генерация неоднородной случайной переменной. Спрингер. ISBN 0-387-96305-7. Архивировано из оригинала 5 мая 2009 г.
• Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Дувр. ISBN 0-486-61480-8.
  • стр. 120–121, §7.2. см. рисунок 7-2 А
  • п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n измерениях ( n ≥ 5 ).
• Вайсштейн, Эрик В. «Симплекс». Математический мир .
• Бойд, Стивен ; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-39400-1.В формате PDF