Уравнение состояния

Уравнение, описывающее состояние вещества при заданном наборе физических условий.

В физике и химии уравнение состояния — это термодинамическое уравнение , связывающее переменные состояния , которые описывают состояние вещества при заданном наборе физических условий, таких как давление , объем , температура или внутренняя энергия . ^[1] Большинство современных уравнений состояния сформулированы в свободной энергии Гельмгольца . Уравнения состояния полезны при описании свойств чистых веществ и смесей в жидкостях, газах и твердых состояниях, а также состояния вещества внутри звезд .

Обзор

В настоящее время не существует единого уравнения состояния, которое точно предсказывает свойства всех веществ при всех условиях. Пример уравнения состояния связывает плотности газов и жидкостей с температурами и давлениями, известный как закон идеального газа , который приблизительно точен для слабополярных газов при низких давлениях и умеренных температурах. Это уравнение становится все более неточным при более высоких давлениях и более низких температурах и не может предсказать конденсацию из газа в жидкость.

Общую форму уравнения состояния можно записать как $${\displaystyle f(p,V,T)=0}$$

где — давление, объем и температура системы. Однако в этой форме могут использоваться и другие переменные. Это напрямую связано с правилом фаз Гиббса , то есть количество независимых переменных зависит от количества веществ и фаз в системе. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$

Уравнение, используемое для моделирования этой связи, называется уравнением состояния. В большинстве случаев эта модель будет включать некоторые эмпирические параметры, которые обычно корректируются в соответствии с данными измерений. Уравнения состояния также могут описывать твердые тела, включая переход твердых тел из одного кристаллического состояния в другое. Уравнения состояния также используются для моделирования состояния вещества внутри звезд, включая нейтронные звезды , плотную материю ( кварк-глюонную плазму ) и поля излучения. Связанная концепция — уравнение состояния идеальной жидкости, используемое в космологии .

Уравнения состояния применяются во многих областях, таких как технологические процессы , нефтяная промышленность, а также фармацевтическая промышленность.

Можно использовать любой последовательный набор единиц, хотя предпочтительны единицы СИ . Абсолютная температура относится к использованию Кельвина ( К), где ноль — абсолютный ноль.

• ${\displaystyle n}$, число молей вещества
• ${\displaystyle V_{m}}$, , молярный объем , объем 1 моля газа или жидкости ${\displaystyle {\frac {V}{n}}}$
• ${\displaystyle R}$, постоянная идеального газа ≈ 8,3144621  Дж/моль·К
• ${\displaystyle p_{c}}$, давление в критической точке
• ${\displaystyle V_{c}}$, молярный объем в критической точке
• ${\displaystyle T_{c}}$, абсолютная температура в критической точке

Историческая справка

Закон Бойля был одной из самых ранних формулировок уравнения состояния. В 1662 году ирландский физик и химик Роберт Бойль провел серию экспериментов, используя стеклянную трубку в форме буквы J, которая была запаяна с одного конца. В трубку добавлялась ртуть , удерживая фиксированное количество воздуха в коротком, запаянном конце трубки. Затем объем газа измерялся по мере добавления в трубку дополнительной ртути. Давление газа можно было определить по разнице между уровнем ртути в коротком конце трубки и в длинном, открытом конце. С помощью этих экспериментов Бойль заметил, что объем газа изменялся обратно пропорционально давлению. В математической форме это можно выразить так: Вышеуказанное соотношение также приписывалось Эдму Мариотту и иногда упоминается как закон Мариотта. Однако работа Мариотта была опубликована только в 1676 году. $${\displaystyle pV=\mathrm {constant} .}$$

В 1787 году французский физик Жак Шарль обнаружил, что кислород, азот, водород, углекислый газ и воздух расширяются примерно в одинаковой степени в одном и том же интервале в 80 кельвинов. Сегодня это известно как закон Шарля . Позже, в 1802 году, Жозеф Луи Гей-Люссак опубликовал результаты подобных экспериментов, указывающие на линейную зависимость между объемом и температурой: закон Дальтона (1801) парциального давления гласит, что давление смеси газов равно сумме давлений всех составляющих ее газов по отдельности. $${\displaystyle {\frac {V_{1}}{T_{1}}}={\frac {V_{2}}{T_{2}}}.}$$

Математически это можно представить для видов как: В 1834 году Эмиль Клапейрон объединил закон Бойля и закон Шарля в первое утверждение закона идеального газа . Первоначально закон был сформулирован как pV _m = R ( T _C + 267) (с температурой, выраженной в градусах Цельсия), где R - газовая постоянная . Однако более поздние работы показали, что число на самом деле должно быть ближе к 273,2, и тогда шкала Цельсия была определена как , что дало: В 1873 году Дж. Д. Ван дер Ваальс ввел первое уравнение состояния, полученное из предположения о конечном объеме, занимаемом составляющими молекулами. ^[2] Его новая формула произвела революцию в изучении уравнений состояния и стала отправной точкой кубических уравнений состояния , которые наиболее известным образом продолжились через уравнение состояния Редлиха-Квонга ^[3] и модификацию Соаве Редлиха-Квонга. ^[4] ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle p_{\text{total}}=p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}.}$$ ${\displaystyle 0~^{\circ }\mathrm {C} =273.15~\mathrm {K} }$ $${\displaystyle pV_{m}=R\left(T_{C}+273.15\ {}^{\circ }{\text{C}}\right).}$$

Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса можно записать как

${\displaystyle \left(P+a{\frac {1}{V_{m}^{2}}}\right)(V_{m}-b)=RT}$

где — параметр, описывающий энергию притяжения между частицами, а — параметр, описывающий объем частиц. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Закон идеального газа

Классический закон идеального газа

Классический закон идеального газа можно записать $${\displaystyle pV=nRT.}$$

В показанной выше форме уравнение состояния имеет вид $${\displaystyle f(p,V,T)=pV-nRT=0.}$$

Если используется приближение идеального газа с точки зрения калорийности, то закон идеального газа можно также выразить следующим образом, где — плотность газа (число атомов/молекул в единице объема), — (постоянный) показатель адиабаты ( отношение удельных теплоемкостей ), — внутренняя энергия на единицу массы («удельная внутренняя энергия»), — удельная теплоемкость при постоянном объеме, — удельная теплоемкость при постоянном давлении. $${\displaystyle p=\rho (\gamma -1)e}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \gamma =C_{p}/C_{v}}$ ${\displaystyle e=C_{v}T}$ ${\displaystyle C_{v}}$ ${\displaystyle C_{p}}$

Закон квантового идеального газа

Поскольку для атомарных и молекулярных газов классический закон идеального газа в большинстве случаев хорошо подходит, опишем уравнение состояния элементарных частиц с массой и спином , учитывающее квантовые эффекты. В дальнейшем верхний знак всегда будет соответствовать статистике Ферми–Дирака , а нижний знак – статистике Бозе–Эйнштейна . Уравнение состояния таких газов с частицами, занимающими объем с температурой и давлением , имеет вид ^[5] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle p={\frac {(2s+1){\sqrt {2m^{3}k_{\text{B}}^{5}T^{5}}}}{3\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{3/2}\,\mathrm {d} z}{e^{z-\mu /(k_{\text{B}}T)}\pm 1}}}$$где — постоянная Больцмана , а химический потенциал задается следующей неявной функцией ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle \mu (T,N/V)}$ $${\displaystyle {\frac {N}{V}}={\frac {(2s+1)(mk_{\text{B}}T)^{3/2}}{{\sqrt {2}}\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{1/2}\,\mathrm {d} z}{e^{z-\mu /(k_{\text{B}}T)}\pm 1}}.}$$

В предельном случае, когда , это уравнение состояния сводится к уравнению состояния классического идеального газа. Можно показать, что приведенное выше уравнение состояния в пределе сводится к ${\displaystyle e^{\mu /(k_{\text{B}}T)}\ll 1}$ ${\displaystyle e^{\mu /(k_{\text{B}}T)}\ll 1}$

$${\displaystyle pV=Nk_{\text{B}}T\left[1\pm {\frac {\pi ^{3/2}}{2(2s+1)}}{\frac {N\hbar ^{3}}{V(mk_{\text{B}}T)^{3/2}}}+\cdots \right]}$$

При фиксированной плотности числа уменьшение температуры вызывает в ферми-газе увеличение значения давления от его классического значения, подразумевающее эффективное отталкивание между частицами (это кажущееся отталкивание из-за эффектов квантового обмена, а не из-за реальных взаимодействий между частицами, поскольку в идеальном газе силы взаимодействия пренебрегаются), а в бозе-газе уменьшение давления от его классического значения, подразумевающее эффективное притяжение. Квантовая природа этого уравнения заключается в его зависимости от s и ħ . ${\displaystyle N/V}$

Кубические уравнения состояния

Кубические уравнения состояния называются таковыми, потому что их можно переписать как кубическую функцию от . Кубические уравнения состояния произошли от уравнения состояния Ван-дер-Ваальса. Следовательно, все кубические уравнения состояния можно считать «модифицированными уравнениями состояния Ван-дер-Ваальса». Существует очень большое количество таких кубических уравнений состояния. Для технологического проектирования кубические уравнения состояния и сегодня по-прежнему весьма актуальны, например, уравнение состояния Пенга Робинсона или уравнение состояния Соаве-Редлиха-Квонга. ${\displaystyle V_{m}}$

Вириальные уравнения состояния

Вириальное уравнение состояния

$${\displaystyle {\frac {pV_{m}}{RT}}=A+{\frac {B}{V_{m}}}+{\frac {C}{V_{m}^{2}}}+{\frac {D}{V_{m}^{3}}}+\cdots }$$

Хотя обычно это не самое удобное уравнение состояния, вириальное уравнение важно, поскольку его можно вывести непосредственно из статистической механики . Это уравнение также называется уравнением Камерлинга-Оннеса . Если сделать соответствующие предположения о математической форме межмолекулярных сил, можно разработать теоретические выражения для каждого из коэффициентов . A — первый вириальный коэффициент, который имеет постоянное значение 1 и утверждает, что при большом объеме все жидкости ведут себя как идеальные газы. Второй вириальный коэффициент B соответствует взаимодействиям между парами молекул, C — триплетам и т. д. Точность можно увеличивать до бесконечности, рассматривая члены более высокого порядка. Коэффициенты B , C , D и т. д. являются функциями только температуры.

Уравнение состояния BWR

$${\displaystyle p=\rho RT+\left(B_{0}RT-A_{0}-{\frac {C_{0}}{T^{2}}}+{\frac {D_{0}}{T^{3}}}-{\frac {E_{0}}{T^{4}}}\right)\rho ^{2}+\left(bRT-a-{\frac {d}{T}}\right)\rho ^{3}+\alpha \left(a+{\frac {d}{T}}\right)\rho ^{6}+{\frac {c\rho ^{3}}{T^{2}}}\left(1+\gamma \rho ^{2}\right)\exp \left(-\gamma \rho ^{2}\right)}$$

где

• ${\displaystyle p}$это давление
• ${\displaystyle \rho }$молярная плотность

Значения различных параметров можно найти в справочных материалах. ^[6] Уравнение состояния BWR также часто использовалось для моделирования жидкости Леннарда-Джонса . ^{[7] [8]} Существует несколько расширений и модификаций классического уравнения состояния BWR.

Уравнение состояния Бенедикта–Уэбба–Рубина–Старлинга ^[9] представляет собой модифицированное уравнение состояния БВР и может быть записано как $${\displaystyle p=\rho RT+\left(B_{0}RT-A_{0}-{\frac {C_{0}}{T^{2}}}+{\frac {D_{0}}{T^{3}}}-{\frac {E_{0}}{T^{4}}}\right)\rho ^{2}+\left(bRT-a-{\frac {d}{T}}+{\frac {c}{T^{2}}}\right)\rho ^{3}+\alpha \left(a+{\frac {d}{T}}\right)\rho ^{6}}$$

Обратите внимание, что в этом вириальном уравнении четвертый и пятый вириальные члены равны нулю. Второй вириальный коэффициент монотонно убывает при понижении температуры. Третий вириальный коэффициент монотонно увеличивается при понижении температуры.

Уравнение состояния Ли–Кеслера основано на принципе соответствующих состояний и является модификацией уравнения состояния БВР. ^[10]

$${\displaystyle p={\frac {RT}{V}}\left(1+{\frac {B}{V_{r}}}+{\frac {C}{V_{r}^{2}}}+{\frac {D}{V_{r}^{5}}}+{\frac {c_{4}}{T_{r}^{3}V_{r}^{2}}}\left(\beta +{\frac {\gamma }{V_{r}^{2}}}\right)\exp \left({\frac {-\gamma }{V_{r}^{2}}}\right)\right)}$$

Физически обоснованные уравнения состояния

На сегодняшний день доступно большое количество физически обоснованных уравнений состояния. ^{[11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18]} Большинство из них сформулированы в свободной энергии Гельмгольца как функции температуры, плотности (а для смесей дополнительно состава). Энергия Гельмгольца формулируется как сумма нескольких членов, моделирующих различные типы молекулярного взаимодействия или молекулярных структур, например, образование цепей или дипольных взаимодействий . Следовательно, физически обоснованные уравнения состояния моделируют эффект размера молекул, притяжения и формы, а также водородных связей и полярных взаимодействий жидкостей. В целом, физически обоснованные уравнения состояния дают более точные результаты, чем традиционные кубические уравнения состояния, особенно для систем, содержащих жидкости или твердые тела. Большинство физически обоснованных уравнений состояния построены на мономерном члене, описывающем жидкость Леннарда-Джонса или жидкость Ми .

Модели, основанные на теории возмущений

Теория возмущений часто используется для моделирования дисперсионных взаимодействий в уравнении состояния. На сегодняшний день существует большое количество уравнений состояния, основанных на теории возмущений, ^{[19] [20],} например, для классической жидкости Леннарда-Джонса. ^{[7] [21]} Две наиболее важные теории, используемые для этих типов уравнений состояния, — это теория возмущений Баркера-Хендерсона ^[22] и теория возмущений Уикса-Чандлера-Андерсена. ^[23]

Статистическая теория ассоциированной жидкости (SAFT)

Важным вкладом в физически обоснованные уравнения состояния является статистическая теория ассоциированных жидкостей (SAFT), которая вносит вклад в энергию Гельмгольца , которая описывает ассоциацию (также известную как водородная связь ) в жидкостях, которая также может быть применена для моделирования образования цепей (в пределе бесконечной силы ассоциации). Уравнение состояния SAFT было разработано с использованием статистических механических методов (в частности, теории возмущений Вертгейма ^[24] ) для описания взаимодействий между молекулами в системе. ^{[16] [25] [26]} Идея уравнения состояния SAFT была впервые предложена Чепменом и др. в 1988 и 1989 годах. ^{[16] [25] [26]} Было предложено много различных версий моделей SAFT, но все они используют одни и те же термины цепи и ассоциации, выведенные Чепменом и др. ^{[25] [27] [28]}

Многопараметрические уравнения состояния

Многопараметрические уравнения состояния — это эмпирические уравнения состояния, которые можно использовать для представления чистых жидкостей с высокой точностью. Многопараметрические уравнения состояния — это эмпирические корреляции экспериментальных данных, которые обычно формулируются в свободной энергии Гельмгольца. Функциональная форма этих моделей в большинстве случаев физически не мотивирована. Обычно их можно применять как в жидких, так и в газообразных состояниях. Эмпирические многопараметрические уравнения состояния представляют энергию Гельмгольца жидкости как сумму идеального газа и остаточных членов. Оба члена явно выражены в температуре и плотности: с $${\displaystyle {\frac {a(T,\rho )}{RT}}={\frac {a^{\mathrm {ideal\,gas} }(\tau ,\delta )+a^{\textrm {residual}}(\tau ,\delta )}{RT}}}$$ $${\displaystyle \tau ={\frac {T_{r}}{T}},\delta ={\frac {\rho }{\rho _{r}}}}$$

Уменьшенная плотность и уменьшенная температура в большинстве случаев являются критическими значениями для чистой жидкости. Поскольку интеграция многопараметрических уравнений состояния не требуется, а термодинамические свойства могут быть определены с использованием классических термодинамических соотношений, существует мало ограничений относительно функциональной формы идеальных или остаточных членов. ^{[29] [30]} Типичные многопараметрические уравнения состояния используют свыше 50 специфических параметров жидкости, но способны представлять свойства жидкости с высокой точностью. Многопараметрические уравнения состояния в настоящее время доступны для примерно 50 наиболее распространенных промышленных жидкостей, включая хладагенты. Справочное уравнение состояния IAPWS95 для воды также является многопараметрическим уравнением состояния. ^[31] Также существуют модели смесей для многопараметрических уравнений состояния. Тем не менее, многопараметрические уравнения состояния, применяемые к смесям, как известно, иногда демонстрируют артефакты. ^{[32] [33]} ${\displaystyle \rho _{r}}$ ${\displaystyle T_{r}}$

Одним из примеров такого уравнения состояния является форма, предложенная Спэном и Вагнером. ^[29]

$${\displaystyle a^{\mathrm {residual} }=\sum _{i=1}^{8}\sum _{j=-8}^{12}n_{i,j}\delta ^{i}\tau ^{j/8}+\sum _{i=1}^{5}\sum _{j=-8}^{24}n_{i,j}\delta ^{i}\tau ^{j/8}\exp \left(-\delta \right)+\sum _{i=1}^{5}\sum _{j=16}^{56}n_{i,j}\delta ^{i}\tau ^{j/8}\exp \left(-\delta ^{2}\right)+\sum _{i=2}^{4}\sum _{j=24}^{38}n_{i,j}\delta ^{i}\tau ^{j/2}\exp \left(-\delta ^{3}\right)}$$

Это несколько более простая форма, которая предназначена для использования в технических приложениях. ^[29] Уравнения состояния, требующие более высокой точности, используют более сложную форму с большим количеством членов. ^{[31] [30]}

Список дополнительных уравнений состояния

Упрощенное уравнение состояния

При рассмотрении воды под очень высоким давлением в таких ситуациях, как подводные ядерные взрывы , звуковая ударная литотрипсия и сонолюминесценция , часто используется ужесточенное уравнение состояния ^{[34] :}

$${\displaystyle p=\rho (\gamma -1)e-\gamma p^{0}\,}$$

где — внутренняя энергия на единицу массы, — эмпирически определяемая константа, обычно принимаемая равной около 6,1, — еще одна константа, представляющая молекулярное притяжение между молекулами воды. Величина поправки составляет около 2 гигапаскалей (20 000 атмосфер). ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p^{0}}$

Уравнение сформулировано в такой форме, поскольку скорость звука в воде определяется выражением . ${\displaystyle c^{2}=\gamma \left(p+p^{0}\right)/\rho }$

Таким образом, вода ведет себя так, как будто она является идеальным газом, который уже находится под давлением около 20 000 атмосфер (2 ГПа), и это объясняет, почему воду обычно считают несжимаемой: когда внешнее давление изменяется от 1 до 2 атмосфер (от 100 кПа до 200 кПа), вода ведет себя как идеальный газ при изменении от 20 001 до 20 002 атмосфер (от 2000,1 МПа до 2000,2 МПа).

Это уравнение неверно предсказывает удельную теплоемкость воды, но для сильно неизоэнтропических процессов, таких как сильные удары, существует мало простых альтернатив.

Уравнение состояния осциллятора Морзе

Было получено уравнение состояния осциллятора Морзе ^[35] , которое имеет следующий вид:

${\displaystyle p=\Gamma _{1}\nu +\Gamma _{2}\nu ^{2}}$

Где - вириальный параметр первого порядка, зависящий от температуры, - вириальный параметр второго порядка осциллятора Морзе, зависящий от параметров осциллятора Морзе в дополнение к абсолютной температуре. - дробный объем системы. ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ ${\displaystyle \Gamma _{2}}$ ${\displaystyle \nu }$

Ультрарелятивистское уравнение состояния

Ультрарелятивистская жидкость имеет уравнение состояния, где — давление, — плотность массы, — скорость звука . $${\displaystyle p=\rho _{m}c_{s}^{2}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho _{m}}$ ${\displaystyle c_{s}}$

Идеальное уравнение состояния Бозе

Уравнение состояния идеального Бозе-газа имеет вид

$${\displaystyle pV_{m}=RT~{\frac {\operatorname {Li} _{\alpha +1}(z)}{\zeta (\alpha )}}\left({\frac {T}{T_{c}}}\right)^{\alpha }}$$

где α — показатель степени, специфичный для системы (например, при отсутствии потенциального поля α = 3/2), z — exp( μ / k _B T ), где μ — химический потенциал , Li — полилогарифм , ζ — дзета-функция Римана , а T _c — критическая температура, при которой начинает образовываться конденсат Бозе-Эйнштейна .

Уравнение состояния Джонса–Уилкинса–Ли для взрывчатых веществ (уравнение JWL)

Уравнение состояния Джонса–Уилкинса–Ли используется для описания продуктов детонации взрывчатых веществ. $${\displaystyle p=A\left(1-{\frac {\omega }{R_{1}V}}\right)\exp(-R_{1}V)+B\left(1-{\frac {\omega }{R_{2}V}}\right)\exp \left(-R_{2}V\right)+{\frac {\omega e_{0}}{V}}}$$

Соотношение определяется с помощью , что является плотностью взрывчатого вещества (твердой части) и , что является плотностью продуктов детонации. Параметры , , , и приводятся в нескольких источниках. ^[36] Кроме того, в таких источниках приводятся начальная плотность (твердой части) , скорость детонации , давление Чепмена-Жуге и химическая энергия на единицу объема взрывчатого вещества . Эти параметры получены путем подгонки JWL-EOS к экспериментальным результатам. Типичные параметры для некоторых взрывчатых веществ приведены в таблице ниже. ${\displaystyle V=\rho _{e}/\rho }$ ${\displaystyle \rho _{e}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle V_{D}}$ ${\displaystyle P_{CJ}}$ ${\displaystyle e_{0}}$

Другие

• Уравнение Тейта для воды и других жидкостей. Несколько уравнений называются уравнением Тейта .
• Уравнение состояния Мурнагана
• Уравнение состояния Берча-Мернагана
• Уравнение состояния Стейси–Бреннана–Ирвайна ^[38]
• Модифицированное уравнение состояния Ридберга ^{[39] [40] [41]}
• Адаптированное полиномиальное уравнение состояния ^[42]
• Уравнение состояния Джонсона–Холмквиста
• Уравнение состояния Ми-Грюнайзена ^{[43] [44]}
• Уравнение состояния Антона-Шмидта
• Уравнение перехода состояния

Смотрите также

• Газовые законы
• Функция отправления
• Таблица термодинамических уравнений
• Настоящий газ
• Расширение кластера

Ссылки

1. Перро, Пьер (1998). Термодинамика от А до Я. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856552-9.
2. Ван дер Ваальс; Джей Ди (1873 г.). О непрерывности газообразного и жидкого состояний (докторская диссертация) . Университет Лейдена.
3. Redlich, Otto.; Kwong, JNS (1949-02-01). «О термодинамике растворов. V. Уравнение состояния. Летучести газообразных растворов». Chemical Reviews . 44 (1): 233–244. doi :10.1021/cr60137a013. ISSN  0009-2665. PMID  18125401.
4. Соаве, Джорджио (1972). «Константы равновесия из модифицированного уравнения состояния Редлиха-Квонга». Химическая инженерия . 27 (6): 1197–1203. Bibcode : 1972ChEnS..27.1197S. doi : 10.1016/0009-2509(72)80096-4.
5. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Э. М. (1980). Статистическая физика: Часть I (Том 5). стр. 162-166.
6. KE Starling (1973). Свойства жидкости для легких нефтяных систем . Gulf Publishing Company . ISBN 087201293X. LCCN  70184683. OCLC  947455.
7. Стефан, Саймон; Штаубах, Йенс; Хассе, Ганс (ноябрь 2020 г.). «Обзор и сравнение уравнений состояния для жидкости Леннарда-Джонса». Fluid Phase Equilibria . 523 : 112772. doi : 10.1016/j.fluid.2020.112772. S2CID  224844789.
8. Николас, Дж. Дж.; Габбинс, К. Э.; Стритт, В. Б.; Тилдесли, Д. Д. (май 1979 г.). «Уравнение состояния для жидкости Леннарда-Джонса». Молекулярная физика . 37 (5): 1429–1454. Bibcode : 1979MolPh..37.1429N. doi : 10.1080/00268977900101051. ISSN  0026-8976.
9. Старлинг, Кеннет Э. (1973). Свойства жидкости для легких нефтяных систем . Gulf Publishing Company. стр. 270.
10. Ли, Бёнг Ик; Кеслер, Майкл Г. (1975). «Обобщенная термодинамическая корреляция на основе трехпараметрических соответствующих состояний». Журнал AIChE (на французском). 21 (3): 510–527. Bibcode : 1975AIChE..21..510L. doi : 10.1002/aic.690210313. ISSN  1547-5905.
11. Kontogeorgis, Georgios M.; Michelsen, Michael L.; Folas, Georgios K.; Derawi, Samer; von Solms, Nicolas; Stenby, Erling H. (2006-07-01). "Десять лет с уравнением состояния CPA (Cubic-Plus-Association). Часть 1. Чистые соединения и самоассоциирующиеся системы". Industrial & Engineering Chemistry Research . 45 (14): 4855–4868. doi :10.1021/ie051305v. ISSN  0888-5885.
12. Kontogeorgis, Georgios M.; Voutsas, Epaminondas C.; Yakoumis, Iakovos V.; Tassios, Dimitrios P. (1996-01-01). "Уравнение состояния для ассоциированных жидкостей". Industrial & Engineering Chemistry Research . 35 (11): 4310–4318. doi :10.1021/ie9600203. ISSN  0888-5885.
13. Коттерман, Р. Л.; Праусниц, Дж. М. (ноябрь 1986 г.). «Молекулярная термодинамика жидкостей при низких и высоких плотностях. Часть II: Фазовые равновесия для смесей, содержащих компоненты с большими различиями в размере молекул или потенциальной энергии». Журнал AIChE . 32 (11): 1799–1812. Bibcode : 1986AIChE..32.1799C. doi : 10.1002/aic.690321105. ISSN  0001-1541. S2CID  96417239.
14. Вайнгерль, Ульрика; Вендланд, Мартин; Фишер, Иоганн; Мюллер, Андреас; Винкельманн, Йохен (март 2001 г.). «Баконовое семейство уравнений состояния: 2. Неполярные и полярные смеси жидкостей». Журнал Айше . 47 (3): 705–717. Бибкод : 2001AIChE..47..705W. дои : 10.1002/aic.690470317.
15. Мюллер, Андреас; Винкельманн, Йохен; Фишер, Иоганн (апрель 1996 г.). «Семейство уравнений состояния Backone: 1. Неполярные и полярные чистые жидкости». Журнал AIChE . 42 (4): 1116–1126. Bibcode : 1996AIChE..42.1116M. doi : 10.1002/aic.690420423. ISSN  0001-1541.
16. Chapman, Walter G.; Gubbins, KE; Jackson, G.; Radosz, M. (1 декабря 1989 г.). "SAFT: Модель решения уравнения состояния для ассоциированных жидкостей". Fluid Phase Equilibria . 52 : 31–38. doi :10.1016/0378-3812(89)80308-5. ISSN  0378-3812. S2CID  53310898.
17. Гросс, Иоахим; Садовски, Габриэле (2002). «Применение уравнения состояния SAFT возмущенной цепи к ассоциированным системам». Industrial & Engineering Chemistry Research . 41 (22): 5510–5515. doi :10.1021/ie010954d.
18. Saajanlehto, Meri; Uusi-Kyyny, Petri; Alopaeus, Ville (2014). «Модифицированный непрерывный проточный аппарат для измерения растворимости газа при высоком давлении и температуре с системой камеры». Fluid Phase Equilibria . 382 : 150–157. doi :10.1016/j.fluid.2014.08.035.
19. Бетанкур-Карденас, ФФ; Галисия-Луна, Л.А.; Сандлер, СИ (март 2008 г.). «Уравнение состояния для жидкости Леннарда–Джонса на основе теории возмущений». Fluid Phase Equilibria . 264 (1–2): 174–183. doi :10.1016/j.fluid.2007.11.015.
20. Levesque, Dominique; Verlet, Loup (1969-06-05). «Теория возмущений и уравнение состояния жидкостей». Physical Review . 182 (1): 307–316. Bibcode : 1969PhRv..182..307L. doi : 10.1103/PhysRev.182.307. ISSN  0031-899X.
21. Ленхард, Йоханнес; Стефан, Саймон; Хассе, Ганс (февраль 2024 г.). «Дитя предсказания. Об истории, онтологии и вычислениях Леннарда-Джонсиума». Исследования по истории и философии науки . 103 : 105–113. doi :10.1016/j.shpsa.2023.11.007.
22. Barker, JA; Henderson, D. (декабрь 1967 г.). «Теория возмущений и уравнение состояния жидкостей. II. Успешная теория жидкостей». Журнал химической физики . 47 (11): 4714–4721. Bibcode : 1967JChPh..47.4714B. doi : 10.1063/1.1701689. ISSN  0021-9606.
23. Weeks, John D.; Chandler, David; Andersen, Hans C. (1971-06-15). «Роль сил отталкивания в определении равновесной структуры простых жидкостей». Журнал химической физики . 54 (12): 5237–5247. Bibcode : 1971JChPh..54.5237W. doi : 10.1063/1.1674820. ISSN  0021-9606.
24. Wertheim, MS (апрель 1984). «Жидкости с высоконаправленными силами притяжения. I. Статистическая термодинамика». Журнал статистической физики . 35 (1–2): 19–34. Bibcode : 1984JSP....35...19W. doi : 10.1007/bf01017362. ISSN  0022-4715. S2CID  121383911.
25. Чепмен, Уолтер Г. (1988). «Теория и моделирование ассоциированных жидких смесей». Докторская диссертация, Корнелльский университет .
26. Chapman, Walter G.; Jackson, G.; Gubbins, KE (11 июля 1988 г.). «Фазовые равновесия ассоциированных жидкостей: цепные молекулы с множественными центрами связи». Молекулярная физика . 65 : 1057–1079. doi :10.1080/00268978800101601.
27. Чепмен, Уолтер Г.; Габбинс, К. Э.; Джексон, Г.; Радош, М. (1 августа 1990 г.). «Новое справочное уравнение состояния для ассоциированных жидкостей». Ind. Eng. Chem. Res . 29 (8): 1709–1721. doi :10.1021/ie00104a021.
28. Gil-Villegas, Alejandro; Galindo, Amparo; Whitehead, Paul J.; Mills, Stuart J.; Jackson, George; Burgess, Andrew N. (1997). "Статистическая теория ассоциированной жидкости для цепных молекул с притягивающими потенциалами переменного диапазона". The Journal of Chemical Physics . 106 (10): 4168–4186. Bibcode : 1997JChPh.106.4168G. doi : 10.1063/1.473101.
29. Span, R.; Wagner, W. (2003). «Уравнения состояния для технических приложений. I. Одновременно оптимизированные функциональные формы для неполярных и полярных жидкостей». Международный журнал термофизики . 24 (1): 1–39. doi :10.1023/A:1022390430888. S2CID  116961558.
30. Span, Roland; Lemmon, Eric W.; Jacobsen, Richard T; Wagner, Wolfgang; Yokozeki, Akimichi (ноябрь 2000 г.). "Справочное уравнение состояния для термодинамических свойств азота при температурах от 63,151 до 1000 К и давлениях до 2200 МПа". Journal of Physical and Chemical Reference Data . 29 (6): 1361–1433. Bibcode : 2000JPCRD..29.1361S. doi : 10.1063/1.1349047. ISSN  0047-2689.
31. Wagner, W.; Pruß, A. (июнь 2002 г.). «Формулировка IAPWS 1995 г. для термодинамических свойств обычной водной субстанции для общего и научного использования». Журнал физических и химических справочных данных . 31 (2): 387–535. doi :10.1063/1.1461829. ISSN  0047-2689.
32. Deiters, Ulrich K.; Bell, Ian H. (декабрь 2020 г.). «Нефизические критические кривые бинарных смесей, предсказанные с помощью моделей GERG». International Journal of Thermophysics . 41 (12): 169. Bibcode :2020IJT....41..169D. doi :10.1007/s10765-020-02743-3. ISSN  0195-928X. PMC 8191392 . PMID  34121788. 
33. Ши, Ланлань; Мао, Шиде (2012-01-01). «Применение формулировки IAPWS-95 в равновесии включений флюидов и фаз минерал-флюид». Geoscience Frontiers . 3 (1): 51–58. Bibcode :2012GeoFr...3...51S. doi : 10.1016/j.gsf.2011.08.002 . ISSN  1674-9871.
34. Ле Метайер, О; Массони, Дж; Сорел, Р. (1 марта 2004 г.). «Разработка структуры жидкости и испарения для двухфазных моделей». Международный журнал тепловых наук (на французском языке). 43 (3): 265–276. doi : 10.1016/j.ijthermalsci.2003.09.002. ISSN  1290-0729.
35. Аль-Раи, Марван (2022-04-01). "Уравнение состояния осциллятора Морзе: теория интегральных уравнений, основанная на членах вириального расширения и сжимаемости". Heliyon . 8 (4): e09328. Bibcode :2022Heliy...809328A. doi : 10.1016/j.heliyon.2022.e09328 . ISSN  2405-8440. PMC 9062208 . PMID  35520603. 
36. BM Dobratz; PC Crawford (1985). "LLNL Explosives Handbook: Properties of Chemical Explosives and Explosive Simulants". Ucrl-52997 . Получено 31 августа 2018 .
37. Уилкинс, Марк Л. (1999), Компьютерное моделирование динамических явлений, Springer, стр. 80, ISBN 9783662038857, получено 31 августа 2018 г.
38. Стейси, Ф. Д.; Бреннан, Б. Дж.; Ирвин, Р. Д. (1981). «Теории конечных деформаций и сравнения с сейсмологическими данными». Surveys in Geophysics . 4 (3): 189–232. Bibcode : 1981GeoSu...4..189S. doi : 10.1007/BF01449185. S2CID  129899060. Получено 31 августа 2018 г.
39. Хольцапфель, В. Б. (1991). «Уравнения состояний и правила масштабирования для молекулярных твердых тел при сильном сжатии» в «Молекулярные системы при высоком давлении» под ред. Р. Пуччи и Дж. Пиччино . Северная Голландия: Elsevier. стр. 61–68.
40. Хольцапфель, ВБ (1991) [1991]. «Уравнения состояния твердых тел при сильном сжатии». High Press. Res . 7 : 290–293. doi :10.1080/08957959108245571.
41. Хольцапфель, Ви.Б. (1996). «Физика твердых тел при сильном сжатии». Rep. Prog. Phys . 59 (1): 29–90. Bibcode :1996RPPh...59...29H. doi :10.1088/0034-4885/59/1/002. ISSN  0034-4885. S2CID  250909120.
42. Хольцапфель, В. Б. (1998). «Уравнение состояния твердых тел при сильном сжатии». High Press. Res . 16 (2): 81–126. Bibcode : 1998HPR....16...81H. doi : 10.1080/08957959808200283. ISSN  0895-7959.
43. Хольцапфель, Вильфрид Б. (2004). "Уравнения состояния и термофизические свойства твердых тел под давлением" (PDF) . В Катрусяк, А.; Макмиллан, П. (ред.). Кристаллография при высоких давлениях . Серия NATO Science. Т. 140. Дордрехт, Нидерланды: Kluver Academic. стр. 217–236. doi :10.1007/978-1-4020-2102-2_14. ISBN 978-1-4020-1954-8. Получено 31 августа 2018 г.
44. S. Benjelloun, "Термодинамические тождества и термодинамическая согласованность уравнения состояний", Ссылка на электронную версию архива Ссылка на электронную версию Hal

Внешние ссылки