Магнитный момент электрона

Спин электрона

В атомной физике магнитный момент электрона , или, более конкретно, магнитный дипольный момент электрона , — это магнитный момент электрона, возникающий из-за его внутренних свойств спина и электрического заряда . Значение магнитного момента электрона (символ μ _e ) равно−9,284 764 6917 (29) × 10 ⁻²⁴  Дж⋅Тл ⁻¹ . ^[1] В единицах магнетона Бора ( μ _Б ) это−1,001 159 652 180 59 (13)  μ _B , ^[2] значение, которое было измерено с относительной точностью1,3 × 10−13 .^​

Магнитный момент электрона

Электрон — заряженная частица с зарядом − e , где e — единица элементарного заряда . Его угловой момент возникает из-за двух типов вращения: спина и орбитального движения . Согласно классической электродинамике , вращающееся распределение электрического заряда создает магнитный диполь , так что он ведет себя как крошечный стержневой магнит . Одним из следствий этого является то, что внешнее магнитное поле оказывает крутящий момент на магнитный момент электрона , который зависит от ориентации этого диполя относительно поля.

Если представить электрон как классическое твердое тело, в котором масса и заряд имеют одинаковое распределение и движение, вращающееся вокруг оси с угловым моментом L , его магнитный дипольный момент μ определяется как: где m _e — масса покоя электрона . Угловой момент L в этом уравнении может быть угловым моментом спина, орбитальным угловым моментом или полным угловым моментом. Соотношение между истинным магнитным моментом спина и предсказанным этой моделью — это безразмерный фактор g _{e , известный как} g -фактор электрона : $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {-e}{2m_{\text{e}}}}\,\mathbf {L} \,,}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=g_{\text{e}}\,{\frac {(-e)}{~2m_{\text{e}}~}}\,\mathbf {L} \,.}$$

Магнитный момент принято выражать через приведенную постоянную Планка ħ и магнетон Бора μ _B : $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{\text{e}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {\mathbf {L} }{\hbar }}\,.}$$

Поскольку магнитный момент квантуется в единицах μ _B , соответственно момент импульса квантуется в единицах ħ .

Формальное определение

Однако классические понятия, такие как центр заряда и масса, трудно сделать точными для квантовой элементарной частицы. На практике определение, используемое экспериментаторами, исходит из форм-факторов, появляющихся в матричном элементе ${\displaystyle F_{i}(q^{2})}$ $${\displaystyle \langle p_{f}|j^{\mu }|p_{i}\rangle ={\bar {u}}(p_{f})\left[F_{1}(q^{2})\gamma ^{\mu }+{\frac {~i\sigma ^{\mu \nu }~}{~2\,m_{\text{e}}~}}q_{\nu }F_{2}(q^{2})+i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\sigma _{\rho \sigma }q_{\nu }F_{3}(q^{2})+{\frac {1}{~2\,m_{\text{e}}~}}\left(q^{\mu }-{\frac {q^{2}}{2m}}\gamma ^{\mu }\right)\gamma _{5}F_{4}(q^{2})\right]u(p_{i})}$$

оператора электромагнитного тока между двумя on-shell состояниями. Здесь и являются 4-спинорным решением уравнения Дирака, нормализованным так, что , а - передача импульса от тока к электрону. Форм-фактор - это заряд электрона, - его статический магнитный дипольный момент, и обеспечивает формальное определение электрического дипольного момента электрона . Оставшийся форм-фактор , если он не равен нулю, был бы анапольным моментом . ${\displaystyle u(p_{i})}$ ${\displaystyle {\bar {u}}(p_{f})}$ ${\displaystyle {\bar {u}}u=2m_{\text{e}}}$ ${\displaystyle q^{\mu }=p_{f}^{\mu }-p_{i}^{\mu }}$ ${\displaystyle q^{2}=0}$ ${\displaystyle F_{1}(0)=-e}$ ${\textstyle \mu ={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}(F_{1}(0)+F_{2}(0))}$ ${\textstyle -{\frac {1}{2m_{\text{e}}}}F_{3}(0)}$ ${\displaystyle F_{4}(q^{2})}$

Спиновый магнитный дипольный момент

Спиновый магнитный момент является внутренним для электрона. ^[3] Он $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}}=-g_{\text{s}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {S} ~}{\hbar }}\,.}$$

Здесь S — момент импульса спина электрона. Спиновый g -фактор приблизительно равен двум: . Фактор два указывает на то, что электрон, по-видимому, в два раза эффективнее создает магнитный момент, чем заряженное тело, для которого распределение массы и заряда одинаково. ${\displaystyle g_{\text{s}}\approx 2}$

Спиновый магнитный дипольный момент составляет приблизительно один μB _, поскольку электрон является частицей со спином 1 ⁄ 2 ( S = ħ ⁄ 2 ): ${\displaystyle g_{\text{s}}\approx 2}$

Z - компонента магнитного момента электрона равна , где m _s — спиновое квантовое число . Обратите внимание, что μ — отрицательная константа, умноженная на спин , поэтому магнитный момент антипараллелен спиновому угловому моменту. $${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}})_{z}=-g_{\text{s}}\,\mu _{\text{B}}\,m_{\text{s}}\,,}$$

Спиновый g -фактор g _s = 2 происходит из уравнения Дирака , фундаментального уравнения, связывающего спин электрона с его электромагнитными свойствами. Редукция уравнения Дирака для электрона в магнитном поле к его нерелятивистскому пределу дает уравнение Шредингера с поправочным членом, который учитывает взаимодействие собственного магнитного момента электрона с магнитным полем, давая правильную энергию.

Для спина электрона наиболее точное значение спинового g -фактора было экспериментально определено как значение

−2,002 319 304 360 92 (36) . ^[4]

Обратите внимание, что это лишь незначительно отличается от значения из уравнения Дирака. Небольшая поправка известна как аномальный магнитный дипольный момент электрона; она возникает из-за взаимодействия электрона с виртуальными фотонами в квантовой электродинамике . Триумфом теории квантовой электродинамики является точное предсказание g -фактора электрона. Значение CODATA для магнитного момента электрона равно

-9,284 764 6917 (29) × 10 ^-24  Дж⋅Т ^-1 . ^[1]

Орбитальный магнитный дипольный момент

Вращение электрона вокруг оси через другой объект, такой как ядро, приводит к возникновению орбитального магнитного дипольного момента. Предположим, что угловой момент для орбитального движения равен L . Тогда орбитальный магнитный дипольный момент равен $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{L}=-g_{\text{L}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {L} ~}{\hbar }}\,.}$$

Здесь g _L — орбитальный g -фактор электрона , а μ _B — магнетон Бора . Значение g _L в точности равно единице, согласно квантово-механическому аргументу, аналогичному выводу классического гиромагнитного отношения .

Суммарный магнитный дипольный момент

Полный магнитный дипольный момент, возникающий из-за спинового и орбитального угловых моментов электрона, связан с полным угловым моментом J аналогичным уравнением: $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\text{J}}=-g_{\text{J}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {J} ~}{\hbar }}\,.}$$

Фактор g _J известен как фактор g Ланде , который может быть связан с g _L и g _S с помощью квантовой механики. Подробности см . в разделе Фактор g Ланде .

Пример: атом водорода

Для атома водорода , электрона, занимающего атомную орбиталь Ψ _n,ℓ,m  , магнитный дипольный момент определяется выражением $${\displaystyle \mu _{\text{L}}=-g_{\text{L}}{\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar }}\langle \Psi _{n,\ell ,m}|L|\Psi _{n,\ell ,m}\rangle =-\mu _{\text{B}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}.}$$

Здесь L — орбитальный угловой момент , n , ℓ и m — главные , азимутальные и магнитные квантовые числа соответственно. Z -компонента орбитального магнитного дипольного момента для электрона с магнитным квантовым числом m _ℓ определяется как $${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }}_{\text{L}})_{z}=-\mu _{\text{B}}m_{\ell }.}$$

История

Электронный магнитный момент неразрывно связан со спином электрона и впервые был выдвинут в ранних моделях атома в начале двадцатого века. Первым, кто ввел идею спина электрона, был Артур Комптон в своей статье 1921 года об исследованиях ферромагнитных веществ с помощью рентгеновских лучей. ^{[5] : 145–155  [6]} В своей статье Комптон писал: «Возможно, наиболее естественный и, безусловно, наиболее общепринятый взгляд на природу элементарного магнита заключается в том, что вращение электронов по орбитам внутри атома придает атому в целом свойства крошечного постоянного магнита». ^{[5] : 146}

В том же году Отто Штерн предложил эксперимент, позже названный экспериментом Штерна–Герлаха , в котором атомы серебра в магнитном поле отклонялись в противоположных направлениях распределения. Этот период до 1925 года ознаменовал старую квантовую теорию, построенную на модели атома Бора-Зоммерфельда с ее классическими эллиптическими электронными орбитами. В период между 1916 и 1925 годами был достигнут значительный прогресс в отношении расположения электронов в периодической таблице . Чтобы объяснить эффект Зеемана в атоме Бора, Зоммерфельд предположил, что электроны будут основаны на трех «квантовых числах», n, k и m, которые описывают размер орбиты, форму орбиты и направление, в котором указывает орбита. ^[7] Ирвинг Ленгмюр объяснил в своей статье 1919 года об электронах в их оболочках: «Ридберг указал, что эти числа получаются из ряда . Фактор два предполагает фундаментальную двукратную симметрию для всех стабильных атомов». ^[8] Эта конфигурация была принята Эдмундом Стоунером в октябре 1924 года в его статье «Распределение электронов среди атомных уровней», опубликованной в Philosophical Magazine. Вольфганг Паули предположил, что для этого требуется четвертое квантовое число с двузначностью. ^[9] ${\displaystyle N=2(1+2^{2}+2^{2}+3^{2}+3^{2}+4^{2})}$ ${\displaystyle 2n^{2}}$

Спин электрона в теориях Паули и Дирака

Начиная отсюда заряд электрона равен e < 0.  Необходимость введения полуцелого спина экспериментально восходит к результатам эксперимента Штерна–Герлаха . Пучок атомов пропускается через сильное неоднородное магнитное поле, которое затем разделяется на N частей в зависимости от собственного углового момента атомов. Было обнаружено, что для атомов серебра пучок разделяется на две части — поэтому основное состояние не может быть целым, потому что даже если бы собственный угловой момент атомов был как можно меньше, 1, пучок разделился бы на 3 части, соответствующие атомам с L _z = −1, 0 и +1. Вывод состоит в том, что атомы серебра имеют чистый собственный угловой момент 1 ⁄ 2 . Паули создал теорию, которая объяснила это расщепление, введя двухкомпонентную волновую функцию и соответствующий поправочный член в гамильтониане , представляющий полуклассическую связь этой волновой функции с приложенным магнитным полем, как показано ниже: $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\right]^{2}+e\phi .}$$

Здесь A — магнитный векторный потенциал , а ϕ — электрический потенциал , оба представляют электромагнитное поле , а σ = ( σ _x , σ _y , σ _z ) — матрицы Паули . При возведении в квадрат первого члена обнаруживается остаточное взаимодействие с магнитным полем, а также обычный классический гамильтониан заряженной частицы, взаимодействующей с приложенным полем: $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} .}$$

Этот гамильтониан теперь является матрицей 2 × 2, поэтому уравнение Шредингера, основанное на нем, должно использовать двухкомпонентную волновую функцию. Паули ввел сигма-матрицы 2 × 2 как чистую феноменологию — у Дирака теперь был теоретический аргумент , который подразумевал, что спин каким-то образом является следствием включения теории относительности в квантовую механику . При введении внешнего электромагнитного 4-потенциала в уравнение Дирака аналогичным образом, известным как минимальная связь , оно принимает вид (в натуральных единицах ħ = c = 1) , где — гамма-матрицы (известные как матрицы Дирака ), а i — мнимая единица . Второе применение оператора Дирака теперь воспроизведет член Паули точно так же, как и раньше, потому что пространственные матрицы Дирака, умноженные на i , имеют те же свойства возведения в квадрат и коммутации, что и матрицы Паули. Более того, значение гиромагнитного отношения электрона, стоящего перед новым термином Паули, объясняется из первых принципов. Это было главным достижением уравнения Дирака и вселило в физиков большую веру в его общую правильность. Теорию Паули можно рассматривать как низкоэнергетический предел теории Дирака следующим образом. Сначала уравнение записывается в виде связанных уравнений для 2-спиноров с восстановленными единицами: так $${\displaystyle \left[-i\gamma ^{\mu }\left(\partial _{\mu }+ieA_{\mu }\right)+m\right]\psi =0}$$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}(mc^{2}-E+e\phi )&c\sigma \cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\\-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(E-e\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{-}&=mc^{2}\psi _{+}\\-(E-e\phi )\psi _{-}+c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{+}&=mc^{2}\psi _{-}\end{aligned}}}$$

Предполагая, что поле слабое, а движение электрона нерелятивистское, мы имеем полную энергию электрона, приблизительно равную его энергии покоя , а импульс уменьшается до классического значения, и поэтому второе уравнение можно записать: $${\displaystyle {\begin{aligned}E-e\phi &\approx mc^{2}\\p&\approx mv\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \psi _{-}\approx {\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{+}}$$

что имеет порядок v ⁄ c - таким образом, при типичных энергиях и скоростях нижние компоненты спинора Дирака в стандартном представлении значительно подавлены по сравнению с верхними компонентами. Подстановка этого выражения в первое уравнение дает после некоторой перестановки $${\displaystyle \left(E-mc^{2}\right)\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\right]^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}}$$

Оператор слева представляет собой энергию частицы, уменьшенную на ее энергию покоя, которая является просто классической энергией, поэтому мы восстанавливаем теорию Паули, если отождествляем его 2-спинор с верхними компонентами спинора Дирака в нерелятивистском приближении. Дальнейшее приближение дает уравнение Шредингера как предел теории Паули. Таким образом, уравнение Шредингера можно рассматривать как далеко нерелятивистское приближение уравнения Дирака, когда можно пренебречь спином и работать только при низких энергиях и скоростях. Это также было большим триумфом для нового уравнения, поскольку оно проследило таинственное i , которое появляется в нем, и необходимость комплексной волновой функции обратно в геометрию пространства-времени через алгебру Дирака. Это также подчеркивает, почему уравнение Шредингера, хотя поверхностно в форме уравнения диффузии, на самом деле представляет собой распространение волн.

Следует особо подчеркнуть, что это разделение спинора Дирака на большие и малые компоненты явно зависит от приближения низкой энергии. Весь спинор Дирака представляет собой неприводимое целое, и компоненты, которые мы только что проигнорировали, чтобы прийти к теории Паули, привнесут новые явления в релятивистский режим - антиматерию и идею создания и уничтожения частиц.

В общем случае (если определенная линейная функция электромагнитного поля не исчезает тождественно), три из четырех компонентов спинорной функции в уравнении Дирака могут быть алгебраически исключены, что дает эквивалентное частное дифференциальное уравнение четвертого порядка для всего одного компонента. Более того, этот оставшийся компонент может быть сделан действительным с помощью калибровочного преобразования. ^[10]

Измерение

Существование аномального магнитного момента электрона было обнаружено экспериментально методом магнитного резонанса . ^[2] Это позволяет определить сверхтонкое расщепление уровней энергии электронной оболочки в атомах протия и дейтерия, используя измеренную резонансную частоту для нескольких переходов. ^{[11] [12]}

Магнитный момент электрона был измерен с помощью одноэлектронного квантового циклотрона и квантовой неразрушающей спектроскопии. Частота спина электрона определяется g -фактором . $${\displaystyle \nu _{s}={\frac {g}{2}}\nu _{c}}$$ $${\displaystyle {\frac {g}{2}}={\frac {{\bar {\nu }}_{c}+{\bar {\nu }}_{a}}{{\bar {\nu }}_{c}}}}$$

Смотрите также

• Спин (физика)
• Электронное осаждение
• магнетон Бора
• Ядерный магнитный момент
• Магнитный момент нуклона
• Аномальный магнитный дипольный момент
• Электрический дипольный момент электрона
• Тонкая структура
• Сверхтонкая структура

Ссылки

1. "2022 CODATA Value: электронный магнитный момент". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024. Получено 2024-05-18 .
2. Fan, X.; Myers, T. G.; Sukra, B. A. D.; Gabrielse, G. (2023-02-13). "Измерение магнитного момента электрона". Physical Review Letters . 130 (7): 071801. arXiv : 2209.13084 . doi : 10.1103/PhysRevLett.130.071801.
3. Махаджан, А.; Рангвала, А. (1989). Электричество и магнетизм. стр. 419. ISBN 9780074602256.
4. "2022 CODATA Value: электронный g-фактор". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024. Получено 2024-05-18 .
5. Compton, Arthur H. (август 1921 г.). «Магнитный электрон». Журнал Института Франклина . 192 (2). doi :10.1016/S0016-0032(21)90917-7.
6. Чарльз П. Энц, Приложения квантовой механики Гейзенбергом (1926-33) или заселение новой земли *), Кафедра физики и теории теории Женевского университета, 1211 Женева 4, Швейцария (10 января 1983 г.)
7. Манджит Кумар, Квант: Эйнштейн, Бор и великий спор о природе реальности, 2008.
8. Ленгмюр, Ирвинг (1919). «Расположение электронов в атомах и молекулах». Журнал Института Франклина . 187 (3): 359–362. doi :10.1016/S0016-0032(19)91097-0.
9. Вольфганг Паули. Принцип исключения и квантовая механика. Онлайн доступно на ⟨http://nobelprize.org⟩ ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} . Нобелевская лекция, прочитанная 13 декабря 1946 года для вручения Нобелевской премии по физике 1945 года.
10. Ахметели, Андрей (2011). "Одна действительная функция вместо спинорной функции Дирака". Журнал математической физики . 52 (8): 082303. arXiv : 1008.4828 . Bibcode : 2011JMP....52h2303A. doi : 10.1063/1.3624336. S2CID  119331138. Архивировано из оригинала 18 июля 2012 г. Получено 26 апреля 2012 г.
11. Foley, HM; Kusch, Polykarp (15 февраля 1948 г.). "Внутренний момент электрона". Physical Review . 73 (4): 412. doi :10.1103/PhysRev.73.412. Архивировано из оригинала 8 марта 2021 г. Получено 2 апреля 2015 г.
12. Kusch, Polykarp ; Foley, HM (1 августа 1948 г.). "Магнитный момент электрона". Physical Review . 74 (3): 207–11. Bibcode :1948PhRv...74..250K. doi :10.1103/PhysRev.74.250. PMID  17820251. Архивировано из оригинала 22 апреля 2021 г. Получено 2 апреля 2015 г.

Библиография

• Сергей Вонсовский (1975). Магнетизм элементарных частиц. Издательство «Мир».
• Син-Итиро Томонага (1997). История спина . Издательство Чикагского университета.