Иметь в виду

Числовая величина, представляющая собой центр совокупности чисел.

Среднее значение — это числовое количество, представляющее «центр» набора чисел и являющееся промежуточным по отношению к крайним значениям набора чисел. ^{[1] В} математике , особенно в статистике , существует несколько видов средних значений (или «мер центральной тенденции ») . Каждый из них пытается обобщить или типизировать заданную группу данных , иллюстрируя величину и знак набора данных . Какая из этих мер является наиболее показательной, зависит от того, что измеряется, а также от контекста и цели. ^[2]

Среднее арифметическое , также известное как «среднее арифметическое», представляет собой сумму значений, деленную на количество значений. Среднее арифметическое набора чисел x ₁ , x ₂ , ..., x _n обычно обозначается с помощью верхней черты , . ^{[примечание 1]} Если числа получены из наблюдения выборки большей группы , среднее арифметическое называется средним выборки ( ), чтобы отличить его от среднего значения группы (или ожидаемого значения ) базового распределения, обозначаемого или . ^{[примечание 2] [3]} ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{x}}$

Помимо теории вероятностей и статистики, в геометрии и математическом анализе часто используется широкий спектр других понятий среднего значения ; примеры приведены ниже.

Виды средств

Пифагорейские средства

В математике три классических пифагорейских средних значения — это среднее арифметическое (AM), среднее геометрическое (GM) и среднее гармоническое (HM). Эти средние значения изучались с помощью пропорций пифагорейцами и последующими поколениями греческих математиков ^[4] из-за их важности в геометрии и музыке.

Среднее арифметическое (СА)

Среднее арифметическое (или просто среднее или среднее ) списка чисел — это сумма всех чисел, деленная на их количество. Аналогично, среднее значение выборки , обычно обозначаемое как , — это сумма выборочных значений, деленная на количество элементов в выборке. ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$

Например, среднее арифметическое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно:

${\displaystyle {\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.}$

Среднее геометрическое (СГ)

Среднее геометрическое — это среднее значение, которое полезно для наборов положительных чисел, которые интерпретируются в соответствии с их произведением (как в случае с темпами роста), а не их суммой (как в случае со средним арифметическим):

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}}$ ^[1]

Например, среднее геометрическое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно:

${\displaystyle (4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.}$

Гармоническое среднее (ГС)

Гармоническое среднее — это среднее значение, которое полезно для наборов чисел, которые определены по отношению к некоторой единице , как в случае скорости (т. е. расстояния за единицу времени):

${\displaystyle {\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}}$

Например, среднее гармоническое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно

${\displaystyle {\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.}$

Если у нас есть пять насосов, которые могут опорожнить резервуар определенного размера за 4, 36, 45, 50 и 75 минут соответственно, то среднее гармоническое значение говорит нам, что эти пять различных насосов, работающих вместе, будут качать с той же скоростью столько же, сколько пять насосов, каждый из которых может опорожнить резервуар за считанные минуты. ${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle 15}$

Взаимоотношения между AM, GM и HM

Доказательство неравенства AM–GM без слов : PR —
диаметр окружности с центром в точке O; ее радиус AO — среднее арифметическое a и b . Используя теорему о среднем геометрическом , высота GQ треугольника PGR — среднее геометрическое . Для любого отношения a : b , AO ≥ GQ.

AM, GM и HM удовлетворяют следующим неравенствам: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle \mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,}$

Равенство имеет место, если все элементы данной выборки равны.

Статистическое местоположение

Сравнение среднего арифметического , медианы и моды двух асимметричных ( логарифмически нормальных ) распределений

Геометрическая визуализация моды, медианы и среднего значения произвольной функции плотности вероятности ^[5]

В описательной статистике среднее значение можно спутать с медианой , модой или средним диапазоном , поскольку любое из них может быть неправильно названо «средним» (более формально, мерой центральной тенденции ). Среднее значение набора наблюдений — это среднее арифметическое значений; однако для асимметричных распределений среднее значение не обязательно совпадает со средним значением (медианой) или наиболее вероятным значением (мода). Например, средний доход обычно смещен вверх небольшим числом людей с очень большими доходами, так что большинство имеет доход ниже среднего. Напротив, медианный доход — это уровень, на котором половина населения находится ниже, а половина — выше. Модальный доход — это наиболее вероятный доход, который благоприятствует большему числу людей с более низкими доходами. Хотя медиана и мода часто являются более интуитивными мерами для таких асимметричных данных, многие асимметричные распределения на самом деле лучше всего описываются их средним значением, включая экспоненциальное и пуассоновское распределения.

Среднее значение распределения вероятностей

Среднее значение распределения вероятностей — это долгосрочное арифметическое среднее значение случайной величины , имеющей это распределение. Если случайная величина обозначается как , то среднее значение также известно как ожидаемое значение ( обозначается ). Для дискретного распределения вероятностей среднее значение задается как , где сумма берется по всем возможным значениям случайной величины и является функцией массы вероятности . Для непрерывного распределения среднее значение равно , где — функция плотности вероятности . ^[6] Во всех случаях, включая те, в которых распределение не является ни дискретным, ни непрерывным, среднее значение является интегралом Лебега случайной величины относительно ее меры вероятности . Среднее значение не обязательно должно существовать или быть конечным; для некоторых распределений вероятностей среднее значение бесконечно ( +∞ или −∞ ), в то время как для других среднее значение не определено . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E(X)}$ ${\displaystyle \textstyle \sum xP(x)}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}$ ${\displaystyle f(x)}$

Обобщенные средства

Средняя мощность

Обобщенное среднее , также известное как среднее степенное или среднее Гёльдера, является абстракцией квадратичного , арифметического, геометрического и гармонического среднего. Оно определяется для набора из n положительных чисел x _i как

${\displaystyle {\bar {x}}(m)=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}\right)^{\frac {1}{m}}}$ ^[1]

Выбирая различные значения параметра m , получают следующие типы средних:

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }}$

максимум​ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle \lim _{m\to 2}}$

квадратичное среднее

${\displaystyle \lim _{m\to 1}}$

среднее арифметическое

${\displaystyle \lim _{m\to 0}}$

геометрическое среднее

${\displaystyle \lim _{m\to -1}}$

гармоническое среднее

${\displaystyle \lim _{m\to -\infty }}$

минимум​ ${\displaystyle x_{i}}$

ф-иметь в виду

Это можно обобщить далее как обобщенное f -среднее

${\displaystyle {\bar {x}}=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f\left(x_{i}\right)}}\right)}$

и снова подходящий выбор обратимого f даст

Среднее арифметическое взвешенное

Средневзвешенное арифметическое значение (или средневзвешенное значение) используется, если требуется объединить средние значения из выборок разного размера одной и той же совокупности:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}{\bar {x_{i}}}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}.}$ ^[1]

Где и — среднее значение и размер выборки соответственно. В других приложениях они представляют собой меру надежности влияния соответствующих значений на среднее значение. ${\displaystyle {\bar {x_{i}}}}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Усеченное среднее

Иногда набор чисел может содержать выбросы (т. е. значения данных, которые намного ниже или намного выше других). Часто выбросы представляют собой ошибочные данные, вызванные артефактами . В этом случае можно использовать усеченное среднее . Оно включает в себя отбрасывание заданных частей данных в верхней или нижней части, как правило, равное количество в каждой части, а затем взятие арифметического среднего оставшихся данных. Количество удаленных значений указывается как процент от общего количества значений.

Межквартильное среднее

Межквартильное среднее — это частный пример усеченного среднего. Это просто арифметическое среднее после удаления самой низкой и самой высокой четверти значений.

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {2}{n}}\;\sum _{i={\frac {n}{4}}+1}^{{\frac {3}{4}}n}\!\!x_{i}}$

если предположить, что значения были упорядочены, то это просто конкретный пример взвешенного среднего для определенного набора весов.

Среднее значение функции

В некоторых обстоятельствах математики могут вычислять среднее значение бесконечного (или даже несчетного ) набора значений. Это может произойти при вычислении среднего значения функции . Интуитивно среднее значение функции можно представить как вычисление площади под участком кривой, а затем деление на длину этого участка. Это можно сделать грубо, подсчитав квадраты на миллиметровой бумаге, или, точнее, путем интегрирования . Формула интегрирования записывается как: ${\displaystyle y_{\text{avg}}}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle y_{\text{avg}}(a,b)={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}\!f(x)\,dx}$

В этом случае необходимо следить за тем, чтобы интеграл сходился. Но среднее значение может быть конечным, даже если сама функция стремится к бесконечности в некоторых точках.

Среднее значение углов и циклических величин

Углы , время суток и другие циклические величины требуют модульной арифметики для сложения и иного объединения чисел. Во всех этих ситуациях не будет уникального среднего значения. Например, время за час до и после полуночи равноудалено как от полуночи, так и от полудня. Также возможно, что среднего значения не существует. Рассмотрим цветовой круг — для набора всех цветов нет среднего значения. В этих ситуациях вы должны решить, какое среднее значение наиболее полезно. Вы можете сделать это, скорректировав значения перед усреднением или используя специализированный подход для среднего значения круговых величин .

Фреше средний

Среднее Фреше дает способ определения «центра» распределения масс на поверхности или, в более общем смысле, римановом многообразии . В отличие от многих других средних, среднее Фреше определяется на пространстве, элементы которого не обязательно могут быть сложены или умножены на скаляры. Иногда его также называют средним Кархера (названным в честь Германа Кархера).

Треугольные множества

В геометрии существуют тысячи различных определений центра треугольника , которые все можно интерпретировать как среднее значение треугольного набора точек на плоскости. ^[7]

Правило Свенсона

Это приближение к среднему значению для умеренно асимметричного распределения. ^[8] Оно используется при разведке углеводородов и определяется как:

${\displaystyle m=0.3P_{10}+0.4P_{50}+0.3P_{90}}$

где , и — 10-й, 50-й и 90-й процентили распределения соответственно. ${\textstyle P_{10}}$ ${\textstyle P_{50}}$ ${\textstyle P_{90}}$

Другие средства

• Среднее арифметическое-геометрическое
• Среднее арифметико-гармоническое
• Cesàro означает
• Кизини означает
• Контрагармоническое среднее
• Элементарное симметричное среднее
• Геометрическое-гармоническое среднее
• Большая середина
• Хайнц средний
• Героновское среднее
• Идентичный средний
• Лемер означает
• Логарифмическое среднее
• Скользящая средняя
• Среднее значение Ньюмана–Шандора
• Среднее квазиарифметическое
• Среднеквадратичное (среднеквадратичное)
• Энтропия Реньи ( обобщенное f-среднее )
• Сферическое среднее
• Столярский средний
• Средневзвешенное геометрическое
• Взвешенное гармоническое среднее

Смотрите также

• Математический портал

• Статистическая дисперсия
• Центральная тенденция
  • Медиана
  • Режим
• Описательная статистика
• Эксцесс
• Закон средних чисел
• Теорема о среднем значении
• Момент (математика)
• Сводная статистика
• Закон Тейлора

Примечания

1. Произносится как « икс бар».
2. Греческая буква μ , произносится /'mjuː/.

Ссылки

1. "Среднее | математика". Encyclopedia Britannica . Получено 21.08.2020 .
2. Почему немногие студенты-математики на самом деле понимают значение слова «средства» (видео на YouTube). Math The World. 2024-08-27 . Получено 2024-09-10 .
3. Андерхилл, LG; Брэдфилд Д. (1998) Introstat , Juta and Company Ltd. ISBN 0-7021-3838-X стр. 181 
4. Хит, Томас. История древнегреческой математики .
5. "AP Statistics Review - Density Curves and the Normal Distributions". Архивировано из оригинала 2 апреля 2015 г. Получено 16 марта 2015 г.
6. Weisstein, Eric W. "Population Mean". mathworld.wolfram.com . Получено 21-08-2020 .
7. Narboux, Julien; Braun, David (2016). «Towards a Verified version of the encyclopedia of triangle centers». Mathematics in Computer Science . 10 (1): 57–73. doi :10.1007/s11786-016-0254-4. MR  3483261. под руководством Кларка Кимберлинга была разработана электронная энциклопедия центров треугольников (ETC), она содержит более 7000 центров и множество свойств этих точек
8. Hurst A, Brown GC, Swanson RI (2000) Правило Swanson 30-40-30. Бюллетень Американской ассоциации геологов-нефтяников 84(12) 1883-1891