Стоячая волна

Волна, которая остается в постоянном положении

Анимация стоячей волны ( красная ), созданной путем наложения левой бегущей ( синяя ) и правой бегущей ( зеленая ) волны.

В физике стоячая волна , также известная как стационарная волна , — это волна , которая колеблется во времени, но профиль пиковой амплитуды которой не перемещается в пространстве. Пиковая амплитуда колебаний волны в любой точке пространства постоянна по отношению к времени, а колебания в различных точках волны находятся в фазе . Места, в которых абсолютное значение амплитуды минимально, называются узлами , а места, в которых абсолютное значение амплитуды максимально, называются пучностями.

Стоячие волны были впервые научно описаны Майклом Фарадеем в 1831 году. Фарадей наблюдал стоячие волны на поверхности жидкости в вибрирующем контейнере . ^{[1] [2]} Франц Мельде ввел термин «стоячая волна» (нем. stehende Welle или Stehwelle ) около 1860 года и продемонстрировал это явление в своем классическом эксперименте с вибрирующими струнами. ^{[3] [4] [5] [6]}

Это явление может возникнуть из-за того, что среда движется в направлении, противоположном движению волны, или оно может возникнуть в неподвижной среде в результате интерференции двух волн, бегущих в противоположных направлениях. Наиболее распространенной причиной стоячих волн является явление резонанса , при котором стоячие волны возникают внутри резонатора из-за интерференции волн, отраженных вперед и назад на резонансной частоте резонатора .

Для волн одинаковой амплитуды , распространяющихся в противоположных направлениях, в среднем не происходит чистого распространения энергии .

Движущаяся среда

• Каякеры катаются на стоячей волне в парке Грейт-Фолс
• Устье реки Кармель . Стоячие волны образуются в месте впадения реки Кармель в Тихий океан.

В качестве примера первого типа можно привести образование стоячих волн в атмосфере с подветренной стороны горных хребтов при определенных метеорологических условиях. Такие волны часто используются пилотами планеров .

Стоячие волны и гидравлические прыжки также образуются на быстрых речных порогах и приливных течениях, таких как водоворот Сальстраумен . Требованием для этого в речных течениях является текущая вода с небольшой глубиной, в которой инерция воды преодолевает ее гравитацию из-за сверхкритической скорости потока ( число Фруда : 1,7–4,5, превышение 4,5 приводит к прямой стоячей волне ^[7] ) и, следовательно, не замедляется существенно препятствием и не отталкивается в сторону. Многие стоячие речные волны являются популярными местами для серфинга на реке .

Противоположные волны

В качестве примера второго типа, стоячая волна в линии передачи - это волна, в которой распределение тока , напряжения или напряженности поля формируется путем наложения двух волн одной и той же частоты, распространяющихся в противоположных направлениях. Эффект представляет собой ряд узлов (нулевое смещение ) и пучностей (максимальное смещение ) в фиксированных точках вдоль линии передачи. Такая стоячая волна может быть образована, когда волна передается в один конец линии передачи и отражается от другого конца из-за несоответствия импеданса , т. е . разрыва, такого как обрыв цепи или короткое замыкание . ^[8] Неспособность линии передавать мощность на частоте стоячей волны обычно приводит к искажению затухания .

На практике потери в линии передачи и других компонентах означают, что идеальное отражение и чистая стоячая волна никогда не достигаются. Результатом является частичная стоячая волна , которая является суперпозицией стоячей волны и бегущей волны. Степень, в которой волна напоминает либо чистую стоячую волну, либо чистую бегущую волну, измеряется коэффициентом стоячей волны (КСВ). ^[9]

Другой пример — стоячие волны в открытом океане, образованные волнами с одинаковым периодом волны, движущимися в противоположных направлениях. Они могут образовываться вблизи центров штормов или в результате отражения зыби от берега и являются источником микробаромов и микросейсм .

Математическое описание

В этом разделе рассматриваются репрезентативные одномерные и двумерные случаи стоячих волн. Во-первых, пример струны бесконечной длины показывает, как идентичные волны, распространяющиеся в противоположных направлениях, интерферируют, образуя стоячие волны. Далее, два примера струн конечной длины с различными граничными условиями демонстрируют, как граничные условия ограничивают частоты, которые могут образовывать стоячие волны. Далее, пример звуковых волн в трубе демонстрирует, как те же принципы можно применить к продольным волнам с аналогичными граничными условиями.

Стоячие волны могут также возникать в двух- или трехмерных резонаторах . При наличии стоячих волн на двухмерных мембранах, таких как барабанные мембраны , показанные на анимациях выше, узлы становятся узловыми линиями, линиями на поверхности, на которых нет движения, которые разделяют области, вибрирующие с противоположной фазой. Эти узоры узловых линий называются фигурами Хладни . В трехмерных резонаторах, таких как звуковые коробки музыкальных инструментов и микроволновые резонаторы , есть узловые поверхности. В этом разделе приведен пример двумерной стоячей волны с прямоугольной границей, чтобы проиллюстрировать, как расширить концепцию на более высокие измерения.

Стоячая волна на струне бесконечной длины

Для начала рассмотрим струну бесконечной длины вдоль оси x , которая может свободно растягиваться в поперечном направлении в направлении y .

Для гармонической волны, распространяющейся вправо вдоль струны, смещение струны в направлении y как функция положения x и времени t равно ^[10]

${\displaystyle y_{\text{R}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right).}$

Смещение в направлении оси y для идентичной гармонической волны, распространяющейся влево, равно

${\displaystyle y_{\text{L}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}$

где

• y _max — амплитуда смещения струны для каждой волны,
• ω — угловая частота или, что эквивалентно, 2π, умноженная на частоту f ,
• λ — длина волны.

Для одинаковых волн, бегущих вправо и влево на одной и той же струне, полное смещение струны равно сумме y _R и y _L ,

${\displaystyle y(x,t)=y_{\text{R}}+y_{\text{L}}=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right)+y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right).}$

Используя тригонометрическое тождество суммы к произведению , ${\displaystyle \sin a+\sin b=2\sin \left({a+b \over 2}\right)\cos \left({a-b \over 2}\right)}$

Уравнение ( 1 ) не описывает бегущую волну. В любой точке x , y ( x , t ) просто колеблется во времени с амплитудой, которая изменяется в направлении x как . ^[10] Анимация в начале этой статьи показывает, что происходит. Поскольку лево-бегущая синяя волна и право-бегущая зеленая волна интерферируют, они образуют стоячую красную волну, которая не распространяется, а вместо этого колеблется на месте. ${\displaystyle 2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)}$

Поскольку струна имеет бесконечную длину, она не имеет граничных условий для своего смещения в любой точке вдоль оси x . В результате стоячая волна может образоваться на любой частоте.

В точках на оси x , кратных четверти длины волны,

${\displaystyle x=\ldots ,-{3\lambda \over 2},\;-\lambda ,\;-{\lambda \over 2},\;0,\;{\lambda \over 2},\;\lambda ,\;{3\lambda \over 2},\ldots }$

амплитуда всегда равна нулю. Эти места называются узлами . В местах на оси x , которые являются нечетными кратными четверти длины волны

${\displaystyle x=\ldots ,-{5\lambda \over 4},\;-{3\lambda \over 4},\;-{\lambda \over 4},\;{\lambda \over 4},\;{3\lambda \over 4},\;{5\lambda \over 4},\ldots }$

амплитуда максимальна, со значением, вдвое превышающим амплитуду право- и лево-бегущих волн, которые интерферируют, чтобы создать эту картину стоячей волны. Эти места называются пучностями . Расстояние между двумя последовательными узлами или пучностями составляет половину длины волны, λ /2.

Стоячая волна на струне с двумя закрепленными концами

Далее рассмотрим струну с закрепленными концами в точках x = 0 и x = L. Струна будет испытывать некоторое затухание, поскольку она растягивается бегущими волнами, но предположим, что затухание очень мало. Предположим, что к закрепленному концу x = 0 приложена синусоидальная сила, которая движет струну вверх и вниз в направлении y с малой амплитудой на некоторой частоте f . В этой ситуации движущая сила создает волну, бегущую вправо. Эта волна отражается от правого закрепленного конца и перемещается обратно влево, снова отражается от левого закрепленного конца и перемещается обратно вправо и так далее. В конце концов достигается устойчивое состояние, при котором струна имеет идентичные право- и лево-бегущие волны, как в случае бесконечной длины, а мощность, рассеиваемая затуханием в струне, равна мощности, подаваемой движущей силой, поэтому волны имеют постоянную амплитуду.

Уравнение ( 1 ) по-прежнему описывает картину стоячей волны, которая может образоваться на этой струне, но теперь уравнение ( 1 ) подчиняется граничным условиям , где y = 0 при x = 0 и x = L, поскольку струна зафиксирована при x = L и поскольку мы предполагаем, что движущая сила на фиксированном конце x = 0 имеет малую амплитуду. Проверяя значения y на двух концах,

${\displaystyle y(0,t)=0,}$

${\displaystyle y(L,t)=2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0.}$

Стоячие волны в струне – основная мода и первые 5 гармоник .

Это граничное условие имеет вид формулировки Штурма–Лиувилля . Последнее граничное условие выполняется, когда . L задано, поэтому граничное условие ограничивает длину волны стоячих волн до ^[11] ${\displaystyle \sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)=0}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

Волны могут образовывать стоячие волны на этой струне, только если их длина волны удовлетворяет этому соотношению с L. Если волны распространяются со скоростью v вдоль струны, то эквивалентно частота стоячих волн ограничена ^{[11] [12]}

${\displaystyle f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {nv}{2L}}.}$

Стоячая волна с n = 1 колеблется на основной частоте и имеет длину волны, которая в два раза больше длины струны. Более высокие целые значения n соответствуют режимам колебаний, называемым гармониками или обертонами . Любая стоячая волна на струне будет иметь n + 1 узлов, включая фиксированные концы и n пучностей.

Чтобы сравнить узлы этого примера с описанием узлов для стоячих волн в струне бесконечной длины, уравнение ( 2 ) можно переписать как

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=2,4,6,\ldots }$

В этом варианте выражения для длины волны n должно быть четным. Перекрестно умножая, мы видим, что поскольку L является узлом, он является четным кратным четверти длины волны,

${\displaystyle L={\frac {n\lambda }{4}},}$

${\displaystyle n=2,4,6,\ldots }$

Этот пример демонстрирует тип резонанса , а частоты, которые создают стоячие волны, можно назвать резонансными частотами . ^{[11] [13] [14]}

Стоячая волна на струне с одним закрепленным концом

Анализ переходных процессов затухающей бегущей волны, отражающейся от границы

Далее рассмотрим ту же струну длины L , но на этот раз она зафиксирована только в точке x = 0. При x = L струна может свободно перемещаться в направлении y . Например, струна может быть привязана в точке x = L к кольцу, которое может свободно скользить вверх и вниз по столбу. Струна снова имеет небольшое затухание и приводится в движение небольшой движущей силой при x = 0 .

В этом случае уравнение ( 1 ) по-прежнему описывает картину стоячей волны, которая может образоваться на струне, и струна имеет то же граничное условие y = 0 при x = 0. Однако при x = L , где струна может свободно двигаться, должна быть пучность с максимальной амплитудой y . Эквивалентно, это граничное условие «свободного конца» можно сформулировать как ∂y/∂x = 0 при x = L , что находится в форме формулировки Штурма–Лиувилля . Интуиция для этого граничного условия ∂y/∂x = 0 при x = L заключается в том, что движение «свободного конца» будет следовать за движением точки слева от него.

Рассматривая уравнение ( 1 ), для x = L наибольшая амплитуда y возникает, когда ∂y/∂x = 0 , или

${\displaystyle \cos \left({2\pi L \over \lambda }\right)=0.}$

Это приводит к другому набору длин волн, чем в примере с двумя фиксированными концами. Здесь длина волны стоячих волн ограничена

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,3,5,\ldots }$

Эквивалентно, частота ограничена

${\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}$

В этом примере n принимает только нечетные значения. Поскольку L является пучностью, она является нечетным кратным четверти длины волны. Таким образом, основная мода в этом примере имеет только одну четверть полного синусоидального цикла – ноль при x = 0 и первый пик при x = L – первая гармоника имеет три четверти полного синусоидального цикла, и так далее.

Этот пример также демонстрирует тип резонанса, а частоты, которые создают стоячие волны, называются резонансными частотами .

Стоячая волна в трубе

Рассмотрим стоячую волну в трубе длиной L. Воздух внутри трубы служит средой для продольных звуковых волн, распространяющихся по трубе вправо или влево. В то время как поперечные волны на струне из предыдущих примеров различаются по своему смещению перпендикулярно направлению движения волны, волны, распространяющиеся по воздуху в трубе, различаются по своему давлению и продольному смещению вдоль направления движения волны. Волна распространяется путем попеременного сжатия и расширения воздуха в сегментах трубы, что слегка смещает воздух из его положения покоя и передает энергию соседним сегментам посредством сил, оказываемых чередующимися высокими и низкими давлениями воздуха. ^[15] Уравнения, похожие на уравнения для волны на струне, можно записать для изменения давления Δ p из-за право- или лево-бегущей волны в трубе.

${\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right),}$

${\displaystyle \Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}$

где

• p _max — амплитуда давления или максимальное увеличение или уменьшение давления воздуха из-за каждой волны,
• ω — угловая частота или, что эквивалентно, 2π, умноженная на частоту f ,
• λ — длина волны.

Если по трубе распространяются одинаковые право- и левонаправленные волны, то результирующая суперпозиция описывается суммой

${\displaystyle \Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}$

Эта формула для давления имеет тот же вид, что и уравнение ( 1 ), поэтому образуется стационарная волна давления, которая зафиксирована в пространстве и колеблется во времени.

Если конец трубы закрыт, давление максимально, так как закрытый конец трубы оказывает силу, которая ограничивает движение воздуха. Это соответствует пучности давления (которая является узлом для молекулярных движений, потому что молекулы около закрытого конца не могут двигаться). Если конец трубы открыт, изменения давления очень малы, что соответствует узлу давления (который является пучностью для молекулярных движений, потому что молекулы около открытого конца могут свободно двигаться). ^{[16] [17]} Точное расположение узла давления на открытом конце на самом деле немного выходит за пределы открытого конца трубы, поэтому эффективная длина трубы для определения резонансных частот немного больше ее физической длины. ^[18] Эта разница в длине в этом примере игнорируется. С точки зрения отражений открытые концы частично отражают волны обратно в трубу, позволяя некоторой энергии высвобождаться в наружный воздух. В идеале закрытые концы отражают всю волну обратно в другом направлении. ^{[18] [19]}

Сначала рассмотрим трубу, которая открыта с обоих концов, например, открытую органную трубу или блокфлейту . Учитывая, что давление должно быть равно нулю на обоих открытых концах, граничные условия аналогичны струне с двумя фиксированными концами,

${\displaystyle \Delta p(0,t)=0,}$

${\displaystyle \Delta p(L,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0,}$

что происходит только тогда, когда длина стоячей волны равна ^[18]

${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}$

или эквивалентно, когда частота ^{[18] [20]}

${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}$

где v — скорость звука .

Далее рассмотрим трубу, которая открыта при x = 0 (и, следовательно, имеет узел давления) и закрыта при x = L (и, следовательно, имеет пучность давления). Закрытое граничное условие «свободного конца» для давления при x = L можно сформулировать как ∂(Δp)/∂x = 0 , что находится в форме формулировки Штурма–Лиувилля . Интуиция для этого граничного условия ∂(Δp)/∂x = 0 при x = L заключается в том, что давление закрытого конца будет следовать за давлением точки слева от него. Примерами такой установки являются бутылка и кларнет . Эта труба имеет граничные условия, аналогичные струне с одним закрепленным концом. Ее стоячие волны имеют длины волн, ограниченные ^[18]

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,3,5,\ldots ,}$

или эквивалентно частота стоячих волн ограничена ^{[21] [20]}

${\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}$

В случае, когда один конец закрыт, n принимает только нечетные значения, как и в случае струны, закрепленной только на одном конце.

Молекулярное представление стоячей волны с n = 2 для трубы, закрытой с обоих концов. При рассмотрении продольного смещения молекулы на концах и молекулы в середине не смещаются волной, представляя узлы продольного смещения. На полпути между узлами находятся пучности продольного смещения, где молекулы максимально смещены. При рассмотрении давления молекулы максимально сжаты и расширены на концах и в середине, представляя пучности давления. На полпути между пучностями находятся узлы давления, где молекулы не сжимаются и не расширяются при движении.

До сих пор волна была записана в терминах ее давления как функции положения x и времени. В качестве альтернативы, волна может быть записана в терминах ее продольного смещения воздуха, где воздух в сегменте трубы слегка движется вперед и назад в направлении x , поскольку давление меняется, и волны распространяются в одном или обоих направлениях. Изменение давления Δ p и продольное смещение s связаны как ^[22]

${\displaystyle \Delta p=-\rho v^{2}{\frac {\partial s}{\partial x}},}$

где ρ — плотность воздуха. С точки зрения продольного смещения закрытые концы труб соответствуют узлам, поскольку движение воздуха ограничено, а открытые концы соответствуют пучностям, поскольку воздух может свободно перемещаться. ^{[18] [23]} Похожее, более наглядное явление происходит в продольных волнах, распространяющихся вдоль пружины. ^[24]

Мы также можем рассмотреть трубу, которая закрыта с обоих концов. В этом случае оба конца будут пучностями давления или, что эквивалентно, оба конца будут узлами смещения. Этот пример аналогичен случаю, когда оба конца открыты, за исключением того, что картина стоячей волны имеет сдвиг фазы π ⁄ 2 вдоль направления x , чтобы сместить расположение узлов и пучностей. Например, самая длинная длина волны, которая резонирует – фундаментальная мода – снова в два раза больше длины трубы, за исключением того, что концы трубы имеют пучности давления вместо узлов давления. Между концами находится один узел давления. В случае двух закрытых концов длина волны снова ограничена

${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}$

и частота снова ограничена

${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}}.}$

Трубка Рубенса позволяет визуализировать изменения давления стоячих волн в трубке с двумя закрытыми концами. ^[25]

2D стоячая волна с прямоугольной границей

Далее рассмотрим поперечные волны, которые могут перемещаться по двумерной поверхности в пределах прямоугольной границы длиной L _x в направлении x и длиной L _y в направлении y . Примерами этого типа волн являются волны на воде в бассейне или волны на прямоугольном листе, который был натянут. Волны смещают поверхность в направлении z , при этом z = 0 определяется как высота поверхности, когда она неподвижна.

В двух измерениях и декартовых координатах волновое уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),}$

где

• z ( x , y , t ) — смещение поверхности,
• с — скорость волны.

Чтобы решить это дифференциальное уравнение, давайте сначала решим его преобразование Фурье , с помощью

${\displaystyle Z(x,y,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }z(x,y,t)e^{-i\omega t}dt.}$

Принимая преобразование Фурье волнового уравнения,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,\omega ).}$

Это проблема собственных значений , где частоты соответствуют собственным значениям, которые затем соответствуют частотно-специфическим модам или собственным функциям. В частности, это форма уравнения Гельмгольца , и ее можно решить с помощью разделения переменных . ^[26] Предположим

${\displaystyle Z=X(x)Y(y).}$

Разделив уравнение Гельмгольца на Z ,

${\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}$

Это приводит к двум связанным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Член x равен константе относительно x , которую мы можем определить как

${\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.}$

Решая для X ( x ),

${\displaystyle X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}.}$

Эта зависимость от x является синусоидальной – вспоминая формулу Эйлера – с константами A _{k x} и B _{k x,} определяемыми граничными условиями. Аналогично, член y равен константе относительно y , которую мы можем определить как

${\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}$

и дисперсионное соотношение для этой волны, следовательно, имеет вид

${\displaystyle \omega =c{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.}$

Решая дифференциальное уравнение для члена y ,

${\displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.}$

Перемножая эти функции и применяя обратное преобразование Фурье, z ( x , y , t ) представляет собой суперпозицию мод, где каждая мода является произведением синусоидальных функций для x , y и t ,

${\displaystyle z(x,y,t)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm i\omega t}.}$

Константы, определяющие точные синусоидальные функции, зависят от граничных условий и начальных условий. Чтобы увидеть, как применяются граничные условия, рассмотрим пример, например, лист, который был натянут, где z ( x , y , t ) должен быть равен нулю по всей прямоугольной границе. Для зависимости от x z ( x , y , t ) должен изменяться таким образом, чтобы он мог быть равен нулю как при x = 0 , так и при x = L _x для всех значений y и t . Как и в одномерном примере струны, закрепленной на обоих концах, синусоидальная функция, которая удовлетворяет этому граничному условию, равна

${\displaystyle \sin {k_{x}x},}$

с k _x ограниченным

${\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots }$

Аналогично, зависимость z ( x , y , t ) от y должна быть равна нулю как при y = 0 , так и при y = L _y , что удовлетворяется соотношением

${\displaystyle \sin {k_{y}y},\quad k_{y}={\frac {m\pi }{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\dots }$

Ограничение волновых чисел этими значениями также ограничивает частоты, которые резонируют с

${\displaystyle \omega =c\pi {\sqrt {\left({\frac {n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {m}{L_{y}}}\right)^{2}}}.}$

Если начальные условия для z ( x , y ,0) и ее производной по времени ż ( x , y ,0) выбраны так, чтобы t -зависимость была косинусоидальной функцией, то стоячие волны для этой системы принимают вид

${\displaystyle z(x,y,t)=z_{\text{max}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\right).}$

${\displaystyle n=1,2,3,\dots \quad m=1,2,3,\dots }$

Итак, стоячие волны внутри этой фиксированной прямоугольной границы колеблются во времени на определенных резонансных частотах, параметризованных целыми числами n и m . Поскольку они колеблются во времени, они не перемещаются, и их пространственное изменение синусоидально в обоих направлениях x и y, так что они удовлетворяют граничным условиям. Основная мода, n = 1 и m = 1 , имеет одну пучность в середине прямоугольника. Изменение n и m дает сложные, но предсказуемые двумерные узоры узлов и пучностей внутри прямоугольника. ^[27]

Из дисперсионного соотношения, в определенных ситуациях различные моды — то есть различные комбинации n и m — могут резонировать на одной и той же частоте, даже если они имеют разные формы для их x - и y -зависимости. Например, если граница квадратная, L _x = L _y , моды n = 1 и m = 7 , n = 7 и m = 1 , и n = 5 и m = 5 все резонируют на

${\displaystyle \omega ={\frac {c\pi }{L_{x}}}{\sqrt {50}}.}$

Напоминая, что ω определяет собственное значение в уравнении Гельмгольца выше, число мод, соответствующих каждой частоте, связано с кратностью частоты как собственного значения.

Коэффициент стоячей волны, фаза и передача энергии

Если две противоположно движущиеся бегущие волны не имеют одинаковой амплитуды, они не будут полностью гасить друг друга в узлах, точках, где волны находятся на 180° вне фазы, поэтому амплитуда стоячей волны будет не равна нулю в узлах, а просто минимальной. Коэффициент стоячей волны (КСВ) — это отношение амплитуды в пучности (максимум) к амплитуде в узле (минимум). Чистая стоячая волна будет иметь бесконечный КСВ. Она также будет иметь постоянную фазу в любой точке пространства (но она может претерпевать инверсию на 180° каждый полупериод). Конечный, ненулевой КСВ указывает на волну, которая частично стационарна и частично распространяется. Такие волны можно разложить на суперпозицию двух волн: компонента бегущей волны и компонента стационарной волны. КСВ, равный единице, указывает на то, что волна не имеет стационарного компонента — это чисто распространяется, поскольку отношение амплитуд равно 1. ^[28]

Чистая стоячая волна не переносит энергию от источника к месту назначения. ^[29] Однако волна все еще подвержена потерям в среде. Такие потери проявятся как конечный КСВ, указывающий на бегущую компоненту волны, покидающую источник для обеспечения потерь. Даже если КСВ теперь конечен, все еще может быть так, что никакая энергия не достигнет места назначения, поскольку бегущая компонента просто обеспечивает потери. Однако в среде без потерь конечный КСВ подразумевает определенную передачу энергии к месту назначения.

Примеры

Один простой пример для понимания стоячих волн — это два человека, трясущие оба конца скакалки . Если они синхронно трясут скакалку, она может образовать регулярный рисунок волн, колеблющихся вверх и вниз, со стационарными точками вдоль скакалки, где скакалка почти неподвижна (узлы), и точками, где дуга скакалки максимальна (пучности).

Акустический резонанс

Первоначально считалось, что шестиугольная облачная структура на северном полюсе Сатурна представляет собой стоячие волны Россби . ^[30] Однако в последнее время это объяснение подвергается сомнению. ^[31]

Стоячие волны также наблюдаются в физических средах, таких как струны и столбы воздуха. Любые волны, распространяющиеся по среде, будут отражаться обратно, когда достигнут конца. Этот эффект наиболее заметен в музыкальных инструментах, где при различных кратностях собственной частоты вибрирующей струны или столба воздуха создается стоячая волна, что позволяет идентифицировать гармоники . Узлы возникают на фиксированных концах, а пучности — на открытых концах. Если зафиксировано только на одном конце, доступны только нечетные гармоники. На открытом конце трубы пучность не будет точно на конце, поскольку она изменяется из-за контакта с воздухом, и поэтому для ее точного размещения используется коррекция конца . Плотность струны будет влиять на частоту, на которой будут создаваться гармоники; чем больше плотность, тем ниже должна быть частота, чтобы создать стоячую волну той же гармоники.

Видимый свет

Стоячие волны также наблюдаются в оптических средах, таких как оптические волноводы и оптические полости . Лазеры используют оптические полости в виде пары обращенных друг к другу зеркал, которые составляют интерферометр Фабри–Перо . Усиливающая среда в полости (например, кристалл ) когерентно излучает свет , возбуждая стоячие волны света в полости. ^[32] Длина волны света очень коротка (в диапазоне нанометров , 10−9 ^м ), поэтому стоячие волны имеют микроскопические размеры. Одним из применений стоячих световых волн является измерение небольших расстояний с помощью оптических плоскостей .

Рентгеновские лучи

Интерференция между рентгеновскими пучками может образовывать поле стоячей рентгеновской волны (XSW). ^[33] Из-за короткой длины волны рентгеновских лучей (менее 1 нанометра) это явление можно использовать для измерения событий атомного масштаба на поверхностях материалов . XSW генерируется в области, где рентгеновский пучок интерферирует с дифрагированным пучком от почти идеальной монокристаллической поверхности или отражением от рентгеновского зеркала . Настраивая геометрию кристалла или длину волны рентгеновского излучения, XSW можно транслировать в пространстве, вызывая сдвиг в рентгеновской флуоресценции или выходе фотоэлектронов от атомов вблизи поверхности. Этот сдвиг можно проанализировать, чтобы точно определить местоположение определенного вида атомов относительно базовой кристаллической структуры или поверхности зеркала. Метод XSW использовался для выяснения деталей атомного масштаба легирующих примесей в полупроводниках, ^[34] атомной и молекулярной адсорбции на поверхностях, ^[35] и химических превращений, участвующих в катализе . ^[36]

Механические волны

Стоячие волны могут быть механически вызваны в твердой среде с помощью резонанса. Один простой для понимания пример — два человека, трясущие оба конца скакалки. Если они трясутся синхронно, скакалка сформирует регулярный рисунок с узлами и пучностями и будет казаться неподвижной, отсюда и название стоячая волна. Аналогично консольная балка может иметь стоячую волну, наложенную на нее путем применения базового возбуждения. В этом случае свободный конец перемещается на наибольшее расстояние в боковом направлении по сравнению с любым местом вдоль балки. Такое устройство можно использовать в качестве датчика для отслеживания изменений частоты или фазы резонанса волокна. Одно из применений — в качестве измерительного устройства для размерной метрологии . ^{[37] [38]}

Сейсмические волны

Стоячие поверхностные волны на Земле наблюдаются как свободные колебания Земли .

волны Фарадея

Волна Фарадея — это нелинейная стоячая волна на границе раздела воздух-жидкость, вызванная гидродинамической нестабильностью. Она может быть использована в качестве шаблона на основе жидкости для сборки микромасштабных материалов. ^[39]

Сейши

Сейша является примером стоячей волны в замкнутом водоеме. Она характеризуется колебательным поведением уровня воды на обоих концах тела и обычно имеет узловую точку около середины тела, где наблюдается очень небольшое изменение уровня воды. Ее следует отличать от простого штормового нагона , где нет никаких колебаний. В крупных озерах период таких колебаний может составлять от минут до часов, например, продольный период Женевского озера составляет 73 минуты, а его поперечная сейша имеет период около 10 минут, ^[40] в то время как озеро Гурон может иметь резонансы с периодами от 1 до 2 часов. ^[41] См. Сейши озера . ^{[42] [43] [44]}

Смотрите также

Волны

• Индекс статей волны :
• Амфидромная точка
• Клапотис
• Продольный режим
• Блокировка режимов
• Метахрональный ритм
• Резонансные комнатные моды
• Сейш
• Труба
• трубка Кундта
• Волновое уравнение

Электроника

• Индекс статей по электронике :
• Полостной резонатор
• Характеристическое сопротивление
• Киматика
• Сопротивление
• Нормальный режим

Примечания

1. Элвин Скотт (редактор), Энциклопедия нелинейной науки , стр. 683, Routledge, 2006 ISBN  1135455589 .
2. Теодор И. Ву, «Устойчивость нелинейных волн, поддерживаемых резонансно», Нелинейная неустойчивость непараллельных потоков: Симпозиум IUTAM в Потсдаме, Нью-Йорк , стр. 368, Springer, 2012 ISBN 3642850847 . 
3. Мельде, Франц. Ueber einige krumme Flächen, welche von Ebenen,parallel einer bestimmten Ebene, durchschnitten, als Durchschnittsfigur einen Kegelschnittliefern: Инаугурационная диссертация... Кох, 1859.
4. Мельде, Франц. «Ueber die Erregung stehender Wellen eines fadenförmigen Körpers». Аннален дер Физик 185, вып. 2 (1860): 193–215.
5. Мельде, Франц. Die Lehre von den Schwingungscurven...: mit einem Atlas von 11 Tafeln в Штайндруке. Дж. А. Барт, 1864 г.
6. Мельде, Франц. «Акустические эксперименты». Аннален дер Физик 257, вып. 3 (1884): 452–470.
7. Дитше, Даниэла (31 декабря 2014 г.). "Surfbare Wechselsprünge | Espazium". www.espazium.ch (на немецком языке) . Проверено 13 января 2022 г.
8.  В этой статье использованы материалы из Федерального стандарта 1037C, являющиеся общественным достоянием . Администрация общих служб . Архивировано из оригинала 2022-01-22.
9. Блэксток, Дэвид Т. (2000), Основы физической акустики , Wiley–IEEE, стр. 141, ISBN 0-471-31979-1
10. Halliday, Resnick & Walker 2005, стр. 432.
11. Halliday, Resnick & Walker 2005, стр. 434.
12. Сервей и Фон 1992, стр. 472.
13. Сервэй и Фон 1992, стр. 475-476.
14. String Resonance. Digital Sound & Music. 21 мая 2014 г. Идентификатор видео на YouTube: oZ38Y0K8e-Y . Получено 22 августа 2020 г. .
15. Холлидей, Резник и Уокер 2005, стр. 450.
16. Nave, CR (2016). «Стоячие волны». HyperPhysics. Georgia State University . Получено 23 августа 2020 г.
17. Улицы 2010, стр. 6.
18. Холлидей, Резник и Уокер 2005, стр. 457.
19. Улицы 2010, стр. 15.
20. Serway & Faughn 1992, стр. 478.
21. Холлидей, Резник и Уокер 2005, стр. 458.
22. Холлидей, Резник и Уокер 2005, стр. 451.
23. Сервей и Фон 1992, стр. 477.
24. Томас-Палмер, Джонатан (16 октября 2019 г.). Демонстрация продольных стоячих волн. Переворачивание физики. Событие происходит в 4:11. Идентификатор видео на YouTube: 3QbmvunlQR0 . Получено 23 августа 2020 г. .
25. Mould, Steve (13 апреля 2017 г.). Лучшее описание резонанса. YouTube. Событие происходит в 6:04. Идентификатор видео YouTube: dihQuwrf9yQ . Получено 23 августа 2020 г. .
26. Weisstein, Eric W. "Дифференциальное уравнение Гельмгольца — декартовы координаты". MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Получено 2 января 2021 г.
27. Галлис, Майкл Р. (15 февраля 2008 г.). Двумерные модели стоячих волн (прямоугольные фиксированные границы). Анимации для физики и астрономии. Университет штата Пенсильвания. Также доступно как идентификатор видео YouTube: NMlys8A0_4s . Получено 28 декабря 2020 г. .
28. RS Rao, Микроволновая инженерия , стр. 153–154, PHI Learning, 2015 ISBN 8120351592 . 
29. К. А. Цокос, Физика для диплома IB , с. 251, Издательство Кембриджского университета, 2010 ISBN 0521138213 . 
30. Волновая динамическая интерпретация полярного региона Сатурна. Архивировано 21 октября 2011 г. в Wayback Machine , М. Эллисон, Д. А. Годфри, Р. Ф. Биби, Science, т. 247, стр. 1061 (1990)
31. Barbosa Aguiar, Ana C. (2010). «Лабораторная модель северного полярного шестиугольника Сатурна». Icarus . 206 (2): 755–763. Bibcode :2010Icar..206..755B. doi :10.1016/j.icarus.2009.10.022.
32. Педротти, Фрэнк Л.; Педротти, Лено М. (2017). Введение в оптику (3-е изд.). Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-42826-2.
33. Batterman, Борис В.; Cole, Хендерсон (1964). «Динамическая дифракция рентгеновских лучей совершенными кристаллами». Reviews of Modern Physics . 36 (3): 681–717. Bibcode : 1964RvMP...36..681B. doi : 10.1103/RevModPhys.36.681.
34. Batterman, Борис В. (1969). «Обнаружение мест расположения инородных атомов по их рассеянию рентгеновской флуоресценции». Physical Review Letters . 22 (14): 703–705. Bibcode : 1969PhRvL..22..703B. doi : 10.1103/PhysRevLett.22.703.
35. Головченко, JA; Патель, JR; Каплан, DR; Коуэн, PL; Бедзик, MJ (1982). «Решение проблемы регистрации поверхности с использованием стоячих рентгеновских волн» (PDF) . Physical Review Letters . 49 (8): 560–563. Bibcode : 1982PhRvL..49..560G. doi : 10.1103/PhysRevLett.49.560.
36. Feng, Z.; Kim, C.-Y.; Elam, JW; Ma, Q.; Zhang, Z.; Bedzyk, MJ (2009). «Прямое наблюдение в атомном масштабе динамики катионов, индуцированных окислительно-восстановительным процессом, в монослойном катализаторе на оксидном носителе: WO _x /α-Fe ₂ O ₃ (0001)». J. Am. Chem. Soc . 131 (51): 18200–18201. doi :10.1021/ja906816y. PMID  20028144.
37. Бауза, Марчин Б.; Хокен, Роберт Дж.; Смит, Стюарт Т.; Вуди, Шейн К. (2005). «Разработка виртуального зондового наконечника с применением к микромасштабным особенностям с высоким соотношением сторон». Обзор научных приборов . 76 (9): 095112–095112–8. Bibcode : 2005RScI...76i5112B. doi : 10.1063/1.2052027.
38. "Precision Engineering and Manufacturing Solutions – IST Precision". www.insitutec.com . Архивировано из оригинала 31 июля 2016 года . Получено 28 апреля 2018 года .
39. Чен, Пу (2014). «Микромасштабная сборка, направляемая шаблоном на основе жидкости». Advanced Materials . 26 (34): 5936–5941. doi :10.1002/adma.201402079. PMC 4159433. PMID  24956442 . 
40. Леммин, Ульрих (2012), «Поверхностные сейхи», в Бенгтссон, Ларс; Херши, Реджинальд В.; Фэрбридж, Родс В. (ред.), Энциклопедия озер и водохранилищ , Энциклопедия наук о Земле, Springer Netherlands, стр. 751–753, doi :10.1007/978-1-4020-4410-6_226, ISBN 978-1-4020-4410-6
41. "Штормовой нагон на озере Гурон 13 июля 1995 г.". NOAA. Архивировано из оригинала 2008-09-16 . Получено 2023-01-01 .
42. Корген, Бен (февраль 2000 г.). «Бонанза для озера Верхнее: сейши не просто перемещают воду». seagrant.umn.edu . Университет Миннесоты в Дулуте . Архивировано из оригинала 27.12.2007.
43. "Seiche". www.soest.hawaii.edu . Архивировано из оригинала 2019-01-26 . Получено 2023-01-01 .
44. Джонсон, Скотт К. (30 июня 2013 г.). «Японское землетрясение буквально всколыхнуло Норвегию». Ars Technica . Архивировано из оригинала 30 июля 2022 г. Получено 01.01.2023 .

Ссылки

• Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (2005). Основы физики (7-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-42959-7.
• Serway, Raymond A.; Faughn, Jerry S. (1992). College Physics (3-е изд.). Saunders College Publishing. ISBN 0-03-076377-0.
• Streets, J. (2010). "Глава 16 – Суперпозиция и стоячие волны" (PDF) . Физический факультет. PHYS122 Основы физики II. Мэрилендский университет . Получено 23 августа 2020 г. .

Внешние ссылки

• Медиа, связанные со стоячими волнами на Wikimedia Commons