Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия

Два тесно связанных математических предмета

В математике алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия — два тесно связанных предмета. В то время как алгебраическая геометрия изучает алгебраические многообразия , аналитическая геометрия имеет дело с комплексными многообразиями и более общими аналитическими пространствами, локально определяемыми обращением в нуль аналитических функций нескольких комплексных переменных . Глубокая связь между этими предметами имеет множество приложений, в которых алгебраические методы применяются к аналитическим пространствам, а аналитические методы — к алгебраическим многообразиям.

Основное заявление

Пусть X — проективное комплексное алгебраическое многообразие . Поскольку X — комплексное многообразие, его множеству комплексных точек X ( C ) можно придать структуру компактного комплексного аналитического пространства . Это аналитическое пространство обозначается Xan ^. Аналогично, если есть пучок на X , ^то существует соответствующий пучок на Xan . Это объединение аналитического объекта с алгебраическим есть функтор . Прототипическая теорема, связывающая X и X ^an, гласит, что для любых двух когерентных пучков и на X естественный гомоморфизм: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\text{an}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\rightarrow {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}({\mathcal {F}}^{\text{an}},{\mathcal {G}}^{\text{an}})}$

является изоморфизмом. Здесь – структурный пучок алгебраического многообразия X , – структурный пучок аналитического многообразия Xan ^. Точнее, категория когерентных пучков на алгебраическом многообразии X эквивалентна категории аналитических когерентных пучков на аналитическом многообразии ^Xan , а эквивалентность задается на объектах путем отображения на . (Отметим, в частности, что оно само по себе когерентно. Этот результат известен как теорема Оки о когерентности ^[1] , а также в книге «Когерентные алгебры Файсо» ^[2] было доказано, что структурный пучок алгебраического многообразия когерентен. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\text{an}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Другое важное утверждение таково: для любого когерентного пучка на алгебраическом многообразии X гомоморфизмы ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{q}\ :\ H^{q}(X,{\mathcal {F}})\rightarrow H^{q}(X^{an},{\mathcal {F}}^{an})}$

являются изоморфизмами для всех q's . Это означает, что ^q - я группа когомологий на X изоморфна группе когомологий на Xan .

Теорема применима в гораздо более широком смысле, чем указано выше (см. формальное утверждение ниже). Оно и его доказательство имеют множество следствий, таких как теорема Чоу, принцип Лефшеца и теорема об исчезновении Кодаиры .

Фон

Алгебраические многообразия локально определяются как общие множества нулей многочленов, и поскольку многочлены над комплексными числами являются голоморфными функциями , алгебраические многообразия над C можно интерпретировать как аналитические пространства. Аналогично регулярные морфизмы между многообразиями интерпретируются как голоморфные отображения между аналитическими пространствами. Несколько удивительно, но часто можно пойти другим путем и интерпретировать аналитические объекты алгебраическим способом.

Например, легко доказать, что аналитические функции от сферы Римана к самой себе являются либо рациональными функциями, либо функцией тождественной бесконечности (расширение теоремы Лиувилля ). Ибо если такая функция f непостоянна, то, поскольку множество z , где f(z) равно бесконечности, изолировано, а сфера Римана компактна, существует конечное число z , для которых f(z) равно бесконечности. Рассмотрим разложение Лорана при всех таких z и вычтем сингулярную часть: у нас останется функция на сфере Римана со значениями в C , которая по теореме Лиувилля является постоянной. Таким образом, f — рациональная функция. Этот факт показывает, что нет существенной разницы между комплексной проективной прямой как алгебраическим многообразием и сферой Римана .

Важные результаты

Существует долгая история сравнения результатов между алгебраической геометрией и аналитической геометрией, начиная с девятнадцатого века. Некоторые из наиболее важных достижений перечислены здесь в хронологическом порядке.

Теорема существования Римана

Теория римановой поверхности показывает, что на компактной римановой поверхности имеется достаточно мероморфных функций , что делает ее (гладкой проективной) алгебраической кривой . Под названием теорема существования Римана ^{[4] [5] [6] [7]} был известен более глубокий результат о разветвленных покрытиях компактной римановой поверхности: такие конечные покрытия, как топологические пространства, классифицируются с помощью перестановочных представлений фундаментальной группы дополнения из точек разветвления . Поскольку свойство римановой поверхности локально, такие накрытия довольно легко считать покрытиями в комплексно-аналитическом смысле. Тогда можно заключить, что они происходят из карт покрытия алгебраических кривых, то есть все такие покрытия происходят из конечных расширений функционального поля .

Принцип Лефшеца

В двадцатом веке принцип Лефшеца , названный в честь Соломона Лефшеца , был процитирован в алгебраической геометрии , чтобы оправдать использование топологических методов для алгебраической геометрии над любым алгебраически замкнутым полем K характеристики 0, рассматривая K , как если бы это было поле комплексных чисел. . Его элементарная форма утверждает, что истинные утверждения теории полей первого порядка относительно C верны для любого алгебраически замкнутого поля K нулевой характеристики. Точный принцип и его доказательство принадлежат Альфреду Тарскому и основаны на математической логике . ^{[8] [9] [10]}

Этот принцип допускает перенос некоторых результатов, полученных с помощью аналитических или топологических методов для алгебраических многообразий над C , на другие алгебраически замкнутые основные поля характеристики 0 (например, теорема об исчезновении типа Кодаиры . ^[11] ).

Теорема Чоу

Чоу (1949), доказанный Вэй-Лян Чоу , является примером наиболее полезного из имеющихся видов сравнения. Он утверждает, что замкнутое (в обычном топологическом смысле) аналитическое подпространство комплексного проективного пространства является алгебраическим подмногообразием. ^[12] Это можно перефразировать так: «любое аналитическое подпространство комплексного проективного пространства, замкнутое в сильной топологии , замкнуто в топологии Зарисского ». Это позволяет достаточно свободно использовать комплексно-аналитические методы в классических разделах алгебраической геометрии.

ГАГА

Основы многих связей между двумя теориями были заложены в начале 1950-х годов как часть работы по закладке основ алгебраической геометрии, включающей, например, методы теории Ходжа . Основной статьей, объединяющей теорию, была «Алгебричная и аналитическая геометрия» Жана -Пьера Серра ^[13] , которую сейчас обычно называют ГАГА . Доказываются общие результаты, связывающие классы алгебраических многообразий, регулярных морфизмов и пучков с классами аналитических пространств, голоморфных отображений и пучков. Все это сводится к сравнению категорий пучков.

В настоящее время фраза «результат в стиле GAGA» используется для любой теоремы сравнения, позволяющей перейти от категории объектов алгебраической геометрии и их морфизмов к четко определенной подкатегории объектов аналитической геометрии и голоморфных отображений.

Официальное заявление GAGA

1. Пусть – схема конечного типа над C . Тогда существует топологическое пространство Xan ^{, которое} как множество состоит из замкнутых точек X с непрерывным отображением включения λ _X : X ^an → X . Топология на X ^an называется «комплексной топологией» (и сильно отличается от топологии подпространства). ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$
2. Предположим, что φ: X → Y — морфизм схем локально конечного типа над C . Тогда существует непрерывное отображение φ ^an : X ^an → Y ^an такое, что λ _Y ∘ φ ^an = φ ∘ λ _X .
3. На X ^an существует такой пучок, который является окольцованным пространством и λ _X : X ^an → X становится отображением окольцованных пространств. Пространство называется «анализацией» и является аналитическим пространством. Для каждого φ: X → Y отображение φ ^an, определенное выше, является отображением аналитических пространств. Более того, отображение φ ↦ φ ^an отображает открытые погружения в открытые погружения. Если X = Spec( C [ x ₁ ,..., x _n ]), то X ^an = C ⁿ и для каждого полидиска U является подходящим фактором пространства голоморфных функций на U . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$ ${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }(U)}$
4. Для каждого пучка на X (называемого алгебраическим пучком) существует пучок на X ^an (называемый аналитическим пучком) и отображение пучков -модулей . Пучок определяется как . Соответствие определяет точный функтор из категории пучков в категорию пучков . Следующие два утверждения составляют основу теоремы Серра GAGA ^{[14] [15]} (расширенной Александром Гротендиком , Амноном Ниманом и другими). ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \lambda _{X}^{*}:{\mathcal {F}}\rightarrow (\lambda _{X})_{*}{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle \lambda _{X}^{-1}{\mathcal {F}}\otimes _{\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$
   
5. Если f : X → Y — произвольный морфизм схем конечного типа над C и когерентен, то естественное отображение инъективно. Если f собственное, то это отображение является изоморфизмом. В этом случае также имеются изоморфизмы всех высших пучков прямых образов . ^[16] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\rightarrow f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle (R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\cong R^{i}f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$
6. Предположим теперь, что X an ^{хаусдорфово} и компактно. Если имеются два когерентных алгебраических пучка на и если - отображение пучков -модулей, то существует единственное отображение пучков -модулей с . Если — когерентный аналитический пучок -модулей над Xan ^, то существуют когерентный алгебраический пучок -модулей и изоморфизм . ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle f\colon {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\rightarrow {\mathcal {G}}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f=\varphi ^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\cong {\mathcal {R}}}$

^{В несколько меньшей общности теорема ГАГА утверждает ,} что категория когерентных алгебраических пучков на комплексном проективном многообразии X и категория когерентных аналитических пучков на соответствующем аналитическом пространстве Xan эквивалентны. Аналитическое пространство X ^an получается грубо путем возвращения к X комплексной структуры из C ⁿ через координатные карты. Действительно, такая формулировка теоремы ближе по духу к статье Серра, учитывая, что полный теоретико-схемный язык, который широко используется в приведенном выше формальном утверждении, еще не был изобретен ко времени публикации GAGA.

Смотрите также

• Плоский модуль . Понятие плоскостности было введено Серром (1956). Алгебраическое и аналитическое локальные кольца имеют одинаковое пополнение и тем самым становятся «плоской парой» (couple plat). ^[17]

Примечания

1. Зал 2023.
2. Серр 1955.
3. Реммерт 1994.
4. Грауэрт и Реммерт 1958.
5. Харбатер 2003.
6. Гротендик и Рейно 2002, EXPOSE XII, Теорема 5.1 («Теорема существования Римана»).
7. Hartshorne 1977, Приложение B, Теорема 3.1 (Часть (b)) и 3.2.
8. Зайденберг 1958, Комментарии к принципу Лефшеца.
9. Фрей и Рюк 1986, Сильный принцип Лефшеца в алгебраической геометрии.
10. Кульманн 2001.
11. Кавамата, Мацуда и Мацуки 1987.
12. Хартсхорн 1970.
13. Серр 1956.
14. Гротендик и Рейно 2002, EXPOSE XII..
15. Ниман 2007.
16. Гротендик и Рейно 2002, EXPOSE XII, 4. Теоремы сравнения когомологических и теории существования.
17. Хартсхорн 2010.

Рекомендации

• Чоу, Вэй-Лян (1949). «О компактных комплексных аналитических многообразиях». Американский журнал математики . 71 (4): 893–914. дои : 10.2307/2372375. JSTOR  2372375.
• Фрей, Герхард; Рюк, Ханс-Георг (1986). «Сильный принцип Лефшеца в алгебраической геометрии». Манускрипта Математика . 55 (3–4): 385–401. дои : 10.1007/BF01186653. S2CID  122967192.
• Грауэрт, Ганс; Реммерт, Рейнхольд (1958). «Комплекс Ряуме». Математические Аннален . 136 (3): 245–318. дои : 10.1007/BF01362011. S2CID  121348794.
• Гротендик, А. «Sur les faisceaux algébriques et les faisceaux analytiques cohérents». Семинар Анри Картана . 9 : 1–16.
• Гротендик, Александр; Рейно, Мишель (2002). «Revêtements étales et groupe Fondamental §XII. Алгебричная и аналитическая геометрия». Revêtements étales et groupe Fondamental (SGA 1) (на французском языке). arXiv : math/0206203 . дои : 10.1007/BFb0058656. ISBN 978-2-85629-141-2.
• Харбатер, Дэвид (21 июля 2003 г.). «Группы Галуа и фундаментальные группы §9. Исправления и теория Галуа (факультет математики Пенсильванского университета)» (PDF) . В Шнепсе, Лейла (ред.). Группы Галуа и фундаментальные группы. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521808316.
• Холл, Джек (2023). «Теоремы ГАГА». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 175 : 109–142. arXiv : 1804.01976 . дои : 10.1016/j.matpur.2023.05.004. S2CID  119702436.
• Кульман, Ф.-В. (2001) [1994], «Принцип переноса», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Ниман, Амнон (2007). Алгебраическая и аналитическая геометрия. дои : 10.1017/CBO9780511800443. ISBN 9780511800443.
• Зайденберг, А. (1958). «Комментарии к принципу Лефшеца». Американский математический ежемесячник . 65 (9): 685–690. дои : 10.1080/00029890.1958.11991979. JSTOR  2308709.
• Хартсхорн, Робин (1970). Обильные подмногообразия алгебраических многообразий. Конспект лекций по математике. Том. 156. дои : 10.1007/BFb0067839. ISBN 978-3-540-05184-8.
• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия. Тексты для аспирантов по математике. Том. 52. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. МР  0463157. S2CID  197660097. Збл  0367.14001.
• Хартшорн, Робин (2010). «Деформации первого порядка». Теория деформации. Тексты для аспирантов по математике. Том. 257. стр. 5–44. дои : 10.1007/978-1-4419-1596-2_2. ISBN 978-1-4419-1595-5.
• Кавамата, Юджиро; Мацуда, Кацуми; Мацуки, Кендзи (1987). «Введение в задачу минимальной модели». Алгебраическая геометрия, Сендай, 1985. стр. 283–360. дои : 10.2969/aspm/01010283. ISBN 978-4-86497-068-6.
• Реммерт, Р. (1994). «Локальная теория комплексных пространств». Несколько комплексных переменных VII. Энциклопедия математических наук. Том. 74. стр. 7–96. дои : 10.1007/978-3-662-09873-8_2. ISBN 978-3-642-08150-7.
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Faisceaux algébriques cohérents» (PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915, JSTOR  1969915, MR  0068874
• Серр, Жан-Пьер (1956). «Алгебрическая и аналитическая геометрия». Анналы Института Фурье (на французском языке). 6 : 1–42. дои : 10.5802/aif.59 . ISSN  0373-0956. МР  0082175.
• Тейлор, Джозеф Л. (2002). Несколько комплексных переменных, связанных с алгебраической геометрией и группами Ли . Американское математическое соц. ISBN 9780821831786.

Внешние ссылки

• Киран Кедлая. 18.726 Алгебраическая геометрия (LEC № 30–33 GAGA), весна 2009 г. Массачусетский технологический институт: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .