Теория Черна–Саймонса

Трехмерная топологическая квантовая теория поля, действие которой представляет собой форму Черна–Саймонса

Теория Черна–Саймонса — это 3-мерная топологическая квантовая теория поля типа Шварца , разработанная Эдвардом Виттеном . Впервые она была открыта математическим физиком Альбертом Шварцем . Она названа в честь математиков Шиин-Шен Черна и Джеймса Харриса Саймонса , которые ввели 3-форму Черна–Саймонса . В теории Черна–Саймонса действие пропорционально интегралу 3-формы Черна–Саймонса.

В физике конденсированного состояния теория Черна–Саймонса описывает топологический порядок в дробных квантовых состояниях эффекта Холла . В математике она использовалась для вычисления инвариантов узлов и инвариантов трехмерных многообразий, таких как полином Джонса . ^[1]

В частности, теория Черна–Саймонса определяется выбором простой группы Ли G, известной как калибровочная группа теории, а также числа, называемого уровнем теории , который является константой, умножающей действие. Действие зависит от калибровки, однако статистическая сумма квантовой теории хорошо определена , когда уровень является целым числом, а напряженность калибровочного поля исчезает на всех границах трехмерного пространства-времени.

Это также центральный математический объект в теоретических моделях для топологических квантовых компьютеров (TQC). В частности, теория Черна–Саймонса SU(2) описывает простейшую неабелеву анионную модель TQC, модель Янга–Ли–Фибоначчи. ^{[2] [3]}

Динамика теории Черна–Саймонса на двумерной границе трехмерного многообразия тесно связана с правилами слияния и конформными блоками в конформной теории поля , и в частности с теорией WZW . ^{[1] [4]}

Классическая теория

Математическое происхождение

В 1940-х годах С. С. Черн и А. Вейль изучали глобальные свойства кривизны гладких многообразий M как когомологий де Рама ( теория Черна–Вейля ), что является важным шагом в теории характеристических классов в дифференциальной геометрии . Для заданного плоского G - главного расслоения P на M существует единственный гомоморфизм, называемый гомоморфизмом Черна–Вейля , из алгебры G -присоединенных инвариантных многочленов на g (алгебры Ли G ) в когомологии . Если инвариантный многочлен однороден, можно конкретно записать любую k -форму замкнутой связности ω как некоторую 2 k -форму ассоциированной формы кривизны Ω связности ω . ${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {R} )}$

В 1974 году С. С. Черн и Дж. Х. Саймонс конкретно построили (2 k  − 1)-форму df ( ω ) такую, что

${\displaystyle dTf(\omega )=f(\Omega ^{k}),}$

где T — гомоморфизм Черна–Вейля. Эта форма называется формой Черна–Саймонса . Если df ( ω ) замкнута, можно проинтегрировать приведенную выше формулу

${\displaystyle Tf(\omega )=\int _{C}f(\Omega ^{k}),}$

где C — (2 k  − 1)-мерный цикл на M . Этот инвариант называется инвариантом Черна–Саймонса . Как указано во введении к статье Черна–Саймонса, инвариант Черна–Саймонса CS( M ) — это граничный член, который не может быть определен никакой чистой комбинаторной формулировкой. Его также можно определить как

${\displaystyle \operatorname {CS} (M)=\int _{s(M)}{\tfrac {1}{2}}Tp_{1}\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,}$

где — первое число Понтрягина, а s ( M ) — сечение нормального ортогонального расслоения P. Более того, член Черна–Саймонса описывается как эта-инвариант, определенный Атья, Патоди и Сингером. ${\displaystyle p_{1}}$

Калибровочная инвариантность и метрическая инвариантность могут рассматриваться как инвариантность относительно действия присоединенной группы Ли в теории Черна–Вейля. Интеграл действия ( интеграл по траекториям ) теории поля в физике рассматривается как интеграл Лагранжа формы Черна–Саймонса и петли Вильсона, голономии векторного расслоения на M. Это объясняет, почему теория Черна–Саймонса тесно связана с топологической теорией поля .

Конфигурации

Теории Черна–Саймонса могут быть определены на любом топологическом 3-многообразии M , с границей или без нее. Поскольку эти теории являются топологическими теориями типа Шварца, на M не требуется вводить метрику .

Теория Черна–Саймонса является калибровочной теорией , что означает, что классическая конфигурация в теории Черна–Саймонса на M с калибровочной группой G описывается главным G -расслоением на M. Связность этого расслоения характеризуется связностью 1-формы A , которая оценивается в алгебре Ли g группы Ли G. В общем случае связность A определена только на отдельных координатных участках , а значения A на различных участках связаны отображениями, известными как калибровочные преобразования . Они характеризуются утверждением, что ковариантная производная , которая является суммой оператора внешней производной d и связности A , преобразуется в присоединенном представлении калибровочной группы G. Квадрат ковариантной производной с самим собой можно интерпретировать как g -значную 2-форму F, называемую формой кривизны или напряженностью поля . Она также преобразуется в присоединенном представлении.

Динамика

Действие S теории Черна–Саймонса пропорционально интегралу 3-формы Черна– Саймонса

${\displaystyle S={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}{\text{tr}}\,(A\wedge dA+{\tfrac {2}{3}}A\wedge A\wedge A).}$

Константа k называется уровнем теории. Классическая физика теории Черна–Саймонса не зависит от выбора уровня k .

Классически система характеризуется ее уравнениями движения, которые являются экстремумами действия по отношению к вариациям поля A. В терминах кривизны поля

${\displaystyle F=dA+A\wedge A\,}$

уравнение поля явно

${\displaystyle 0={\frac {\delta S}{\delta A}}={\frac {k}{2\pi }}F.}$

Классические уравнения движения, таким образом, выполняются тогда и только тогда, когда кривизна везде равна нулю, в этом случае говорят, что связность является плоской . Таким образом, классические решения теории Черна–Саймонса G являются плоскими связностями главных G -расслоений на M. Плоские связности определяются исключительно голономиями вокруг нестягиваемых циклов на базе M. Точнее, они находятся во взаимно однозначном соответствии с классами эквивалентности гомоморфизмов из фундаментальной группы M в калибровочную группу G с точностью до сопряжения.

Если M имеет границу N, то имеются дополнительные данные, описывающие выбор тривиализации главного G -расслоения на N. Такой выбор характеризует отображение из N в G. Динамика этого отображения описывается моделью Весса–Зумино–Виттена (WZW) на N на уровне k .

Квантование

Для канонического квантования теории Черна–Саймонса определяется состояние на каждой 2-мерной поверхности Σ в M. Как и в любой квантовой теории поля, состояния соответствуют лучам в гильбертовом пространстве . В топологической теории поля типа Шварца нет предпочтительного понятия времени, поэтому можно потребовать, чтобы Σ была поверхностью Коши , на самом деле состояние можно определить на любой поверхности.

Σ имеет коразмерность один, и поэтому можно разрезать M вдоль Σ. После такого разрезания M будет многообразием с границей, и, в частности, классически динамика Σ будет описываться моделью WZW. Виттен показал, что это соответствие сохраняется даже в квантовой механике. Точнее, он продемонстрировал, что гильбертово пространство состояний всегда конечномерно и может быть канонически отождествлено с пространством конформных блоков модели G WZW на уровне k.

Например, когда Σ является 2-сферой, это гильбертово пространство одномерно, и поэтому существует только одно состояние. Когда Σ является 2-тором, состояния соответствуют интегрируемым представлениям аффинной алгебры Ли, соответствующей g на уровне k. Характеристика конформных блоков в более высоких родах не является необходимой для решения Виттеном теории Черна–Саймонса.

Наблюдаемые

петли Уилсона

Наблюдаемыми в теории Черна – Саймонса являются n -точечные корреляционные функции калибровочно-инвариантных операторов. Наиболее часто изучаемым классом калибровочно-инвариантных операторов являются петли Вильсона . Петля Вильсона — это голономия вокруг петли в M , прослеживаемая в заданном представлении R группы G . Поскольку нас будут интересовать произведения петель Вильсона, без потери общности мы можем ограничить наше внимание неприводимыми представлениями R .

Более конкретно, учитывая неприводимое представление R и петлю K в M , можно определить петлю Вильсона следующим образом: ${\displaystyle W_{R}(K)}$

${\displaystyle W_{R}(K)=\operatorname {Tr} _{R}\,{\mathcal {P}}\exp \left(i\oint _{K}A\right)}$

где A — это 1-форма связи, и мы берем главное значение Коши контурного интеграла , а — упорядоченная по траектории экспонента . ${\displaystyle {\mathcal {P}}\exp }$

HOMFLY и полиномы Джонса

Рассмотрим связь L в M , которая является набором ℓ непересекающихся петель. Особенно интересной наблюдаемой является ℓ -точечная корреляционная функция, образованная из произведения петель Вильсона вокруг каждой непересекающейся петли, каждая из которых прослеживается в фундаментальном представлении G. Можно сформировать нормализованную корреляционную функцию , разделив эту наблюдаемую на функцию распределения Z ( M ), которая является просто 0-точечной корреляционной функцией.

В частном случае, когда M является 3-сферой, Виттен показал, что эти нормализованные корреляционные функции пропорциональны известным полиномам узлов . Например, в теории Черна–Саймонса G  =  U ( N ) на уровне k нормализованная корреляционная функция с точностью до фазы равна

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi /(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))}}}$

умножить на полином HOMFLY . В частности, когда N  = 2, полином HOMFLY сводится к полиному Джонса . В случае SO( N ) можно найти похожее выражение с полиномом Кауфмана .

Фазовая неоднозначность отражает тот факт, что, как показал Виттен, квантовые корреляционные функции не полностью определяются классическими данными. Число зацепления петли с самой собой входит в расчет статистической суммы, но это число не является инвариантом относительно малых деформаций и, в частности, не является топологическим инвариантом. Это число можно сделать хорошо определенным, если выбрать обрамление для каждой петли, которое представляет собой выбор предпочтительного ненулевого вектора нормали в каждой точке, вдоль которой деформируется петля для вычисления ее числа самозацепления. Эта процедура является примером процедуры регуляризации точечного расщепления , введенной Полем Дираком и Рудольфом Пайерлсом для определения явно расходящихся величин в квантовой теории поля в 1934 году.

Сэр Майкл Атья показал, что существует канонический выбор 2-оснащения, ^[5] , который обычно используется в современной литературе и приводит к четко определенному числу зацепления. С каноническим оснащением указанная выше фаза является экспонентой 2π i /( k  +  N ) умноженной на число зацепления L с самим собой.

Задача (Расширение многочлена Джонса на общие 3-многообразия)　

«Исходный многочлен Джонса был определен для 1-связей в 3-сфере (3-шар, 3-пространство R3). Можете ли вы определить многочлен Джонса для 1-связей в любом 3-многообразии?»

См. раздел 1.1 этой статьи ^[6] для предыстории и истории этой проблемы. Кауффман представил решение в случае произведения многообразия замкнутой ориентированной поверхности и замкнутого интервала, введя виртуальные 1-узлы. ^[7] Оно открыто в других случаях. Интеграл путей Виттена для полинома Джонса формально записан для связей в любом компактном 3-многообразии, но исчисление не сделано даже на физическом уровне в любом случае, кроме 3-сферы (3-шар, 3-пространство R ³ ). Эта проблема также открыта на физическом уровне. В случае полинома Александера эта проблема решена.

Связь с другими теориями

Топологические теории струн

В контексте теории струн теория Черна–Саймонса U ( N ) на ориентированном лагранжевом 3-подмногообразии M 6-многообразия X возникает как струнная полевая теория открытых струн, заканчивающихся на D-бране, оборачивающей X в топологической теории струн A-модели на X. Топологическая открытая струнная полевая теория B -модели на заполняющем пространство мировом объеме стека D5-бран является 6-мерным вариантом теории Черна–Саймонса, известным как голоморфная теория Черна–Саймонса.

WZW и матричные модели

Теории Черна–Саймонса связаны со многими другими теориями поля. Например, если рассмотреть теорию Черна–Саймонса с калибровочной группой G на многообразии с границей, то все 3-мерные распространяющиеся степени свободы могут быть откалиброваны, оставив двумерную конформную теорию поля, известную как модель G Весса–Зумино–Виттена на границе. Кроме того, теории Черна–Саймонса U ( N ) и SO( N ) при больших N хорошо аппроксимируются матричными моделями .

Теория гравитации Черна-Саймонса

В 1982 году С. Дезер , Р. Джекив и С. Темплтон предложили теорию гравитации Черна–Саймонса в трех измерениях, в которой действие Эйнштейна–Гильберта в теории гравитации модифицировано путем добавления члена Черна–Саймонса. (Deser, Jackiw & Templeton (1982))

В 2003 году Р. Джекив и С. Ю. Пи расширили эту теорию до четырех измерений (Jackiw & Pi (2003)), и теория гравитации Черна–Саймонса оказала значительное влияние не только на фундаментальную физику, но и на теорию конденсированного состояния и астрономию.

Четырехмерный случай очень похож на трехмерный. В трех измерениях гравитационный член Черна-Саймонса равен

${\displaystyle \operatorname {CS} (\Gamma )={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int d^{3}x\varepsilon ^{ijk}{\biggl (}\Gamma _{iq}^{p}\partial _{j}\Gamma _{kp}^{q}+{\frac {2}{3}}\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jr}^{q}\Gamma _{kp}^{r}{\biggr )}.}$

Эта вариация дает тензор Коттона

${\displaystyle =-{\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}{\bigl (}\varepsilon ^{mij}D_{i}R_{j}^{n}+\varepsilon ^{nij}D_{i}R_{j}^{m}).}$

Затем выполняется модификация Черна–Саймонса трехмерной гравитации путем добавления вышеуказанного тензора Коттона к уравнению поля, которое может быть получено как вакуумное решение путем варьирования действия Эйнштейна–Гильберта.

Теории материи Черна-Саймонса

В 2013 году Кеннет А. Интрилигатор и Натан Зайберг решили эти 3d калибровочные теории Черна–Саймонса и их фазы, используя монополи, несущие дополнительные степени свободы. Индекс Виттена многих обнаруженных вакуумов был вычислен путем компактификации пространства путем включения массовых параметров и последующего вычисления индекса. В некоторых вакуумах было вычислено нарушение суперсимметрии . Эти монополи были связаны с вихрями конденсированной материи . (Intriligator & Seiberg (2013))

Теория материи Черна–Саймонса с N =  6 является голографическим дуалом М-теории на . ${\displaystyle AdS_{4}\times S_{7}}$

Четырехмерная теория Черна–Саймонса

В 2013 году Кевин Костелло определил тесно связанную теорию, определенную на четырехмерном многообразии, состоящем из произведения двумерной «топологической плоскости» и двумерной (или одной комплексной размерной) комплексной кривой. ^[8] Позднее он более подробно изучил эту теорию вместе с Виттеном и Масахито Ямазаки, ^{[9] [10] [11]} продемонстрировав, как калибровочная теория может быть связана со многими понятиями в теории интегрируемых систем , включая точно решаемые решеточные модели (такие как модель с шестью вершинами или спиновая цепочка XXZ ), интегрируемые квантовые теории поля (такие как модель Гросса–Невё , главная хиральная модель и симметричные пространственные косетные сигма-модели ), уравнение Янга–Бакстера и квантовые группы, такие как янгиан , которые описывают симметрии, лежащие в основе интегрируемости вышеупомянутых систем.

Действие на 4-многообразии , где — двумерное многообразие, а — комплексная кривая, равно , где — мероморфная форма на . ${\displaystyle M=\Sigma \times C}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle S=\int _{M}\omega \wedge CS(A)}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle C}$

Термины Черна–Саймонса в других теориях

Член Черна–Саймонса также может быть добавлен к моделям, которые не являются топологическими квантовыми теориями поля. В 3D это приводит к появлению массивного фотона , если этот член добавляется к действию теории электродинамики Максвелла . Этот член может быть вызван интегрированием по массивному заряженному полю Дирака . Он также появляется, например, в квантовом эффекте Холла . Добавление члена Черна–Саймонса к различным теориям приводит к решениям типа вихря или солитона ^{[12] [13]} Десятимерные и одиннадцатимерные обобщения членов Черна–Саймонса появляются в действиях всех десятимерных и одиннадцатимерных теорий супергравитации .

Однопетлевая перенормировка уровня

Если добавить материю к калибровочной теории Черна–Саймонса, то, в общем случае, она уже не будет топологической. Однако, если добавить n фермионов Майораны , то из-за аномалии четности при интегрировании они приведут к чистой теории Черна–Саймонса с однопетлевой перенормировкой уровня Черна–Саймонса на − n /2, другими словами, теория уровня k с n фермионами эквивалентна теории уровня k  −  n /2 без фермионов.

Смотрите также

• Калибровочная теория (математика)
• Форма Черна–Саймонса
• Топологическая квантовая теория поля
• многочлен Александера
• полином Джонса
• 2+1D топологическая гравитация
• Скирмион

Ссылки

• Артур, К.; Чракян, ДХ; И.-С., Янг (1996). «Топологические и нетопологические самодуальные солитоны Черна-Саймонса в калиброванной модели O(3) сигма». Physical Review D. 54 ( 8): 5245–5258. Bibcode : 1996PhRvD..54.5245A. doi : 10.1103/PhysRevD.54.5245. PMID  10021215.
• Черн, С.-С. и Саймонс, Дж. (1974). «Характерные формы и геометрические инварианты». Annals of Mathematics . 99 (1): 48–69. doi :10.2307/1971013. JSTOR  1971013.
• Deser, Stanley; Jackiw, Roman; Templeton, S. (1982). "Трехмерные массивные калибровочные теории" (PDF) . Physical Review Letters . 48 (15): 975–978. Bibcode :1982PhRvL..48..975D. doi :10.1103/PhysRevLett.48.975. S2CID  122537043.
• Intriligator, Kenneth; Seiberg, Nathan (2013). "Аспекты 3d N  = 2 теорий материи Черна–Саймонса". Журнал физики высоких энергий . 2013 : 79. arXiv : 1305.1633 . Bibcode : 2013JHEP...07..079I. doi : 10.1007/JHEP07(2013)079. S2CID  119106931.
• Jackiw, Roman ; Pi, S.-Y (2003). "Модификация общей теории относительности Черна–Саймонса". Physical Review D . 68 (10): 104012. arXiv : gr-qc/0308071 . Bibcode :2003PhRvD..68j4012J. doi :10.1103/PhysRevD.68.104012. S2CID  2243511.
• Kulshreshtha, Usha; Kulshreshtha, DS; Mueller-Kirsten, HJW; Vary, JP (2009). "Гамильтониан, интеграл по траектории и BRST-формулировки теории Черна-Саймонса-Хиггса при соответствующей фиксации калибровки". Physica Scripta . 79 (4): 045001. Bibcode :2009PhyS...79d5001K. doi :10.1088/0031-8949/79/04/045001. S2CID  120594654.
• Kulshreshtha, Usha; Kulshreshtha, DS; Vary, JP (2010). "Гамильтониан на световом фронте, интеграл по траектории и BRST-формулировки теории Черна-Саймонса-Хиггса при соответствующей фиксации калибровки". Physica Scripta . 82 (5): 055101. Bibcode :2010PhyS...82e5101K. doi :10.1088/0031-8949/82/05/055101. S2CID  54602971.
• Лопес, Ана; Фрадкин, Эдуардо (1991). «Дробный квантовый эффект Холла и калибровочные теории Черна-Саймонса». Physical Review B. 44 ( 10): 5246–5262. Bibcode : 1991PhRvB..44.5246L. doi : 10.1103/PhysRevB.44.5246. PMID  9998334.
• Марино, Маркос (2005). «Теория Черна–Саймонса и топологические струны». Reviews of Modern Physics . 77 (2): 675–720. arXiv : hep-th/0406005 . Bibcode :2005RvMP...77..675M. doi :10.1103/RevModPhys.77.675. S2CID  6207500.
• Марино, Маркос (2005). Теория Черна–Саймонса, матричные модели и топологические струны . Международная серия монографий по физике. Oxford University Press .
• Виттен, Эдвард (1988). «Топологическая квантовая теория поля». Сообщения по математической физике . 117 (3): 353–386. Bibcode : 1988CMaPh.117..353W. doi : 10.1007/BF01223371. S2CID  43230714.
• Виттен, Эдвард (1995). «Теория Черна–Саймонса как теория струн». Progress in Mathematics . 133 : 637–678. arXiv : hep-th/9207094 . Bibcode :1992hep.th....7094W.

Специфический

1. Witten, Edward (1989). "Квантовая теория поля и многочлен Джонса". Communications in Mathematical Physics . 121 (3): 351–399. Bibcode :1989CMaPh.121..351W. doi :10.1007/BF01217730. MR  0990772. S2CID  14951363.
2. Фридман, Майкл Х.; Китаев, Алексей; Ларсен, Майкл Дж.; Ван, Чжэнхань (2002-09-20). «Топологические квантовые вычисления». arXiv : quant-ph/0101025 .
3. Ван, Чжэнхань. «Топологическое квантовое вычисление» (PDF) .
4. Элицур, Шмуэль; Мур, Грегори; Швиммер, Адам; Зайберг, Натан (30 октября 1989 г.). «Замечания о каноническом квантовании теории Черна-Саймонса-Виттена». Nuclear Physics B. 326 ( 1): 108–134. Bibcode : 1989NuPhB.326..108E. doi : 10.1016/0550-3213(89)90436-7.
5. Атья, Майкл (1990). «О построении 3-многообразий». Топология . 29 (1): 1–7. doi :10.1016/0040-9383(90)90021-b. ISSN  0040-9383.
6. Кауфман, Л. Х.; Огаса, Э.; Шнайдер, Дж. (2018). «Прядильная конструкция для виртуальных 1-узлов и 2-узлов, а также поволоконная и сварная эквивалентность виртуальных 1-узлов». arXiv : 1808.03023 [math.GT].
7. Кауфман, Л. Э. (1998). «Теория виртуальных узлов». arXiv : math/9811028 .
8. Костелло, Кевин (2013). «Суперсимметричная калибровочная теория и янгиан». arXiv : 1303.2632 [hep-th].
9. Костелло, Кевин; Виттен, Эдвард; Ямазаки, Масахито (2018). «Калибровочная теория и интегрируемость, I». Notices of the International Congress of Chinese Mathematicians . 6 (1): 46–119. arXiv : 1709.09993 . doi : 10.4310/ICCM.2018.v6.n1.a6.
10. Костелло, Кевин; Виттен, Эдвард; Ямазаки, Масахито (2018). «Калибровочная теория и интегрируемость, II». Notices of the International Congress of Chinese Mathematicians . 6 (1): 120–146. arXiv : 1802.01579 . doi : 10.4310/ICCM.2018.v6.n1.a7. S2CID  119592177.
11. Костелло, Кевин; Ямазаки, Масахито (2019). «Калибровочная теория и интегрируемость, III». arXiv : 1908.02289 [hep-th].
12. Ким, Сонгтаг; Ким, Юнбай (2002). «Самодвойственные вихри Черна–Саймонса на римановых поверхностях». Журнал математической физики . 43 (5): 2355–2362. arXiv : math-ph/0012045 . Bibcode :2002JMP....43.2355K. doi :10.1063/1.1471365. S2CID  9916364.
13. Наварро-Лерида, Франциско; Раду, Эуген; Чракян, ДХ (2017). «Влияние динамики Черна-Саймонса на энергию электрически заряженных и вращающихся вихрей». Physical Review D. 95 ( 8): 085016. arXiv : 1612.05835 . Bibcode : 2017PhRvD..95h5016N. doi : 10.1103/PhysRevD.95.085016. S2CID  62882649.

Внешние ссылки

• «Функционал Черна-Саймонса». Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].