Теория колец

В алгебре теория колец — это изучение колец ^[1] — алгебраических структур , в которых определены сложение и умножение и которые имеют свойства, аналогичные тем операциям, которые определены для целых чисел . Теория колец изучает структуру колец, их представления или, на другом языке, модули , специальные классы колец ( групповые кольца , тела , универсальные обертывающие алгебры ), а также ряд свойств, которые оказались интересными как внутри сама теория и ее приложения, такие как гомологические свойства и полиномиальные тождества .

Коммутативные кольца изучены гораздо лучше, чем некоммутативные. Алгебраическая геометрия и алгебраическая теория чисел , которые предоставляют множество естественных примеров коммутативных колец, во многом способствовали развитию коммутативной теории колец, которая теперь под названием коммутативная алгебра является основной областью современной математики. Поскольку эти три области (алгебраическая геометрия, алгебраическая теория чисел и коммутативная алгебра) настолько тесно связаны, обычно трудно и бессмысленно решить, к какой области принадлежит конкретный результат. Например, Nullstellensatz Гильберта — это фундаментальная теорема для алгебраической геометрии, которая формулируется и доказывается в терминах коммутативной алгебры. Точно так же Великая теорема Ферма формулируется в терминах элементарной арифметики , которая является частью коммутативной алгебры, но ее доказательство включает в себя глубокие результаты как алгебраической теории чисел, так и алгебраической геометрии.

Некоммутативные кольца совершенно разные по вкусу, поскольку может возникнуть более необычное поведение. Хотя теория развивалась сама по себе, довольно недавняя тенденция стремилась параллельно коммутативному развитию путем построения теории определенных классов некоммутативных колец геометрическим способом, как если бы они были кольцами функций на (несуществующих) «некоммутативных кольцах». пространства». Эта тенденция началась в 1980-х годах с развитием некоммутативной геометрии и открытием квантовых групп . Это привело к лучшему пониманию некоммутативных колец, особенно некоммутативных нётеровых колец . ^[2]

Определения кольца, основных понятий и их свойств см. в разделе « Кольцо (математика)» . Определения терминов, используемых в теории колец, можно найти в Глоссарии теории колец .

Коммутативные кольца

Кольцо называется коммутативным, если его умножение коммутативно . Коммутативные кольца напоминают знакомые системы счисления, а различные определения коммутативных колец предназначены для формализации свойств целых чисел . Коммутативные кольца также важны в алгебраической геометрии . В коммутативной теории колец числа часто заменяются идеалами , а определение простого идеала пытается уловить суть простых чисел . Целочисленные области , нетривиальные коммутативные кольца, в которых никакие два ненулевых элемента не умножаются до нуля, обобщают другое свойство целых чисел и служат подходящей областью для изучения делимости. Области главных идеалов — это целые области, в которых каждый идеал может быть порожден одним элементом — еще одним свойством, общим для целых чисел. Евклидовы области — это целые области, в которых может быть реализован алгоритм Евклида . Важные примеры коммутативных колец можно построить как кольца полиномов и их факторкольца. Резюме: Евклидова область ⊂ область главных идеалов ⊂ область уникальной факторизации ⊂ область целостности ⊂ коммутативное кольцо .

Алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия во многом является зеркальным отражением коммутативной алгебры. Это соответствие началось с Nullstellensatz Гильберта , который устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками алгебраического многообразия и максимальными идеалами его координатного кольца . Это соответствие было расширено и систематизировано для перевода (и доказательства) большинства геометрических свойств алгебраических многообразий в алгебраические свойства ассоциированных коммутативных колец. Александр Гротендик завершил это, представив схемы — обобщение алгебраических многообразий, которые можно построить из любого коммутативного кольца. Точнее, спектр коммутативного кольца — это пространство его простых идеалов, снабженное топологией Зарисского и дополненное пучком колец . Этими объектами являются «аффинные схемы» (обобщение аффинных многообразий ), а общая схема получается тогда «склейкой» (чисто алгебраическими методами) нескольких таких аффинных схем по аналогии со способом построения многообразия путем склейки. схемы атласа .

Некоммутативные кольца

Некоммутативные кольца во многом напоминают кольца матриц . Следуя модели алгебраической геометрии , недавно были предприняты попытки определить некоммутативную геометрию на основе некоммутативных колец. Некоммутативные кольца и ассоциативные алгебры (кольца, которые также являются векторными пространствами ) часто изучаются через категории модулей. Модуль над кольцом — это абелева группа , на которой кольцо действует как кольцо эндоморфизмов , что очень похоже на то, как поля ( области целостности, в которых каждый ненулевой элемент обратим) действуют на векторные пространства. Примерами некоммутативных колец являются кольца квадратных матриц или, в более общем плане, кольца эндоморфизмов абелевых групп или модулей, а также кольца моноидов .

Теория представлений

Теория представлений — это раздел математики , который в значительной степени опирается на некоммутативные кольца. Он изучает абстрактные алгебраические структуры , представляя их элементы как линейные преобразования векторных пространств , и изучает модули над этими абстрактными алгебраическими структурами. По сути, представление делает абстрактный алгебраический объект более конкретным, описывая его элементы с помощью матриц и алгебраических операций в терминах сложения и умножения матриц , что не является коммутативным. К алгебраическим объектам, поддающимся такому описанию, относятся группы , ассоциативные алгебры и алгебры Ли . Наиболее известной из них (и исторически первой) является теория представлений групп , в которой элементы группы представляются обратимыми матрицами таким образом, что групповая операция представляет собой умножение матриц.

Некоторые соответствующие теоремы

Общий

Структурные теоремы

Теорема Артина – Веддерберна определяет структуру полупростых колец.
Теорема плотности Джекобсона определяет структуру примитивных колец.
Теорема Голди определяет структуру полупервичных колец Голди.
Теорема Зарисского–Самуэля определяет структуру коммутативного кольца главных идеалов.
Теорема Хопкинса – Левицкого дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы нётерово кольцо было артиновым.
Теория Морита состоит из теорем, определяющих, когда два кольца имеют «эквивалентные» категории модулей.
Теорема Картана – Брауэра – Хуа дает представление о структуре тел.
Маленькая теорема Веддерберна утверждает, что конечные области являются полями.

Другой

Теорема Скулема –Нётер характеризует автоморфизмы простых колец.

Структуры и инварианты колец

Размерность коммутативного кольца

В этом разделе R обозначает коммутативное кольцо. Размерность Крулля R есть верхняя грань длин n всех цепочек простых идеалов . Оказывается, кольцо многочленов над полем k имеет размерность n . Основная теорема теории размерности утверждает, что для нётерова локального кольца совпадают следующие числа : ^[3] ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ $k[t_{1},\cdots ,t_{n}]$ $(R,{\mathfrak {m}})$

Размерность Крулля R .
Минимальное число образующих -первичных идеалов. ${\mathfrak {m}}$
Размерность градуированного кольца (эквивалентно 1 плюс степень его многочлена Гильберта ). $\textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m}}^{k+1}}$

Коммутативное кольцо R называется цепным, если для каждой пары простых идеалов существует конечная цепочка простых идеалов , максимальная в том смысле, что невозможно вставить дополнительный простой идеал между двумя идеалами в цепочке, и все такие максимальные цепи между и имеют одинаковую длину. Практически все нётеровы кольца, встречающиеся в приложениях, являются цепными. Рэтлифф доказал, что нётерова локальная область целостности R является цепной тогда и только тогда , когда для каждого простого идеала ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}'$ ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}'$ ${\mathfrak {p}}$

\operatorname {dim} R=\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}+\operatorname {dim} R/{\mathfrak {p}}

где высота . ^[4] $\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$

Если R — область целостности, являющаяся конечно порожденной k -алгеброй, то ее размерность — это степень трансцендентности ее поля частных над k . Если S — целое расширение коммутативного кольца R , то S и R имеют одинаковую размерность.

Тесно связанными понятиями являются понятия глубины и глобального измерения . В общем, если R — нётерово локальное кольцо, то глубина R меньше или равна размерности R. Когда равенство выполняется, R называется кольцом Коэна – Маколея . Регулярное локальное кольцо является примером кольца Коэна – Маколея. Это теорема Серра, что R является регулярным локальным кольцом тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность и в этом случае глобальная размерность является размерностью Крулля кольца R . Значение этого состоит в том, что глобальное измерение является гомологическим понятием.

Эквивалентность Морита

Два кольца R , S называются Морита-эквивалентными, если категория левых модулей над R эквивалентна категории левых модулей над S. Фактически, два коммутативных кольца, эквивалентные по Морита, должны быть изоморфны, поэтому это понятие не добавляет ничего нового в категорию коммутативных колец. Однако коммутативные кольца могут быть Морита-эквивалентны некоммутативным кольцам, поэтому эквивалентность Морита грубее изоморфизма. Эквивалентность Морита особенно важна в алгебраической топологии и функциональном анализе.

Конечно порожденный проективный модуль над кольцом и группой Пикара

Пусть R — коммутативное кольцо и множество классов изоморфизма конечно порожденных проективных модулей над R ; пусть также подмножества, состоящие из множеств постоянного ранга n . (Ранг модуля M — непрерывная функция [ ^5] ) обычно обозначается Pic( R ). Это абелева группа, называемая группой Пикара R . ^[6] Если R — область целостности с полем частных F из R , то существует точная последовательность групп: ^[7] $\mathbf {P} (R)$ $\mathbf {P} _{n}(R)$ $\operatorname {Spec} R\to \mathbb {Z} ,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \dim M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})$ $\mathbf {P} _{1}(R)$

1\to R^{*}\to F^{*}{\overset {f\mapsto fR}{\to }}\operatorname {Cart} (R)\to \operatorname {Pic} (R)\to 1

где – множество дробных идеалов R . Если R — регулярная область ( т . е. регулярна в любом простом идеале), то Pic(R) — это в точности группа классов дивизоров R . ^[8] $\operatorname {Cart} (R)$

Например, если R — область главных идеалов, то Pic( R ) обращается в нуль. В теории алгебраических чисел R будет считаться кольцом целых чисел , которое является дедекиндовым и, следовательно, регулярным. Отсюда следует, что Pic( R ) — конечная группа ( конечность числа классов ), которая измеряет отклонение кольца целых чисел от PID.

Можно также рассмотреть групповое пополнение ; это приводит к коммутативному кольцу K ₀ (R). Заметим, что K ₀ (R) = K ₀ (S), если два коммутативных кольца R , S эквивалентны по Морита. $\mathbf {P} (R)$

Структура некоммутативных колец

Строение некоммутативного кольца сложнее, чем у коммутативного. Например, существуют простые кольца, которые не содержат нетривиальных собственных (двусторонних) идеалов, но содержат нетривиальные собственные левые или правые идеалы. Для коммутативных колец существуют различные инварианты, тогда как инварианты некоммутативных колец найти трудно. Например, нильрадикал кольца , набора всех нильпотентных элементов, не обязательно является идеалом, если только кольцо не коммутативно. В частности, множество всех нильпотентных элементов в кольце всех матриц размера n × n над телом никогда не образует идеал, независимо от выбранного тела. Однако существуют аналоги нильрадикала, определенные для некоммутативных колец, которые совпадают с нильрадикалом, когда предполагается коммутативность.

Понятие о радикале Джекобсона кольца; то есть пересечение всех правых (левых) аннуляторов простых правых (левых) модулей над кольцом является одним из примеров. Тот факт, что радикал Джекобсона можно рассматривать как пересечение всех максимальных правых (левых) идеалов в кольце, показывает, как внутренняя структура кольца отражается его модулями. Также фактом является то, что пересечение всех максимальных правых идеалов в кольце совпадает с пересечением всех максимальных левых идеалов в кольце в контексте всех колец; независимо от того, коммутативно ли кольцо.

Некоммутативные кольца являются активной областью исследований из-за их повсеместного распространения в математике. Например, кольцо матриц размером n × n над полем некоммутативно, несмотря на его естественное появление в геометрии , физике и многих разделах математики. В более общем смысле кольца эндоморфизмов абелевых групп редко являются коммутативными, простейшим примером является кольцо эндоморфизмов четырехгруппы Клейна .

Одним из самых известных строго некоммутативных колец являются кватернионы .

Приложения

Кольцо целых чисел числового поля

Координатное кольцо алгебраического многообразия

Если X — аффинное алгебраическое многообразие , то множество всех регулярных функций на X образует кольцо, называемое координатным кольцом X. Для проективного многообразия существует аналогичное кольцо, называемое однородным координатным кольцом . Эти кольца, по сути, то же самое, что и разновидности: они соответствуют по существу уникальным образом. Это можно увидеть либо с помощью Nullstellensatz Гильберта, либо с помощью теоретико-схемных конструкций (т. е. Spec и Proj).

Кольцо инвариантов

Основной (и, возможно, самый фундаментальный) вопрос классической теории инвариантов — найти и изучить многочлены в кольце полиномов , которые инвариантны относительно действия конечной группы (или, в более общем смысле, редуктивной) G на V . Основным примером является кольцо симметричных многочленов : симметричные многочлены — это многочлены, которые инвариантны относительно перестановки переменной. Основная теорема о симметричных многочленах утверждает, что это кольцо находится там, где – элементарные симметричные многочлены. $k[V]$ $R[\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]$ $\sigma _{i}$

История

Коммутативная теория колец возникла из алгебраической теории чисел, алгебраической геометрии и теории инвариантов . Центральное место в развитии этих предметов занимали кольца целых чисел в полях алгебраических чисел и полях алгебраических функций, а также кольца многочленов от двух или более переменных. Некоммутативная теория колец началась с попыток распространить комплексные числа на различные гиперкомплексные системы счисления. Зарождение теорий коммутативных и некоммутативных колец относится к началу XIX века, а их зрелость достигла лишь в третьем десятилетии XX века.

Точнее, Уильям Роуэн Гамильтон выдвинул кватернионы и бикватернионы ; Джеймс Кокл представил тессарины и кокватернионы ; а Уильям Кингдон Клиффорд был энтузиастом расщепленных бикватернионов , которые он называл алгебраическими двигателями . Эти некоммутативные алгебры и неассоциативные алгебры Ли изучались в рамках универсальной алгебры до того, как предмет был разделен на отдельные типы математических структур . Одним из признаков реорганизации было использование прямых сумм для описания алгебраической структуры.

Различные гиперкомплексные числа были идентифицированы с помощью матричных колец Джозефом Веддерберном (1908) и Эмилем Артином (1928). Структурные теоремы Веддерберна были сформулированы для конечномерных алгебр над полем , а Артин обобщил их на артиновы кольца .

В 1920 году Эмми Нётер в сотрудничестве с В. Шмейдлером опубликовала работу о теории идеалов , в которой определили левый и правый идеалы в кольце . В следующем году она опубликовала знаковую статью под названием Idealtheorie in Ringbereichen , в которой анализировались условия восходящей цепи в отношении (математических) идеалов. Известный алгебраист Ирвинг Каплански назвал эту работу «революционной»; ^[9] публикация породила термин « нётерово кольцо », а также ряд других математических объектов, названных нётеровыми . ^[9]^[10]

Примечания

^ Теория колец может также включать в себя изучение rngs .
^ Гудирл и Варфилд (1989).
^ Мацумура 1989, Теорема 13.4.
^ Мацумура 1989, Теорема 31.4.
^ Weibel 2013, Глава I, Определение 2.2.3.
^ Weibel 2013, Определение перед предложением 3.2 в главе I.
^ Weibel 2013, Глава I, Предложение 3.5.
^ Weibel 2013, глава I, следствие 3.8.1.
^ ab Кимберлинг 1981, стр. 18.
^ Дик, Огюст (1981), Эмми Нётер: 1882–1935 , перевод Блохера, HI, Birkhäuser , ISBN 3-7643-3019-8, п. 44–45.