Теория возмущений

В математике и прикладной математике методы поиска приближенного решения задачи.

В математике и прикладной математике теория возмущений включает методы поиска приближенного решения проблемы, начиная с точного решения связанной, более простой проблемы. ^{[1] [2]} Важнейшей особенностью метода является средний шаг, который разбивает проблему на «разрешимую» и «пертурбативную» части. ^[3] В теории возмущений решение выражается в виде степенного ряда по малому параметру . ^{[1] [2]} Первый член — это известное решение решаемой задачи. Последовательные члены ряда при более высоких степенях обычно становятся меньше. Приближенное «решение для возмущений» получается путем усечения ряда, обычно сохраняя только первые два члена: решение известной проблемы и поправку на возмущение «первого порядка». ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Теория возмущений используется в широком диапазоне областей и достигает своих наиболее сложных и продвинутых форм в квантовой теории поля . Теория возмущений (квантовая механика) описывает использование этого метода в квантовой механике . В целом эта область по-прежнему активно и тщательно исследуется в различных дисциплинах.

Описание

Теория возмущений разрабатывает выражение искомого решения в терминах формального степенного ряда, известного как ряд возмущений , по некоторому «малому» параметру, который количественно определяет отклонение от точно решаемой задачи. Главный член этого степенного ряда — это решение точно решаемой задачи, а дальнейшие члены описывают отклонение решения из-за отклонения от исходной задачи. Формально для приближения к полному решению мы имеем ряд по малому параметру (здесь он называется ε ), например: ${\displaystyle \ A\ ,}$

${\displaystyle A\equiv A_{0}+\varepsilon ^{1}A_{1}+\varepsilon ^{2}A_{2}+\varepsilon ^{3}A_{3}+\cdots }$

В этом примере это будет известное решение точно решаемой исходной задачи, а члены представляют члены первого порядка , второго порядка , третьего порядка и высшего порядка , которые могут быть найдены итеративно с помощью механистического, но все более сложного метода. процедура. При малых значениях члены ряда более высокого порядка обычно (но не всегда) последовательно уменьшаются. Приблизительное «пертурбативное решение» получается путем усечения ряда, часто сохраняя только первые два члена, выражая окончательное решение как сумму начального (точного) решения и пертурбативной поправки «первого порядка». ${\displaystyle \ A_{0}\ }$ ${\displaystyle \ A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \ }$ ${\displaystyle \ \varepsilon \ }$

${\displaystyle A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}\qquad {\mathsf {for}}\qquad \varepsilon \to 0}$

Некоторые авторы используют обозначение большой буквы O для обозначения порядка ошибки в приближенном решении: ^[2] ${\displaystyle \;A=A_{0}+\varepsilon A_{1}+{\mathcal {O}}{\bigl (}\ \varepsilon ^{2}\ {\bigr )}~.}$

Если степенной ряд сходится с ненулевым радиусом сходимости, то задача возмущения называется регулярной задачей возмущения. ^[1] В регулярных задачах на возмущения асимптотическое решение плавно приближается к точному решению. ^[1] Однако ряд возмущений также может расходиться, и усеченный ряд все равно может быть хорошим приближением к истинному решению, если он усечен в точке, в которой его элементы минимальны. Это называется асимптотическим рядом . Если ряд возмущений расходится или не является степенным рядом (например, если асимптотическое разложение должно включать нецелые степени или отрицательные степени ), то задача возмущения называется задачей сингулярного возмущения . ^[1] Для анализа сингулярных задач возмущений в теории возмущений было разработано множество специальных методов. ^{[1] [2]} ${\displaystyle \ \varepsilon \ }$ ${\displaystyle \ \varepsilon ^{\left(1/2\right)}\ }$ ${\displaystyle \ \varepsilon ^{-2}\ }$

Прототипический пример

Самое раннее использование того, что сейчас было бы названо теорией возмущений , было связано с неразрешимыми иначе математическими проблемами небесной механики : например, орбита Луны , которая движется заметно иначе, чем простой кеплеровский эллипс , из-за конкурирующей гравитации Земли и гравитации. солнце . _ ^[4]

Методы возмущений начинаются с упрощенной формы исходной задачи, которая достаточно проста , чтобы ее можно было точно решить. В небесной механике это обычно кеплеровский эллипс . В условиях ньютоновской гравитации эллипс совершенно правильный, когда есть только два гравитирующих тела (скажем, Земля и Луна ) , но не совсем правильный, когда есть три или более объектов (скажем, Земля, Луна , Солнце и остальная часть тела). Солнечная система ) и не совсем корректно, когда гравитационное взаимодействие формулируется с использованием формулировок общей теории относительности .

Пертурбативное расширение

Помня приведенный выше пример, следуем общему рецепту получения ряда возмущений. Пертурбативное расширение создается путем добавления последовательных поправок к упрощенной задаче. Поправки получаются путем обеспечения согласованности между невозмущенным решением и уравнениями, полностью описывающими систему. Напишите для этого сборника уравнений; то есть пусть символ обозначает проблему, которую необходимо решить. Довольно часто это дифференциальные уравнения, поэтому и буква «Д». ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Процесс, как правило, механический, хотя и трудоемкий. Начинают с записи уравнений так, чтобы они разделялись на две части: некоторый набор уравнений , которые можно решить точно, и некоторую дополнительную оставшуюся часть для некоторого небольшого . Решение (для ) известно, и ищем общее решение для . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon D_{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon \ll 1}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle D_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D=D_{0}+\varepsilon D_{1}}$

Далее аппроксимация вставляется в . В результате получается уравнение для , которое в общем случае можно записать в замкнутом виде как сумма по интегралам по . Таким образом, получена поправка первого порядка и, следовательно, это хорошее приближение к . Это хорошее приближение именно потому, что игнорированные части имели размер . Затем процесс можно повторить для получения исправлений и так далее. ${\displaystyle A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon D_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$

На практике этот процесс быстро превращается в обилие терминов, которыми становится чрезвычайно трудно управлять вручную. Сообщается, что Исаак Ньютон сказал по поводу проблемы орбиты Луны : «От нее у меня болит голова». ^[5] Эта неуправляемость вынудила теорию возмущений превратиться в высокое искусство управления и записи этих членов более высокого порядка. Одним из фундаментальных достижений в управлении расширением являются диаграммы Фейнмана , которые позволяют записывать ряды возмущений в виде диаграмм.

Примеры

Теория возмущений использовалась в большом количестве различных областей физики и прикладной математики. Примеры «набора уравнений» включают алгебраические уравнения , ^[6] дифференциальные уравнения (например, уравнения движения ^[7] и обычно волновые уравнения ), термодинамическую свободную энергию в статистической механике , перенос излучения, ^[8] и гамильтоновы операторы в квантовая механика . ${\displaystyle D}$

Примеры типов решений, которые находятся пертурбативно, включают решение уравнения движения ( например , траектории частицы), среднестатистическое значение некоторой физической величины ( например , средней намагниченности), энергию основного состояния квантовомеханического объекта. проблема.

Примеры точно решаемых задач, которые можно использовать в качестве отправных точек, включают линейные уравнения , в том числе линейные уравнения движения ( гармонический осциллятор , линейное волновое уравнение ), статистические или квантово-механические системы невзаимодействующих частиц (или вообще гамильтонианы или свободные энергии). содержащие только члены, квадратичные по всем степеням свободы).

Примеры систем, которые можно решить с помощью возмущений, включают системы с нелинейными вкладами в уравнения движения, взаимодействия между частицами, члены высших степеней гамильтониана/свободной энергии.

Для физических задач, связанных с взаимодействием между частицами, члены ряда возмущений можно отображать (и манипулировать ими) с помощью диаграмм Фейнмана .

История

Теория возмущений была впервые разработана для решения трудноразрешимых проблем при расчете движения планет Солнечной системы. Например, закон всемирного тяготения Ньютона объяснял гравитацию между двумя астрономическими телами, но когда добавляется третье тело, возникает проблема: «Как каждое тело притягивает каждое тело?» Уравнение Ньютона позволяло анализировать только массы двух тел. Постепенно возрастающая точность астрономических наблюдений привела к увеличению требований к точности решений гравитационных уравнений Ньютона, что побудило нескольких известных математиков 18 и 19 веков, таких как Лагранж и Лаплас , расширить и обобщить методы теории возмущений.

Эти хорошо развитые методы возмущений были приняты и адаптированы для решения новых задач, возникших в ходе развития квантовой механики в атомной и субатомной физике 20-го века. Поль Дирак разработал квантовую теорию возмущений в 1927 году, чтобы оценить, когда частица будет испускаться в радиоактивных элементах. Позже это было названо золотым правилом Ферми . ^{[9] [10]} Теория возмущений в квантовой механике довольно доступна, поскольку квантовая запись позволяет записывать выражения в довольно компактной форме, что облегчает их понимание. Это привело к взрывному росту числа применений, начиная от эффекта Зеемана и заканчивая сверхтонким расщеплением атома водорода .

Несмотря на более простые обозначения, теория возмущений в применении к квантовой теории поля по-прежнему легко выходит из-под контроля. Ричард Фейнман разработал знаменитые диаграммы Фейнмана , наблюдая, что многие члены регулярно повторяются. Эти термины можно заменить точками, линиями, волнистыми линиями и подобными знаками, каждый из которых обозначает термин, знаменатель, интеграл и т. д.; таким образом, сложные интегралы могут быть записаны в виде простых диаграмм без какой-либо двусмысленности относительно того, что они означают. Именно взаимно однозначное соответствие между диаграммами и конкретными интегралами придает им силу. Хотя изначально диаграммный метод был разработан для квантовой теории поля, оказывается, что он широко применим ко всем рядам теории возмущений (хотя, возможно, не всегда так полезен).

Во второй половине XX века, по мере развития теории хаоса , стало ясно, что невозмущенные системы, вообще говоря, являются вполне интегрируемыми системами , а возмущенные — нет. Это быстро привело к изучению «почти интегрируемых систем», каноническим примером которых является тор КАМ . В то же время было также обнаружено, что многие (достаточно специальные) нелинейные системы , до которых раньше можно было добраться только с помощью теории возмущений, на самом деле полностью интегрируемы. Это открытие было весьма драматичным, поскольку позволило дать точные решения. Это, в свою очередь, помогло прояснить смысл ряда пертурбативов, поскольку теперь можно было сравнивать результаты ряда с точными решениями.

Улучшение понимания динамических систем , вытекающее из теории хаоса, помогло пролить свет на то, что было названо проблемой малого знаменателя или проблемой малого делителя . В 19 веке ( Пуанкаре и, возможно, раньше) было замечено , что иногда члены 2-го и более высокого порядка в ряду возмущений имеют «маленькие знаменатели». То есть они имеют общий вид где , и — некоторые сложные выражения, относящиеся к решаемой задаче, и — действительные числа; очень часто они являются энергией обычных мод . Проблема малого делителя возникает, когда разница мала, что приводит к взрыву пертурбативной поправки, становящейся такой же или, возможно, большей, чем член нулевого порядка. Такая ситуация сигнализирует о крахе теории возмущений: в этот момент она перестает работать и не подлежит дальнейшему расширению или суммированию. Формально ряд пертурбативов представляет собой асимптотический ряд : полезное приближение для нескольких членов, но в конечном итоге неточное. Прорыв в теории хаоса стал объяснением того, почему это произошло: малые делители возникают всякий раз, когда теория возмущений применяется к хаотической системе. Одно сигнализирует о присутствии другого. ${\displaystyle \psi _{n}V\phi _{m}/(\omega _{n}-\omega _{m})}$ ${\displaystyle \psi _{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi _{m}}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$ ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle \omega _{n}-\omega _{m}}$

Начало изучения движения планет

Поскольку планеты очень удалены друг от друга, а их масса мала по сравнению с массой Солнца, то силами гравитации между планетами можно пренебречь и движение планет в первом приближении считать происходящим по орбитам Кеплера, которые определяются уравнениями задачи двух тел , причем двумя телами являются планета и Солнце. ^[11]

Поскольку астрономические данные стали известны с гораздо большей точностью, возникла необходимость рассмотреть, как на движение планеты вокруг Солнца влияют другие планеты. Это было источником проблемы трех тел ; таким образом, при исследовании системы Луна–Земля–Солнце в качестве малого параметра было выбрано отношение масс Луны и Земли. Лагранж и Лаплас были первыми, кто выдвинул точку зрения, что константы, описывающие движение планеты вокруг Солнца, как бы «возмущаются» движением других планет и меняются в зависимости от времени; отсюда и название «теория возмущений». ^[11]

Теорию возмущений исследовали учёные-классики — Лаплас , Пуассон , Гаусс — в результате чего вычисления можно было проводить с очень высокой точностью. Открытие Урбеном Леверье в 1848 году планеты Нептун , основанное на отклонениях в движении планеты Уран (он отправил координаты Иоганну Готфриду Галле , который успешно наблюдал Нептун в свой телескоп), представляло собой триумф теории возмущений. ^[11]

Порядки возмущения

Стандартное изложение теории возмущений дается с точки зрения порядка, в котором осуществляется возмущение: теория возмущений первого порядка или теория возмущений второго порядка, а также того, являются ли возмущенные состояния вырожденными, что требует сингулярного возмущения . В единственном случае необходимо проявлять особую осторожность, и теория несколько более сложна.

По химии

Многие из методов квантовой химии ab initio напрямую используют теорию возмущений или являются тесно связанными методами. Неявная теория возмущений ^[12] с самого начала работает с полным гамильтонианом и никогда не задает оператор возмущения как таковой. Теория возмущений Мёллера–Плессе использует в качестве возмущения разницу между гамильтонианом Хартри–Фока и точным нерелятивистским гамильтонианом. Энергия нулевого порядка представляет собой сумму орбитальных энергий. Энергия первого порядка - это энергия Хартри-Фока, а электронная корреляция включается во второй порядок или выше. Расчеты второго, третьего или четвертого порядка очень распространены, и их код включен в большинство программ квантовой химии ab initio . Близкий, но более точный метод — метод связанных кластеров .

Пересечение снаряда

Пересечение оболочек ( sc) происходит в теории возмущений, когда траектории материи пересекаются, образуя сингулярность . ^[13] Это ограничивает предсказательную силу физического моделирования в небольших масштабах.

Смотрите также

• Пограничный слой
• Космологическая теория возмущений
• Деформация (математика)
• Динамическая ядерная поляризация
• Возмущение собственных значений
• Метод гомотопического возмущения
• Интервальный конечный элемент
• Ляпуновская устойчивость
• Метод доминирующего баланса
• Порядок приближения
• Теория возмущений (квантовая механика)
• Структурная стабильность

Рекомендации

1. Бендер, Карл М. (1999). Перспективные математические методы для ученых и инженеров I: асимптотические методы и теория возмущений. Стивен А. Орзаг. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4757-3069-2. ОСЛК  851704808.
2. Холмс, Марк Х. (2013). Введение в методы возмущений (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4614-5477-9. ОСЛК  821883201.
3. Уильям Э. Визель (2010). Современная астродинамика . Огайо: Афелион Пресс. п. 107. ИСБН 978-145378-1470.
4. Мартин К. Гуцвиллер, «Луна-Земля-Солнце: старейшая задача трех тел», Rev. Mod. Физ. 70, 589 - опубликовано 1 апреля 1998 г.
5. Кроппер, Уильям Х. (2004), Великие физики: жизнь и времена ведущих физиков от Галилея до Хокинга , Oxford University Press , стр. 34, ISBN 978-0-19-517324-6.
6. «Л. А. Ромеро, «Теория возмущений для полиномов», Конспект лекций, Университет Нью-Мексико (2013)» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 апреля 2018 г. Проверено 30 апреля 2017 г.
7. Сергей Виницкий, «Теория возмущений ангармонических колебаний», Конспект лекций, LMU (2006).
8. Майкл А. Бокс, «Теория радиационных возмущений: обзор», Environmental Modeling & Software 17 (2002) 95–106
9. Брансден, Британская Колумбия; Хоахейн, CJ (1999). Квантовая механика (2-е изд.). Прентис Холл. п. 443. ИСБН 978-0582356917.
10. Дирак, PAM (1 марта 1927 г.). «Квантовая теория испускания и поглощения излучения». Труды Королевского общества А. 114 (767): 243–265. Бибкод : 1927RSPSA.114..243D. дои : 10.1098/rspa.1927.0039 . JSTOR  94746.См. уравнения (24) и (32).
11. Теория возмущений. Н.Н. Боголюбов-мл. (составитель), Математическая энциклопедия. URL: http://www.encyclepediaofmath.org/index.php?title=Perturbation_theory&oldid=11676.
12. Король, Матча (1976). «Теория химической связи». Журнал Американского химического общества . 98 (12): 3415–3420. дои : 10.1021/ja00428a004.
13. Рампф, Корнелиус; Хан, Оливер (01 февраля 2021 г.). «Пересечение оболочек во Вселенной ΛCDM». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 501 : L71–L75. arXiv : 2010.12584 . дои : 10.1093/mnrasl/slaa198. ISSN  0035-8711.

Внешние ссылки

• Ван ден Эйнден, Эрик . «Введение в регулярную теорию возмущений» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 20 сентября 2004 г.
• Чоу, Карсон К. (23 октября 2007 г.). «Метод возмущений многих масштабов». Схоларпедия . 2 (10): 1617. doi : 10.4249/scholarpedia.1617 .
• Альтернативный подход к квантовой теории возмущений Мартинес-Карранса, Дж.; Сото-Эгибар, Ф.; Моя-Сесса, Х. (2012). «Альтернативный анализ теории возмущений в квантовой механике». Европейский физический журнал Д. 66 (1): 22. arXiv : 1110.0723 . Бибкод : 2012EPJD...66...22M. doi : 10.1140/epjd/e2011-20654-5. S2CID  117362666.