Теория Калуцы–Клейна

Единая теория поля

В физике теория Калуцы-Клейна ( теория КК ) — это классическая единая теория поля гравитации и электромагнетизма, построенная вокруг идеи пятого измерения за пределами обычного 4D пространства и времени и считающаяся важным предшественником теории струн . В их установке вакуум имеет обычные 3 измерения пространства и одно измерение времени, но с другим микроскопическим дополнительным пространственным измерением в форме крошечного круга. У Гуннара Нордстрема была более ранняя, похожая идея. Но в этом случае к электромагнитному векторному потенциалу был добавлен пятый компонент, представляющий ньютоновский гравитационный потенциал, и записанные уравнения Максвелла в пяти измерениях. ^[1]

Пятимерная (5D) теория развивалась в три этапа. Первоначальная гипотеза исходила от Теодора Калуцы , который отправил свои результаты Альберту Эйнштейну в 1919 году ^[2] и опубликовал их в 1921 году. ^[3] Калуца ​​представил чисто классическое расширение общей теории относительности на 5D с метрическим тензором из 15 компонентов. Десять компонентов отождествляются с 4D-метрикой пространства-времени, четыре компонента — с электромагнитным векторным потенциалом и один компонент — с неопознанным скалярным полем, иногда называемым « радионом » или «дилатоном». Соответственно, 5D-уравнения Эйнштейна дают 4D- уравнения поля Эйнштейна , уравнения Максвелла для электромагнитного поля и уравнение для скалярного поля. Калуца ​​также ввел гипотезу «условия цилиндра», согласно которой ни один компонент пятимерной метрики не зависит от пятого измерения. Без этого ограничения вводятся термины, включающие производные полей по пятой координате, и эта дополнительная степень свободы делает математику полностью переменной 5D относительности чрезвычайно сложной. Стандартная 4D физика, по-видимому, проявляет это «условие цилиндра» и, вместе с ним, более простую математику.

В 1926 году Оскар Клейн дал классической пятимерной теории Калуцы квантовую интерпретацию ^{[4] [5]} в соответствии с недавними открытиями Вернера Гейзенберга и Эрвина Шредингера . Клейн выдвинул гипотезу о том, что пятое измерение свернуто и микроскопично, чтобы объяснить состояние цилиндра. Клейн предположил, что геометрия дополнительного пятого измерения может иметь форму круга с радиусом10 ⁻³⁰  см . Точнее, радиус кругового измерения в 23 раза больше длины Планка , которая в свою очередь имеет порядок10 ⁻³³  см . ^[5] Клейн также внес вклад в классическую теорию, предложив должным образом нормализованную 5D-метрику. ^[4] Работа над теорией поля Калуцы была продолжена в 1930-х годах Эйнштейном и его коллегами в Принстонском университете .

В 1940-х годах классическая теория была завершена, и уравнения полного поля, включая скалярное поле, были получены тремя независимыми исследовательскими группами: ^[6] Ив Тири, ^{[7] [8] [9]} работавший во Франции над своей диссертацией под руководством Андре Лихнеровича ; Паскуаль Йордан , Гюнтер Людвиг и Клаус Мюллер в Германии, ^{[10] [11] [12] [13] [14]} при критическом вкладе Вольфганга Паули и Маркуса Фирца ; и Пауль Шеррер ^{[15] [16] [17]} работавший в одиночку в Швейцарии. Работа Йордана привела к скалярно-тензорной теории Бранса–Дикке ; ^[18] Карл Х. Бранс и Роберт Х. Дикке, по-видимому, не знали о Тири или Шеррере. Полные уравнения Калуцы при условии цилиндра довольно сложны, и большинство англоязычных обзоров, а также английские переводы Тири содержат некоторые ошибки. Тензоры кривизны для полных уравнений Калуцы были оценены с использованием программного обеспечения тензорной алгебры в 2015 году, ^[19] проверив результаты JA Ferrari ^[20] и R. Coquereaux & G. Esposito-Farese. ^[21] 5D ковариантная форма членов источника энергии-импульса рассматривается LL Williams. ^[22]

гипотеза Калуцы

В своей статье 1921 года ^[3] Калуца ​​установил все элементы классической пятимерной теории: метрику, уравнения поля, уравнения движения, тензор энергии-импульса и условие цилиндра. Без свободных параметров он просто расширяет общую теорию относительности до пяти измерений. Начнем с гипотезы о форме пятимерной метрики , где латинские индексы охватывают пять измерений. Давайте также введем четырехмерную метрику пространства-времени , где греческие индексы охватывают обычные четыре измерения пространства и времени; 4-вектор, отождествленный с электромагнитным векторным потенциалом; и скалярное поле . Затем разложим 5D-метрику так, чтобы 4D-метрика была обрамлена электромагнитным векторным потенциалом со скалярным полем на пятой диагонали. Это можно визуализировать как ${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}}$ ${\displaystyle {g}_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu }&\phi ^{2}A_{\mu }\\\phi ^{2}A_{\nu }&\phi ^{2}\end{bmatrix}}.}$

Можно написать точнее

${\displaystyle {\widetilde {g}}_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu },\qquad {\widetilde {g}}_{5\nu }\equiv {\widetilde {g}}_{\nu 5}\equiv \phi ^{2}A_{\nu },\qquad {\widetilde {g}}_{55}\equiv \phi ^{2},}$

где индекс указывает на пятую координату по соглашению, хотя первые четыре координаты индексированы с помощью 0, 1, 2 и 3. Соответствующая обратная метрика равна ${\displaystyle 5}$

${\displaystyle {\widetilde {g}}^{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g^{\mu \nu }&-A^{\mu }\\-A^{\nu }&g_{\alpha \beta }A^{\alpha }A^{\beta }+{\frac {1}{\phi ^{2}}}\end{bmatrix}}.}$

Это разложение является довольно общим, и все члены безразмерны. Затем Калуца ​​применяет аппарат стандартной общей теории относительности к этой метрике. Уравнения поля получаются из пятимерных уравнений Эйнштейна , а уравнения движения — из пятимерной геодезической гипотезы. Полученные уравнения поля дают как уравнения общей теории относительности, так и уравнения электродинамики; уравнения движения дают четырехмерное геодезическое уравнение и закон силы Лоренца , и можно обнаружить, что электрический заряд отождествляется с движением в пятом измерении.

Гипотеза для метрики подразумевает инвариантный пятимерный элемент длины : ${\displaystyle ds}$

${\displaystyle ds^{2}\equiv {\widetilde {g}}_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }+\phi ^{2}(A_{\nu }\,dx^{\nu }+dx^{5})^{2}.}$

Уравнения поля из гипотезы Калуцы

Уравнения поля пятимерной теории никогда не были адекватно предоставлены Калуцей или Клейном, поскольку они игнорировали скалярное поле . Полные уравнения поля Калуцы обычно приписываются Тири ^[8] , который получил уравнения вакуумного поля, хотя Калуца ^​​[3] изначально предоставил тензор энергии-импульса для своей теории, а Тири включил тензор энергии-импульса в свою диссертацию. Но, как описывает Гоннер, ^[6] несколько независимых групп работали над уравнениями поля в 1940-х годах и ранее. Тири, возможно, наиболее известен только потому, что его английский перевод был предоставлен Эпплквистом, Чодосом и Фройндом в их обзорной книге. ^[23] Эпплквист и др. также предоставили английский перевод статьи Калуцы. Переводы трех (1946, 1947, 1948) статей Джордана можно найти в архивах ResearchGate и Academia.edu . ^{[10] [11] [13]} Первые правильные уравнения поля Калуцы на английском языке, включая скалярное поле, были предоставлены Уильямсом. ^[19]

Для получения уравнений 5D поля 5D связи вычисляются из 5D метрики , а 5D тензор Риччи вычисляется из 5D связей . ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}}$ ${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}}$ ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}}$

Классические результаты Тири и других авторов предполагают состояние цилиндра:

${\displaystyle {\frac {\partial {\widetilde {g}}_{ab}}{\partial x^{5}}}=0.}$

Без этого предположения уравнения поля становятся намного сложнее, предоставляя гораздо больше степеней свободы, которые можно идентифицировать с различными новыми полями. Пол Вессон и его коллеги преследовали цель релаксации цилиндрического условия, чтобы получить дополнительные члены, которые можно идентифицировать с полями материи, ^[24] для которых Калуца ^​​[3] в противном случае вручную вставил тензор энергии-напряжения.

Возражение против первоначальной гипотезы Калуцы состояло в том, чтобы ссылаться на пятое измерение только для того, чтобы отрицать его динамику. Но Тири утверждал ^[6] , что интерпретация закона силы Лоренца в терминах пятимерной геодезической линии решительно выступает за пятое измерение независимо от условия цилиндра. Поэтому большинство авторов использовали условие цилиндра при выводе уравнений поля. Кроме того, обычно предполагаются вакуумные уравнения, для которых

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0,}$

где

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}\equiv \partial _{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}-\partial _{b}{\widetilde {\Gamma }}_{ca}^{c}+{\widetilde {\Gamma }}_{cd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{d}-{\widetilde {\Gamma }}_{bd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{d}}$

и

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}\equiv {\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}^{ad}(\partial _{b}{\widetilde {g}}_{dc}+\partial _{c}{\widetilde {g}}_{db}-\partial _{d}{\widetilde {g}}_{bc}).}$

Уравнения вакуумного поля, полученные таким образом Тири ^[8] и группой Джордана ^{[10] [11] [13]} , следующие.

Уравнение поля для получается из ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{55}=0\Rightarrow \Box \phi ={\frac {1}{4}}\phi ^{3}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta },}$

где и — стандартная 4D- ковариантная производная . Она показывает, что электромагнитное поле является источником скалярного поля . Обратите внимание, что скалярное поле не может быть установлено постоянным без ограничения электромагнитного поля. Более ранние работы Калуцы и Клейна не содержали адекватного описания скалярного поля и не реализовывали подразумеваемое ограничение на электромагнитное поле, предполагая, что скалярное поле постоянно. ${\displaystyle F_{\alpha \beta }\equiv \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha },}$ ${\displaystyle \Box \equiv g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu },}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$

Уравнение поля для получается из ${\displaystyle A^{\nu }}$

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{5\alpha }=0={\frac {1}{2}}g^{\beta \mu }\nabla _{\mu }(\phi ^{3}F_{\alpha \beta }).}$

Он имеет вид вакуумных уравнений Максвелла, если скалярное поле постоянно.

Уравнение поля для 4D тензора Риччи получается из ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {R}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}_{\mu \nu }{\widetilde {R}}&=0\Rightarrow \\R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R&={\frac {1}{2}}\phi ^{2}\left(g^{\alpha \beta }F_{\mu \alpha }F_{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right)+{\frac {1}{\phi }}(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\phi -g_{\mu \nu }\Box \phi ),\end{aligned}}}$

где — стандартный 4D-скаляр Риччи. ${\displaystyle R}$

Это уравнение демонстрирует замечательный результат, называемый «чудом Калуцы», что точная форма для тензора электромагнитного напряжения–энергии возникает из 5D вакуумных уравнений как источник в 4D уравнениях: поле из вакуума. Это соотношение позволяет окончательно идентифицировать с электромагнитным векторным потенциалом. Поэтому поле необходимо перемасштабировать с константой преобразования, такой что . ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A^{\mu }\to kA^{\mu }}$

Соотношение выше показывает, что мы должны иметь

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{2}}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}={\frac {2G}{c^{2}}}4\pi \epsilon _{0},}$

где — гравитационная постоянная , а — проницаемость свободного пространства . В теории Калуцы гравитационная постоянная может пониматься как константа электромагнитной связи в метрике. Существует также тензор энергии-импульса для скалярного поля. Скалярное поле ведет себя как переменная гравитационная постоянная, с точки зрения модуляции связи электромагнитного напряжения-энергии с кривизной пространства-времени. Знак в метрике фиксируется соответствием с 4D-теорией, так что плотности электромагнитной энергии положительны. Часто предполагается, что пятая координата пространственноподобна по своей сигнатуре в метрике. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \phi ^{2}}$

При наличии материи условие 5D вакуума не может быть принято. Действительно, Калуца ​​не предполагал его. Уравнения полного поля требуют оценки 5D тензора Эйнштейна

${\displaystyle {\widetilde {G}}_{ab}\equiv {\widetilde {R}}_{ab}-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}_{ab}{\widetilde {R}},}$

как показано в восстановлении электромагнитного тензора напряжения-энергии выше. Тензоры кривизны 5D являются сложными, и большинство обзоров на английском языке содержат ошибки в или , как и английский перевод Тири. ^[8] См. Уильямс ^[19] для полного набора тензоров кривизны 5D в условиях цилиндра, оцененных с помощью программного обеспечения тензорной алгебры. ${\displaystyle {\widetilde {G}}_{ab}}$ ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}}$

Уравнения движения из гипотезы Калуцы

Уравнения движения получены из пятимерной геодезической гипотезы ^[3] в терминах 5-скорости : ${\displaystyle {\widetilde {U}}^{a}\equiv dx^{a}/ds}$

${\displaystyle {\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {\nabla }}_{b}{\widetilde {U}}^{a}={\frac {d{\widetilde {U}}^{a}}{ds}}+{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}=0.}$

Это уравнение можно переписать несколькими способами, и оно изучалось в различных формах такими авторами, как Калуца ^​​[3] , Паули ^[25] , Гросс и Перри ^[26] , Гегенберг и Кунштеттер ^[27] и Вессон и Понсе де Леон ^[28], но полезно преобразовать его обратно в обычный 4-мерный элемент длины , который связан с 5-мерным элементом длины, как указано выше: ${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}\equiv g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}$ ${\displaystyle ds}$

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,d\tau ^{2}+\phi ^{2}(kA_{\nu }\,dx^{\nu }+dx^{5})^{2}.}$

Тогда можно записать 5D геодезическое уравнение ^[29] для пространственно-временных компонент 4-скорости:

${\displaystyle U^{\nu }\equiv {\frac {dx^{\nu }}{d\tau }},}$

${\displaystyle {\frac {dU^{\nu }}{d\tau }}+{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }U^{\alpha }U^{\beta }+2{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }U^{\alpha }U^{5}+{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }(U^{5})^{2}+U^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}\ln {\frac {c\,d\tau }{ds}}=0.}$

Термин квадратичный в дает 4D геодезическое уравнение плюс некоторые электромагнитные термины: ${\displaystyle U^{\nu }}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }=\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }k^{2}\phi ^{2}(A_{\alpha }F_{\beta \nu }+A_{\beta }F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }A_{\beta }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}).}$

Член линейный в дает закон силы Лоренца : ${\displaystyle U^{\nu }}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }k\phi ^{2}(F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}).}$

Это еще одно выражение "чуда Калуцы". Та же гипотеза для 5D-метрики, которая обеспечивает электромагнитное напряжение-энергию в уравнениях Эйнштейна, также обеспечивает закон силы Лоренца в уравнении движения вместе с 4D-геодезическим уравнением. Однако соответствие закону силы Лоренца требует, чтобы мы идентифицировали компонент 5-скорости вдоль пятого измерения с электрическим зарядом:

${\displaystyle kU^{5}=k{\frac {dx^{5}}{d\tau }}\to {\frac {q}{mc}},}$

где — масса частицы, а — электрический заряд частицы. Таким образом, электрический заряд понимается как движение вдоль пятого измерения. Тот факт, что закон силы Лоренца можно было понять как геодезическую в пяти измерениях, был для Калуцы основной мотивацией для рассмотрения пятимерной гипотезы, даже при наличии эстетически непривлекательного условия цилиндра. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$

Однако есть проблема: член квадратичный в , ${\displaystyle U^{5}}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }=-{\frac {1}{2}}g^{\mu \alpha }\partial _{\alpha }\phi ^{2}.}$

Если в скалярном поле нет градиента, то член квадратичный в исчезает. Но в противном случае выражение выше подразумевает ${\displaystyle U^{5}}$

${\displaystyle U^{5}\sim c{\frac {q/m}{G^{1/2}}}.}$

Для элементарных частиц, . Термин квадратичный в должен доминировать в уравнении, возможно, в противоречии с опытом. Это был главный недостаток пятимерной теории, как ее видел Калуца, ^[3] и он дает ему некоторое обсуждение в своей оригинальной статье. ^{[ требуется разъяснение ]} ${\displaystyle U^{5}>10^{20}c}$ ${\displaystyle U^{5}}$

Уравнение движения для особенно просто в условиях цилиндра. Начнем с альтернативной формы уравнения геодезической, записанной для ковариантной 5-скорости: ${\displaystyle U^{5}}$

${\displaystyle {\frac {d{\widetilde {U}}_{a}}{ds}}={\frac {1}{2}}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}{\frac {\partial {\widetilde {g}}_{bc}}{\partial x^{a}}}.}$

Это означает, что в условиях цилиндра есть константа пятимерного движения: ${\displaystyle {\widetilde {U}}_{5}}$

${\displaystyle {\widetilde {U}}_{5}={\widetilde {g}}_{5a}{\widetilde {U}}^{a}=\phi ^{2}{\frac {c\,d\tau }{ds}}(kA_{\nu }U^{\nu }+U^{5})={\text{constant}}.}$

Гипотеза Калуцы для тензора энергии-напряжения материи

Калуца ​​предложил ^[3] пятимерный тензор напряжений вещества в виде ${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{ab}}$

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{ab}=\rho {\frac {dx^{a}}{ds}}{\frac {dx^{b}}{ds}},}$

где — плотность, а элемент длины определен выше. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle ds}$

Тогда компонент пространства-времени дает типичный «пылевой» тензор напряжения-энергии:

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{\mu \nu }=\rho {\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}.}$

Смешанный компонент обеспечивает источник 4-тока для уравнений Максвелла:

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{5\mu }=\rho {\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{5}}{ds}}=\rho U^{\mu }{\frac {q}{kmc}}.}$

Так же, как пятимерная метрика включает в себя четырехмерную метрику, сформированную векторным потенциалом электромагнитного поля, пятимерный тензор энергии-импульса включает в себя четырехмерный тензор энергии-импульса, сформированный векторным 4-током.

Квантовая интерпретация Клейна

Первоначальная гипотеза Калуцы была чисто классической и расширенной, чем открытия общей теории относительности. Ко времени вклада Клейна открытия Гейзенберга, Шредингера и Луи де Бройля привлекали большое внимание. Статья Клейна в Nature ^[5] предположила, что пятое измерение замкнуто и периодично, и что отождествление электрического заряда с движением в пятом измерении можно интерпретировать как стоячие волны с длиной волны , во многом похожие на электроны вокруг ядра в модели атома Бора . Квантование электрического заряда тогда можно было бы хорошо понять в терминах целых кратных импульса пятого измерения. Объединив предыдущий результат Калуцы для в терминах электрического заряда и соотношение де Бройля для импульса , Клейн получил ^[5] выражение для 0-й моды таких волн: ${\displaystyle \lambda ^{5}}$ ${\displaystyle U^{5}}$ ${\displaystyle p^{5}=h/\lambda ^{5}}$

${\displaystyle mU^{5}={\frac {cq}{G^{1/2}}}={\frac {h}{\lambda ^{5}}}\quad \Rightarrow \quad \lambda ^{5}\sim {\frac {hG^{1/2}}{cq}},}$

где — постоянная Планка . Клейн нашел, что  см, и тем самым объяснил условие цилиндра в этой малой величине. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \lambda ^{5}\sim 10^{-30}}$

Статья Клейна в Zeitschrift für Physik того же года ^[4] дала более подробное рассмотрение, которое явно ссылалось на методы Шредингера и де Бройля. Она резюмировала большую часть классической теории Калуцы, описанной выше, а затем отступила к квантовой интерпретации Клейна. Клейн решил волновое уравнение типа Шредингера, используя расширение в терминах пятимерных волн, резонирующих в замкнутом, компактном пятом измерении.

Интерпретация квантовой теории поля

Интерпретация теории групп

Пространство M × C компактифицируется над компактным множеством C , и после разложения Калуцы–Клейна получается эффективная теория поля над M.

В 1926 году Оскар Клейн предположил, что четвертое пространственное измерение свернуто в окружность очень малого радиуса , так что частица, перемещающаяся на небольшое расстояние вдоль этой оси, вернется туда, где она начала. Расстояние, которое может пройти частица, прежде чем достичь своего начального положения, называется размером измерения. Это дополнительное измерение является компактным множеством , и построение этого компактного измерения называется компактификацией .

В современной геометрии дополнительное пятое измерение можно понимать как группу окружности U(1) , поскольку электромагнетизм по существу можно сформулировать как калибровочную теорию на расслоении волокон , расслоении окружности , с калибровочной группой U(1). В теории Калуцы–Клейна эта группа предполагает, что калибровочная симметрия является симметрией круговых компактных измерений. Как только эта геометрическая интерпретация понята, относительно просто заменить U(1) общей группой Ли . Такие обобщения часто называют теориями Янга–Миллса . Если провести различие, то оно заключается в том, что теории Янга–Миллса происходят в плоском пространстве-времени, тогда как Калуца–Клейн рассматривает более общий случай искривленного пространства-времени. Базовое пространство теории Калуцы–Клейна не обязательно должно быть четырехмерным пространством-временем; это может быть любое ( псевдо- ) риманово многообразие или даже суперсимметричное многообразие или орбифолд или даже некоммутативное пространство .

Построение можно описать, грубо говоря, следующим образом. ^[30] Начинаем с рассмотрения главного расслоения P с калибровочной группой G над многообразием M. Задав связность на расслоении, метрику на базовом многообразии и калибровочно-инвариантную метрику на касательной каждого волокна, можно построить метрику расслоения, определенную на всем расслоении. Вычисляя скалярную кривизну этой метрики расслоения, обнаруживаем, что она постоянна на каждом волокне: это «чудо Калуцы». Не нужно было явно накладывать условие цилиндра или компактифицировать: по предположению калибровочная группа уже компактна. Затем берем эту скалярную кривизну как плотность лагранжиана и, исходя из этого, конструируем действие Эйнштейна–Гильберта для расслоения в целом. Уравнения движения, уравнения Эйлера–Лагранжа , можно затем получить, рассматривая, где действие стационарно относительно вариаций либо метрики на базовом многообразии, либо калибровочной связности. Вариации относительно базовой метрики дают уравнения поля Эйнштейна на базовом многообразии, с тензором энергии-импульса, заданным кривизной ( напряженностью поля ) калибровочной связи. С другой стороны, действие стационарно относительно вариаций калибровочной связи именно тогда, когда калибровочная связь решает уравнения Янга–Миллса . Таким образом, применяя одну идею: принцип наименьшего действия , к одной величине: скалярной кривизне на расслоении (в целом), можно одновременно получить все необходимые уравнения поля, как для пространства-времени, так и для калибровочного поля.

В качестве подхода к объединению сил, просто применить теорию Калуцы-Клейна в попытке объединить гравитацию с сильными и электрослабыми силами, используя группу симметрии Стандартной модели , SU(3) × SU(2) × U(1) . Однако попытка преобразовать эту интересную геометрическую конструкцию в добросовестную модель реальности терпит неудачу по ряду вопросов, включая тот факт, что фермионы должны быть введены искусственным образом (в несуперсимметричных моделях). Тем не менее, KK остается важным пробным камнем в теоретической физике и часто встраивается в более сложные теории. Он изучается сам по себе как объект геометрического интереса в K-теории .

Даже при отсутствии полностью удовлетворяющей теоретической физической структуры идея исследования дополнительных, компактифицированных измерений представляет значительный интерес для сообществ экспериментальной физики и астрофизики . Можно сделать множество предсказаний с реальными экспериментальными последствиями (в случае больших дополнительных измерений и искривленных моделей ). Например, на самом простом принципе можно ожидать наличия стоячих волн в дополнительном компактифицированном измерении(ях). Если пространственное дополнительное измерение имеет радиус R , инвариантная масса таких стоячих волн будет равна M _n = nh / Rc, где n — целое число , h — постоянная Планка , а c — скорость света . Этот набор возможных значений массы часто называют башней Калуцы–Клейна . Аналогично, в тепловой квантовой теории поля компактификация евклидова временного измерения приводит к частотам Мацубары и, таким образом, к дискретизированному спектру тепловой энергии.

Однако подход Клейна к квантовой теории несовершенен ^{[ необходима ссылка ]} и, например, приводит к расчетной массе электрона порядка массы Планка . ^[31]

Примерами экспериментальных исследований являются работы коллаборации CDF , которая повторно проанализировала данные коллайдера частиц на предмет сигнатуры эффектов, связанных с большими дополнительными измерениями/ деформированными моделями . ^{[ необходима ссылка ]}

Роберт Бранденбергер и Кумрун Вафа предположили, что в ранней Вселенной космическая инфляция привела к расширению трех пространственных измерений до космологических размеров, в то время как остальные измерения пространства остались микроскопическими. ^{[ необходима цитата ]}

Теория пространства-времени-материи

Одним из частных вариантов теории Калуцы-Клейна является теория пространства-времени-материи или теория индуцированной материи , в основном пропагандируемая Полом Вессоном и другими членами Консорциума пространства-времени-материи. ^[32] В этой версии теории отмечается, что решения уравнения

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0}$

можно переформулировать так, что в четырех измерениях эти решения удовлетворяют уравнениям Эйнштейна

${\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,}$

с точной формой T _μν, следующей из условия Риччи-плоскости в пятимерном пространстве. Другими словами, условие цилиндра предыдущей разработки отбрасывается, и напряжение-энергия теперь происходит из производных 5D-метрики по пятой координате. Поскольку тензор энергии-импульса обычно понимается как обусловленный концентрациями материи в четырехмерном пространстве, приведенный выше результат интерпретируется как утверждение, что четырехмерная материя индуцируется из геометрии в пятимерном пространстве.

В частности, можно показать, что солитонные решения содержат метрику Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера как в форме с доминированием излучения (ранняя вселенная), так и в форме с доминированием материи (более поздняя вселенная). Можно показать, что общие уравнения достаточно согласуются с классическими тестами общей теории относительности, чтобы быть приемлемыми на физических принципах, при этом оставляя значительную свободу для предоставления интересных космологических моделей . ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0}$

Геометрическая интерпретация

Теория Калуцы–Клейна имеет особенно элегантное представление в терминах геометрии. В определенном смысле она выглядит так же, как обычная гравитация в свободном пространстве , за исключением того, что она сформулирована в пяти измерениях вместо четырех.

Уравнения Эйнштейна

Уравнения, управляющие обычной гравитацией в свободном пространстве, могут быть получены из действия , применяя вариационный принцип к определенному действию . Пусть M будет ( псевдо- ) римановым многообразием , которое можно принять за пространство-время общей теории относительности . Если g — метрика на этом многообразии, то действие S ( g ) определяется как

${\displaystyle S(g)=\int _{M}R(g)\operatorname {vol} (g),}$

где R ( g ) — скалярная кривизна , а vol( g ) — элемент объема . Применяя вариационный принцип к действию

${\displaystyle {\frac {\delta S(g)}{\delta g}}=0,}$

получаются в точности уравнения Эйнштейна для свободного пространства:

${\displaystyle R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=0,}$

где R _ij — тензор Риччи .

Уравнения Максвелла

Напротив, уравнения Максвелла, описывающие электромагнетизм, можно понимать как уравнения Ходжа главного U(1)-расслоения или окружного расслоения с волокном U(1) . То есть электромагнитное поле является гармонической 2-формой в пространстве дифференцируемых 2-форм на многообразии . При отсутствии зарядов и токов уравнения Максвелла для свободного поля имеют вид ${\displaystyle \pi :P\to M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Omega ^{2}(M)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {d} F=0\quad {\text{and}}\quad \mathrm {d} {\star }F=0.}$

где находится оператор звезды Ходжа . ${\displaystyle \star }$

Геометрия Калуцы–Клейна

Чтобы построить теорию Калуцы–Клейна, выбирается инвариантная метрика на окружности , которая является слоем U(1)-расслоения электромагнетизма. В этом обсуждении инвариантная метрика — это просто та, которая инвариантна относительно вращений окружности. Предположим, что эта метрика дает окружности общую длину . Затем рассматриваются метрики на расслоении , которые согласуются как с метрикой слоя, так и с метрикой на базовом многообразии . Условия согласованности таковы: ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle {\widehat {g}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$

• Проекция на вертикальное подпространство должна согласовываться с метрикой на слое над точкой в ​​многообразии . ${\displaystyle {\widehat {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Vert} _{p}P\subset T_{p}P}$ ${\displaystyle M}$
• Проекция на горизонтальное подпространство касательного пространства в точке должна быть изоморфна метрике на в . ${\displaystyle {\widehat {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hor} _{p}P\subset T_{p}P}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi (P)}$

Действие Калуцы–Клейна для такой метрики задается выражением

${\displaystyle S({\widehat {g}})=\int _{P}R({\widehat {g}})\operatorname {vol} ({\widehat {g}}).}$

Скалярная кривизна, записанная в компонентах, затем расширяется до

${\displaystyle R({\widehat {g}})=\pi ^{*}\left(R(g)-{\frac {\Lambda ^{2}}{2}}|F|^{2}\right),}$

где - оттяжка проекции пучка волокон . Связь на пучке волокон связана с напряженностью электромагнитного поля как ${\displaystyle \pi ^{*}}$ ${\displaystyle \pi :P\to M}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \pi ^{*}F=dA.}$

То, что всегда существует такая связь, даже для расслоений произвольно сложной топологии, является результатом гомологии и, в частности, K-теории . Применяя теорему Фубини и интегрируя по слою, получаем

${\displaystyle S({\widehat {g}})=\Lambda \int _{M}\left(R(g)-{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}|F|^{2}\right)\operatorname {vol} (g).}$

Изменяя действие относительно компонента , мы получаем уравнения Максвелла. Применяя вариационный принцип к базовой метрике , мы получаем уравнения Эйнштейна ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R={\frac {1}{\Lambda ^{2}}}T_{ij}}$

причем тензор энергии-напряжения задается выражением

${\displaystyle T^{ij}=F^{ik}F^{jl}g_{kl}-{\frac {1}{4}}g^{ij}|F|^{2},}$

иногда называется тензором напряжений Максвелла .

Первоначальная теория отождествляется с метрикой волокна и позволяет варьировать от волокна к волокну. В этом случае связь между гравитацией и электромагнитным полем не является постоянной, а имеет свое собственное динамическое поле, радион . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle g_{55}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

Обобщения

В приведенном выше примере размер петли действует как константа связи между гравитационным полем и электромагнитным полем. Если базовое многообразие четырехмерно, многообразие Калуцы–Клейна P пятимерно. Пятое измерение является компактным пространством и называется компактным измерением . Метод введения компактных измерений для получения многообразия более высокой размерности называется компактификацией . Компактификация не производит групповых действий на киральных фермионах, за исключением очень особых случаев: размерность полного пространства должна быть 2 mod 8, а G-индекс оператора Дирака компактного пространства должен быть ненулевым. ^[33] ${\displaystyle \Lambda }$

Вышеуказанное развитие обобщается более или менее прямолинейным образом на общие главные G -расслоения для некоторой произвольной группы Ли G, занимающей место U(1) . В таком случае теория часто упоминается как теория Янга–Миллса и иногда считается синонимом. Если базовое многообразие суперсимметрично , то результирующая теория является суперсимметричной теорией Янга–Миллса.

Эмпирические тесты

Никаких экспериментальных или наблюдательных признаков дополнительных измерений официально не сообщалось. Было предложено много теоретических методов поиска для обнаружения резонансов Калуцы-Клейна с использованием массовых связей таких резонансов с топ-кварком . Анализ результатов с LHC в декабре 2010 года серьезно ограничивает теории с большими дополнительными измерениями . ^[34]

Наблюдение бозона типа Хиггса на LHC устанавливает новый эмпирический тест, который может быть применен к поиску резонансов Калуцы–Клейна и суперсимметричных частиц. Петлевые диаграммы Фейнмана , которые существуют во взаимодействиях Хиггса, позволяют любой частице с электрическим зарядом и массой работать в такой петле. Частицы Стандартной модели, кроме топ-кварка и W-бозона, не вносят большого вклада в сечение, наблюдаемое в распаде H → γγ , но если есть новые частицы за пределами Стандартной модели, они потенциально могут изменить отношение предсказанного Стандартной моделью сечения H → γγ к экспериментально наблюдаемому сечению. Следовательно, измерение любого резкого изменения сечения H → γγ , предсказанного Стандартной моделью, имеет решающее значение для исследования физики за ее пределами.

Статья от июля 2018 года ^[35] дает некоторую надежду на эту теорию; в статье оспаривается, что гравитация просачивается в более высокие измерения, как в теории бран . Однако статья демонстрирует, что электромагнетизм и гравитация имеют одинаковое число измерений, и этот факт подтверждает теорию Калуцы–Клейна; является ли число измерений действительно 3 + 1 или на самом деле 4 + 1, является предметом дальнейших дебатов.

Смотрите также

• Классические теории гравитации
• Сложное пространство-время
• модель DGP
• Квантовая гравитация
• Компактификация (физика)
• Модель Рэндалла–Сундрума
• Матей Павшич
• Теория струн
• Супергравитация
• Теория суперструн
• Нерелятивистские гравитационные поля
• Телепараллелизм

Примечания

1. Нордстрем, Гуннар (1914). «Über die Möglichkeit, das elektromagnetische Feld und das Gravitationsfeld zu vereinigen» [О возможности объединения гравитационного и электромагнитного полей]. Physikalische Zeitschrift (на немецком языке). 15 :504.
2. Пайс, Авраам (1982). Тонкий Господь...: Наука и жизнь Альберта Эйнштейна . Оксфорд: Oxford University Press. С. 329–330.
3. Калуца, Теодор (1921). «Zum Unitätsproblem in der Physik». Зитцунгсбер. Пройсс. Акад. Висс. Берлин. (Математика и физика) (на немецком языке): 966–972. Бибкод : 1921SPAW.......966K.
4. Кляйн, Оскар (1926). «Квантовая теория и многомерная теория относительности». Zeitschrift für Physik A (на немецком языке). 37 (12): 895–906. Бибкод : 1926ZPhy...37..895K. дои : 10.1007/BF01397481.
5. Клейн, Оскар (1926). "Атомность электричества как закон квантовой теории". Nature . 118 (2971): 516. Bibcode :1926Natur.118..516K. doi : 10.1038/118516a0 . S2CID  4127863.
6. Goenner, H. (2012). «Некоторые замечания о генезисе скалярно-тензорных теорий». Общая теория относительности и гравитация . 44 (8): 2077–2097. arXiv : 1204.3455 . Bibcode :2012GReGr..44.2077G. doi :10.1007/s10714-012-1378-8. S2CID  13399708.
7. Лихнерович, А.; Тридцать, МОЙ (1947). «Проблемы расчета вариаций лежат в области классической динамики и единой теории чемпиона». Компет. Ренд. акад. наук. Париж (на французском языке). 224 : 529–531.
8. Тири, МЮ (1948). «Уравнения единой теории Калуцы». Компет. Ренд. акад. наук. Париж (на французском языке). 226 : 216–218.
9. Тири, МОЙ (1948). «Сюр-ла-регулярность полей гравитации и электромагнетизма в унитарных теориях». Компет. Ренд. акад. наук. Париж (на французском языке). 226 : 1881–1882.
10. Джордан, П. (1946). «Теория релятивистской гравитации с постоянной гравитацией». Naturwissenschaften (на немецком языке). 11 (8): 250–251. Бибкод : 1946NW.....33..250J. дои : 10.1007/BF01204481. S2CID  20091903.
11. Джордан, П.; Мюллер, К. (1947). «Über die Feldgleichungen der Gravitation Bei Variable «Gravitationslonstante»». З. Натурфорш. (на немецком языке). 2а (1): 1–2. Бибкод : 1947ZNatA...2....1J. дои : 10.1515/zna-1947-0102 . S2CID  93849549.
12. Людвиг, Г. (1947). «Der Zusammenhang zwischen den Variationsprinzipien der projektiven der vier Dimensionen Relativitätstheorie». З. Натурфорш. (на немецком языке). 2а (1): 3–5. Бибкод : 1947ZNatA...2....3L. дои : 10.1515/zna-1947-0103 . S2CID  94454994.
13. Джордан, П. (1948). «Механическая космология». Астрон. Нахр. (на немецком языке). 276 (5–6): 193–208. Бибкод : 1948AN....276..193J. дои : 10.1002/asna.19482760502.
14. Людвиг, Г.; Мюллер, К. (1948). «Эйн Модельл де Космос унд дер Стерненштехунг». Аннален дер Физик . 2 (6): 76–84. Бибкод : 1948АнП...437...76Л. дои : 10.1002/andp.19484370106. S2CID  120176841.
15. Шеррер, В. (1941). "Bemerkungen zu meiner Arbeit: "Ein Ansatz für die Wechselwirkung von Elementarteilchen"". Helv. Phys. Acta (на немецком языке). 14 (2): 130.
16. Шеррер, В. (1949). «Über den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Materiefeld». Хелв. Физ. Акта . 22 : 537–551.
17. Шеррер, В. (1950). «Über den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Materiefeld (2. Mitteilung)». Хелв. Физ. Акта (на немецком языке). 23 : 547–555.
18. Brans, CH; Dicke, RH (1 ноября 1961 г.). «Принцип Маха и релятивистская теория гравитации». Physical Review . 124 (3): 925–935. Bibcode :1961PhRv..124..925B. doi :10.1103/PhysRev.124.925.
19. Williams, LL (2015). "Уравнения поля и лагранжиан для метрики Калуцы, вычисленные с помощью программного обеспечения тензорной алгебры" (PDF) . Journal of Gravity . 2015 : 901870. doi : 10.1155/2015/901870 .
20. Феррари, JA (1989). «О приближенном решении для заряженного объекта и экспериментальном доказательстве теории Калуцы-Клейна». Gen. Relativ. Gravit . 21 (7): 683. Bibcode :1989GReGr..21..683F. doi :10.1007/BF00759078. S2CID  121977988.
21. Кокеро, Р.; Эспозито-Фарезе, Г. (1990). «Возвращение к теории Калуцы – Кляйна – Джордана – Тири». Анналы Института Анри Пуанкаре . 52 : 113.
22. Уильямс, Л. Л. (2020). «Уравнения поля и лагранжиан тензора энергии-импульса Калуцы». Успехи математической физики . 2020 : 1263723. doi : 10.1155/2020/1263723 .
23. Аппельквист, Томас; Чодос, Алан; Фройнд, Питер ГО (1987). Современные теории Калуцы–Клейна . Менло-Парк, Калифорния: Аддисон – Уэсли. ISBN 978-0-201-09829-7.
24. Вессон, Пол С. (1999). Пространство–Время–Материя, Современная теория Калуцы–Клейна . Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-02-3588-8.
25. Паули, Вольфганг (1958). Теория относительности (перевод под ред. Джорджа Филда). Нью-Йорк: Pergamon Press. С. Приложение 23.
26. Гросс, DJ; Перри, MJ (1983). «Магнитные монополи в теориях Калуцы–Клейна». Nucl. Phys. B . 226 (1): 29–48. Bibcode :1983NuPhB.226...29G. doi :10.1016/0550-3213(83)90462-5.
27. Гегенберг, Дж.; Кунстаттер, Г. (1984). «Движение заряженных частиц в пространстве-времени Калуцы–Клейна». Phys. Lett . 106A (9): 410. Bibcode :1984PhLA..106..410G. doi :10.1016/0375-9601(84)90980-0.
28. Вессон, PS; Понсе де Леон, J. (1995). «Уравнение движения в космологии Калуцы–Клейна и его значение для астрофизики». Астрономия и астрофизика . 294 : 1. Bibcode : 1995A&A...294....1W.
29. Уильямс, Лэнс Л. (2012). "Физика электромагнитного управления пространством-временем и гравитацией". Труды 48-й конференции AIAA Joint Propulsion Conference . 48-я конференция и выставка AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference & Exhibit, 30 июля 2012 г. – 1 августа 2012 г. Атланта, Джорджия. Т. AIAA 2012-3916. doi :10.2514/6.2012-3916. ISBN 978-1-60086-935-8. S2CID  122586403.
30. Дэвид Бликер, «Калибровочная теория и вариационные принципы», архив 2021-07-09 в Wayback Machine (1982) D. Reidel Publishing (см. главу 9 )
31. Равндаль, Ф., Оскар Кляйн и пятое измерение, arXiv:1309.4113 [physics.hist-ph]
32. 5Dstm.org
33. Л. Кастеллани и др., Супергравитация и суперструны, т. 2, гл. V.11.
34. Хачатрян, В.; и др. (CMS Collaboration) (2011). «Поиск микроскопических признаков черной дыры на Большом адронном коллайдере». Physics Letters B . 697 (5): 434–453. arXiv : 1012.3375 . Bibcode :2011PhLB..697..434C. doi :10.1016/j.physletb.2011.02.032. S2CID  122803232.
35. Пардо, Крис; Фишбах, Майя; Хольц, Дэниел Э.; Спергель, Дэвид Н. (2018). «Ограничения числа измерений пространства-времени из GW170817 ». Журнал космологии и астрочастичной физики . 2018 (7): 048. arXiv : 1801.08160 . Bibcode : 2018JCAP...07..048P. doi : 10.1088/1475-7516/2018/07/048. S2CID  119197181.

Ссылки

• Калуца, Теодор (1921). «Zum Unitätsproblem in der Physik». Зитцунгсбер. Пройсс. Акад. Висс. Берлин. (Математика и физика) : 966–972. Бибкод : 1921SPAW.......966K. https://archive.org/details/sitzungsberichte1921preussi
• Кляйн, Оскар (1926). «Квантовая теория и многомерная теория относительности». Zeitschrift für Physik A. 37 (12): 895–906. Бибкод : 1926ZPhy...37..895K. дои : 10.1007/BF01397481.
• Виттен, Эдвард (1981). «Поиск реалистичной теории Калуцы–Клейна». Nuclear Physics B. 186 ( 3): 412–428. Bibcode : 1981NuPhB.186..412W. doi : 10.1016/0550-3213(81)90021-3.
• Аппельквист, Томас; Чодос, Алан; Фройнд, Питер ГО (1987). Современные теории Калуцы–Клейна . Менло-Парк, Калифорния: Аддисон – Уэсли. ISBN 978-0-201-09829-7. (Включает перепечатки вышеуказанных статей, а также других важных работ, касающихся теории Калуцы–Клейна.)
• Дафф, М.Дж. (1994). «Теория Калуцы–Клейна в перспективе». В Линдстрём, Ульф (ред.). Труды симпозиума «Столетие Оскара Клейна». Сингапур: World Scientific. стр. 22–35. ISBN 978-981-02-2332-8.
• Overduin, JM; Wesson, PS (1997). «Гравитация Калуцы–Клейна». Physics Reports . 283 (5): 303–378. arXiv : gr-qc/9805018 . Bibcode : 1997PhR...283..303O. doi : 10.1016/S0370-1573(96)00046-4. S2CID  119087814.
• Вессон, Пол С. (2006). Пятимерная физика: классические и квантовые следствия космологии Калуцы–Клейна . Сингапур: World Scientific. Bibcode :2006fdpc.book.....W. ISBN 978-981-256-661-4.

Дальнейшее чтение

• Сотрудничество CDF, Поиск дополнительных измерений с использованием недостающей энергии в CDF , (2004) (Упрощенное представление поиска дополнительных измерений, выполненного на детекторе коллайдера в лаборатории физики частиц Фермилаба (CDF).)
• Джон М. Пьер, СУПЕРСТРУНЫ! Дополнительные измерения , (2003).
• Крис Поуп, Лекции по теории Калуцы–Клейна .
• Эдвард Виттен (2014). «Заметка об Эйнштейне, Бергмане и пятом измерении», arXiv :1401.8048