Уравнение Гамильтона–Якоби

Формулировка классической механики

В физике уравнение Гамильтона — Якоби , названное в честь Уильяма Роуэна Гамильтона и Карла Густава Якоба Якоби , является альтернативной формулировкой классической механики , эквивалентной другим формулировкам, таким как законы движения Ньютона , механика Лагранжа и механика Гамильтона .

Уравнение Гамильтона–Якоби — это формулировка механики, в которой движение частицы можно представить в виде волны. В этом смысле оно выполнило давнюю цель теоретической физики (возникшую, по крайней мере, еще во времена Иоганна Бернулли в восемнадцатом веке) — найти аналогию между распространением света и движением частицы. Волновое уравнение, которому следуют механические системы, похоже на уравнение Шредингера , но не идентично ему , как описано ниже; по этой причине уравнение Гамильтона–Якоби считается «ближайшим приближением» классической механики к квантовой механике . ^{[1] [2]} Качественная форма этой связи называется оптико-механической аналогией Гамильтона .

В математике уравнение Гамильтона–Якоби является необходимым условием , описывающим экстремальную геометрию в обобщениях задач вариационного исчисления . Его можно понимать как частный случай уравнения Гамильтона–Якоби–Беллмана из динамического программирования . ^[3]

Обзор

Уравнение Гамильтона–Якоби — это нелинейное уравнение в частных производных первого порядка.

${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\!\!\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right).}$

для системы частиц с координатами ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ . Функция — это гамильтониан системы, дающий энергию системы. Решением уравнения является функционал действия , ⁠ ⁠ , ^[4] называемый в старых учебниках главной функцией Гамильтона . Решение может быть связано с лагранжианом системы неопределенным интегралом формы, используемой в принципе наименьшего действия : ^{[5] : 431} Геометрические поверхности постоянного действия перпендикулярны траекториям системы, создавая волноподобный вид динамики системы. Это свойство уравнения Гамильтона–Якоби связывает классическую механику с квантовой механикой. ^{[6] : 175} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ }$ $${\displaystyle \ S=\int {\mathcal {L}}\ \operatorname {d} t+~{\mathsf {some\ constant}}~}$$

Математическая формулировка

Обозначение

Выделенные жирным шрифтом переменные, такие как представляют собой список обобщенных координат , ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N})}$$

Точка над переменной или списком обозначает производную по времени (см. обозначение Ньютона ). Например, $${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}.}$$

Запись скалярного произведения двух списков с одинаковым числом координат является сокращением для суммы произведений соответствующих компонентов, например: $${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =\sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}$$

Функционал действия (он же главная функция Гамильтона)

Определение

Пусть матрица Гессе обратима. Соотношение показывает, что уравнения Эйлера–Лагранжа образуют систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Обращение матрицы преобразует эту систему в ${\textstyle H_{\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\left\{\partial ^{2}{\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}\right\}_{ij}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}}}{\ddot {q}}^{j}+{\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {q}^{j}}}{\dot {q}}^{j}\right)+{\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial t}},\qquad i=1,\ldots ,n,}$$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle H_{\cal {L}}}$ $${\displaystyle {\ddot {q}}^{i}=F_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),\ i=1,\ldots ,n.}$$

Пусть зафиксированы момент времени и точка в конфигурационном пространстве. Теоремы существования и единственности гарантируют, что для каждого начальная задача с условиями и имеет локально единственное решение Кроме того, пусть существует достаточно малый интервал времени такой, что экстремали с различными начальными скоростями не пересекались бы за Последнее означает, что для любого и любого может быть не более одной экстремали , для которой и Подстановка в функционал действия приводит к главной функции Гамильтона (ГФГ) ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{0}\in M}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0},}$ ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}|_{\tau =t_{0}}=\mathbf {v} _{0}}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}).}$ ${\displaystyle (t_{0},t_{1})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ ${\displaystyle M\times (t_{0},t_{1}).}$ ${\displaystyle \mathbf {q} \in M}$ ${\displaystyle t\in (t_{0},t_{1}),}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}$ ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}}$ ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}$

${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t;\mathbf {q} _{0},t_{0})\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{t_{0}}^{t}{\mathcal {L}}(\gamma (\tau ;\cdot ),{\dot {\gamma }}(\tau ;\cdot ),\tau )\,d\tau ,}$

где

• ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0}),}$
• ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0},}$
• ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .}$

Формула для импульсов

Импульсы определяются как величины В этом разделе показано , что зависимость от исчезает , как только становится известен HPF. ${\textstyle p_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\partial {\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}.}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} }$

Действительно, пусть момент времени и точка в конфигурационном пространстве фиксированы. Для каждого момента времени и точки пусть будет (единственной) экстремалью из определения главной функции Гамильтона ⁠ ⁠ . Назовем скорость в ⁠ ⁠ . Тогда ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{0}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {q} ,}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,{\dot {\gamma }}(\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})|_{\tau =t}}$ ${\displaystyle \tau =t}$

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q^{i}}}=\left.{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\right|_{\mathbf {\dot {q}} =\mathbf {v} }\!\!\!\!\!\!\!,\quad i=1,\ldots ,n.}$

Доказательство

В то время как доказательство ниже предполагает, что конфигурационное пространство является открытым подмножеством базовой техники, оно в равной степени применимо к произвольным пространствам . В контексте этого доказательства каллиграфическая буква обозначает функционал действия, а курсив — главную функцию Гамильтона. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\cal {S}}}$ ${\displaystyle S}$

Шаг 1. Пусть — путь в конфигурационном пространстве, а векторное поле вдоль . (Для каждого вектор называется возмущением , бесконечно малой вариацией или виртуальным смещением механической системы в точке ). Напомним, что вариация действия в точке по направлению задается формулой , куда следует подставить и после вычисления частных производных в правой части. (Эта формула следует из определения производной Гато посредством интегрирования по частям). ${\displaystyle \xi =\xi (t)}$ ${\displaystyle \delta \xi =\delta \xi (t)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle \delta \xi (t)}$ ${\displaystyle \xi (t)}$ ${\displaystyle \delta {\cal {S}}_{\delta \xi }[\gamma ,t_{1},t_{0}]}$ ${\displaystyle {\cal {S}}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \delta \xi }$ $${\displaystyle \delta {\cal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t_{1},t_{0}]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)\delta \xi \,dt+{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\,\delta \xi {\Biggl |}_{t_{0}}^{t_{1}},}$$ ${\displaystyle q^{i}=\xi ^{i}(t)}$ ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\dot {\xi }}^{i}(t)}$

Предположим, что является экстремалью. Поскольку теперь удовлетворяет уравнениям Эйлера–Лагранжа, интегральный член исчезает. Если начальная точка фиксирована, то, по той же логике, которая использовалась для вывода уравнений Эйлера–Лагранжа, Таким образом, ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{0}}$ ${\displaystyle \delta \xi (t_{0})=0.}$ $${\displaystyle \delta {\cal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]=\left.{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right|_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}\,\delta \xi (t).}$$

Шаг 2. Пусть будет (единственной) экстремумом из определения HPF, векторного поля вдоль и вариации «совместимой» с В точных терминах, ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})}$ ${\displaystyle \delta \gamma =\delta \gamma (\tau )}$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle \gamma _{\varepsilon }=\gamma _{\varepsilon }(\tau ;\mathbf {q} _{\varepsilon },\mathbf {q} _{0},t,t_{0})}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \delta \gamma .}$ ${\displaystyle \gamma _{\varepsilon }|_{\varepsilon =0}=\gamma ,}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{\varepsilon }|_{\varepsilon =0}=\delta \gamma ,}$ ${\displaystyle \gamma _{\varepsilon }|_{\tau =t_{0}}=\gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}.}$

По определению HPF и производной Гато, $${\displaystyle \delta {\cal {S}}_{\delta \gamma }[\gamma ,t]{\overset {\text{def}}{{}={}}}\left.{\frac {d{\cal {S}}[\gamma _{\varepsilon },t]}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\left.{\frac {dS(\gamma _{\varepsilon }(t),t)}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}={\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q} }}\,\delta \gamma (t).}$$

Здесь мы это учли и отказались от этого для компактности. ${\displaystyle \mathbf {q} =\gamma (t;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})}$ ${\displaystyle t_{0}}$

Шаг 3. Теперь подставим и в выражение для из Шага 1 и сравним результат с формулой, выведенной на Шаге 2. Тот факт, что для векторного поля было выбрано произвольно, завершает доказательство. ${\displaystyle \xi =\gamma }$ ${\displaystyle \delta \xi =\delta \gamma }$ ${\displaystyle \delta {\cal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]}$ ${\displaystyle t>t_{0},}$ ${\displaystyle \delta \gamma }$

Формула

Учитывая гамильтониан механической системы, уравнение Гамильтона–Якоби является нелинейным уравнением в частных производных первого порядка для главной функции Гамильтона , ^[7] ${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right).}$

Вывод

Для экстремума , где — начальная скорость (см. обсуждение, предшествующее определению HPF), ${\displaystyle \xi =\xi (t;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}),}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}={\dot {\xi }}|_{t=t_{0}}}$ $${\displaystyle {\cal {L}}(\xi (t),{\dot {\xi }}(t),t)={\frac {dS(\xi (t),t)}{dt}}=\left[{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\mathbf {\dot {q}} +{\frac {\partial S}{\partial t}}\right]_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}.}$$

Из формулы для и координатного определения гамильтониана с удовлетворяющим (единственно разрешимым для уравнения получим где и ${\displaystyle p_{i}=p_{i}(\mathbf {q} ,t)}$ $${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \mathbf {\dot {q}} -{\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),}$$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} )}$ ${\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}{\partial \mathbf {\dot {q}} }},}$ $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}={\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)-{\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q} }}\mathbf {\dot {q}} =-H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right),}$$ ${\displaystyle \mathbf {q} =\xi (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t).}$

В качестве альтернативы, как описано ниже, уравнение Гамильтона–Якоби может быть выведено из гамильтоновой механики путем рассмотрения в качестве производящей функции для канонического преобразования классического гамильтониана ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N};t).}$$

Сопряженные импульсы соответствуют первым производным по обобщенным координатам ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}.}$$

Как решение уравнения Гамильтона–Якоби, главная функция содержит неопределенные константы, первая из которых обозначается как , а последняя получается в результате интегрирования . ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}}$

Связь между и затем описывает орбиту в фазовом пространстве в терминах этих констант движения . Более того, величины также являются константами движения, и эти уравнения можно инвертировать, чтобы найти как функцию всех и констант и времени. ^[8] ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ $${\displaystyle \beta _{k}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{k}}},\quad k=1,2,\ldots ,N}$$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Сравнение с другими формулировками механики

Уравнение Гамильтона–Якоби представляет собой простое частное дифференциальное уравнение первого порядка для функции обобщенных координат и времени . Обобщенные импульсы не появляются, за исключением производных , классического действия . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q_{1},\,q_{2},\dots ,q_{N}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S}$

Для сравнения, в эквивалентных уравнениях движения Эйлера–Лагранжа механики Лагранжа сопряженные импульсы также не появляются; однако эти уравнения представляют собой систему , как правило, уравнений второго порядка для временной эволюции обобщенных координат. Аналогично, уравнения движения Гамильтона представляют собой другую систему из 2 N уравнений первого порядка для временной эволюции обобщенных координат и их сопряженных импульсов . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p_{1},\,p_{2},\dots ,p_{N}}$

Поскольку уравнение Гамильтона-Якоби является эквивалентным выражением интегральной задачи минимизации, такой как принцип Гамильтона , уравнение Гамильтона-Якоби может быть полезным в других задачах вариационного исчисления и, в более общем плане, в других разделах математики и физики , таких как динамические системы , симплектическая геометрия и квантовый хаос . Например, уравнения Гамильтона-Якоби могут быть использованы для определения геодезических на римановом многообразии , важной вариационной задачи в римановой геометрии . Однако как вычислительный инструмент уравнения в частных производных, как известно, сложны для решения, за исключением случаев, когда возможно разделить независимые переменные; в этом случае уравнение Гамильтона-Якоби становится вычислительно полезным. ^{[5] : 444}

Вывод с использованием канонического преобразования

Любое каноническое преобразование, включающее производящую функцию типа 2, приводит к соотношениям , а уравнения Гамильтона в терминах новых переменных и нового гамильтониана имеют одинаковую форму: ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$ $${\displaystyle \mathbf {p} ={\partial G_{2} \over \partial \mathbf {q} },\quad \mathbf {Q} ={\partial G_{2} \over \partial \mathbf {P} },\quad K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}}$$ ${\displaystyle \mathbf {P} ,\,\mathbf {Q} }$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\partial K \over \partial \mathbf {Q} },\quad {\dot {\mathbf {Q} }}=+{\partial K \over \partial \mathbf {P} }.}$$

Для вывода уравнения Гамильтона-Якоба производящая функция выбирается таким образом, что она сделает новый гамильтониан . Следовательно, все его производные также равны нулю, а преобразованные уравнения Гамильтона становятся тривиальными , поэтому новые обобщенные координаты и импульсы являются константами движения . Поскольку они являются константами, в этом контексте новые обобщенные импульсы обычно обозначаются , то есть , а новые обобщенные координаты обычно обозначаются как , поэтому . ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$ ${\displaystyle K=0}$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}=0}$$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}}$ ${\displaystyle P_{m}=\alpha _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \beta _{1},\,\beta _{2},\dots ,\beta _{N}}$ ${\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}}$

Присвоение производящей функции основной функции Гамильтона плюс произвольной константе : автоматически возникает уравнение Гамильтона-Якоба ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)=S(\mathbf {q} ,t)+A,}$$ $${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\,\rightarrow \,H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}=0\,\rightarrow \,H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)+{\partial S \over \partial t}=0.}$$

При решении для они также дают нам полезные уравнения или записаны в компонентах для ясности ${\displaystyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}$ $${\displaystyle \mathbf {Q} ={\boldsymbol {\beta }}={\partial S \over \partial {\boldsymbol {\alpha }}},}$$ $${\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}{\partial \alpha _{m}}}.}$$

В идеале эти N уравнений можно инвертировать, чтобы найти исходные обобщенные координаты как функцию констант и , тем самым решив исходную задачу. ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }},\,{\boldsymbol {\beta }},}$ ${\displaystyle t}$

Разделение переменных

Когда задача допускает аддитивное разделение переменных , уравнение Гамильтона–Якоби приводит непосредственно к константам движения . Например, время t может быть разделено, если гамильтониан явно не зависит от времени. В этом случае производная по времени в уравнении Гамильтона–Якоби должна быть константой, обычно обозначаемой ( ), что дает разделенное решение , где независимая от времени функция иногда называется сокращенным действием или характеристической функцией Гамильтона ^{[5] : 434} и иногда ^{[9] : 607} в письменной форме (см. названия принципов действия ). Затем можно записать сокращенное уравнение Гамильтона–Якоби ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}}$ ${\displaystyle -E}$ $${\displaystyle S=W(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N})-Et}$$ ${\displaystyle W(\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle S_{0}}$ $${\displaystyle H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\right)=E.}$$

Чтобы проиллюстрировать разделимость для других переменных, предполагается, что определенная обобщенная координата и ее производная появляются вместе как одна функция в гамильтониане ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}}$ $${\displaystyle \psi \left(q_{k},{\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}\right)}$$ $${\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{N};\psi ;t).}$$

В этом случае функцию S можно разбить на две функции, одна из которых зависит только от q _k , а другая — только от остальных обобщенных координат. $${\displaystyle S=S_{k}(q_{k})+S_{\text{rem}}(q_{1},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N},t).}$$

Подстановка этих формул в уравнение Гамильтона–Якоби показывает, что функция ψ должна быть константой (обозначенной здесь как ), что дает обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка для ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle S_{k}(q_{k}),}$

$${\displaystyle \psi \left(q_{k},{\frac {dS_{k}}{dq_{k}}}\right)=\Gamma _{k}.}$$

В удачных случаях функцию можно полностью разделить на функции ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S_{m}(q_{m}),}$ $${\displaystyle S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots +S_{N}(q_{N})-Et.}$$

В таком случае задача сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений . ${\displaystyle N}$

Разделимость S зависит как от гамильтониана, так и от выбора обобщенных координат . Для ортогональных координат и гамильтонианов, которые не зависят от времени и квадратичны по обобщенным импульсам, будет полностью разделимой, если потенциальная энергия аддитивно разделима по каждой координате, где член потенциальной энергии для каждой координаты умножается на зависящий от координаты множитель в соответствующем импульсном члене гамильтониана (условия Штекеля ) . Для иллюстрации в следующих разделах рассматриваются несколько примеров в ортогональных координатах . ${\displaystyle S}$

Примеры в различных системах координат

Сферические координаты

В сферических координатах гамильтониан свободной частицы, движущейся в консервативном потенциале U, можно записать в виде $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left[p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\theta ,\phi ).}$$

Уравнение Гамильтона–Якоби полностью разделимо в этих координатах при условии, что существуют функции , которые можно записать в аналогичной форме ${\displaystyle U_{r}(r),U_{\theta }(\theta ),U_{\phi }(\phi )}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle U(r,\theta ,\phi )=U_{r}(r)+{\frac {U_{\theta }(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {U_{\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}.}$$

Подстановка полностью разделенного раствора в HJE дает $${\displaystyle S=S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta )+S_{\phi }(\phi )-Et}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right]+{\frac {1}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}\left[\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )\right]=E.}$$

Это уравнение можно решить путем последовательного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений , начиная с уравнения для , где — константа движения , устраняющая зависимость от уравнения Гамильтона–Якоби ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )=\Gamma _{\phi }}$$ ${\displaystyle \Gamma _{\phi }}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {2m}{\sin ^{2}\theta }}U_{\theta }(\theta )+\Gamma _{\phi }\right]=E.}$$

Следующее обыкновенное дифференциальное уравнение включает обобщенную координату , где снова является константой движения , которая устраняет зависимость и сводит уравнение ГЯ к окончательному обыкновенному дифференциальному уравнению, интегрирование которого завершает решение для . ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {2m}{\sin ^{2}\theta }}U_{\theta }(\theta )+\Gamma _{\phi }=\Gamma _{\theta }}$$ ${\displaystyle \Gamma _{\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {\Gamma _{\theta }}{2mr^{2}}}=E}$$ ${\displaystyle S}$

Эллиптические цилиндрические координаты

Гамильтониан в эллиптических цилиндрических координатах можно записать , где фокусы эллипсов расположены на оси . Уравнение Гамильтона–Якоби полностью разделимо в этих координатах при условии, что имеет аналогичный вид , где , и — произвольные функции. Подстановка полностью разделенного решения в уравнение Гамильтона–Якоби дает $${\displaystyle H={\frac {p_{\mu }^{2}+p_{\nu }^{2}}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\mu ,\nu ,z)}$$ ${\displaystyle \pm a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle U(\mu ,\nu ,z)={\frac {U_{\mu }(\mu )+U_{\nu }(\nu )}{\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}+U_{z}(z)}$$ ${\displaystyle U_{\mu }(\mu )}$ ${\displaystyle U_{\nu }(\nu )}$ ${\displaystyle U_{z}(z)}$ $${\displaystyle S=S_{\mu }(\mu )+S_{\nu }(\nu )+S_{z}(z)-Et}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )\right]=E.}$$

Разделение первого обыкновенного дифференциального уравнения приводит к редуцированному уравнению Гамильтона–Якоби (после перестановки и умножения обеих частей на знаменатель), которое само может быть разделено на два независимых обыкновенных дифференциальных уравнения , которые при решении дают полное решение для . $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}$$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )=2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\left(E-\Gamma _{z}\right)}$$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sinh ^{2}\mu =\Gamma _{\mu }}$$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sin ^{2}\nu =\Gamma _{\nu }}$$ ${\displaystyle S}$

Параболические цилиндрические координаты

Гамильтониан в параболических цилиндрических координатах можно записать $${\displaystyle H={\frac {p_{\sigma }^{2}+p_{\tau }^{2}}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\sigma ,\tau ,z).}$$

Уравнение Гамильтона–Якоби полностью разделимо в этих координатах при условии, что имеет аналогичный вид , где , , и — произвольные функции. Подстановка полностью разделенного решения в уравнение Гамильтона–Якоби дает ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle U(\sigma ,\tau ,z)={\frac {U_{\sigma }(\sigma )+U_{\tau }(\tau )}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}+U_{z}(z)}$$ ${\displaystyle U_{\sigma }(\sigma )}$ ${\displaystyle U_{\tau }(\tau )}$ ${\displaystyle U_{z}(z)}$ $${\displaystyle S=S_{\sigma }(\sigma )+S_{\tau }(\tau )+S_{z}(z)-Et+{\text{constant}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left[\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )\right]=E.}$$

Разделение первого обыкновенного дифференциального уравнения приводит к редуцированному уравнению Гамильтона–Якоби (после перестановки и умножения обеих частей на знаменатель), которое само может быть разделено на два независимых обыкновенных дифференциальных уравнения , которые при решении дают полное решение для . $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}$$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )=2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\left(E-\Gamma _{z}\right)}$$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2m\sigma ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\sigma }}$$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\tau }(\tau )+2m\tau ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\tau }}$$ ${\displaystyle S}$

Волны и частицы

Оптические волновые фронты и траектории

HJE устанавливает дуальность между траекториями и волновыми фронтами . ^[10] Например, в геометрической оптике свет можно рассматривать либо как «лучи», либо как волны. Волновой фронт можно определить как поверхность , которую свет, испущенный в момент времени, достиг в момент времени . Световые лучи и волновые фронты дуальны: если известно одно, другое можно вывести. ${\textstyle {\cal {C}}_{t}}$ ${\textstyle t=0}$ ${\textstyle t}$

Точнее, геометрическая оптика — это вариационная задача, где «действие» — это время прохождения по пути, где — показатель преломления среды , а — бесконечно малая длина дуги. Из приведенной выше формулы можно вычислить траектории лучей, используя формулу Эйлера–Лагранжа; в качестве альтернативы можно вычислить волновые фронты, решив уравнение Гамильтона–Якоби. Знание одного приводит к знанию другого. ${\textstyle T}$ $${\displaystyle T={\frac {1}{c}}\int _{A}^{B}n\,ds}$$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle ds}$

Вышеуказанная двойственность является весьма общей и применима ко всем системам, которые выводятся из вариационного принципа: либо вычисляйте траектории с помощью уравнений Эйлера–Лагранжа, либо волновые фронты с помощью уравнения Гамильтона–Якоби.

Фронт волны в момент времени для системы, изначально находящейся в момент времени , определяется как совокупность точек, таких что . Если известно, импульс немедленно выводится. ${\textstyle t}$ ${\textstyle \mathbf {q} _{0}}$ ${\textstyle t_{0}}$ ${\textstyle \mathbf {q} }$ ${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)={\text{const}}}$ ${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)}$ $${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}.}$$

Как только известно, касательные к траекториям вычисляются путем решения уравнения для , где — лагранжиан. Затем траектории восстанавливаются из знания . ${\textstyle \mathbf {p} }$ ${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}={\boldsymbol {p}}}$$ ${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$ ${\textstyle {\cal {L}}}$ ${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$

Связь с уравнением Шредингера

Изоповерхности функции могут быть определены в любой момент времени t . Движение -изоповерхности как функция времени определяется движениями частиц, начинающихся в точках на изоповерхности. Движение такой изоповерхности можно рассматривать как волну, движущуюся через -пространство, хотя она не подчиняется волновому уравнению в точности. Чтобы показать это, пусть S представляет фазу волны , где - константа ( постоянная Планка ), введенная для того, чтобы сделать экспоненциальный аргумент безразмерным; изменения амплитуды волны можно представить, имея - комплексное число . Затем уравнение Гамильтона-Якоби переписывается как , что является уравнением Шредингера . ${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ $${\displaystyle \psi =\psi _{0}e^{iS/\hbar }}$$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -U\psi ={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$$

Наоборот, исходя из уравнения Шредингера и нашего анзаца для , можно вывести, что ^[11] ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}S.}$$

Классический предел ( ) уравнения Шредингера выше становится идентичным следующему варианту уравнения Гамильтона–Якоби: ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}$$

Приложения

HJE в гравитационном поле

Используя соотношение энергии-импульса в форме ^[12] для частицы с массой покоя, движущейся в искривленном пространстве, где — контравариантные координаты метрического тензора (т.е. обратной метрики ), решенные из уравнений поля Эйнштейна , а — скорость света . Приравнивая 4-импульс к 4-градиенту действия , получаем уравнение Гамильтона–Якоби в геометрии, определяемой метрикой : другими словами, в гравитационном поле . $${\displaystyle g^{\alpha \beta }P_{\alpha }P_{\beta }-(mc)^{2}=0}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle P_{\alpha }}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle P_{\alpha }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}}$$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g^{\alpha \beta }{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\beta }}}-(mc)^{2}=0,}$$

HJE в электромагнитных полях

Для частицы с массой покоя и электрическим зарядом, движущейся в электромагнитном поле с четырехмерным потенциалом в вакууме, уравнение Гамильтона–Якоби в геометрии, определяемой метрическим тензором, имеет вид и может быть решено относительно главной функции действия Гамильтона для получения дальнейшего решения для траектории и импульса частицы: ^[13] где и со средним циклом векторного потенциала. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A_{i}=(\phi ,\mathrm {A} )}$ ${\displaystyle g^{ik}=g_{ik}}$ $${\displaystyle g^{ik}\left({\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {e}{c}}A_{i}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial x^{k}}}+{\frac {e}{c}}A_{k}\right)=m^{2}c^{2}}$$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle x=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{z}\,d\xi ,}$$ $${\displaystyle y=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{y}\,d\xi ,}$$ $${\displaystyle z=-{\frac {e^{2}}{2c^{2}\gamma ^{2}}}\int (\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}})\,d\xi ,}$$ $${\displaystyle \xi =ct-{\frac {e^{2}}{2\gamma ^{2}c^{2}}}\int (\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}})\,d\xi ,}$$ $${\displaystyle p_{x}=-{\frac {e}{c}}A_{x},\quad p_{y}=-{\frac {e}{c}}A_{y},}$$ $${\displaystyle p_{z}={\frac {e^{2}}{2\gamma c}}(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}),}$$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}=c\gamma +{\frac {e^{2}}{2\gamma c}}(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}),}$$ ${\displaystyle \xi =ct-z}$ ${\displaystyle \gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}}{c^{2}}}{\overline {A}}^{2}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}}$

Циркулярно поляризованная волна

В случае круговой поляризации , $${\displaystyle E_{x}=E_{0}\sin \omega \xi _{1},\quad E_{y}=E_{0}\cos \omega \xi _{1},}$$ $${\displaystyle A_{x}={\frac {cE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},\quad A_{y}=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1}.}$$

Отсюда откуда , подразумевая частицу, движущуюся по круговой траектории с постоянным радиусом и неизменным значением импульса, направленного вдоль вектора магнитного поля. $${\displaystyle x=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},}$$ $${\displaystyle y=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},}$$ $${\displaystyle p_{x}=-{\frac {eE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},}$$ $${\displaystyle p_{y}={\frac {eE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},}$$ ${\displaystyle \xi _{1}=\xi /c}$ ${\displaystyle ecE_{0}/\gamma \omega ^{2}}$ ${\displaystyle eE_{0}/\omega ^{2}}$

Монохроматическая линейно поляризованная плоская волна

Для плоской, монохроматической, линейно поляризованной волны с полем, направленным вдоль оси , отсюда следует траектория частицы в виде восьмерки с длинной ее осью, ориентированной вдоль вектора электрического поля. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle E_{y}=E_{0}\cos \omega \xi _{1},}$$ $${\displaystyle A_{y}=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},}$$ $${\displaystyle x={\text{const}},}$$ $${\displaystyle y_{0}=-{\frac {ecE_{0}}{\gamma \omega ^{2}}},}$$ $${\displaystyle y=y_{0}\cos \omega \xi _{1},\quad z=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},}$$ $${\displaystyle C_{z}={\frac {eE_{0}}{8\gamma \omega }},\quad \gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}E_{0}^{2}}{2\omega ^{2}}},}$$ $${\displaystyle p_{x}=0,}$$ $${\displaystyle p_{y,0}={\frac {eE_{0}}{\omega }},}$$ $${\displaystyle p_{y}=p_{y,0}\sin \omega \xi _{1},}$$ $${\displaystyle p_{z}=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\omega \xi _{1}}$$ ${\displaystyle E}$

Электромагнитная волна с соленоидальным магнитным полем

Для электромагнитной волны с аксиальным (соленоидальным) магнитным полем: ^[14] отсюда где - величина магнитного поля в соленоиде с эффективным радиусом , индуктивностью , числом витков и величиной электрического тока через обмотки соленоида. Движение частицы происходит по траектории в виде восьмерки в плоскости, перпендикулярной оси соленоида с произвольным азимутальным углом вследствие аксиальной симметрии соленоидального магнитного поля. $${\displaystyle E=E_{\phi }={\frac {\omega \rho _{0}}{c}}B_{0}\cos \omega \xi _{1},}$$ $${\displaystyle A_{\phi }=-\rho _{0}B_{0}\sin \omega \xi _{1}=-{\frac {L_{s}}{\pi \rho _{0}N_{s}}}I_{0}\sin \omega \xi _{1},}$$ $${\displaystyle x={\text{constant}},}$$ $${\displaystyle y_{0}=-{\frac {e\rho _{0}B_{0}}{\gamma \omega }},}$$ $${\displaystyle y=y_{0}\cos \omega \xi _{1},}$$ $${\displaystyle z=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},}$$ $${\displaystyle C_{z}={\frac {e\rho _{0}B_{0}}{8c\gamma }},}$$ $${\displaystyle \gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}\rho _{0}^{2}B_{0}^{2}}{2c^{2}}},}$$ $${\displaystyle p_{x}=0,}$$ $${\displaystyle p_{y,0}={\frac {e\rho _{0}B_{0}}{c}},}$$ $${\displaystyle p_{y}=p_{y,0}\sin \omega \xi _{1},}$$ $${\displaystyle p_{z}=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\omega \xi _{1},}$$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle L_{s}}$ ${\displaystyle N_{s}}$ ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle yz}$ ${\displaystyle \varphi }$

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Каноническое преобразование
• Постоянная движения
• Гамильтоново векторное поле
• Уравнение Гамильтона–Якоби–Эйнштейна
• ВКБ-приближение
• Координаты действие-угол

Ссылки

1. Голдстейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Reading, MA: Addison-Wesley. стр. 484–492. ISBN 978-0-201-02918-5.(особенно обсуждение, начинающееся в последнем абзаце страницы 491)
2. Sakurai, JJ (1994). Современная квантовая механика (переиздание). Reading, MA: Addison-Wesley. стр. 103–107. ISBN 0-201-53929-2.
3. Кальман, Рудольф Э. (1963). «Теория оптимального управления и вариационное исчисление». В Bellman, Richard (ред.). Математические методы оптимизации . Беркли: Издательство Калифорнийского университета. С. 309–331. OCLC  1033974.
4. Hand, LN; Finch, JD (2008). Аналитическая механика . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57572-0.
5. Goldstein, Herbert; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2008). Классическая механика (3, [Nachdr.] ed.). Сан-Франциско, Мюнхен: Addison Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9.
6. Куперсмит, Дженнифер (2017). Ленивая вселенная: введение в принцип наименьшего действия. Оксфорд, Великобритания / Нью-Йорк, Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-874304-0.
7. Hand, LN; Finch, JD (2008). Аналитическая механика . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57572-0.
8. Голдстейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Reading, MA: Addison-Wesley. стр. 440. ISBN 978-0-201-02918-5.
9. Hanc, Jozef; Taylor, Edwin F.; Tuleja, Slavomir (2005-07-01). «Вариационная механика в одном и двух измерениях». American Journal of Physics . 73 (7): 603–610. Bibcode : 2005AmJPh..73..603H. doi : 10.1119/1.1848516. ISSN  0002-9505.
10. Houchmandzadeh, Bahram (2020). «Уравнение Гамильтона-Якоби: альтернативный подход». American Journal of Physics . 85 (5): 10.1119/10.0000781. arXiv : 1910.09414 . Bibcode : 2020AmJPh..88..353H. doi : 10.1119/10.0000781. S2CID  204800598.
11. Голдстейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Reading, MA: Addison-Wesley. стр. 490–491. ISBN 978-0-201-02918-5.
12. Уилер, Джон; Мизнер, Чарльз; Торн, Кип (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 649, 1188. ISBN 978-0-7167-0344-0.
13. Ландау, Л.; Лифшиц , Э. (1959). Классическая теория полей . Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley. OCLC  17966515.
14. EV Shun'ko; DE Stevenson; VS Belkin (2014). "Inductively Coupling Plasma Reactor With Plasma Electron Energy Controllable in the Range from ~6 to ~100 eV". IEEE Transactions on Plasma Science . 42, part II (3): 774–785. Bibcode :2014ITPS...42..774S. doi :10.1109/TPS.2014.2299954. S2CID  34765246.

Дальнейшее чтение

• Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-96890-3.
• Гамильтон, В. (1833). «Об общем методе выражения путей света и планет с помощью коэффициентов характеристической функции» (PDF) . Обзор Дублинского университета : 795–826.
• Гамильтон, В. (1834). «О применении к динамике общего математического метода, ранее примененного в оптике» (PDF) . Отчет Британской ассоциации : 513–518.
• Феттер, А. и Валецка, Дж. (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред . Dover Books. ISBN 978-0-486-43261-8.
• Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1975). Механика . Амстердам: Elsevier.
• Сакурай, Дж. Дж. (1985). Современная квантовая механика . Benjamin/Cummings Publishing. ISBN 978-0-8053-7501-5.
• Якоби, CGJ (1884), Vorlesungen über Dynamik , CGJ Jacobi's Gesammelte Werke (на немецком языке), Берлин: Г. Раймер, OL  14009561M
• Накане, Мичиё; Фрейзер, Крейг Г. (2002). «Ранняя история динамики Гамильтона-Якоби». Центавр . 44 (3–4): 161–227. doi :10.1111/j.1600-0498.2002.tb00613.x. ПМИД  17357243.