Смешивание (математика)

Математическое описание смешивания веществ

Повторное применение карты пекаря к точкам, окрашенным в красный и синий цвета, изначально разделенным. Карта пекаря является смешанной, что показано тем, что красные и синие точки полностью смешаны после нескольких итераций.

В математике смешивание — это абстрактное понятие, пришедшее из физики : попытка описать необратимый термодинамический процесс смешивания в повседневном мире: например, смешивание красок, смешивание напитков , промышленное смешивание .

Эта концепция появляется в эргодической теории — изучении стохастических процессов и динамических систем, сохраняющих меру . Существует несколько различных определений перемешивания, включая сильное перемешивание , слабое перемешивание и топологическое перемешивание , причем последнее не требует определения меры . Некоторые из различных определений перемешивания можно расположить в иерархическом порядке; таким образом, сильное перемешивание подразумевает слабое перемешивание. Кроме того, слабое перемешивание (и, следовательно, также сильное перемешивание) подразумевает эргодичность : то есть каждая система, которая является слабо перемешивающей, также является эргодической (и поэтому говорят, что перемешивание является «более сильным» условием, чем эргодичность).

Неформальное объяснение

Математическое определение смешивания направлено на то, чтобы охватить обычный повседневный процесс смешивания, такой как смешивание красок, напитков, ингредиентов для приготовления пищи, смешивание в промышленном процессе , дым в задымленном помещении и т. д. Для обеспечения математической строгости такие описания начинаются с определения динамической системы, сохраняющей меру , записанной как ⁠ ⁠ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ .

Под множеством понимается общее пространство, которое должно быть заполнено: миска для смешивания, задымленная комната и т. д. Под мерой понимается определение естественного объема пространства и его подпространств. Совокупность подпространств обозначается как ⁠ ⁠ , а размер любого заданного подмножества — ⁠ ⁠ ; размер — это его объем. Наивно можно было бы представить себе множество мощности ⁠ ⁠ ; это не совсем работает, поскольку не все подмножества пространства имеют объем (знаменитый парадокс Банаха–Тарского ). Таким образом, условно, состоит из измеримых подмножеств — подмножеств, которые имеют объем. Оно всегда считается борелевским множеством — совокупностью подмножеств, которые могут быть построены путем взятия пересечений , объединений и дополнений множеств ; их всегда можно считать измеримыми. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \mu (A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Эволюция системы во времени описывается картой . При наличии некоторого подмножества его карта в общем случае будет деформированной версией – она сплющена или растянута, сложена или разрезана на части. Математические примеры включают карту пекаря и карту подковы , обе вдохновленные выпечкой хлеба . Множество должно иметь тот же объем, что и ; сплющивание/растяжение не изменяет объем пространства, а только его распределение. Такая система является «сохраняющей меру» (сохраняющей площадь, сохраняющей объем). ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle T(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(A)}$ ${\displaystyle A}$

Формальная трудность возникает, когда кто-то пытается согласовать объем множеств с необходимостью сохранения их размера при отображении. Проблема возникает, потому что, как правило, несколько различных точек в области функции могут отображаться в одну и ту же точку в ее диапазоне; то есть может быть с ⁠ ⁠ . Хуже того, одна точка не имеет размера. Этих трудностей можно избежать, работая с обратным отображением ⁠ ⁠ ; оно сопоставит любое заданное подмножество с частями, которые были собраны, чтобы составить его: эти части являются ⁠ ⁠ . Оно обладает важным свойством не «терять след» того, откуда все произошло. Более того, оно обладает важным свойством, что любое (сохраняющее меру) отображение является обратным некоторой карте ⁠ ⁠ . Правильное определение сохраняющего объем отображения — это то, для которого , поскольку описывает все части-части, которые произошли. ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle T(x)=T(y)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)}$ ${\displaystyle A}$

Теперь интересно изучить временную эволюцию системы. Если набор в конечном итоге посещает все из в течение длительного периода времени (то есть, если приближается ко всем из для больших ), система называется эргодической . Если каждый набор ведет себя таким образом, система является консервативной системой , помещенной в противоположность диссипативной системе , где некоторые подмножества блуждают , чтобы никогда не вернуться. Примером может служить вода, текущая под гору — как только она стекает, она никогда не возвращается обратно. Озеро, которое образуется на дне этой реки, может, однако, стать хорошо перемешанным. Теорема об эргодическом разложении утверждает, что каждую эргодическую систему можно разделить на две части: консервативную часть и диссипативную часть. ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup _{k=1}^{n}T^{k}(A)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Смешивание — более сильное утверждение, чем эргодичность. Смешивание требует, чтобы это эргодическое свойство выполнялось между любыми двумя множествами ⁠ ⁠ ${\displaystyle A,B}$ , а не только между некоторым множеством и ⁠ ⁠ . То есть, если заданы любые два множества ⁠ ⁠ , система называется (топологически) смешивающей, если существует целое число такое, что для всех и ⁠ ⁠ , выполняется . Здесь обозначает пересечение множеств , а — пустое множество . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \varnothing }$

Приведенное выше определение топологического перемешивания должно быть достаточным, чтобы дать неформальное представление о перемешивании (оно эквивалентно формальному определению, данному ниже). Однако в нем не упоминается объем и ⁠ ⁠ , и, действительно, есть другое определение, которое явно работает с объемом. На самом деле их несколько; одно имеет как сильное, так и слабое перемешивание; они неэквивалентны, хотя система сильного перемешивания всегда является слабо перемешивающей. Определения, основанные на мере, несовместимы с определением топологического перемешивания: есть системы, которые являются одним, но не другим. Общая ситуация остается неясной: например, если заданы три множества ⁠ ⁠ , можно определить 3-перемешивание. По состоянию на 2020 год неизвестно, подразумевает ли 2-перемешивание 3-перемешивание. (Если думать об эргодичности как о «1-перемешивании», то ясно, что 1-перемешивание не подразумевает 2-перемешивание; есть системы, которые являются эргодическими, но не перемешивающими.) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {A}}}$

Концепция сильного смешивания сделана в отношении объема пары наборов. Рассмотрим, например, набор цветных красителей, которые смешиваются в чашке с какой-то липкой жидкостью, скажем, кукурузным сиропом, или шампунем, или чем-то подобным. Практический опыт показывает, что смешивание липких жидкостей может быть довольно сложным: обычно есть какой-то угол контейнера, куда трудно вмешать краситель. Выберите в качестве набора этот труднодоступный угол. Вопрос смешивания заключается в том, может ли , после достаточно длительного периода времени, не только проникнуть , но и заполнить с той же пропорцией, что и в другом месте? ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Один из них формулирует определение сильного перемешивания как требование, чтобы

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(T^{-n}A\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

Параметр времени служит для разделения и во времени, так что смешивание происходит при фиксированном тестовом объеме . Произведение немного тоньше. Представьте, что объем составляет 10% от общего объема, и что объем красителя также составит 10% от общего объема. Если равномерно распределено, то он занимает 10% от , что само по себе составляет 10% от общего объема, и поэтому в итоге после смешивания часть, которая находится в , составляет 1% от общего объема. То есть, Это произведение объемов имеет более чем мимолетное сходство с теоремой Байеса в вероятностях; это не случайность, а скорее следствие того, что теория меры и теория вероятности являются одной и той же теорией: они разделяют одни и те же аксиомы ( аксиомы Колмогорова ), даже если они используют разные обозначения. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu (A)\mu (B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu \left({\mbox{after-mixing}}(A)\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

Причина использования вместо в определении немного тонка, но она следует из тех же причин, по которым использовалось для определения концепции карты, сохраняющей меру. Когда смотришь на то, сколько краски было смешано в углу , хочется посмотреть, откуда эта краска «пришла» (предположительно, она была вылита сверху, в какой-то момент в прошлом). Нужно быть уверенным, что каждое место, откуда она могла «прийти», в конечном итоге смешается с . ${\displaystyle T^{-n}A}$ ${\displaystyle T^{n}A}$ ${\displaystyle T^{-1}A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Смешивание в динамических системах

Пусть будет динамической системой, сохраняющей меру , где T — оператор эволюции во времени или сдвига . Система называется сильно перемешивающей , если для любого выполняется ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(A\cap T^{-n}B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

Для сдвигов, параметризованных непрерывной переменной вместо дискретного целого числа n , применяется то же определение, заменяя его на , где g — параметр непрерывного времени. ${\displaystyle T^{-n}}$ ${\displaystyle T_{g}}$

Динамическая система называется слабоперемешивающей, если она имеет

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\left|\mu (A\cap T^{-k}B)-\mu (A)\mu (B)\right|=0.}$

Другими словами, сильное перемешивание, если в обычном смысле, слабое перемешивание, если ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\to 0}$

${\displaystyle \left|\mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\right|\to 0,}$

в смысле Чезаро , и эргодической, если в смысле Чезаро. Следовательно, сильное перемешивание подразумевает слабое перемешивание, которое подразумевает эргодичность. Однако обратное неверно: существуют эргодические динамические системы, которые не являются слабо перемешивающими, и слабо перемешивающие динамические системы, которые не являются сильно перемешивающими. Система Чакона была исторически первым примером системы, которая является слабо перемешивающей, но не сильно перемешивающей. ^[1] ${\displaystyle \mu \left(A\cap T^{-n}B\right)\to \mu (A)\mu (B)}$

Теорема. Слабое перемешивание подразумевает эргодичность.

Доказательство. Если действие отображения разлагается на две компоненты ⁠ ⁠ ${\displaystyle A,B}$ , то мы имеем ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A\cap B)=\mu (\emptyset )=0}$ , поэтому слабое перемешивание подразумевает ⁠ ⁠ ${\displaystyle \vert \mu (A\cap B)-\mu (A)\mu (B)\vert =0}$ , поэтому один из имеет нулевую меру, а другой — полную меру. ${\displaystyle A,B}$

Покрытие семей

Если задано топологическое пространство, например единичный интервал (имеет ли он конечные точки или нет), мы можем построить на нем меру, взяв открытые множества, затем взяв их объединения, дополнения, объединения, дополнения и так далее до бесконечности , чтобы получить все борелевские множества . Затем мы определяем меру на борелевских множествах, затем добавляем все подмножества меры ноль («пренебрежимые множества»). Так мы получаем меру Лебега и измеримые по Лебегу множества. ${\displaystyle \mu }$

В большинстве приложений эргодической теории базовое пространство почти всюду изоморфно открытому подмножеству некоторого , и поэтому является пространством меры Лебега. Проверка сильного перемешивания может быть упрощена, если нам нужно проверить только меньший набор измеримых множеств. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Покрывающее семейство — это множество измеримых множеств, такое, что любое открытое множество является непересекающимся объединением множеств в нем. Сравните это с базой в топологии , которая менее ограничительна, поскольку допускает непересекающиеся объединения. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Теорема. Для пространств с мерой Лебега, если является сохраняющим меру, и для всех в покрывающем семействе, то является сильным перемешиванием. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lim _{n}\mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A)\mu (B)}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle T}$

Доказательство. Расширьте уравнение смешивания со всех множеств в покрывающем семействе, на все открытые множества с помощью непересекающегося объединения, на все замкнутые множества, взяв дополнение, на все измеримые множества, используя регулярность меры Лебега для аппроксимации любого множества открытыми и замкнутыми множествами. Таким образом, для всех измеримых ⁠ ⁠ . ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \lim _{n}\mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A)\mu (B)}$ ${\displaystyle A,B}$

Л2формулировка

Свойства эргодичности, слабого перемешивания и сильного перемешивания динамической системы, сохраняющей меру, также могут быть охарактеризованы средним значением наблюдаемых. По эргодической теореме фон Неймана эргодичность динамической системы эквивалентна свойству, что для любой функции последовательность сходится сильно и в смысле Чезаро к ⁠ ⁠ , т.е. ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (f\circ T^{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu }$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left\|{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}f\circ T^{n}-\int _{X}f\,d\mu \right\|_{L^{2}(X,\mu )}=0.}$

Динамическая система является слабо перемешивающей, если для любых функций и ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\in L^{2}(X,\mu ),}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}\left|\int _{X}f\circ T^{n}\cdot g\,d\mu -\int _{X}f\,d\mu \cdot \int _{X}g\,d\mu \right|=0.}$

Динамическая система является сильно перемешивающей, если для любой функции ⁠ ⁠ последовательность слабо сходится к ⁠ ⁠ , т.е. для любой функции ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (f\circ T^{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu }$ ${\displaystyle g\in L^{2}(X,\mu ),}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f\circ T^{n}\cdot g\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu \cdot \int _{X}g\,d\mu .}$

Поскольку предполагается, что система сохраняет меру, эта последняя строка эквивалентна утверждению, что ковариация ⁠ ⁠ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {Cov} (f\circ T^{n},g)=0}$ , так что случайные величины и становятся ортогональными по мере роста. Фактически, поскольку это работает для любой функции ⁠ ⁠ , можно неформально рассматривать смешивание как свойство, при котором случайные величины и становятся независимыми по мере роста. ${\displaystyle f\circ T^{n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circ T^{n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$

Продукты динамических систем

Даны две измеренные динамические системы , и можно построить динамическую систему на декартовом произведении, определив Тогда мы имеем следующие характеристики слабого перемешивания: ^[2] ${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ ${\displaystyle (Y,\nu ,S),}$ ${\displaystyle (X\times Y,\mu \otimes \nu ,T\times S)}$ ${\displaystyle (T\times S)(x,y)=(T(x),S(y)).}$

Предложение. Динамическая система является слабо перемешивающей тогда и только тогда, когда для любой эргодической динамической системы ⁠ ⁠ эта система также является эргодической. ${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ ${\displaystyle (Y,\nu ,S)}$ ${\displaystyle (X\times Y,\mu \otimes \nu ,T\times S)}$

Предложение. Динамическая система является слабо перемешивающей тогда и только тогда, когда она также эргодична. Если это так, то она также является слабо перемешивающей. ${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ ${\displaystyle (X^{2},\mu \otimes \mu ,T\times T)}$ ${\displaystyle (X^{2},\mu \otimes \mu ,T\times T)}$

Обобщения

Определение, данное выше, иногда называют сильным 2-смешиванием , чтобы отличить его от более высоких порядков смешивания. Сильную 3-смешивающую систему можно определить как систему, для которой

${\displaystyle \lim _{m,n\to \infty }\mu (A\cap T^{-m}B\cap T^{-m-n}C)=\mu (A)\mu (B)\mu (C)}$

справедливо для всех измеримых множеств A , B , C . Аналогично можно определить сильное k-перемешивание . Система, которая является сильным k - перемешиванием для всех k  = 2,3,4,... называется перемешиванием всех порядков .

Неизвестно, подразумевает ли сильное 2-смешивание сильное 3-смешивание. Известно, что сильное m -смешивание подразумевает эргодичность .

Примеры

Иррациональные вращения окружности и, в более общем случае, неприводимые переносы на торе являются эргодическими, но не являются ни сильно, ни слабо перемешивающими относительно меры Лебега.

Многие отображения, рассматриваемые как хаотические, являются сильно перемешивающими для некоторой хорошо выбранной инвариантной меры, включая: диадическое отображение , отображение кота Арнольда , подковообразные отображения , автоморфизмы Колмогорова и поток Аносова ( геодезический поток на единичном касательном расслоении компактных многообразий отрицательной кривизны ) .

Двоичное отображение — это «сдвиг влево в двоичной системе». В общем случае, для любого отображение «сдвиг влево по базе ⁠ ⁠ » является сильно перемешивающим на покрывающем семействе ⁠ ⁠ , поэтому оно является сильно перемешивающим на ⁠ ⁠ , и поэтому оно является сильно перемешивающим на ⁠ ⁠ . ${\displaystyle n\in \{2,3,\dots \}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T(x)=nx{\bmod {1}}}$ ${\displaystyle \left\{\left({\tfrac {k}{n^{s}}},{\tfrac {k+1}{n^{s}}}\right)\smallsetminus \mathbb {Q} :s\geq 0,\leq k<n^{s}\right\}}$ ${\displaystyle (0,1)\smallsetminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [0,1]}$

Аналогично, для любого конечного или счетного алфавита ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Sigma }$ мы можем наложить на него дискретное распределение вероятностей, а затем рассмотреть распределение вероятностей на пространстве «подбрасывания монеты», где каждое «подбрасывание монеты» может брать результаты из ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Sigma }$ . Мы можем построить либо однократно бесконечное пространство , либо дважды бесконечное пространство ⁠ ⁠ . В обоих случаях отображение сдвига (на одну букву влево) является сильно перемешивающим, поскольку оно является сильно перемешивающим на покрывающем семействе цилиндрических множеств. Отображение Бейкера изоморфно отображению сдвига, поэтому оно является сильно перемешивающим. ${\displaystyle \Sigma ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \Sigma ^{\mathbb {Z} }}$

Топологическое смешивание

Форма смешивания может быть определена без обращения к мере , используя только топологию системы. Непрерывное отображение называется топологически транзитивным , если для каждой пары непустых открытых множеств существует целое число n такое, что ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle A,B\subset X}$

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$

где — n -я итерация f . В теории операторов топологически транзитивный ограниченный линейный оператор (непрерывное линейное отображение на топологическом векторном пространстве ) обычно называется гиперциклическим оператором . Связанная идея выражается блуждающим множеством . ${\displaystyle f^{n}}$

Лемма: Если X — полное метрическое пространство без изолированных точек , то f топологически транзитивен тогда и только тогда , когда существует гиперциклическая точка , то есть точка x, такая, что ее орбита плотна в X. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{f^{n}(x):n\in \mathbb {N} \}}$

Говорят, что система топологически перемешивающая , если для данных открытых множеств и существует целое число N , такое, что для всех выполняется следующее : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing .}$

Для системы с непрерывным временем заменяется потоком ⁠ ⁠ , где g является непрерывным параметром, с требованием, чтобы непустое пересечение выполнялось для всех ⁠ ⁠ . ${\displaystyle f^{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{g}}$ ${\displaystyle \Vert g\Vert >N}$

Слабое топологическое перемешивание — это перемешивание, не имеющее непостоянных непрерывных (относительно топологии) собственных функций оператора сдвига.

Топологическое смешивание не подразумевает и не подразумевается ни слабым, ни сильным смешиванием: существуют примеры систем, которые являются слабым смешиванием, но не топологически, и примеры, которые являются топологически смешиванием, но не сильным смешиванием.

Смешение в стохастических процессах

Пусть будет стохастическим процессом на вероятностном пространстве ⁠ ⁠ . Пространство последовательностей, в которое отображается процесс, может быть снабжено топологией, топологией произведения . Открытые множества этой топологии называются цилиндрическими множествами . Эти цилиндрические множества порождают σ-алгебру , σ-алгебру Бореля ; это наименьшая σ-алгебра, которая содержит топологию. ${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$

Определим функцию , называемую коэффициентом сильного смешивания , как ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha (s)=\sup \left\{|\mathbb {P} (A\cap B)-\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)|:-\infty <t<\infty ,A\in X_{-\infty }^{t},B\in X_{t+s}^{\infty }\right\}}$

для всех ⁠ ⁠ ${\displaystyle -\infty <s<\infty }$ . Символ , с обозначает под-σ-алгебру σ-алгебры; это множество цилиндрических множеств, которые указаны между моментами времени a и b , т.е. σ-алгебра, порожденная ⁠ ⁠ . ${\displaystyle X_{a}^{b}}$ ${\displaystyle -\infty \leq a\leq b\leq \infty }$ ${\displaystyle \{X_{a},X_{a+1},\ldots ,X_{b}\}}$

Говорят, что процесс сильно перемешивает, если как ⁠ ⁠ . То есть, сильно перемешивающий процесс таков, что, таким образом, который является единым для всех времен и всех событий, события до времени и события после времени имеют тенденцию быть независимыми как ; более просто говоря, процесс, в сильном смысле, забывает свою историю. ${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$ ${\displaystyle \alpha (s)\to 0}$ ${\displaystyle s\to \infty }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+s}$ ${\displaystyle s\to \infty }$

Смешивание в марковских процессах

Предположим, что был стационарный марковский процесс со стационарным распределением и пусть обозначает пространство измеримых по Борелю функций, которые квадратично интегрируемы относительно меры . Также пусть ${\displaystyle (X_{t})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{t}\varphi (x)=\mathbb {E} [\varphi (X_{t})\mid X_{0}=x]}$

Обозначим оператор условного ожидания Наконец, пусть ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {Q} ).}$

${\displaystyle Z=\left\{\varphi \in L^{2}(\mathbb {Q} ):\int \varphi \,d\mathbb {Q} =0\right\}}$

обозначает пространство квадратично-интегрируемых функций с нулевым средним.

Коэффициенты ρ -смешивания процесса { x _t } равны

${\displaystyle \rho _{t}=\sup _{\varphi \in Z:\,\|\varphi \|_{2}=1}\|{\mathcal {E}}_{t}\varphi \|_{2}.}$

Процесс называется ρ -смешиванием , если эти коэффициенты стремятся к нулю при t → ∞ , и « ρ -смешиванием с экспоненциальной скоростью убывания», если ρ _t < e ^{− δt} для некоторого δ > 0. Для стационарного марковского процесса коэффициенты ρ _t могут либо убывать с экспоненциальной скоростью, либо всегда быть равными единице. ^[3]

Коэффициенты α -смешивания процесса { x _t } равны

${\displaystyle \alpha _{t}=\sup _{\varphi \in Z:\|\varphi \|_{\infty }=1}\|{\mathcal {E}}_{t}\varphi \|_{1}.}$

Процесс называется α -смешиванием, если эти коэффициенты стремятся к нулю при t → ∞ , это « α -смешивание с экспоненциальной скоростью затухания», если α _t < γe ^{− δt} для некоторого δ > 0 , и это α -смешивание с субэкспоненциальной скоростью затухания , если α _t < ξ ( t ) для некоторой невозрастающей функции, удовлетворяющей ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\frac {\ln \xi (t)}{t}}\to 0}$

как ⁠ ⁠ ${\displaystyle t\to \infty }$ . ^[3]

Коэффициенты α -смешивания всегда меньше коэффициентов ρ -смешивания: α _t ≤ ρ _t , поэтому если процесс является ρ -смешиванием, он обязательно будет и α -смешиванием. Однако, когда ρ _t = 1 , процесс все еще может быть α -смешиванием, с субэкспоненциальной скоростью затухания.

Коэффициенты β -смешивания определяются как

${\displaystyle \beta _{t}=\int \sup _{0\leq \varphi \leq 1}\left|{\mathcal {E}}_{t}\varphi (x)-\int \varphi \,d\mathbb {Q} \right|\,d\mathbb {Q} .}$

Процесс называется β -смешиванием, если эти коэффициенты стремятся к нулю при t → ∞ , это β -смешивание с экспоненциальной скоростью затухания, если β _t < γe ^{− δt} для некоторого δ > 0 , и это β -смешивание с субэкспоненциальной скоростью затухания , если β _t ξ ( t ) → 0 при t → ∞ для некоторой невозрастающей функции, удовлетворяющей ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\frac {\ln \xi (t)}{t}}\to 0}$

как . ^[3] ${\displaystyle t\to \infty }$

Строго стационарный марковский процесс является β -перемешивающим тогда и только тогда, когда он является апериодической рекуррентной цепью Харриса . Коэффициенты β -перемешивания всегда больше коэффициентов α -перемешивания, поэтому если процесс является β -перемешивающим, он будет также и α -перемешивающим. Прямой связи между β -перемешиванием и ρ -перемешиванием нет : ни одно из них не подразумевает другое.

Ссылки

• VI Арнольд и А. Авез, Эргодические проблемы классической механики , (1968) WA Benjamin, Inc.
• Манфред Эйнзидлер и Томас Уорд, Эргодическая теория с точки зрения теории чисел , (2011) Springer ISBN  978-0-85729-020-5
• Ахим Кленке, Теория вероятностей , (2006) Springer ISBN 978-1-84800-047-6 
• Чэнь, Сяохун; Хансен, Ларс Питер; Карраско, Марин (2010). «Нелинейность и временная зависимость». Журнал эконометрики . 155 (2): 155–169. CiteSeerX  10.1.1.597.8777 . doi :10.1016/j.jeconom.2009.10.001. S2CID  10567129.

1. Мэтью Никол и Карл Петерсен, (2009) «Эргодическая теория: основные примеры и конструкции», Энциклопедия сложности и системной науки , Springer https://doi.org/10.1007/978-0-387-30440-3_177
2. Теорема 2.36, Манфред Эйнзидлер и Томас Уорд, Эргодическая теория с точки зрения теории чисел , (2011) Springer ISBN 978-0-85729-020-5 
3. Чен, Хансен и Карраско (2010)