Тормозное излучение

Электромагнитное излучение вследствие торможения заряженных частиц

Тормозное излучение, создаваемое электроном высокой энергии, отклоняемым в электрическом поле атомного ядра.

В физике элементарных частиц тормозное излучение / ˈ b r ɛ m ʃ t r ɑː l ə ŋ / ^[1] ( немецкое произношение: [ˈbʁɛms.ʃtʁaːlʊŋ] ^ⓘ ; отнемецкого bremsen «тормозить» иStrahlung «излучение») — этоэлектромагнитное излучение, возникающее в результатезамедлениязаряженной частицыприее отклонении другой заряженной частицей, обычноэлектроном,атомным ядром. Движущаяся частица теряеткинетическую энергию, которая преобразуется в излучение (т. е.фотоны), удовлетворяя тем самымзакон сохранения энергии. Этот термин также используется для обозначения процесса производства излучения. Тормозное излучение имеетнепрерывный спектр, который становится более интенсивным и пиковая интенсивность которого смещается в сторону более высоких частот по мере увеличения изменения энергии замедляющихся частиц.

В широком смысле тормозное или тормозное излучение — это любое излучение, возникающее в результате ускорения (положительного или отрицательного) заряженной частицы, которое включает в себя синхротронное излучение (т. е. испускание фотонов релятивистской частицей ), циклотронное излучение (т. е. испускание фотонов не- релятивистская частица), а также испускание электронов и позитронов при бета-распаде . Однако этот термин часто используется в более узком смысле для излучения электронов (из любого источника), замедляющихся в веществе.

Тормозное излучение, испускаемое плазмой , иногда называют свободным-свободным излучением . Имеется в виду тот факт, что излучение в данном случае создается электронами, которые свободны (т. е. не находятся в атомном или молекулярно -связанном состоянии ) до и остаются свободными после испускания фотона. Говоря тем же языком, связанно-связанное излучение относится к дискретным спектральным линиям (электрон «перепрыгивает» между двумя связанными состояниями), тогда как свободно-связанное излучение относится к процессу радиационной комбинации, в котором свободный электрон рекомбинирует с ионом.

Классическое описание

Линии поля и модуль электрического поля, создаваемого (отрицательным) зарядом, сначала движущимся с постоянной скоростью, а затем быстро останавливающимся, чтобы показать генерируемое тормозное излучение.

Если квантовые эффекты пренебрежимо малы, ускоряющаяся заряженная частица излучает мощность, описываемую формулой Лармора и ее релятивистским обобщением.

Общая излучаемая мощность

Полная излучаемая мощность равна ^[2]

$${\displaystyle P={\frac {q^{2}\gamma ^{4}}{6\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\dot {\beta }}^{2}+{\frac {\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right)^{2}}{1-\beta ^{2}}}\right),}$$

фактор Лоренцадиэлектрическая проницаемость вакуума,q^[3] ${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}={\frac {\mathbf {v} }{c}}}$ ${\textstyle \gamma ={1}/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$

$${\displaystyle P_{a\parallel v}={\frac {q^{2}a^{2}\gamma ^{6}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}},}$$

синхротронах ${\displaystyle a\equiv {\dot {v}}={\dot {\beta }}c}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}=0}$

$${\displaystyle P_{a\perp v}={\frac {q^{2}a^{2}\gamma ^{4}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}.}$$

Излучаемая мощность в двух предельных случаях пропорциональна или . Поскольку , мы видим, что для частиц с одинаковой энергией общая излучаемая мощность равна или , что объясняет, почему электроны теряют энергию из-за тормозного излучения гораздо быстрее, чем более тяжелые заряженные частицы (например, мюоны, протоны, альфа-частицы). По этой причине электрон-позитронный коллайдер с энергией ТэВ (такой как предлагаемый Международный линейный коллайдер ) не может использовать круговой туннель (требующий постоянного ускорения), в то время как протон-протонный коллайдер (такой как Большой адронный коллайдер ) может использовать круговой туннель. . Электроны теряют энергию из-за тормозного излучения со скоростью, в несколько раз большей, чем протоны. ${\displaystyle \gamma ^{4}}$ ${\displaystyle \left(a\perp v\right)}$ ${\displaystyle \gamma ^{6}}$ ${\displaystyle \left(a\parallel v\right)}$ ${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m^{-4}}$ ${\displaystyle m^{-6}}$ ${\displaystyle (m_{p}/m_{e})^{4}\approx 10^{13}}$

Угловое распределение

Наиболее общая формула для излучаемой мощности как функции угла: ^[4]

$${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c}}{\frac {\left|{\hat {\mathbf {n} }}\times \left(\left({\hat {\mathbf {n} }}-{\boldsymbol {\beta }}\right)\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right)\right|^{2}}{\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}\right)^{5}}}}$$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle d\Omega }$

В случае, когда скорость параллельна ускорению (например, линейное движение), это упрощается до ^[4]

$${\displaystyle {\frac {dP_{a\parallel v}}{d\Omega }}={\frac {q^{2}a^{2}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c^{3}}}{\frac {\sin ^{2}\theta }{(1-\beta \cos \theta )^{5}}}}$$

${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

Упрощенное квантовомеханическое описание

Полная квантово-механическая трактовка тормозного излучения очень сложна. «Вакуумный случай» взаимодействия одного электрона, одного иона и одного фотона с использованием чистого кулоновского потенциала имеет точное решение, которое, вероятно, было впервые опубликовано А. Зоммерфельдом в 1931 году. [5 ^] Это аналитическое решение требует сложной математики. и было опубликовано несколько численных расчетов, например, Карзаса и Лэттера. ^[6] Были представлены и другие приближенные формулы, например, в недавней работе Вайнберга ^[7] и Прадлера и Земмельрока. ^[8]

В этом разделе дан квантовомеханический аналог предыдущего раздела, но с некоторыми упрощениями, чтобы проиллюстрировать важные физические аспекты. Мы даем нерелятивистскую трактовку частного случая, когда электрон с массой , зарядом и начальной скоростью замедляется в кулоновском поле газа тяжелых ионов с зарядом и плотностью . Испускаемое излучение представляет собой фотон с частотой и энергией . Мы хотим найти коэффициент излучения , который представляет собой излучаемую мощность на (телесный угол в пространстве скоростей фотонов * частота фотонов), суммированную по обеим поперечным поляризациям фотонов. Мы выражаем это как приближенный классический результат, умноженный на коэффициент Гаунта g _ff свободного-свободного излучения с учетом квантовых и других поправок: ${\displaystyle m_{e}}$ ${\displaystyle -e}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Ze}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \nu =c/\lambda }$ ${\displaystyle h\nu }$ ${\displaystyle j(v,\nu )}$

$${\displaystyle j(v,\nu )={8\pi \over 3{\sqrt {3}}}\left({e^{2} \over 4\pi \epsilon _{0}}\right)^{3}{Z^{2}n_{i} \over c^{3}m_{e}^{2}v}g_{\rm {ff}}(v,\nu )}$$

${\displaystyle j(\nu ,v)=0}$ ${\displaystyle h\nu >mv^{2}/2}$ ${\displaystyle g_{\rm {ff}}}$

• Вакуумное взаимодействие: мы пренебрегаем никакими эффектами фоновой среды, такими как эффекты плазменного экранирования. Это разумно для частоты фотонов, намного превышающей плазменную частоту с плотностью электронов плазмы. Обратите внимание, что световые волны недолговечны, и потребуется совершенно другой подход. ${\displaystyle \nu _{\rm {pe}}\propto n_{\rm {e}}^{1/2}}$ ${\displaystyle n_{e}}$ ${\displaystyle \nu <\nu _{\rm {pe}}}$
• Мягкие фотоны: , то есть энергия фотона намного меньше начальной кинетической энергии электрона. ${\displaystyle h\nu \ll m_{e}v^{2}/2}$

При этих предположениях процесс характеризуют два безразмерных параметра: , который измеряет силу электрон-ионного кулоновского взаимодействия, и , который измеряет «мягкость» фотона и мы считаем, что он всегда мал (выбор множителя 2 сделан для дальнейшего удобства ). В пределе квантовомеханическое борновское приближение дает: ${\displaystyle \eta _{Z}\equiv Ze^{2}/\hbar v}$ ${\displaystyle \eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{e}v^{2}}$ ${\displaystyle \eta _{Z}\ll 1}$

$${\displaystyle g_{\text{ff,Born}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\ln {1 \over \eta _{\nu }}}$$

В противоположном пределе полный квантовомеханический результат сводится к чисто классическому результату ${\displaystyle \eta _{Z}\gg 1}$

$${\displaystyle g_{\text{ff,class}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\left[\ln \left({1 \over \eta _{Z}\eta _{\nu }}\right)-\gamma \right]}$$

постоянная Эйлера–Машерони ${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$ ${\displaystyle 1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{e}v^{3}/\pi Ze^{2}\nu }$ ${\displaystyle h}$

Полуклассический эвристический способ понять фактор Гонта состоит в том, чтобы записать его как где и — максимальные и минимальные «параметры удара» для электрон-ионного столкновения в присутствии электрического поля фотона. При наших предположениях : при больших прицельных параметрах синусоидальные колебания поля фотонов обеспечивают «смешение фаз», которое сильно уменьшает взаимодействие. - это большее из квантовомеханической длины волны де Бройля и классического расстояния наибольшего сближения , на котором кулоновская потенциальная энергия электрона и иона сравнима с начальной кинетической энергией электрона. ${\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \ln(b_{\text{max}}/b_{\text{min}})}$ ${\displaystyle b_{\max }}$ ${\displaystyle b_{\min }}$ ${\displaystyle b_{\rm {max}}=v/\nu }$ ${\displaystyle b_{\rm {min}}}$ ${\displaystyle \approx h/m_{e}v}$ ${\displaystyle \approx e^{2}/4\pi \varepsilon _{0}m_{e}v^{2}}$

Вышеупомянутые приближения обычно применяются, пока аргумент логарифма велик, и не работают, когда он меньше единицы. А именно, эти формы для фактора Гонта становятся отрицательными, что нефизично. Грубое приближение к полным расчетам с соответствующими борновскими и классическими пределами:

$${\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \max \left[1,{{\sqrt {3}} \over \pi }\ln \left[{1 \over \eta _{\nu }\max(1,e^{\gamma }\eta _{Z})}\right]\right]}$$

Тепловое тормозное излучение в среде: излучение и поглощение.

Спектр мощности тормозного излучения быстро убывает при больших , а также подавляется вблизи . Этот график предназначен для квантового случая и . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega =\omega _{\rm {p}}}$ ${\displaystyle T_{e}>Z^{2}E_{\text{h}}}$ ${\displaystyle \hbar \omega _{\text{p}}/T_{e}=0.1}$

В этом разделе обсуждается тормозное излучение и обратный процесс поглощения (называемый обратным тормозным излучением) в макроскопической среде. Начнем с уравнения переноса излучения, которое применимо к общим процессам, а не только к тормозному излучению:

$${\displaystyle {\frac {1}{c}}\partial _{t}I_{\nu }+{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \nabla I_{\nu }=j_{\nu }-k_{\nu }I_{\nu }}$$

${\displaystyle I_{\nu }(t,\mathbf {x} )}$- это спектральная интенсивность излучения, или мощность на (площадь × телесный угол в пространстве скоростей фотонов × частота фотонов), суммированная по обеим поляризациям. – коэффициент излучения, аналогичный определенному выше, – коэффициент поглощения. и являются свойствами материи, а не излучения, и учитывают все частицы в среде, а не только пару из одного электрона и одного иона, как в предыдущем разделе. Если однородно в пространстве и времени, то левая часть уравнения переноса равна нулю, и мы находим ${\displaystyle j_{\nu }}$ ${\displaystyle j(v,\nu )}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$ ${\displaystyle j_{\nu }}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$ ${\displaystyle I_{\nu }}$

$${\displaystyle I_{\nu }={j_{\nu } \over k_{\nu }}}$$

Если вещество и излучение также находятся в тепловом равновесии при некоторой температуре, то спектр черного тела должен быть : ${\displaystyle I_{\nu }}$

$${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T_{e})={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\text{B}}T_{e}}-1}}}$$

Поскольку и не зависят от , это означает, что это должен быть спектр абсолютно черного тела всякий раз, когда вещество находится в равновесии при некоторой температуре – независимо от состояния излучения. Это позволяет нам сразу узнать оба , а как только станет известно одно – для материи, находящейся в равновесии. ${\displaystyle j_{\nu }}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$ ${\displaystyle I_{\nu }}$ ${\displaystyle j_{\nu }/k_{\nu }}$ ${\displaystyle j_{\nu }}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$

В плазме

ПРИМЕЧАНИЕ . В настоящее время в этом разделе приводятся формулы, применимые в пределе Рэлея-Джинса , и не используется квантовая (планковская) трактовка излучения. При этом обычный фактор вроде не появляется. Появление ниже обусловлено квантовомеханической трактовкой столкновений. ${\displaystyle \hbar \omega \ll k_{\text{B}}T_{e}}$ ${\displaystyle \exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{e})}$ ${\displaystyle \hbar \omega /k_{\text{B}}T_{e}}$ ${\displaystyle y}$

В плазме свободные электроны постоянно сталкиваются с ионами, создавая тормозное излучение. Полный анализ требует учета как бинарных кулоновских столкновений, так и коллективного (диэлектрического) поведения. Подробное описание дано Бекефи ^[9] , а упрощенное — Ичимару. ^[10] В этом разделе мы следуем диэлектрической трактовке Бекефи, в которую столкновения включены приблизительно через волновое число отсечки . ${\displaystyle k_{\text{max}}}$

Рассмотрим однородную плазму с тепловыми электронами, распределенными согласно распределению Максвелла-Больцмана с температурой . Следуя Бекефи, спектральная плотность мощности (мощность на интервал угловой частоты на объем, интегрированная по всему телесному углу и в обеих поляризациях) излучаемого тормозного излучения рассчитывается как ${\displaystyle T_{e}}$ ${\displaystyle 4\pi }$

$${\displaystyle {dP_{\mathrm {Br} } \over d\omega }={\frac {8{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}\left[{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right]^{3}{1 \over (m_{e}c^{2})^{3/2}}\left[1-{\omega _{\rm {p}}^{2} \over \omega ^{2}}\right]^{1/2}{Z_{i}^{2}n_{i}n_{e} \over (k_{\rm {B}}T_{e})^{1/2}}E_{1}(y),}$$

физические константы) ${\displaystyle \omega _{p}\equiv (n_{e}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{e})^{1/2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n_{e},n_{i}}$ ${\displaystyle \omega <\omega _{\rm {p}}}$ ${\displaystyle \omega >\omega _{\rm {p}}}$

Специальная функция определена в статье об экспоненциальном интеграле , а безразмерная величина равна ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle y={\frac {1}{2}}{\omega ^{2}m_{e} \over k_{\text{max}}^{2}k_{\text{B}}T_{e}}}$$

${\displaystyle k_{\text{max}}}$представляет собой максимальное или предельное волновое число, возникающее из-за бинарных столкновений и может варьироваться в зависимости от типа иона. Грубо говоря, когда (типично для не слишком холодной плазмы), где eV — энергия Хартри , а ^{[ нужны пояснения ]} — электронная тепловая длина волны де Бройля . В противном случае, где находится классическое кулоновское расстояние наибольшего сближения. ${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}>Z_{i}^{2}E_{\text{h}}}$ ${\displaystyle E_{\text{h}}\approx 27.2}$ ${\displaystyle \lambda _{\text{B}}=\hbar /(m_{\text{e}}k_{\text{B}}T_{\text{e}})^{1/2}}$ ${\displaystyle k_{\text{max}}\propto 1/l_{\text{C}}}$ ${\displaystyle l_{\text{C}}}$

Для обычного случая находим ${\displaystyle k_{m}=1/\lambda _{B}}$

$${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T_{e}}}\right]^{2}.}$$

Формула для является приблизительной, поскольку в ней не учитывается усиленное излучение, возникающее при немного выше . ${\displaystyle dP_{\mathrm {Br} }/d\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{\text{p}}}$

В пределе мы можем аппроксимировать как где – постоянная Эйлера – Маскерони . Часто используется ведущий логарифмический член, который напоминает кулоновский логарифм, который встречается в других расчетах столкновительной плазмы. Ибо логарифмический член отрицателен, и приближение явно недостаточно. Бекефи дает исправленные выражения для логарифмического члена, которые соответствуют подробным расчетам бинарных столкновений. ${\displaystyle y\ll 1}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)}$ ${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$ ${\displaystyle y>e^{-\gamma }}$

Полная плотность мощности излучения, интегрированная по всем частотам, равна

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\mathrm {Br} }&=\int _{\omega _{\text{p}}}^{\infty }d\omega {\frac {dP_{\mathrm {Br} }}{d\omega }}={\frac {16}{3}}\left[{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right]^{3}{\frac {1}{m_{e}^{2}c^{3}}}Z_{i}^{2}n_{i}n_{e}k_{\text{max}}G(y_{\text{p}})\\[1ex]G(y_{p})&={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int _{y_{\text{p}}}^{\infty }dy\,y^{-{1}/{2}}\left[1-{y_{\text{p}} \over y}\right]^{1/2}E_{1}(y)\\[1ex]y_{\text{p}}&=y({\omega \!=\!\omega _{\text{p}}})\end{aligned}}}$$

${\displaystyle G(y_{\text{p}}=0)=1}$и уменьшается с ; это всегда позитивно. Для находим ${\displaystyle y_{\text{p}}}$ ${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$

$${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }={16 \over 3}{\left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{3} \over (m_{e}c^{2})^{\frac {3}{2}}\hbar }Z_{i}^{2}n_{i}n_{e}(k_{\rm {B}}T_{e})^{\frac {1}{2}}G(y_{\rm {p}})}$$

Обратите внимание на появление из-за квантовой природы . В практических единицах обычно используется версия этой формулы для [ ^11] ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$ ${\displaystyle G=1}$

$${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }[\mathrm {W/m^{3}} ]={Z_{i}^{2}n_{i}n_{e} \over \left[7.69\times 10^{18}\mathrm {m^{-3}} \right]^{2}}T_{e}[\mathrm {eV} ]^{\frac {1}{2}}.}$$

Эта формула в 1,59 раза больше приведенной выше, причем разница связана с деталями двойных столкновений. Подобная неоднозначность часто выражается введением фактора Гонта , например, в ^[12] находим ${\displaystyle g_{\rm {B}}}$

$${\displaystyle \varepsilon _{\text{ff}}=1.4\times 10^{-27}T^{\frac {1}{2}}n_{e}n_{i}Z^{2}g_{\text{B}},\,}$$

СГС

Релятивистские поправки

Релятивистские поправки к излучению фотона с энергией 30 кэВ электроном, ударившимся о протон.

Для очень высоких температур в эту формулу вносятся релятивистские поправки, т. е. дополнительные члены порядка . ^[13] ${\displaystyle k_{\text{B}}T_{e}/m_{e}c^{2}}$

Тормозное охлаждение

Если плазма оптически тонкая , тормозное излучение покидает плазму, унося с собой часть внутренней энергии плазмы. Этот эффект известен как тормозное охлаждение . Это разновидность радиационного охлаждения . Энергия, уносимая тормозным излучением, называется тормозными потерями и представляет собой разновидность радиационных потерь. Обычно термин «потери тормозного излучения» используют в контексте, когда охлаждение плазмы нежелательно, например, в термоядерной плазме .

Поляризационное тормозное излучение

Поляризационное тормозное излучение (иногда называемое «атомным тормозным излучением») — это излучение, испускаемое электронами атома мишени, когда атом мишени поляризуется кулоновским полем падающей заряженной частицы. ^{[14] [15]} Вклад поляризационного тормозного излучения в общий спектр тормозного излучения наблюдался в экспериментах с участием относительно массивных падающих частиц, ^[16] резонансных процессов, ^[17] и свободных атомов. ^[18] Однако до сих пор ведутся споры о том, есть ли значительный вклад поляризационного тормозного излучения в экспериментах с участием быстрых электронов, падающих на твердые мишени. ^{[19] [20]}

Стоит отметить, что термин «поляризационный» не означает, что излучаемое тормозное излучение поляризовано. Кроме того, угловое распределение поляризационного тормозного излучения теоретически сильно отличается от обычного тормозного излучения. ^[21]

Источники

Рентгеновская трубка

Спектр рентгеновских лучей, излучаемых рентгеновской трубкой с родиевой мишенью, работающей при напряжении 60 кВ . Сплошная кривая обусловлена ​​тормозным излучением, а пики представляют собой характерные K-линии родия. Кривая стремится к нулю в 21 час дня в соответствии с законом Дуэйна-Ханта , как описано в тексте.

В рентгеновской трубке электроны ускоряются в вакууме электрическим полем по направлению к куску металла, называемому «мишенью». Рентгеновские лучи испускаются, когда электроны замедляются (замедляются) в металле. Выходной спектр состоит из непрерывного спектра рентгеновских лучей с дополнительными острыми пиками при определенных энергиях. Непрерывный спектр обусловлен тормозным излучением, а острые пики — характерным рентгеновским излучением , связанным с атомами мишени. По этой причине тормозное излучение в этом контексте также называют непрерывным рентгеновским излучением . ^[22]

Форма этого непрерывного спектра приближенно описывается законом Крамерса .

Формула закона Крамерса обычно представляет собой распределение интенсивности (количества фотонов) в зависимости от длины волны испускаемого излучения: ^[23] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle I(\lambda )\,d\lambda =K\left({\frac {\lambda }{\lambda _{\min }}}-1\right){\frac {d\lambda }{\lambda ^{2}}}}$$

Константа K пропорциональна атомному номеру целевого элемента и представляет собой минимальную длину волны, определяемую законом Дуэйна-Ханта . ${\displaystyle \lambda _{\min }}$

Спектр имеет резкий обрыв при , что связано с ограниченностью энергии налетающих электронов. Например, если электрон в трубке ускорить до 60 кВ , то он приобретет кинетическую энергию 60 кэВ и при попадании в мишень сможет создать рентгеновские лучи с энергией не более 60 кэВ, за счет сохранения энергии . (Этот верхний предел соответствует тому, что электрон останавливается, испуская всего один рентгеновский фотон . Обычно электрон испускает множество фотонов, каждый из которых имеет энергию менее 60 кэВ.) Фотон с энергией не более 60 кэВ имеет длину волны не менее 21 часа дня , поэтому непрерывный рентгеновский спектр имеет именно такое обрезание, как видно на графике. В более общем плане формула для обрезания низких длин волн, закон Дуэйна – Ханта, выглядит следующим образом: ^[24] ${\displaystyle \lambda _{\min }}$

$${\displaystyle \lambda _{\min }={\frac {hc}{eV}}\approx {\frac {1239.8}{V}}\,\mathrm {pm/kV} }$$

hпостоянная Планкаcскорость светаVнапряжениеeэлементарный зарядpmпикометры

Бета-распад

Вещества, испускающие бета-частицы, иногда демонстрируют слабое излучение с непрерывным спектром, обусловленное тормозным излучением (см. «Внешнее тормозное излучение» ниже). В этом контексте тормозное излучение представляет собой тип «вторичного излучения», поскольку оно возникает в результате остановки (или замедления) первичного излучения ( бета-частиц ). Оно очень похоже на рентгеновские лучи, получаемые при бомбардировке металлических мишеней электронами в генераторах рентгеновских лучей (как указано выше), за исключением того, что они производятся высокоскоростными электронами из бета-излучения.

Внутреннее и внешнее тормозное излучение.

«Внутреннее» тормозное излучение (также известное как «внутреннее тормозное излучение») возникает в результате создания электрона и потери им энергии (из-за сильного электрического поля в области распадающегося ядра) при выходе из ядра. Такое излучение является особенностью бета-распада ядер, но иногда (реже) наблюдается при бета-распаде свободных нейтронов на протоны, когда оно создается, когда бета-электрон покидает протон.

При эмиссии электронов и позитронов при бета-распаде энергия фотона исходит от пары электрон- нуклон , причем спектр тормозного излучения непрерывно уменьшается с увеличением энергии бета-частицы. При захвате электрона энергия поступает за счет нейтрино , а спектр достигает наибольшего значения примерно при одной трети нормальной энергии нейтрино, уменьшаясь до нуля электромагнитной энергии при нормальной энергии нейтрино. Обратите внимание, что в случае захвата электрона возникает тормозное излучение, хотя заряженные частицы не испускаются. Вместо этого тормозное излучение можно рассматривать как возникающее, когда захваченный электрон ускоряется в сторону поглощения. Такое излучение может иметь те же частоты, что и мягкое гамма-излучение , но оно не демонстрирует ни одной из резких спектральных линий гамма-распада и, следовательно, технически не является гамма-излучением.

Внутренний процесс следует противопоставить «внешнему» тормозному излучению, обусловленному столкновением с ядром электронов, приходящих извне (т. е. испускаемых другим ядром), как обсуждалось выше. ^[25]

Радиационная безопасность

В некоторых случаях, например, при распаде32P , тормозное излучение, возникающее при экранировании бета-излучения обычно используемыми плотными материалами (например, свинцом ), само по себе опасно; в таких случаях экранирование должно быть выполнено с использованием материалов низкой плотности, таких как оргстекло ( люцит ), пластик , дерево или вода ; ^[26] поскольку у этих материалов атомный номер ниже, интенсивность тормозного излучения значительно снижается, но для остановки электронов (бета-излучение) требуется большая толщина защиты.

В астрофизике

Доминирующей световой составляющей в скоплении галактик является внутрископительная среда от 10 ⁷ до 10 ⁸ К. Излучение внутрикластерной среды характеризуется тепловым тормозным излучением. Это излучение находится в энергетическом диапазоне рентгеновских лучей и его можно легко наблюдать с помощью космических телескопов, таких как рентгеновская обсерватория «Чандра» , XMM-Newton , ROSAT , ASCA , EXOSAT , Suzaku , RHESSI и будущих миссий, таких как IXO [1]. и Астро-Н [2].

Тормозное излучение также является доминирующим механизмом излучения областей H II в радиодиапазоне.

В электрических разрядах

При электрических разрядах, например, при лабораторных разрядах между двумя электродами или при грозовых разрядах между облаком и землей или внутри облаков, электроны производят фотоны тормозного излучения, рассеиваясь на молекулах воздуха. Эти фотоны проявляются в земных вспышках гамма-излучения и являются источником пучков электронов, позитронов, нейтронов и протонов. ^[27] Появление фотонов тормозного излучения также влияет на распространение и морфологию разрядов в азотно-кислородных смесях с низким процентным содержанием кислорода. ^[28]

Квантово-механическое описание

Полное квантовомеханическое описание было впервые выполнено Бете и Гейтлером. ^[29] Они предположили, что электроны, которые рассеиваются на ядре атома, плоские волны, и получили сечение, которое связывает полную геометрию этого процесса с частотой испускаемого фотона. Четверное дифференциальное сечение, которое демонстрирует квантовомеханическую симметрию к образованию пар , равно

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{4}\sigma ={}&{\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}\hbar ^{2}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {d\omega }{\omega }}{\frac {d\Omega _{i}\,d\Omega _{f}\,d\Phi }{\left|\mathbf {q} \right|^{4}}}\\&{}\times \left[{\frac {\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)^{2}}}\left(4E_{i}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)+{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}\left(4E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right.\\&{}\qquad +2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}+\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f})\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\\&{}\qquad -2\left.{\frac {\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\sin \Theta _{i}\sin \Theta _{f}\cos \Phi }{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|c1\cos \Theta _{i}\right)}}\left(2E_{i}^{2}+2E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right],\end{aligned}}}$

где атомный номер , постоянная тонкой структуры , приведенная постоянная Планка и скорость света . Кинетическая энергия электрона в начальном и конечном состоянии связана с его полной энергией или его импульсами через ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \alpha _{\text{fine}}\approx 1/137}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle E_{{\text{kin}},i/f}}$ ${\displaystyle E_{i,f}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i,f}}$

$${\displaystyle E_{i,f}=E_{{\text{kin}},i/f}+m_{e}c^{2}={\sqrt {m_{e}^{2}c^{4}+\mathbf {p} _{i,f}^{2}c^{2}}},}$$

электронаСохранение энергии ${\displaystyle m_{e}}$

$${\displaystyle E_{f}=E_{i}-\hbar \omega ,}$$

${\displaystyle \hbar \omega }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{i}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ),\\\Theta _{f}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\\\Phi &={\text{Angle between the planes }}(\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ){\text{ and }}(\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \mathbf {k} }$

Дифференциалы задаются как

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\Omega _{i}&=\sin \Theta _{i}\ d\Theta _{i},\\d\Omega _{f}&=\sin \Theta _{f}\ d\Theta _{f}.\end{aligned}}}$$

Абсолютная величина виртуального фотона между ядром и электроном равна

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {q} ^{2}={}&-\left|\mathbf {p} _{i}\right|^{2}-\left|\mathbf {p} _{f}\right|^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{i}-2\left|\mathbf {p} _{f}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{f}\\&{}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\left(\cos \Theta _{f}\cos \Theta _{i}+\sin \Theta _{f}\sin \Theta _{i}\cos \Phi \right).\end{aligned}}}$

Область применимости определяется приближением Борна.

$${\displaystyle v\gg {\frac {Zc}{137}}}$$

${\displaystyle v}$

Для практических приложений (например, в кодах Монте-Карло ) может быть интересно сосредоточиться на связи между частотой испускаемого фотона и углом между этим фотоном и падающим электроном. Кён и Эберт проинтегрировали четверное дифференциальное сечение Бете и Гейтлера и получили: ^[30] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Theta _{f}}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\sigma (E_{i},\omega ,\Theta _{i})}{d\omega \,d\Omega _{i}}}=\sum \limits _{j=1}^{6}I_{j}}$$

с

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\\&{}\times \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{2}={}&-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right),\\I_{3}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{4}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\times \ln \left[\left(\left[E_{f}+p_{f}c\right]\right.\right.\\&\left.\left[4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{f}-p_{f}c\right)+\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right)\right]\right)\\&\left[\left(E_{f}-p_{f}c\right)\left(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[-E_{f}-p_{f}c\right]\right.\right.\\&{}+\left.\left.\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right]\right)\right]^{-1}\\&{}\times \left[-{\frac {\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2}\right)+p_{f}c\left(2\left[\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right]E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}\left[3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right.\\&{}-{\frac {c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c\right)}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}m^{2}c^{4}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}p_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{4}={}&{}-{\frac {4\pi Ap_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}},\\I_{5}={}&{\frac {4\pi A}{\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\\&{}\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&{}\times {\frac {E_{f}\left(2\Delta _{2}^{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}\right]\right)+p_{f}c\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\left(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}\right)\left(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right)+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)\left(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}={}&{\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}},\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {\hbar ^{2}}{\omega }}\\\Delta _{1}&=-\mathbf {p} _{i}^{2}-\mathbf {p} _{f}^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i},\\\Delta _{2}&=-2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{f}\right|+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{i}.\end{aligned}}}$

Однако гораздо более простое выражение для того же интеграла можно найти в ^[31] (уравнение 2BN) и в ^[32] (уравнение 4.1).

Анализ дважды дифференциального сечения, приведенный выше, показывает, что электроны, кинетическая энергия которых больше энергии покоя (511 кэВ), излучают фотоны в прямом направлении, тогда как электроны с небольшой энергией излучают фотоны изотропно.

Электронно-электронное тормозное излучение

Одним из механизмов, который считается важным для малых атомных номеров , является рассеяние свободного электрона на электронах оболочки атома или молекулы. ^[33] Поскольку электрон-электронное тормозное излучение является функцией , а обычное электрон-ядерное тормозное излучение является функцией , то электрон-электронное тормозное излучение для металлов пренебрежимо мало. Однако для воздуха он играет важную роль в производстве земных гамма-вспышек . ^[34] ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z^{2}}$

Смотрите также

• Лучевое излучение
• Циклотронное излучение
• Вигглер (синхротрон)
• Лазер на свободных электронах
• История рентгеновских лучей
• Эффект Ландау–Померанчука–Мигдала.
• Ядерный синтез: потери от тормозного излучения
• Длина излучения , характеризующая потери энергии за счет тормозного излучения электронов высоких энергий в веществе.
• Источник синхротронного света

Рекомендации

1. "Тормозное излучение". Словарь Merriam-Webster.com .
2. Формуляр по плазме для физики, технологий и астрофизики , Д. Дайвер, стр. 46–48.
3. Гриффитс, DJ Введение в электродинамику . стр. 463–465.
4. Джексон. Классическая электродинамика . §14.2–3.
5. Зоммерфельд, А. (1931). «Über die Beugung und Bremsung der Elektronen». Аннален дер Физик (на немецком языке). 403 (3): 257–330. Бибкод : 1931АнП...403..257С. дои : 10.1002/andp.19314030302.
6. Карзас, WJ; Последний, Р. (май 1961 г.). «Электронно-радиационные переходы в кулоновском поле». Серия дополнений к астрофизическому журналу . 6 : 167. Бибкод : 1961ApJS....6..167K. дои : 10.1086/190063. ISSN  0067-0049.
7. Вайнберг, Стивен (30 апреля 2019 г.). «Мягкое тормозное излучение». Физический обзор D . 99 (7): 076018. arXiv : 1903.11168 . Бибкод : 2019PhRvD..99g6018W. doi : 10.1103/PhysRevD.99.076018. ISSN  2470-0010. S2CID  85529161.
8. Прадлер, Йозеф; Семмелрок, Лукас (01 ноября 2021 г.). «Нерелятивистское электрон-ионное тормозное излучение: приближенная формула для всех параметров». Астрофизический журнал . 922 (1): 57. arXiv : 2105.13362 . Бибкод : 2021ApJ...922...57P. дои : 10.3847/1538-4357/ac24a8 . ISSN  0004-637X. S2CID  235248150.
9. Радиационные процессы в плазме, Г. Бекефи, Вили, 1-е издание (1966).
10. Основные принципы физики плазмы: статистический подход, С. Ичимару, с. 228.
11. Формуляр по плазме NRL, редакция 2006 г., стр. 58.
12. Радиационные процессы в астрофизике , Г.Б. Рыбицки и А.П. Лайтман, с. 162.
13. Райдер, TH (1995). Фундаментальные ограничения систем плазменного синтеза, не находящихся в термодинамическом равновесии (кандидатская диссертация). Массачусетский технологический институт. п. 25. HDL : 1721.1/11412.
14. Тормозное поляризационное излучение на атомах, плазме, наноструктурах и твердых телах , В. Астапенко.
15. Новые достижения в исследованиях фотонов и материалов , Глава 3: «Поляризационное тормозное излучение: обзор», С. Уильямс
16. Исии, Кейзо (2006). «Непрерывное рентгеновское излучение, возникающее при столкновениях легких ионов и атомов». Радиационная физика и химия . Эльзевир Б.В. 75 (10): 1135–1163. Бибкод : 2006RaPC...75.1135I. doi :10.1016/j.radphyschem.2006.04.008. ISSN  0969-806X.
17. Вендин, Г.; Нуро, К. (4 июля 1977 г.). «Тормозные резонансы и потенциальная спектроскопия вблизи 3d-порогов в металлических Ba, La и Ce». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество (APS). 39 (1): 48–51. Бибкод : 1977PhRvL..39...48W. doi : 10.1103/physrevlett.39.48. ISSN  0031-9007.
18. Портильо, Сал; Куорлз, Калифорния (23 октября 2003 г.). «Абсолютные двудифференциальные сечения тормозного излучения электронов из атомов редких газов при энергии 28 и 50 кэВ». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество (APS). 91 (17): 173201. Бибкод : 2003PhRvL..91q3201P. doi : 10.1103/physrevlett.91.173201. ISSN  0031-9007. ПМИД  14611345.
19. Астапенко, В.А.; Кубанкин А.С.; Насонов Н.Н.; Полянский В.В.; Похиль, врач-терапевт; Сергиенко В.И.; Хабло, Вирджиния (2006). «Измерение поляризационного тормозного излучения релятивистских электронов в поликристаллических мишенях». Письма ЖЭТФ . Pleiades Publishing Ltd. 84 (6): 281–284. Бибкод : 2006JETPL..84..281A. дои : 10.1134/s0021364006180019. ISSN  0021-3640. S2CID  122759704.
20. Уильямс, Скотт; Куорлз, Калифорния (4 декабря 2008 г.). «Абсолютное тормозное излучение дает при 135° электроны с энергией 53 кэВ на мишенях из золотой пленки». Физический обзор А. Американское физическое общество (APS). 78 (6): 062704. Бибкод : 2008PhRvA..78f2704W. дои : 10.1103/physreva.78.062704. ISSN  1050-2947.
21. Гонсалес, Д.; Кавнесс, Б.; Уильямс, С. (29 ноября 2011 г.). «Угловое распределение тормозного излучения толстой мишени, создаваемого электронами с начальной энергией от 10 до 20 кэВ, падающими на Ag». Физический обзор А. 84 (5): 052726. arXiv : 1302.4920 . Бибкод : 2011PhRvA..84e2726G. doi : 10.1103/physreva.84.052726. ISSN  1050-2947. S2CID  119233168.
22. SJB Рид (2005). Электронно-микрозондовый анализ и сканирующая электронная микроскопия в геологии. Издательство Кембриджского университета. п. 12. ISBN 978-1-139-44638-9.
23. Лагуиттон, Дэниел; Уильям Пэрриш (1977). «Экспериментальное спектральное распределение в сравнении с законом Крамерса для количественной рентгеновской флуоресценции методом фундаментальных параметров». Рентгеновская спектрометрия . 6 (4): 201. Бибкод : 1977XRS.....6..201L. дои : 10.1002/xrs.1300060409.
24. Рене Ван Грикен; Анджей Маркович (2001). Справочник по рентгеновской спектрометрии. ЦРК Пресс. п. 3. ISBN 978-0-203-90870-9.
25. Книпп, Дж. К.; Г. Э. Уленбек (июнь 1936 г.). «Излучение гамма-излучения при бета-распаде ядер». Физика . 3 (6): 425–439. Бибкод : 1936Phy.....3..425K. дои : 10.1016/S0031-8914(36)80008-1. ISSN  0031-8914.
26. «Окружающая среда, здоровье и безопасность» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 1 июля 2017 г. Проверено 14 марта 2018 г.
27. Кён, К.; Эберт, У. (2015). «Расчет пучков позитронов, нейтронов и протонов, связанных с земными вспышками гамма-излучения». Журнал геофизических исследований: Атмосфера . 120 (4): 1620–1635. Бибкод : 2015JGRD..120.1620K. дои : 10.1002/2014JD022229 .
28. Кён, К.; Чанрион, О.; Нойберт, Т. (2017). «Влияние тормозного излучения на стримеры электрических разрядов в газовых смесях N2, O2». Плазменные источники Наука и техника . 26 (1): 015006. Бибкод : 2017PSST...26a5006K. дои : 10.1088/0963-0252/26/1/015006 .
29. Бете, HA; Гейтлер, В. (1934). «Об остановке быстрых частиц и о рождении положительных электронов». Труды Королевского общества А. 146 (856): 83–112. Бибкод : 1934RSPSA.146...83B. дои : 10.1098/rspa.1934.0140 .
30. Кён, К.; Эберт, У. (2014). «Угловое распределение фотонов тормозного излучения и позитронов для расчета земных гамма-вспышек и позитронных пучков». Атмосферные исследования . 135–136: 432–465. arXiv : 1202.4879 . Бибкод : 2014AtmRe.135..432K. doi :10.1016/j.atmosres.2013.03.012. S2CID  10679475.
31. Кох, HW; Моц, JW (1959). «Формулы сечения тормозного излучения и соответствующие данные». Обзоры современной физики . 31 (4): 920–955. Бибкод : 1959РвМП...31..920К. doi : 10.1103/RevModPhys.31.920.
32. Глюкстерн, РЛ; Халл, М.Х. младший (1953). «Поляризационная зависимость интегрального сечения тормозного излучения». Физический обзор . 90 (6): 1030–1035. Бибкод : 1953PhRv...90.1030G. doi : 10.1103/PhysRev.90.1030.
33. Тессье, Ф.; Кавраков, И. (2008). «Расчет электрон-электронного сечения тормозного излучения в поле атомных электронов». Ядерные приборы и методы в физических исследованиях Б . 266 (4): 625–634. Бибкод : 2008NIMPB.266..625T. дои :10.1016/j.nimb.2007.11.063.
34. Кён, К.; Эберт, У. (2014). «Важность электрон-электронного тормозного излучения для земных гамма-вспышек, электронных пучков и электрон-позитронных пучков». Физический журнал Д. 47 (25): 252001. Бибкод : 2014JPhD...47y2001K. дои : 10.1088/0022-3727/47/25/252001. S2CID  7824294.

дальнейшее чтение

• Эберхард Хауг; Вернер Накель (2004). Элементарный процесс тормозного излучения. Конспекты научных лекций по физике. Том. 73. Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 978-981-238-578-9.

Внешние ссылки

• Указатель ранних статей о тормозном излучении