Универсальная собственность

Характеристика свойств математических конструкций

Типичная схема определения универсального морфизма.

В математике , а точнее в теории категорий , универсальное свойство — это свойство, характеризующее с точностью до изоморфизма результат некоторых построений. Таким образом, универсальные свойства могут быть использованы для определения некоторых объектов независимо от метода, выбранного для их построения. Например, определения целых чисел из натуральных чисел , рациональных чисел из целых чисел, действительных чисел из рациональных чисел и полиномиальных колец из поля их коэффициентов могут быть сделаны в терминах универсальных свойств. В частности, концепция универсального свойства позволяет просто доказать, что все конструкции действительных чисел эквивалентны: достаточно доказать, что они удовлетворяют одному и тому же универсальному свойству.

Технически, универсальное свойство определяется в терминах категорий и функторов посредством универсального морфизма (см. § Формальное определение, ниже). Универсальные морфизмы можно также рассматривать более абстрактно как начальные или конечные объекты категории запятой (см. § Связь с категориями запятой, ниже).

Универсальные свойства встречаются почти везде в математике, и использование этой концепции позволяет использовать общие свойства универсальных свойств для легкого доказательства некоторых свойств, которые в противном случае потребовали бы скучных проверок. Например, если задано коммутативное кольцо R , поле дробей фактор-кольца R по простому идеалу p можно отождествить с полем вычетов локализации R в точке p ; то есть (все эти конструкции можно определить с помощью универсальных свойств). ${\displaystyle R_{p}/pR_{p}\cong \operatorname {Frac} (R/p)}$

Другие объекты, которые могут быть определены универсальными свойствами, включают: все свободные объекты , прямые произведения и прямые суммы , свободные группы , свободные решетки , группу Гротендика , пополнение метрического пространства , пополнение кольца , пополнение Дедекинда–Макнейла , топологии произведений , компактификация Стоуна–Чеха , тензорные произведения , обратный предел и прямой предел , ядра и коядра , фактор-группы , фактор-векторные пространства и другие фактор-пространства .

Мотивация

Прежде чем дать формальное определение универсальных свойств, предложим некоторую мотивацию для изучения таких конструкций.

• Конкретные детали данной конструкции могут быть запутанными, но если конструкция удовлетворяет универсальному свойству, можно забыть обо всех этих деталях: все, что нужно знать о конструкции, уже содержится в универсальном свойстве. Доказательства часто становятся короткими и элегантными, если вместо конкретных деталей используется универсальное свойство. Например, тензорная алгебра векторного пространства немного сложна в построении, но с ней гораздо проще иметь дело благодаря ее универсальному свойству.
• Универсальные свойства определяют объекты однозначно с точностью до единственного изоморфизма . ^[1] Поэтому одна из стратегий доказательства того, что два объекта изоморфны, состоит в том, чтобы показать, что они удовлетворяют одному и тому же универсальному свойству.
• Универсальные конструкции функториальны по своей природе: если можно выполнить конструкцию для каждого объекта в категории C , то получится функтор на C. Более того, этот функтор является правым или левым сопряженным к функтору U, используемому в определении универсального свойства. ^[2]
• Универсальные свойства встречаются в математике повсюду. Понимая их абстрактные свойства, можно получить информацию обо всех этих конструкциях и избежать повторения одного и того же анализа для каждого отдельного случая.

Формальное определение

Чтобы понять определение универсальной конструкции, важно рассмотреть примеры. Универсальные конструкции не были определены из воздуха, а были определены после того, как математики начали замечать закономерность во многих математических конструкциях (см. примеры ниже). Таким образом, определение может не иметь смысла на первый взгляд, но станет ясным, когда вы сопоставите его с конкретными примерами.

Пусть будет функтором между категориями и . В дальнейшем пусть будет объектом , а будут объектами , а будет морфизмом в . ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle h:A\to A'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Тогда функтор отображает , и в в , и в . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F(A)}$ ${\displaystyle F(A')}$ ${\displaystyle F(h)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Универсальный морфизм из в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ — это уникальная пара , в которой имеется следующее свойство, обычно называемое универсальным свойством : ${\displaystyle (A,u:X\to F(A))}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Для любого морфизма вида в существует единственный морфизм в такой, что следующая диаграмма коммутирует : ${\displaystyle f:X\to F(A')}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle h:A\to A'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Типичная схема определения универсального морфизма.

Мы можем дуализировать эту категориальную концепцию. Универсальный морфизм из в ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ — это уникальная пара , которая удовлетворяет следующему универсальному свойству: ${\displaystyle (A,u:F(A)\to X)}$

Для любого морфизма вида в существует единственный морфизм в такой, что следующая диаграмма коммутативна: ${\displaystyle f:F(A')\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle h:A'\to A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Самая важная стрелка здесь та, которая устанавливает универсальное свойство. ${\displaystyle u:F(A)\to X}$

Обратите внимание, что в каждом определении стрелки перевернуты. Оба определения необходимы для описания универсальных конструкций, которые появляются в математике; но они также возникают из-за присущей двойственности, присутствующей в теории категорий. В любом случае мы говорим, что пара, которая ведет себя так, как указано выше, удовлетворяет универсальному свойству. ${\displaystyle (A,u)}$

Связь с категориями запятых

Универсальные морфизмы можно более кратко описать как начальные и конечные объекты в категории запятых (т.е. в категории, где морфизмы рассматриваются как объекты сами по себе).

Пусть будет функтором и объектом . Тогда вспомним, что категория запятой — это категория, где ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (X\downarrow F)}$

• Объекты представляют собой пары вида , где объект находится в ${\displaystyle (B,f:X\to F(B))}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• Морфизм из в задается морфизмом в таким образом, что диаграмма коммутирует: ${\displaystyle (B,f:X\to F(B))}$ ${\displaystyle (B',f':X\to F(B'))}$ ${\displaystyle h:B\to B'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Морфизм в категории запятых задается морфизмом , который также делает диаграмму коммутативной. ${\displaystyle h:B\to B'}$

Теперь предположим, что объект в является начальным. Тогда для каждого объекта существует уникальный морфизм такой, что следующая диаграмма коммутирует. ${\displaystyle (A,u:X\to F(A))}$ ${\displaystyle (X\downarrow F)}$ ${\displaystyle (A',f:X\to F(A'))}$ ${\displaystyle h:A\to A'}$

Это демонстрирует связь между универсальной диаграммой, являющейся исходным объектом в категории запятых.

Обратите внимание, что равенство здесь просто означает, что диаграммы одинаковы. Также обратите внимание, что диаграмма справа от равенства в точности совпадает с той, что предлагается при определении универсального морфизма из в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ . Таким образом, мы видим, что универсальный морфизм из в эквивалентен исходному объекту в категории запятых . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (X\downarrow F)}$

И наоборот, помните, что категория запятой — это категория, где ${\displaystyle (F\downarrow X)}$

• Объекты представляют собой пары вида , где находится объект в ${\displaystyle (B,f:F(B)\to X)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• Морфизм из в задается морфизмом в таким образом, что диаграмма коммутирует: ${\displaystyle (B,f:F(B)\to X)}$ ${\displaystyle (B',f':F(B')\to X)}$ ${\displaystyle h:B\to B'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Это просто демонстрирует определение морфизма в категории запятых.

Предположим, что является конечным объектом в . Тогда для каждого объекта существует уникальный морфизм, такой что следующие диаграммы коммутируют. ${\displaystyle (A,u:F(A)\to X)}$ ${\displaystyle (F\downarrow X)}$ ${\displaystyle (A',f:F(A')\to X)}$ ${\displaystyle h:A'\to A}$

Это показывает, что конечный объект в определенной категории запятых соответствует универсальному морфизму.

Диаграмма в правой части равенства — это та же диаграмма, которая изображена при определении универсального морфизма из в ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ . Следовательно, универсальный морфизм из в соответствует терминальному объекту в категории запятых . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (F\downarrow X)}$

Примеры

Ниже приведены несколько примеров, чтобы подчеркнуть общую идею. Читатель может построить множество других примеров, обратившись к статьям, упомянутым во введении.

Тензорные алгебры

Пусть — категория векторных пространств -Vect над полем и пусть — категория алгебр -Alg над (предполагается, что она унитальна и ассоциативна ). Пусть ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle U}$ : -Алг → -Вект ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

быть забывающим функтором , который назначает каждой алгебре ее базовое векторное пространство.

Для любого векторного пространства над мы можем построить тензорную алгебру . Тензорная алгебра характеризуется тем фактом: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T(V)}$

«Любое линейное отображение из в алгебру может быть единственным образом продолжено до гомоморфизма алгебры из в ». ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(V)}$ ${\displaystyle A}$

Это утверждение является исходным свойством тензорной алгебры, поскольку оно выражает тот факт, что пара , где — отображение включения, является универсальным морфизмом из векторного пространства в функтор . ${\displaystyle (T(V),i)}$ ${\displaystyle i:V\to U(T(V))}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$

Поскольку эта конструкция работает для любого векторного пространства , мы заключаем, что является функтором из -Vect в -Alg . Это означает, что является левым сопряженным к забывающему функтору (см. раздел ниже о связи с сопряженными функторами). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$

Продукция

Категориальное произведение можно охарактеризовать универсальной конструкцией. Для конкретности можно рассмотреть декартово произведение в Set , прямое произведение в Grp или топологию произведения в Top , где существуют произведения.

Пусть и будут объектами категории с конечными произведениями. Произведение и есть объект × вместе с двумя морфизмами ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \pi _{1}}$ : ${\displaystyle X\times Y\to X}$

${\displaystyle \pi _{2}}$ : ${\displaystyle X\times Y\to Y}$

такой, что для любого другого объекта и морфизмов и существует единственный морфизм такой, что и . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f:Z\to X}$ ${\displaystyle g:Z\to Y}$ ${\displaystyle h:Z\to X\times Y}$ ${\displaystyle f=\pi _{1}\circ h}$ ${\displaystyle g=\pi _{2}\circ h}$

Чтобы понять эту характеристику как универсальное свойство, возьмем категорию как категорию произведения и определим диагональный функтор ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$

на и . Тогда — универсальный морфизм из в объект : если — любой морфизм из в , то он должен быть равен морфизму из в , за которым следует . Как коммутативная диаграмма: ${\displaystyle \Delta (X)=(X,X)}$ ${\displaystyle \Delta (f:X\to Y)=(f,f)}$ ${\displaystyle (X\times Y,(\pi _{1},\pi _{2}))}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle (Z,Z)}$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle \Delta (h:Z\to X\times Y)=(h,h)}$ ${\displaystyle \Delta (Z)=(Z,Z)}$ ${\displaystyle \Delta (X\times Y)=(X\times Y,X\times Y)}$ ${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}$

Коммутативная диаграмма, показывающая, что продукты обладают универсальным свойством.

Для примера декартова произведения в Set морфизм включает две проекции и . Для любого множества и функций единственное отображение, такое что требуемая диаграмма коммутирует, задается как . ^[3] ${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}$ ${\displaystyle \pi _{1}(x,y)=x}$ ${\displaystyle \pi _{2}(x,y)=y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle h=\langle x,y\rangle (z)=(f(z),g(z))}$

Пределы и копределы

Категориальные произведения — это особый вид предела в теории категорий. Можно обобщить приведенный выше пример на произвольные пределы и копределы.

Пусть и будут категориями с малым индексом категории и пусть будет соответствующей категорией функтора . Диагональный функтор ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$

${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$

— это функтор, который отображает каждый объект в в постоянный функтор (т.е. для каждого в и для каждого в ), а каждый морфизм в в естественное преобразование в , определяемое как для каждого объекта из компонент в . Другими словами, естественное преобразование определяется наличием постоянного компонента для каждого объекта из . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta (N):{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta (N)(X)=N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle \Delta (N)(f)=1_{N}}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle f:N\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta (f):\Delta (N)\to \Delta (M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ $${\displaystyle \Delta (f)(X):\Delta (N)(X)\to \Delta (M)(X)=f:N\to M}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:N\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$

При наличии функтора (рассматриваемого как объект в ), предел , если он существует, есть не что иное, как универсальный морфизм из в . Двойственно, копредел является универсальным морфизмом из в . ${\displaystyle F:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Delta }$

Характеристики

Существование и уникальность

Определение величины не гарантирует ее существования. При наличии функтора и объекта из может существовать или не существовать универсальный морфизм из в . Однако, если универсальный морфизм существует, то он по существу уникален. В частности, он уникален с точностью до уникального изоморфизма : если — другая пара, то существует уникальный изоморфизм такой, что . Это легко увидеть , подставив в определение универсального морфизма. ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (A,u)}$ ${\displaystyle (A',u')}$ ${\displaystyle k:A\to A'}$ ${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$ ${\displaystyle (A,u')}$

Это пара, которая по сути уникальна в этом смысле. Сам объект уникален только с точностью до изоморфизма. Действительно, если — универсальный морфизм и — любой изоморфизм, то пара , где — также универсальный морфизм. ${\displaystyle (A,u)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A,u)}$ ${\displaystyle k:A\to A'}$ ${\displaystyle (A',u')}$ ${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$

Эквивалентные формулировки

Определение универсального морфизма можно перефразировать множеством способов. Пусть будет функтором и пусть будет объектом . Тогда следующие утверждения эквивалентны: ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

• ${\displaystyle (A,u)}$является универсальным морфизмом из в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle (A,u)}$является начальным объектом категории запятая ${\displaystyle (X\downarrow F)}$
• ${\displaystyle (A,F(\bullet )\circ u)}$является представлением , где его компоненты определяются как ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(X,F(-))}$ ${\displaystyle (F(\bullet )\circ u)_{B}:{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(X,F(B))}$

$${\displaystyle (F(\bullet )\circ u)_{B}(f:A\to B):X\to F(B)=F(f)\circ u:X\to F(B)}$$

для каждого объекта в ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Двойственные утверждения также эквивалентны:

• ${\displaystyle (A,u)}$является универсальным морфизмом из в ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle (A,u)}$является конечным объектом категории запятая ${\displaystyle (F\downarrow X)}$
• ${\displaystyle (A,u\circ F(\bullet ))}$является представлением , где его компоненты определяются как ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(F(-),X)}$ ${\displaystyle (u\circ F(\bullet ))_{B}:{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(B,A)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(F(B),X)}$

$${\displaystyle (u\circ F(\bullet ))_{B}(f:B\to A):F(B)\to X=u\circ F(f):F(B)\to X}$$

для каждого объекта в ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Отношение к сопряженным функторам

Предположим, что — универсальный морфизм из в , а — универсальный морфизм из в . По универсальному свойству универсальных морфизмов для любого морфизма существует единственный морфизм, такой что следующая диаграмма коммутирует: ${\displaystyle (A_{1},u_{1})}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (A_{2},u_{2})}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle h:X_{1}\to X_{2}}$ ${\displaystyle g:A_{1}\to A_{2}}$

Универсальные морфизмы могут вести себя как естественное преобразование между функторами при подходящих условиях.

Если каждый объект допускает универсальный морфизм в , то присваивание и определяет функтор . Затем отображения определяют естественное преобразование из (тождественного функтора в ) в . Затем функторы представляют собой пару сопряженных функторов , с левосопряжённым к и правосопряжённым к . ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X_{i}\mapsto A_{i}}$ ${\displaystyle h\mapsto g}$ ${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle 1_{\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle F\circ G}$ ${\displaystyle (F,G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Аналогичные утверждения применимы к двойственной ситуации терминальных морфизмов из . Если такие морфизмы существуют для каждого из , то получается функтор , который является правосопряженным к (а значит , и левосопряженным к ). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Действительно, все пары сопряженных функторов возникают из универсальных конструкций таким образом. Пусть и — пара сопряженных функторов с единицей и коединицей (см. статью о сопряженных функторах для определений). Тогда мы имеем универсальный морфизм для каждого объекта в и : ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

• Для каждого объекта в , есть универсальный морфизм из в . То есть, для всех существует единственный , для которого следующие диаграммы коммутируют. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (F(X),\eta _{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:X\to G(Y)}$ ${\displaystyle g:F(X)\to Y}$
• Для каждого объекта в , есть универсальный морфизм из в . То есть, для всех существует единственный , для которого следующие диаграммы коммутируют. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (G(Y),\epsilon _{Y})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle g:F(X)\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to G(Y)}$

Единица и коединица присоединения, которые являются естественными преобразованиями между функторами, являются важным примером универсальных морфизмов.

Универсальные конструкции являются более общими, чем пары сопряженных функторов: универсальная конструкция подобна задаче оптимизации; она порождает сопряженную пару тогда и только тогда, когда эта задача имеет решение для каждого объекта из (эквивалентно, для каждого объекта из ). ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

История

Универсальные свойства различных топологических конструкций были представлены Пьером Самуэлем в 1948 году. Позднее они были широко использованы Бурбаки . Тесно связанное понятие сопряженных функторов было введено независимо Дэниелом Каном в 1958 году.

Смотрите также

• Математический портал

• Свободный объект
• Естественная трансформация
• Присоединённый функтор
• Монада (теория категорий)
• Разнообразие алгебр
• Декартово замкнутая категория

Примечания

1. Якобсон (2009), Предложение 1.6, стр. 44.
2. См., например, Polcino & Sehgal (2002), стр. 133. упражнение 1, об универсальном свойстве групповых колец .
3. Фонг, Брендан; Спивак, Дэвид И. (2018-10-12). «Семь набросков композиционности: приглашение к прикладной теории категорий». arXiv : 1803.05316 [math.CT].

Ссылки

• Пол Кон , Универсальная алгебра (1981), D.Reidel Publishing, Голландия. ISBN 90-277-1213-1 . 
• Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающих математиков . Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Борсо, Ф. Справочник по категориальной алгебре: том 1. Основы теории категорий (1994) Cambridge University Press, (Энциклопедия математики и ее приложений) ISBN 0-521-44178-1 
• Н. Бурбаки, Livre II: Algebre (1970), Hermann, ISBN 0-201-00639-1 . 
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K.. Введение в групповые кольца . Алгебры и приложения, том 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0 
• Якобсон. Основы алгебры II. Дувр. 2009. ISBN 0-486-47187-X 

Внешние ссылки

• nLab, вики-проект по математике, физике и философии с акцентом на n -категориальную точку зрения
• Андре Жойал , CatLab, вики-проект, посвященный изложению категориальной математики
• Хиллман, Крис (2001). Категориальный учебник . CiteSeerX  10.1.1.24.3264 :формальное введение в теорию категорий.
• Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Штекер, Абстрактные и конкретные категории. Радость кошек
• Стэнфордская энциклопедия философии : «Теория категорий» — Жан-Пьер Марки. Обширная библиография.
• Список научных конференций по теории категорий
• Баез, Джон, 1996, «Сказка об n-категориях». Неформальное введение в категории высшего порядка.
• WildCats — пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований , универсальных свойств .
• The catsters — канал на YouTube о теории категорий.
• Видеоархив записанных докладов по категориям, логике и основам физики.
• Интерактивная веб-страница, генерирующая примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.