Карта импульса

В математике , в частности в симплектической геометрии , отображение момента (или, по ложной этимологии, отображение момента ^[1] ) — это инструмент, связанный с гамильтоновым действием группы Ли на симплектическом многообразии , используемый для построения сохраняющихся величин для действия. Отображение момента обобщает классические понятия линейного и углового импульса . Оно является существенным ингредиентом в различных конструкциях симплектических многообразий, включая симплектические ( Марсдена–Вайнштейна ) частные , обсуждаемые ниже, и симплектические разрезы и суммы .

Формальное определение

Пусть будет многообразием с симплектической формой . Предположим, что группа Ли действует на посредством симплектоморфизмов (то есть действие каждого в сохраняет ). Пусть будет алгеброй Ли для , ее двойственной , и ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \rangle :{\mathfrak {g}}^{*}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} }$

спаривание между ними. Любое в индуцирует векторное поле при описании бесконечно малого действия . Если быть точным, в точке вектора есть ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \rho (\xi )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho (\xi )_{x}}$

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\exp(t\xi )\cdot x,}$

где — экспоненциальное отображение , а обозначает -действие на . ^[2] Пусть обозначает свертку этого векторного поля с . Поскольку действует симплектоморфизмами, то замкнуто (для всех в ). ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Предположим, что не только замкнуто, но и точно, так что для некоторой функции . Если это так, то можно выбрать , чтобы сделать отображение линейным. Отображение импульса для -действия на — это отображение, такое что ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$ ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega =\mathrm {d} H_{\xi }}$ ${\displaystyle H_{\xi }:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle H_{\xi }}$ ${\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle \mathrm {d} (\langle \mu ,\xi \rangle )=\iota _{\rho (\xi )}\omega }$

для всех в . Вот функция от до определена как . Карта импульса однозначно определена с точностью до аддитивной константы интегрирования (на каждом связанном компоненте). ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle }$

Действие на симплектическом многообразии называется гамильтоновым, если оно симплектическое и существует отображение импульса. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$

Часто требуется, чтобы отображение импульса было -эквивариантным , где действует на посредством коприсоединённого действия , и иногда это требование включается в определение действия гамильтонова группы. Если группа компактна или полупроста, то константу интегрирования всегда можно выбрать так, чтобы сделать коприсоединённое отображение импульса эквивариантным. Однако в общем случае коприсоединённое действие должно быть изменено, чтобы сделать отображение эквивариантным (это имеет место, например, для евклидовой группы ). Модификация осуществляется с помощью 1- коцикла на группе со значениями в , как впервые описано Сурио (1970). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

Примеры карт импульса

В случае гамильтонова действия окружности двойственная алгебра Ли естественным образом отождествляется с , а отображение импульса — это просто гамильтонова функция, которая порождает действие окружности. ${\displaystyle G=U(1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Другой классический случай имеет место, когда — кокасательное расслоение и — евклидова группа, порожденная вращениями и трансляциями. То есть — шестимерная группа, полупрямое произведение и . Шесть компонентов отображения импульса — это тогда три угловых момента и три линейных импульса. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Пусть будет гладким многообразием и пусть будет его кокасательным расслоением, с отображением проекции . Пусть обозначает тавтологическую 1-форму на . Предположим, действует на . Индуцированное действие на симплектическом многообразии , заданное для , является гамильтоновым с отображением импульса для всех . Здесь обозначает свертывание векторного поля , инфинитезимальное действие , с 1-формой . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T^{*}N}$ ${\displaystyle \pi :T^{*}N\rightarrow N}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle T^{*}N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (T^{*}N,\mathrm {d} \tau )}$ ${\displaystyle g\cdot \eta :=(T_{\pi (\eta )}g^{-1})^{*}\eta }$ ${\displaystyle g\in G,\eta \in T^{*}N}$ ${\displaystyle -\iota _{\rho (\xi )}\tau }$ ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\tau }$ ${\displaystyle \rho (\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \tau }$

Приведенные ниже факты можно использовать для создания дополнительных примеров карт импульса.

Некоторые факты о картах импульса

Пусть — группы Ли с алгебрами Ли соответственно. ${\displaystyle G,H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}}$

1. Пусть — коприсоединенная орбита . Тогда существует единственная симплектическая структура на такая, что отображение включения является отображением импульса. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(F),F\in {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(F)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(F)\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}$
2. Пусть действует на симплектическом многообразии с отображением импульса для действия, и будет гомоморфизмом групп Ли, индуцирующим действие на . Тогда действие на также является гамильтоновым, с отображением импульса, заданным как , где — двойственное отображение к ( обозначает единичный элемент ). Случай, представляющий особый интерес, — это подгруппа Ли , а — отображение включения. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \Phi _{G}:M\rightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \psi :H\rightarrow G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}\circ \Phi _{G}}$ ${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}:{\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \psi }$
3. Пусть будет гамильтоновым -многообразием и гамильтоновым -многообразием. Тогда естественное действие на является гамильтоновым, с отображением импульса прямой суммой двух отображений импульса и . Здесь , где обозначает отображение проекции. ${\displaystyle (M_{1},\omega _{1})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (M_{2},\omega _{2})}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times H}$ ${\displaystyle (M_{1}\times M_{2},\omega _{1}\times \omega _{2})}$ ${\displaystyle \Phi _{G}}$ ${\displaystyle \Phi _{H}}$ ${\displaystyle \omega _{1}\times \omega _{2}:=\pi _{1}^{*}\omega _{1}+\pi _{2}^{*}\omega _{2}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:M_{1}\times M_{2}\rightarrow M_{i}}$
4. Пусть будет гамильтоновым -многообразием, и подмногообразием инвариантным относительно , ​​таким, что ограничение симплектической формы на на является невырожденным. Это естественным образом придает симплектическую структуру на . Тогда действие на также является гамильтоновым, с отображением импульса - композицией отображения включения с отображением импульса '. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

Симплектические факторы

Предположим, что действие группы Ли на симплектическом многообразии является гамильтоновым, как определено выше, с эквивариантным отображением импульса . Из условия гамильтоновости следует, что инвариантно относительно . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle G}$

Предположим теперь, что действует свободно и правильно на . Отсюда следует, что является регулярным значением , поэтому и его фактор являются гладкими многообразиями. Фактор наследует симплектическую форму от ; то есть существует единственная симплектическая форма на факторе, обратный путь которой к равен ограничению к . Таким образом, фактор является симплектическим многообразием, называемым фактором Марсдена–Вайнштейна , после (Marsden & Weinstein 1974), симплектическим фактором или симплектической редукцией на и обозначается . Его размерность равна размерности минус удвоенная размерность . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)/G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M/\!\!/G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$

В более общем смысле, если G не действует свободно (но все же правильно), то (Sjamaar & Lerman 1991) показали, что является стратифицированным симплектическим пространством, т.е. стратифицированным пространством с совместимыми симплектическими структурами на стратах. ${\displaystyle M/\!\!/G=\mu ^{-1}(0)/G}$

Плоские соединения на поверхности

Пространство связностей на тривиальном расслоении на поверхности несет бесконечномерную симплектическую форму ${\displaystyle \Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \Sigma \times G}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle :=\int _{\Sigma }{\text{tr}}(\alpha \wedge \beta ).}$

Группа калибровки действует на соединения путем сопряжения . Определить через интеграционное сопряжение. Затем карта ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\text{Map}}(\Sigma ,G)}$ ${\displaystyle g\cdot A:=g^{-1}(\mathrm {d} g)+g^{-1}Ag}$ ${\displaystyle {\text{Lie}}({\mathcal {G}})=\Omega ^{0}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})=\Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})^{*}}$

${\displaystyle \mu :\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})\rightarrow \Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}}),\qquad A\;\mapsto \;F:=\mathrm {d} A+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]}$

которая отправляет связь в ее кривизну, является отображением моментов для действия калибровочной группы на связях. В частности, пространство модулей плоских связей по модулю калибровочной эквивалентности задается симплектической редукцией. ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)/{\mathcal {G}}=\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})/\!\!/{\mathcal {G}}}$

Смотрите также

• Коэффициент ЖКТ
• Квантование коммутирует с сокращением
• Группа Пуассона–Ли
• Торическое многообразие
• Геометрическая механика
• Карта Кирвана
• Теорема Костанта о выпуклости
• BRST-квантование

Примечания

1. Moment map — неправильное название, физически неверное. Это ошибочный перевод французского понятия application moment . См. этот вопрос mathoverflow для истории названия.
2. Вектор ρ(ξ) иногда называют векторным полем Киллинга относительно действия однопараметрической подгруппы, порожденной ξ. См., например, (Choquet-Bruhat & DeWitt-Morette 1977)

Ссылки

• Ж.-М. Сурио, Структура динамических систем , Maîtrises de mathématiques, Dunod, Париж, 1970. ISSN  0750-2435.
• SK Donaldson и PB Kronheimer , Геометрия четырехмерных многообразий , Oxford Science Publications, 1990. ISBN 0-19-850269-9 . 
• Дьюса Макдафф и Дитмар Саламон, Введение в симплектическую топологию , Oxford Science Publications, 1998. ISBN 0-19-850451-9 . 
• Шоке-Брюа, Ивонн ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1977), Анализ, многообразия и физика , Амстердам: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
• Ортега, Хуан-Пабло; Ратиу, Тудор С. (2004). Отображения импульса и гамильтоново сокращение . Прогресс в математике. Т. 222. Birkhauser Boston. ISBN 0-8176-4307-9.
• Оден, Мишель (2004), Действия тора на симплектических многообразиях , Progress in Mathematics, т. 93 (Второе исправленное издание), Birkhäuser, ISBN 3-7643-2176-8
• Гийемен, Виктор ; Стернберг, Шломо (1990), Симплектические методы в физике (второе издание), Cambridge University Press, ISBN 0-521-38990-9
• Вудворд, Крис (2010), Моментные отображения и геометрическая теория инвариантов , Les cours du CIRM, т. 1, EUDML, стр. 55–98, arXiv : 0912.1132 , Bibcode : 2009arXiv0912.1132W
• Брюгьер, Ален (1987), «Свойства выпуклости момента приложения» (PDF) , Asterisque , Séminaire Bourbaki, 145–146: 63–87
• Марсден, Джерролд ; Вайнштейн, Алан (1974), «Редукция симплектических многообразий с симметрией», Reports on Mathematical Physics , 5 (1): 121–130, Bibcode : 1974RpMP....5..121M, doi : 10.1016/0034-4877(74)90021-4
• Сьямар, Рейер; Лерман, Юджин (1991), «Стратифицированные симплектические пространства и редукция», Annals of Mathematics , 134 (2): 375–422, doi :10.2307/2944350, JSTOR  2944350