Линейные фильтры обрабатывают изменяющиеся во времени входные сигналы для получения выходных сигналов с учетом ограничения линейности . В большинстве случаев эти линейные фильтры также инвариантны во времени (или инвариантны к сдвигу ), и в этом случае их можно точно проанализировать с помощью теории систем LTI («линейная инвариантность ко времени»), раскрывая их передаточные функции в частотной области и их импульсные характеристики во времени. домен. Реализации таких фильтров линейной обработки сигналов в реальном времени во временной области неизбежно являются причинно-следственными , что является дополнительным ограничением на их передаточные функции. Аналоговая электронная схема, состоящая только из линейных компонентов (резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности и линейных усилителей), обязательно попадает в эту категорию, как и сопоставимые механические системы или системы цифровой обработки сигналов, содержащие только линейные элементы. Поскольку линейные нестационарные фильтры можно полностью охарактеризовать по их реакции на синусоиды разных частот (их частотная характеристика ), их иногда называют частотными фильтрами.
Реализации линейных, не зависящих от времени фильтров не в реальном времени не обязательно должны быть причинными. Фильтры более чем одного измерения также используются, например, при обработке изображений . Общая концепция линейной фильтрации также распространяется на другие области и технологии, такие как статистика , анализ данных и машиностроение .
Линейный неизменяемый во времени (LTI) фильтр может быть однозначно определен его импульсной характеристикой h , а выходной сигнал любого фильтра математически выражается как свертка входного сигнала с этой импульсной характеристикой. Частотная характеристика , заданная передаточной функцией фильтра , является альтернативной характеристикой фильтра. Типичными целями проектирования фильтров являются реализация определенной частотной характеристики, то есть величины передаточной функции ; важность фазы передаточной функции варьируется в зависимости от применения, поскольку форма сигнала может быть искажена в большей или меньшей степени в процессе достижения желаемого (амплитудного) отклика в частотной области. Частотная характеристика может быть адаптирована, например, для устранения нежелательных частотных составляющих из входного сигнала или для ограничения усилителя сигналами в определенной полосе частот.
Импульсная характеристика h линейного, не зависящего от времени причинного фильтра определяет выходной сигнал, который фильтр выдал бы, если бы он получил входной сигнал, состоящий из одного импульса в момент времени 0. «Импульс» в фильтре с непрерывным временем означает дельта- функцию Дирака. ; в фильтре с дискретным временем будет применяться дельта-функция Кронекера . Импульсная характеристика полностью характеризует реакцию любого такого фильтра, поскольку любой возможный входной сигнал может быть выражен как (возможно, бесконечная) комбинация взвешенных дельта-функций. Умножение импульсного отклика, сдвинутого во времени в соответствии с приходом каждой из этих дельта-функций, на амплитуду каждой дельта-функции и суммирование этих откликов вместе (в соответствии с принципом суперпозиции , применимым ко всем линейным системам), дает форму выходного сигнала.
Математически это описывается как свертка изменяющегося во времени входного сигнала x(t) с импульсной характеристикой фильтра h , определяемой как:
Первая форма — это форма непрерывного времени, которая описывает, например, механические и аналоговые электронные системы. Второе уравнение представляет собой версию с дискретным временем, используемую, например, цифровыми фильтрами, реализованными в программном обеспечении, так называемая цифровая обработка сигналов . Импульсная характеристика h полностью характеризует любой линейный, инвариантный ко времени (или инвариантный к сдвигу в случае дискретного времени) фильтр. Входной сигнал x называется « свернутым », при этом импульсная характеристика h имеет (возможно, бесконечную) длительность времени T (или N периодов выборки ).
Проектирование фильтра состоит из поиска возможной передаточной функции, которая может быть реализована в рамках определенных практических ограничений, продиктованных технологией или желаемой сложностью системы, с последующим практическим проектированием, реализующим эту передаточную функцию с использованием выбранной технологии. Сложность фильтра может быть указана в соответствии с порядком фильтра.
Среди рассматриваемых здесь фильтров временной области есть два основных класса передаточных функций фильтров, которые могут аппроксимировать желаемую частотную характеристику. Очень разные математические подходы применяются к конструкции фильтров, называемых фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ), характерными для механических и аналоговых электронных систем, и фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ), которые могут быть реализованы системами с дискретным временем, такими как компьютеры (тогда называемые цифровая обработка сигнала ).
Рассмотрим физическую систему, которая действует как линейный фильтр, например систему пружин и масс, или аналоговую электронную схему, включающую конденсаторы и/или катушки индуктивности (наряду с другими линейными компонентами, такими как резисторы и усилители ). Когда на такую систему воздействует импульс (или любой сигнал конечной длительности), она реагирует формой выходного сигнала, которая длится дольше, чем длительность входного сигнала, в конечном итоге экспоненциально затухая тем или иным способом, но никогда полностью не устанавливаясь до нуля (математически говоря ). Говорят, что такая система имеет бесконечную импульсную характеристику (БИХ). Интеграл свертки (или суммирование), приведенный выше, распространяется на все время: T (или N) должно быть установлено на бесконечность.
Например, рассмотрим затухающий гармонический генератор, такой как маятник, или резонансный LC- контур . Если бы маятник покоился и мы ударили по нему молотком («импульс»), приведя его в движение, то он раскачивался бы вперед и назад («резонировал»), скажем, с амплитудой 10 см. Скажем, через 10 минут маятник все еще будет раскачиваться, но амплитуда уменьшится до 5 см, то есть до половины первоначальной амплитуды. Еще через 10 минут его амплитуда составит всего 2,5 см, затем 1,25 см и т. д. Однако до полного покоя он так и не придет, и поэтому мы называем этот ответ на импульс (удар по нему молотком) «бесконечным» по продолжительности.
Сложность такой системы определяется ее порядком N. N часто является ограничением при разработке передаточной функции, поскольку оно определяет количество реактивных компонентов в аналоговой схеме; в цифровом БИХ-фильтре количество необходимых вычислений пропорционально N.
Фильтр, реализованный в компьютерной программе (или так называемый процессор цифровых сигналов ), представляет собой систему с дискретным временем; другой (но параллельный) набор математических понятий определяет поведение таких систем. Хотя цифровой фильтр может быть БИХ-фильтром, если реализующий его алгоритм включает обратную связь , также можно легко реализовать фильтр, импульс которого действительно обращается в ноль после N временных шагов; это называется фильтром с конечной импульсной характеристикой (FIR).
Например, предположим, что у вас есть фильтр, который при представлении импульса во временном ряду:
выводит серию, которая реагирует на этот импульс в момент времени от 0 до момента 4 и не имеет дальнейшего ответа, например:
Хотя импульсная характеристика длилась 4 временных шага после ввода, начиная с момента 5 она действительно достигла нуля. Степень импульсной характеристики конечна , и ее можно классифицировать как КИХ-фильтр четвертого порядка. Приведенный выше интеграл свертки (или суммирование) необходимо распространять только на полную длительность импульсной характеристики T или порядка N в фильтре с дискретным временем.
Классические аналоговые фильтры представляют собой БИХ-фильтры, а классическая теория фильтров сосредоточена на определении передаточных функций, заданных рациональными функциями низкого порядка , которые могут быть синтезированы с использованием такого же небольшого количества реактивных компонентов. [1] С другой стороны, при использовании цифровых компьютеров КИХ- и БИХ-фильтры легко реализовать в программном обеспечении.
Цифровой БИХ-фильтр обычно может аппроксимировать желаемый отклик фильтра, используя меньшую вычислительную мощность, чем КИХ-фильтр, однако это преимущество чаще всего не требуется, учитывая растущую мощность цифровых процессоров. Простота проектирования и определения характеристик КИХ-фильтров делает их предпочтительными для разработчика фильтров (программиста), когда доступна достаточная вычислительная мощность. Еще одним преимуществом КИХ-фильтров является то, что их импульсную характеристику можно сделать симметричной, что подразумевает отклик в частотной области, имеющий нулевую фазу на всех частотах (не учитывая конечную задержку), что абсолютно невозможно для любого БИХ-фильтра. [2]
Частотную характеристику или передаточную функцию фильтра можно получить, если известна импульсная характеристика, либо непосредственно путем анализа с использованием преобразований Лапласа , либо в системах с дискретным временем Z-преобразования . Частотная характеристика также включает в себя фазу как функцию частоты, однако во многих случаях фазовая характеристика практически не представляет интереса. КИХ-фильтры можно сделать так, чтобы они имели нулевую фазу, но с БИХ-фильтрами это обычно невозможно. С большинством передаточных функций БИХ существуют связанные передаточные функции, имеющие частотную характеристику той же величины, но другую фазу; в большинстве случаев предпочтительна так называемая минимальная фазовая передаточная функция.
Фильтры во временной области чаще всего требуют следовать заданной частотной характеристике. Затем математическая процедура находит передаточную функцию фильтра, которую можно реализовать (в пределах некоторых ограничений), и аппроксимирует желаемый ответ с точностью до некоторого критерия. Общие характеристики отклика фильтра описаны следующим образом:
Для удовлетворения требований к частотной характеристике с помощью КИХ-фильтра используются относительно простые процедуры. В самой простой форме сама желаемая частотная характеристика может быть дискретизирована с разрешением и преобразована Фурье во временную область. Это позволяет получить коэффициенты фильтра h i , который реализует КИХ-фильтр нулевой фазы, который соответствует частотной характеристике на используемых частотах дискретизации. Чтобы лучше соответствовать желаемому ответу, его необходимо уменьшить. Однако длительность импульсной характеристики фильтра и количество членов, которые необходимо суммировать для каждого выходного значения (в соответствии с приведенной выше сверткой дискретного времени), определяются выражением где T — период выборки системы дискретного времени (N-1 — также называемый порядком КИХ-фильтра). Таким образом, сложность цифрового фильтра и время вычислений растут обратно пропорционально , что увеличивает стоимость функций фильтра, которые лучше аппроксимируют желаемое поведение. По той же причине функции фильтра, критический отклик которых находится на более низких частотах (по сравнению с частотой дискретизации 1/T ), требуют КИХ-фильтра более высокого порядка с более интенсивными вычислениями. Таким образом, в таких случаях БИХ-фильтр может быть гораздо более эффективным.
В другом месте читатель может найти дальнейшее обсуждение методов проектирования практического КИХ-фильтра .
Поскольку классические аналоговые фильтры являются БИХ-фильтрами, существует долгая история изучения диапазона возможных передаточных функций, реализующих различные из вышеупомянутых желаемых характеристик фильтра в системах с непрерывным временем. Используя преобразования, можно преобразовать эти непрерывные во времени частотные характеристики в те, которые реализуются в дискретном времени, для использования в цифровых БИХ-фильтрах. Сложность любого такого фильтра определяется порядком N , который описывает порядок рациональной функции , описывающей частотную характеристику. Порядок N имеет особое значение в аналоговых фильтрах, поскольку для реализации электронного фильтра N -го порядка требуется N реактивных элементов (конденсаторов и/или катушек индуктивности). Если фильтр реализован, например, с использованием биквадратных каскадов с использованием операционных усилителей , необходимо N/2 каскадов. В цифровой реализации количество вычислений, выполняемых на выборку, пропорционально N. Таким образом, математическая проблема состоит в том, чтобы получить наилучшее приближение (в некотором смысле) к желаемому ответу, используя меньшее N, как мы сейчас проиллюстрируем.
Ниже приведены частотные характеристики нескольких стандартных функций фильтра, которые аппроксимируют желаемый отклик, оптимизированный по некоторому критерию. Все это фильтры нижних частот пятого порядка, рассчитанные на частоту среза 0,5 в нормированных единицах. Частотные характеристики показаны для фильтров Баттерворта , Чебышева , обратного Чебышева и эллиптического фильтра .
Как видно из изображения, эллиптический фильтр резче остальных, но за счет пульсаций как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Фильтр Баттерворта имеет самый плохой переход, но имеет более равномерный отклик, позволяя избежать пульсаций как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Фильтр Бесселя ( не показан) имеет еще худший переход в частотной области, но сохраняет наилучшую точность фазы сигнала. В разных приложениях предъявляются разные требования к проектированию, что приводит к разным вариантам выбора среди этих (и других) оптимизаций или требует использования фильтра более высокого порядка.
Популярной схемой, реализующей активный RC-фильтр второго порядка, является конструкция Саллена-Ки , принципиальная схема которой показана здесь. Эту топологию можно адаптировать для создания фильтров нижних, полосовых и верхних частот.
КИХ-фильтр N- го порядка может быть реализован в системе дискретного времени с использованием компьютерной программы или специализированного оборудования, в котором входной сигнал подвергается N стадиям задержки. Выходной сигнал фильтра формируется как взвешенная сумма этих задержанных сигналов, как показано на прилагаемой диаграмме потока сигналов. Отклик фильтра зависит от весовых коэффициентов, обозначенных b 0 , b 1 , .... b N . Например, если бы все коэффициенты были равны единице, так называемая коробчатая функция , то она реализовала бы фильтр нижних частот с низкочастотным усилением N+1 и частотной характеристикой, заданной функцией sinc . Превосходные формы частотной характеристики можно получить, используя коэффициенты, полученные в результате более сложной процедуры расчета.
Теория систем LTI описывает линейные нестационарные (LTI) фильтры всех типов. Фильтры LTI можно полностью описать их частотной характеристикой и фазовой характеристикой , спецификация которых однозначно определяет их импульсную характеристику , и наоборот . С математической точки зрения, БИХ-LTI-фильтры непрерывного времени можно описать с помощью линейных дифференциальных уравнений , а их импульсные характеристики рассматривать как функции Грина уравнения. Фильтры LTI с непрерывным временем также могут быть описаны с точки зрения преобразования Лапласа их импульсной характеристики, что позволяет анализировать все характеристики фильтра, рассматривая структуру нулей и полюсов их преобразования Лапласа в комплексной плоскости . Аналогично, LTI-фильтры с дискретным временем можно анализировать с помощью Z-преобразования их импульсной характеристики.
До появления инструментов компьютерного синтеза фильтров в качестве инструментов проектирования широко использовались графические инструменты, такие как графики Боде и графики Найквиста . Даже сегодня они являются бесценным инструментом для понимания поведения фильтров. В справочниках [3] приведены обширные графики АЧХ, фазовой характеристики, групповой задержки и импульсной характеристики для различных типов фильтров различного порядка. Они также содержали таблицы значений, показывающие, как реализовать такие фильтры, как лестничные схемы RLC, что очень полезно, когда элементы усиления были дорогими по сравнению с пассивными компонентами. Такая лестница также может быть спроектирована так, чтобы иметь минимальную чувствительность к изменению компонентов [4] — свойство, которое трудно оценить без компьютерных инструментов.
Было разработано множество различных конструкций аналоговых фильтров, каждая из которых пытается оптимизировать какую-то особенность отклика системы. Для практических фильтров иногда желательна нестандартная конструкция, которая может предложить наилучший компромисс между различными критериями проектирования, которые могут включать количество и стоимость компонентов, а также характеристики отклика фильтра.
Эти описания относятся к математическим свойствам фильтра (то есть частотной и фазовой характеристике). Они могут быть реализованы в виде аналоговых схем (например, с использованием топологии фильтра Саллена-Ки , типа активного фильтра ) или в виде алгоритмов в системах цифровой обработки сигналов .
Цифровые фильтры гораздо более гибки в синтезе и использовании, чем аналоговые фильтры, если ограничения конструкции допускают их использование. Примечательно, что нет необходимости учитывать допуски компонентов, и можно получить очень высокие уровни добротности.
Цифровые КИХ-фильтры могут быть реализованы путем прямой свертки желаемой импульсной характеристики с входным сигналом. Их можно легко сконструировать для создания согласованного фильтра для любой произвольной формы импульса.
Цифровые БИХ-фильтры зачастую сложнее спроектировать из-за проблем, включая проблемы с динамическим диапазоном, шум квантования и нестабильность. Обычно цифровые БИХ-фильтры представляют собой серию цифровых биквадратных фильтров .
Все фильтры нижних частот непрерывного действия второго порядка имеют передаточную функцию, определяемую выражением
Все полосовые фильтры непрерывного действия второго порядка имеют передаточную функцию, определяемую выражением
где
