В абстрактной алгебре циклическая группа или моногенная группа — это группа , обозначаемая C n (также часто n или Z n , не путать с коммутативным кольцом p -адических чисел ), которая порождается одним элементом. [1] То есть, это набор обратимых элементов с одной ассоциативной бинарной операцией , и он содержит элемент g такой, что каждый другой элемент группы может быть получен повторным применением групповой операции к g или его обратной. Каждый элемент может быть записан как целая степень g в мультипликативной нотации или как целое кратное g в аддитивной нотации. Этот элемент g называется генератором группы. [1]
Каждая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе Z , целых чисел . Каждая конечная циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе Z / n Z , целых чисел по модулю n . Каждая циклическая группа является абелевой группой (это означает, что ее групповая операция коммутативна ), и каждая конечно порождённая абелева группа является прямым произведением циклических групп.
Каждая циклическая группа простого порядка является простой группой , которая не может быть разбита на меньшие группы. В классификации конечных простых групп один из трех бесконечных классов состоит из циклических групп простого порядка. Циклические группы простого порядка, таким образом, входят в число строительных блоков, из которых могут быть построены все группы.
Для любого элемента g в любой группе G можно образовать подгруппу , состоящую из всех его целых степеней: ⟨ g ⟩ = { g k | k ∈ Z } , называемую циклической подгруппой, порожденной g . Порядок g равен | ⟨ g ⟩ | , числу элементов в ⟨ g ⟩ , обычно сокращаемому как | g | , как ord ( g ) или как o( g ). То есть порядок элемента равен порядку циклической подгруппы, которую он порождает.
Циклическая группа — это группа , равная одной из своих циклических подгрупп: G = ⟨ g ⟩ для некоторого элемента g , называемого генератором группы G.
Для конечной циклической группы G порядка n имеем G = { e , g , g 2 , ... , g n −1 } , где e — единичный элемент и g i = g j всякий раз, когда i ≡ j ( mod n ); в частности, g n = g 0 = e , и g −1 = g n −1 . Абстрактная группа, определяемая этим умножением, часто обозначается C n , и мы говорим, что G изоморфна стандартной циклической группе C n . Такая группа также изоморфна Z / n Z , группе целых чисел по модулю n с операцией сложения, которая является стандартной циклической группой в аддитивной записи. При изоморфизме χ , определяемом как χ ( g i ) = i, единичный элемент e соответствует 0, произведения соответствуют суммам, а степени соответствуют кратным.
Например, множество комплексных корней 6-й степени из единицы: образует группу при умножении. Она циклическая, поскольку порождается первообразным корнем , то есть G = ⟨ z ⟩ = { 1, z , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 } с z 6 = 1. При изменении букв это изоморфно (структурно то же самое) стандартной циклической группе порядка 6, определяемой как C 6 = ⟨ g ⟩ = { e , g , g 2 , g 3 , g 4 , g 5 } с умножением g j · g k = g j + k (mod 6) , так что g 6 = g 0 = e . Эти группы также изоморфны Z /6 Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5} с операцией сложения по модулю 6, при этом z k и g k соответствуют k . Например, 1 + 2 ≡ 3 (mod 6) соответствует z 1 · z 2 = z 3 , а 2 + 5 ≡ 1 (mod 6) соответствует z 2 · z 5 = z 7 = z 1 , и так далее. Любой элемент порождает свою собственную циклическую подгруппу, такую как ⟨ z 2 ⟩ = { e , z 2 , z 4 } порядка 3, изоморфную C 3 и Z /3 Z ; и ⟨ z 5 ⟩ = { e , z 5 , z 10 = z 4 , z 15 = z 3 , z 20 = z 2 , z 25 = z } = G , так что z 5 имеет порядок 6 и является альтернативным генератором G .
Вместо обозначений фактора Z / n Z , Z / ( n ) или Z / n некоторые авторы обозначают конечную циклическую группу как Z n , но это противоречит обозначениям теории чисел , где Z p обозначает p -адическое числовое кольцо или локализацию на простом идеале .
С другой стороны, в бесконечной циклической группе G = ⟨ g ⟩ степени g k дают различные элементы для всех целых чисел k , так что G = { ... , g −2 , g −1 , e , g , g 2 , ... }, и G изоморфна стандартной группе C = C ∞ и Z , аддитивной группе целых чисел. Примером является первая группа фриза . Здесь нет конечных циклов, и название «циклический» может вводить в заблуждение. [2]
Чтобы избежать этой путаницы, Бурбаки ввел термин моногенная группа для группы с одним генератором и ограничил «циклическую группу» обозначением конечной моногенной группы, избегая термина «бесконечная циклическая группа». [примечание 1]
Множество целых чисел Z с операцией сложения образует группу. [1] Это бесконечная циклическая группа , поскольку все целые числа можно записать , многократно прибавляя или вычитая одно число 1. В этой группе единственными генераторами являются 1 и −1. Каждая бесконечная циклическая группа изоморфна Z.
Для каждого положительного целого числа n множество целых чисел по модулю n , снова с операцией сложения, образует конечную циклическую группу, обозначаемую Z / n Z . [1] Модулярное целое число i является генератором этой группы, если i взаимно просто с n , поскольку эти элементы могут генерировать все другие элементы группы посредством сложения целых чисел. (Число таких генераторов равно φ ( n ), где φ — функция Эйлера .) Каждая конечная циклическая группа G изоморфна Z / n Z , где n = | G | — порядок группы.
Операции сложения целых чисел и модульных целых чисел, используемые для определения циклических групп, являются операциями сложения коммутативных колец , также обозначаемыми Z и Z / n Z или Z /( n ). Если p — простое число , то Z / p Z — конечное поле , и обычно обозначается F p или GF( p ) для поля Галуа.
Для каждого положительного целого числа n множество целых чисел по модулю n , которые взаимно просты с n, записывается как ( Z / n Z ) × ; оно образует группу относительно операции умножения. Эта группа не всегда циклическая, но является таковой, когда n равно 1, 2, 4, степени нечетного простого числа или удвоенной степени нечетного простого числа (последовательность A033948 в OEIS ). [4] [5] Это мультипликативная группа единиц кольца Z / n Z ; их имеется φ ( n ), где снова φ — функция Эйлера . Например, ( Z /6 Z ) × = {1, 5}, и поскольку 6 — удвоенное нечетное простое число, то это циклическая группа. Напротив, ( Z /8 Z ) × = {1, 3, 5, 7} является 4-группой Клейна и не является циклической. Когда ( Z / n Z ) × является циклическим, его генераторы называются примитивными корнями по модулю n .
Для простого числа p группа ( Z / p Z ) × всегда циклическая, состоящая из ненулевых элементов конечного поля порядка p . В более общем случае, каждая конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля является циклической. [6]
Набор вращательных симметрий многоугольника образует конечную циклическую группу. [7] Если существует n различных способов перемещения многоугольника к себе посредством вращения (включая нулевое вращение), то эта группа симметрии изоморфна Z / n Z. В трех или более измерениях существуют другие конечные группы симметрии , которые являются циклическими , но которые не все вращения вокруг оси, а вместо этого роторные отражения .
Группа всех вращений окружности ( группа окружности , также обозначаемая S 1 ) не является циклической, поскольку не существует одного вращения, целые степени которого порождают все вращения. Фактически, бесконечная циклическая группа C ∞ является счетной , а S 1 — нет. Группа вращений на рациональные углы является счетной, но все еще не является циклической.
Корень n-й степени из единицы — это комплексное число , степень n которого равна 1, корень многочлена x n − 1 . Множество всех корней n- й степени из единицы образует циклическую группу порядка n при умножении. [1] Генераторы этой циклической группы — n - е примитивные корни из единицы ; они являются корнями n- го циклотомического многочлена . Например, многочлен z 3 − 1 разлагается как ( z − 1)( z − ω )( z − ω 2 ) , где ω = e 2 πi /3 ; множество {1, ω , ω 2 } = { ω 0 , ω 1 , ω 2 } образует циклическую группу при умножении. Группа Галуа расширения поля рациональных чисел , порожденная корнями n-й степени из единицы, образует другую группу, изоморфную мультипликативной группе ( Z/ n Z ) × порядка φ ( n ) , которая является циклической для некоторых, но не для всех n (см. выше).
Расширение поля называется циклическим расширением , если его группа Галуа циклическая. Для полей нулевой характеристики такие расширения являются предметом теории Куммера и тесно связаны с разрешимостью радикалами . Для расширения конечных полей характеристики p его группа Галуа всегда конечна и циклична, порождена степенью отображения Фробениуса . [8] Обратно, если задано конечное поле F и конечная циклическая группа G , существует конечное расширение поля F , группа Галуа которого есть G. [9]
Все подгруппы и факторгруппы циклических групп являются циклическими. В частности, все подгруппы Z имеют вид ⟨ m ⟩ = m Z , где m — положительное целое число. Все эти подгруппы отличны друг от друга, и, за исключением тривиальной группы {0} = 0 Z , все они изоморфны Z . Решетка подгрупп Z изоморфна двойственной решетке натуральных чисел, упорядоченных по делимости . [10] Таким образом, поскольку простое число p не имеет нетривиальных делителей, p Z является максимальной собственной подгруппой, а факторгруппа Z / p Z является простой ; на самом деле, циклическая группа является простой тогда и только тогда, когда ее порядок является простым. [11]
Все фактор-группы Z / n Z конечны, за исключением Z /0 Z = Z /{0}. Для каждого положительного делителя d числа n фактор-группа Z / n Z имеет ровно одну подгруппу порядка d , порожденную классом вычетов n / d . Других подгрупп нет.
Каждая циклическая группа является абелевой . [1] То есть ее групповая операция коммутативна : gh = hg (для всех g и h из G ). Это ясно для групп целочисленного и модульного сложения, поскольку r + s ≡ s + r (mod n ) , и это следует для всех циклических групп, поскольку все они изоморфны этим стандартным группам. Для конечной циклической группы порядка n , g n является единичным элементом для любого элемента g . Это снова следует из использования изоморфизма к модульному сложению, поскольку kn ≡ 0 (mod n ) для каждого целого числа k . (Это также верно для общей группы порядка n , благодаря теореме Лагранжа .)
Для степени простого числа группа называется первичной циклической группой . Основная теорема абелевых групп утверждает, что каждая конечно порождённая абелева группа является конечным прямым произведением первичной циклической и бесконечной циклической групп.
Поскольку циклическая группа абелева, каждый из ее классов сопряженности состоит из одного элемента. Циклическая группа порядка n, следовательно, имеет n классов сопряженности.
Если d является делителем n , то число элементов в Z / n Z , имеющих порядок d, равно φ ( d ), а число элементов, порядок которых делит d, равно в точности d . Если G является конечной группой, в которой для каждого n > 0 группа G содержит не более n элементов порядка, делящего n , то группа G должна быть циклической. [примечание 2] Порядок элемента m в Z / n Z равен n / gcd ( n , m ).
Если n и m взаимно просты , то прямое произведение двух циклических групп Z / n Z и Z / m Z изоморфно циклической группе Z / nm Z , и обратное также верно: это одна из форм китайской теоремы об остатках . Например, Z /12 Z изоморфно прямому произведению Z /3 Z × Z /4 Z при изоморфизме ( k mod 12) → ( k mod 3, k mod 4) ; но оно не изоморфно Z /6 Z × Z /2 Z , в котором каждый элемент имеет порядок не более 6.
Если p — простое число , то любая группа с p элементами изоморфна простой группе Z / p Z. Число n называется циклическим числом , если Z / n Z — единственная группа порядка n , что верно в точности тогда, когда gcd( n , φ ( n )) = 1. [13] Последовательность циклических чисел включает все простые числа, но некоторые из них являются составными , например 15. Однако все циклические числа нечетные , за исключением 2. Циклические числа:
Из определения немедленно следует, что циклические группы имеют групповое представление C ∞ = ⟨ x | ⟩ и C n = ⟨ x | x n ⟩ для конечных n . [14]
Теория представлений циклической группы является критическим базовым случаем для теории представлений более общих конечных групп. В комплексном случае представление циклической группы разлагается в прямую сумму линейных характеров, что делает связь между теорией характеров и теорией представлений прозрачной. В случае положительной характеристики неразложимые представления циклической группы образуют модель и индуктивную основу для теории представлений групп с циклическими силовскими подгруппами и, в более общем смысле, теории представлений блоков циклического дефекта.
Граф цикла иллюстрирует различные циклы группы и особенно полезен для визуализации структуры небольших конечных групп . Граф цикла для циклической группы — это просто круговой граф , где порядок группы равен числу узлов. Одиночный генератор определяет группу как направленный путь на графе, а обратный генератор определяет обратный путь. Тривиальный путь (тождественность) может быть изображен как цикл, но обычно подавляется. Z 2 иногда изображается с двумя изогнутыми ребрами как мультиграф . [15]
Циклическая группа Z n с порядком n соответствует одному циклу, представленному в виде n -стороннего многоугольника с элементами в вершинах.
Граф Кэли — это граф, определяемый парой ( G , S ), где G — группа, а S — набор генераторов для группы; он имеет вершину для каждого элемента группы и ребро для каждого произведения элемента с генератором. В случае конечной циклической группы с ее единственным генератором граф Кэли является графом циклов , а для бесконечной циклической группы с ее генератором граф Кэли является дважды бесконечным графом путей . Однако графы Кэли можно определить и из других наборов генераторов. Графы Кэли циклических групп с произвольными наборами генераторов называются циркулянтными графами . [16] Эти графы можно геометрически представить как набор равноотстоящих точек на окружности или на прямой, причем каждая точка соединена с соседями с тем же набором расстояний, что и каждая другая точка. Они являются в точности вершинно-транзитивными графами , группа симметрии которых включает транзитивную циклическую группу. [17]
Кольцо эндоморфизмов абелевой группы Z / nZ изоморфно самому Z / nZ как кольцу . [18] При этом изоморфизме число r соответствует эндоморфизму Z / nZ , который отображает каждый элемент в сумму r его копий. Это является биекцией тогда и только тогда, когда r взаимно просто с n , поэтому группа автоморфизмов Z / nZ изоморфна единичной группе ( Z / nZ ) × . [ 18 ]
Аналогично, кольцо эндоморфизмов аддитивной группы Z изоморфно кольцу Z. Его группа автоморфизмов изоморфна группе единиц кольца Z , которая равна ({−1, +1}, ×) ≅ C 2 .
Можно показать, что тензорное произведение Z / m Z ⊗ Z / n Z изоморфно Z / gcd( m , n ) Z . Таким образом, мы можем сформировать набор групповых гомоморфизмов из Z / m Z в Z / n Z , обозначаемый hom( Z / m Z , Z / n Z ) , который сам по себе является группой.
Для тензорного произведения это является следствием общего факта, что R / I ⊗ R R / J ≅ R /( I + J ) , где R — коммутативное кольцо с единицей, а I и J — идеалы кольца. Для группы Hom напомним, что она изоморфна подгруппе Z / n Z , состоящей из элементов порядка, делящего m . Эта подгруппа является циклической порядка gcd( m , n ) , что завершает доказательство.
Несколько других классов групп были определены по их отношению к циклическим группам:
Группа называется виртуально циклической , если она содержит циклическую подгруппу конечного индекса (число смежных классов , которые имеет подгруппа). Другими словами, любой элемент в виртуально циклической группе может быть получен путем умножения члена циклической подгруппы и члена определенного конечного множества. Каждая циклическая группа виртуально циклическая, как и каждая конечная группа. Бесконечная группа виртуально циклическая тогда и только тогда, когда она конечно порождена и имеет ровно два конца ; [примечание 3] примером такой группы является прямое произведение Z / n Z и Z , в котором множитель Z имеет конечный индекс n . Каждая абелева подгруппа гиперболической группы Громова виртуально циклическая. [20]
Проконечная группа называется проциклической, если она может быть топологически порождена одним элементом. Примерами проконечных групп являются проконечные целые числа или p -адические целые числа для простого числа p .
Локально циклическая группа — это группа, в которой каждая конечно порождённая подгруппа является циклической. Примером является аддитивная группа рациональных чисел : каждый конечный набор рациональных чисел является набором целых кратных одной единичной дроби , обратной их наименьшему общему знаменателю , и порождает в качестве подгруппы циклическую группу целых кратных этой единичной дроби. Группа локально циклическая тогда и только тогда, когда её решётка подгрупп является дистрибутивной решёткой . [21]
Циклически упорядоченная группа — это группа вместе с циклическим порядком , сохраняемым структурой группы. Каждой циклической группе можно задать структуру как циклически упорядоченной группы, согласованную с порядком целых чисел (или целых чисел по модулю порядка группы). Каждая конечная подгруппа циклически упорядоченной группы является циклической. [22]
Метациклическая группа — это группа, содержащая циклическую нормальную подгруппу , фактор которой также является циклическим. [23] Эти группы включают циклические группы, дициклические группы и прямые произведения двух циклических групп. Полициклические группы обобщают метациклические группы, допуская более одного уровня расширения группы . Группа является полициклической, если она имеет конечную убывающую последовательность подгрупп, каждая из которых является нормальной в предыдущей подгруппе с циклическим фактором, заканчивающимся в тривиальной группе. Каждая конечно порождённая абелева группа или нильпотентная группа является полициклической. [24]
Z n является простым тогда и только тогда, когда n является простым.
